2021年中考數(shù)學專題練習：三角形綜合

2021年中考數(shù)學專題練習：三角形綜合1．如圖，射線AB和射線CB相交于點B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．點D是射線CB上的動點（點D不與點C和點B重合），作射線AD，并在射線AD上取一點E，使∠AEC＝α，連接CE，BE．（1）如圖①，當點D在線段CB上，α＝90°時，請直接寫出∠AEB的度數(shù)；（2）如圖②，當點D在線段CB上，α＝120°時，請寫出線段AE，BE，CE之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）當α＝120°，tan∠DAB＝時，請直接寫出的值．2．已知：在△ABC中，AB＝AC，點D、點E在邊BC上，BD＝CE，連接AD、AE．（1）如圖1，求證：AD＝AE；（2）如圖2，當∠DAE＝∠C＝45°時，過點B作BF∥AC交AD的延長線于點F，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個等腰三角形，使寫出的每個等腰三角形的頂角都等于45°．3．在平面直角坐標系中，O為原點，點A（﹣3，0），點B（0，）．以AB為一邊作等邊三角形ABC，點C在第二象限．（Ⅰ）如圖①，求點C的坐標；（Ⅱ）將△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得△A′O′B，點A，O旋轉(zhuǎn)后的對應點為A′，O′．①如圖②，當旋轉(zhuǎn)角為30°時，A′B，A′O′與AC分別交于點E，F(xiàn)，A′O′與AB交于點G，求△A′O′B與△ABC公共部分面積S的值；②若P為線段CO′的中點，求AP長的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，且∠ACD＝∠B．（1）求證：CD⊥AB證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）∴∠A+∠B＝90°（）又∵∠ACD＝∠B（已知）∴∠A+∠ACD＝90°（等量代換）∴∠ADC＝90°（）（2）如圖②，若∠BAC的平分線分別交BC，CD于點E，F(xiàn)，求證：∠AEC＝∠CFE；（3）如圖③，若E為BC上一點，AE交CD于點F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．①求S△CEF﹣S△ADF的值；②四邊形BDFE的面積是．5．[教材呈現(xiàn)]如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第69頁的部分內(nèi)容．[方法運用]在△ABC中，AB＝4，AC＝2，點D在邊AC上．（1）如圖①，當點D是邊BC中點時，AD的取值范圍是．（2）如圖②，若BD：DC＝1：2，求AD的取值范圍．[拓展提升]如圖③，在△ABC中，點D、F分別在邊BC、AB上，線段AD、CF相交于點E，且BD：DC＝1：2，AE：ED＝3：5．若△ACF的面積為2，則△ABC的面積為．6．已知：如圖，點B在線段AD上，△ABC和△BDE都是等邊三角形，且在AD同側(cè)，連接AE交BC于點G，連接CD交BE于點H，連接GH．（1）求證：AE＝CD；（2）求證：AG＝CH；（3）求證：GH∥AD．7．如圖，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝45°，AB＝3，點D是BC上一點，作DE⊥AD交射線AC于E，DF平分∠ADE交AC于F．（1）求證：AB?CF＝BD?CD；（2）如圖2，當∠AED＝75°時，求CF的長；（3）若CD＝2BD，求．8．如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E為BC邊上一點，以E為頂點作∠AEF，∠AEF的一邊交AC于點F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，則∠BAC＝；（2）判斷∠BAE與∠CEF的大小關系，并說明理由；（3）當△AEF為直角三角形時，求∠AEF與∠BAE的數(shù)量關系．9．若△ABC和△AED均為等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如圖（1），點B是DE的中點，判定四邊形BEAC的形狀，并說明理由；（2）如圖（2），若點G是EC的中點，連接GB并延長至點F，使CF＝CD．求證：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．10．問題1：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求證：AB+CD＝BC．問題2：如圖②，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一點，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值．參考答案1．解：（1）連接AC，如圖①所示：∵α＝90°，∠ABC＝α，∠AEC＝α，∴∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A、B、E、C四點共圓，∴∠BCE＝∠BAE，∠CBE＝∠CAE，∵∠CAB＝∠CAE+∠BAE，∴∠BCE+∠CBE＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠BCE+∠CBE＝45°，∴∠BEC＝180°﹣（∠BCE+∠CBE）＝180°﹣45°＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠AEC＝135°﹣90°＝45°；（2）AE＝BE+CE，理由如下：在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，如圖②所示：∵∠ABC＝∠AEC，∠ADB＝∠CDE，∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB＝180°﹣∠AEC﹣∠CDE，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∴∠ABF+∠FBD＝∠CBE+∠FBD，∴∠ABD＝∠FBE，∵∠ABC＝120°，∴∠FBE＝120°，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF＝×（180°﹣∠FBE）＝×（180°﹣120°）＝30°，∵BH⊥EF，∴∠BHE＝90°，F(xiàn)H＝EH，在Rt△BHE中，BH＝BE，F(xiàn)H＝EH＝BH＝BE，∴EF＝2EH＝2×BE＝BE，∵AE＝EF+AF，AF＝CE，∴AE＝BE+CE；（3）分兩種情況：①當點D在線段CB上時，在AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，如圖②所示：由（2）得：FH＝EH＝BE，∵tan∠DAB＝＝，∴AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH﹣FH＝BE﹣BE＝BE，∴＝；②當點D在線段CB的延長線上時，在射線AD上截取AF＝CE，連接BF，過點B作BH⊥EF于H，如圖③所示：同①得：FH＝EH＝BE，AH＝3BH＝BE，∴CE＝AF＝AH+FH＝BE+BE＝BE，∴＝；綜上所述，當α＝120°，tan∠DAB＝時，的值為或．2．（1）證明：∵AB＝AC，∵∠B＝∠C，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE；（2）∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∵BF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝45°，∵∠ABC＝∠C＝∠DAE＝45°，∠BDF＝∠ADE，∴∠F＝∠BDF，∠BEA＝∠BAE，∠CDA＝∠CAD，∴滿足條件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE，△DBF．3．解：（Ⅰ）如圖①中，∵點A（﹣3，0），點B（0，），∴OA＝3，OB＝，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝2，∴∠CAO＝90°，∴C（﹣3，2）．（Ⅱ）①如圖②中，過點G作GH⊥BC于H，設AC交O′A′于F．∵△AOB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△A′BO′，∴A′B＝AB＝2，∠A′＝∠BAO＝30°，∠A′BA＝30°，∴∠A′＝∠A′BA＝30°，∴GA′＝GB，∵GH⊥BA′，∴A′H＝BH＝，在Rt△A′HG中，∵tan∠BA′G＝，∴GH＝?tan30°＝1，∴S△A′BG＝?BA′?GH＝，∵∠CAB＝60°，∠A′BG＝30°，∴∠A′EA＝90°，∴BE＝AB?sin60°＝2×＝3，∴A′E＝A′B﹣EB＝2﹣3，∴EF＝A′E?tan30°＝2﹣，∴S△A′EF＝?A′E?EF＝﹣6，∴S＝S△A′BG﹣S△A′EF＝6﹣．②如圖③中，取BC的中點N，連接PN，AN．∵PC＝PO′，CN＝NB，∴PN＝BO′＝，∵△ABC是等邊三角形，CN＝BN，∴AN⊥BC，∴CN＝BN＝，AN＝BN＝3，∵AN﹣PN≤PA≤AN+PN，∴3﹣≤AP≤3+．4．（1）證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）∴∠A+∠B＝90°（直角三角形兩銳角互余）又∵∠ACD＝∠B（已知）∴∠A+∠ACD＝90°（等量代換）∴∠ADC＝90°（三角形內(nèi)角和定理）故答案為：直角三角形兩銳角互余；三角形內(nèi)角和定理；（2）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，∴∠AEC＝∠CFE；（3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，∴S△ACD＝S△ABC＝9，S△ACE＝S△ABC＝12，∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12﹣9＝3；②連接BF，設S△ADF＝x，則S△CFE＝3+x，∵AB＝4AD，∴S△BDF＝3x，∵BC＝3CE，∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，∴x+3+2x+6+3x＝×36，解得，x＝3，∴四邊形BDFE的面積＝3x+2x+6＝21，故答案為：21．5．解：[方法運用]（1）延長AD至點E，使得DE＝AD，連接CE，∵在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE，∵△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，∴2＜AE＜6，∴1＜AD＜3．故答案為：1＜AD＜3．（2）如圖2，過點C作CM∥AB，交AD的延長線于點M，∴△ABD∽△MCD，∴，∵BD：DC＝1：2，AB＝4，∴CM＝8，AD＝AM，在△AMC中，∵CM＝8，AC＝2，∴6＜AM＜10，∴2＜AD＜．[拓展提升]解：如圖3，過點A作AM∥BC交CF的延長線于點M，∴△AME∽△DCE，∴，∵，∴，∴，同理△AMF∽△BCF，∴，∴．∴，∵△ACF的面積為2，∴△ABC的面積為7．故答案為：7．6．證明：（1）∵△ABC、△BDE均為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝60°，∴180°﹣∠EBD＝180°﹣∠ABC，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE與△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAG＝∠BCH，∵∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠CBH＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ABC＝∠CBH＝60°，在△ABG與△CBH中，，∴△ABG≌△CBH（ASA），∴AG＝CH；（3）由（2）知：△ABG≌△CBH，∴BG＝BH，∵∠CBH＝60°，∴△GHB是等邊三角形，∴∠BGH＝60°＝∠ABC，∴GH∥AD．7．（1）證明：如圖1中，∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDC＝45°，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADF+∠FDC，∠B＝∠ADF＝45°，∴∠BAD＝∠FDC，∵∠B＝∠C，∴△ABD∽△CDF，∴＝，∴AB?CF＝BD?CD．（2）解：如圖2中，過點A作AH⊥BC于H．∵∠B＝∠C＝45°，∴AB＝AC＝3，∴BC＝AB＝6，∵AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，AH＝BH＝CH＝3，∵AD⊥DE，∠AED＝75°，∴∠ADE＝90°，∠DAE＝15°，∴∠ADH＝∠DAE+∠C＝60°，∴∠DAH＝30°，DH＝AH?tan30°＝，∴BD＝3+，CD＝3﹣，∵AB?CF＝BD?CD，∴3?CF＝（3+）（3﹣），∴CF＝．（3）如圖2﹣1中，過點A作AH⊥BC于H，過點E作EG⊥CD于G．設CD＝a，則BD＝2a，BC＝3a．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AH＝HB＝HC＝1.5a，DH＝0.5a，∠C＝∠B＝45°，∵∠AHD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，∴∠ADH+∠EDG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，∴∠ADH＝∠DEG，∴△ADH∽△DEG，設EG＝CG＝y(tǒng)，則DG＝a﹣y，∴＝，∴＝，解得y＝a，∴CG＝EG＝a，EC＝a，∵CF＝＝＝a，∴AF＝AC﹣CF＝a﹣a＝a，EF＝CF﹣CE＝a﹣a＝a，∴＝＝2．8．解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案為：100°．（2）∠BAE＝∠FEC；理由如下：∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，∴∠BAE＝∠FEC；（3）如圖1，當∠AFE＝90°時，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠C+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠AEF＝90°，即∠AEF與∠BAE的數(shù)量關系是互余；如圖2，當∠EAF＝90°時，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠1，∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，∴2∠AEF+∠1＝90°，即2∠AEF與∠BAE的數(shù)量關系是互余．9．解：（1）四邊形BEAC是平行四邊形，理由如下：∵△AED為等腰三角形，∠EAD＝90°，B是DE的中點，∴∠E＝∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠BAC＝90°，∴BC∥AE，AC∥BE，∴四邊形BEAC是平行四邊形；（2）①∵△ABC和△AED均為等腰三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD；②延長FG至點H，使GH＝FG，∵G是EC的中點，∴EG＝DG，又∵∠EGH＝∠FGC，∴△EGH≌△CGF（SAS），∴∠BFC＝∠H，CF＝EH，∵CF＝CD，CD＝BE，∴EH