重難點(diǎn)03 相似三角形（解析版）-2024中考數(shù)學(xué)查缺補(bǔ)漏

重難點(diǎn)03相似三角形考點(diǎn)一：比例學(xué)習(xí)比例、比例線段的性質(zhì)等知識(shí)是學(xué)習(xí)三角形相似的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)中考中很多省市也會(huì)把這個(gè)考點(diǎn)單獨(dú)出題考察，特別是黃金分割和平行線分線段成比例的基本性質(zhì)，都是經(jīng)常出現(xiàn)的小題，但這類題一般難度不大，掌握好易錯(cuò)點(diǎn)，再仔細(xì)計(jì)算即可！題型01比例與比例線段易錯(cuò)點(diǎn)：4個(gè)數(shù)成比例時(shí)，對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)可正可負(fù)；線段成比例時(shí)，對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)只能是正數(shù)，特別是比例中項(xiàng)的計(jì)算中，更要注意線段正負(fù)的問(wèn)題；【中考真題練】1．若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．【分析】直接利用比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故選：A．2．（2023?甘孜州）若，則＝1．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵，∴＝﹣1＝2﹣1＝1．故答案為：1．3．小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過(guò)程，請(qǐng)?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過(guò)程．【分析】由＝2，得到a＝2c，因此＝，得到b＝c，故＝＝，＝＝，所以＝＝．【解答】解：當(dāng)＝2時(shí)，＝＝，理由如下：∵＝2，∴a＝2c，∴＝，∴b＝c，∴＝＝，＝＝，∴＝＝．故答案為：2．【中考模擬練】1．（2024?涼州區(qū)一模）下列各組數(shù)中，成比例的是（）A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1，【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解決此題．【解答】解：A．由﹣2×（﹣3）≠1×（﹣6），得1，﹣2，﹣3，﹣6不成比例，故A不符合題意．B．由4×2≠1×（﹣8），得1，4，2，﹣8不成比例，故B不符合題意．C．由6×2≠5×3，得5，6，2，3不成比例，故C不符合題意．D．由，得，，1，成比例，故D符合題意．故選：D．2．（2024?汝南縣一模）如果2a＝5b，那么下列比例式中正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】利用比例的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解答】解：∵2a＝5b，∴＝，＝．故選：C．3．（2023?望江縣模擬）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm【分析】根據(jù)比例線段的定義和比例的性質(zhì)，利用每組數(shù)中最大和最小數(shù)的積與另兩個(gè)數(shù)之積是否相等進(jìn)行判斷．【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四條線段不成比例，故A選項(xiàng)不符合題意；B.3×9≠5×8，所以四條線段不成比例，故B選項(xiàng)不符合題意；C.3×30＝9×10，所以四條線段成比例，故C選項(xiàng)符合題意；D.3×9≠6×7，所以四條線段不成比例，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．4．（2024?涼州區(qū)一模）已知＝，則＝．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，可得a、b間的關(guān)系，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由比例的性質(zhì)，得b＝a．＝＝＝＝，故答案為：．5．（2024?錦江區(qū)校級(jí)模擬）＝．【分析】依據(jù)比例基本性質(zhì)中的等比性質(zhì)，即可得到分式的值．【解答】解：∵＝＝＝，∴由等比性質(zhì)可得＝，故答案為：．6．（2024?山陽(yáng)縣一模）如圖，在小提琴的設(shè)計(jì)中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識(shí)，AC，BC，AB各部分長(zhǎng)度滿足BC2＝AC?AB，若小提琴的總長(zhǎng)度AB為59cm，則琴身BC的長(zhǎng)為cm．【分析】把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．依據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵BC2＝AC?AB，∴，∴BC＝×59＝．故答案為：．題型02黃金分割易錯(cuò)點(diǎn)：一個(gè)線段的黃金分割點(diǎn)有2個(gè)，黃金分割比=，0.618是黃金分割比的近似值。題目中沒(méi)有要求時(shí)，一般都要用原值；【中考真題練】1．（2023?綿陽(yáng)）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛(ài)好者和藝術(shù)家的喜愛(ài)，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點(diǎn)E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a【分析】設(shè)AB＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC＝x，然后根據(jù)黃金矩形的定義可得＝，從而可得＝，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)AB＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵矩形ABFG是黃金矩形，∴＝，∴＝，解得：x＝（2+2）a，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝（2+2）a是原方程的根，∴AB＝（2+2）a，故選：D．2．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根據(jù)題意可得：CP平分∠ACB，從而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代換可得∠A＝∠ACE＝36°，從而可得AE＝CE，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠B＝∠CEB＝72°，從而可得CB＝CE，進(jìn)而可得AE＝CE＝CB，最后根據(jù)黃金三角形的定義可得＝，從而可得＝，再利用三角形的面積可得＝＝，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由題意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，∴△BCE是黃金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合題意，C符合題意；故選：C．3．（2023?達(dá)州）如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】根據(jù)黃金分割的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撐點(diǎn)C，D之間的距離為（80﹣160）cm，故答案為：（80﹣160）．4．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時(shí)，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長(zhǎng)的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)；我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．【分析】（1）依據(jù)題意，將m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解；（2）依據(jù)題意，將b2﹣2mb＝4變形為（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0，從而可以看作a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個(gè)根，進(jìn)而可以得解；（3）依據(jù)題意，將已知兩式相加減后得到，兩個(gè)關(guān)系式，從而求得pq，進(jìn)而可以得解．【解答】解：（1）由題意，將m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，∴x1，2＝＝．∵黃金分割數(shù)大于0，∴黃金分割數(shù)為．（2）∵b2﹣2mb＝4，∴b2﹣2mb﹣4＝0．∴（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0．又b≠﹣2a，∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個(gè)根．∴a?（﹣）＝﹣1．∴ab＝2．（3）由題意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），∵p，q為兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，∴p﹣q≠0，∴（p+q）+n＝﹣1．∴p+q＝﹣n﹣1．又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．∴pq＝n．∴pq﹣n＝0．【中考模擬練】1．（2024?東昌府區(qū)一模）如圖，線段AB上的點(diǎn)C滿足關(guān)系式：AC2＝BC?AB，且AB＝2，則AC的長(zhǎng)為（）A．或 B． C． D．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵AC2＝BC?AB，∴點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，故選：C．2．（2024?昆明模擬）黃金分割是一個(gè)跨越數(shù)學(xué)、自然、藝術(shù)和設(shè)計(jì)領(lǐng)域的概念，各個(gè)領(lǐng)域中無(wú)處不在．黃金分割是指將一個(gè)整體分為兩部分，其中較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，通常人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金分割數(shù)．請(qǐng)估計(jì)的值在（）A．0和之間 B．和1之間 C．1和之間 D．和2之間【分析】由題意可知，因?yàn)?，所以，所以，進(jìn)而可得．即在和1之間．【解答】解：由題意可知，∵，∴，∴，∴．即在和1之間．故選：B．3．（2024?安州區(qū)二模）如圖，以線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點(diǎn)E，連接BE，延長(zhǎng)DA至F，使得EF＝BE，以AF為邊作正方形AFGH，則點(diǎn)H即是線段AB的黃金分割點(diǎn)．若記正方形AFGH的面積為S1，矩形HICB的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能確定【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，根據(jù)勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根據(jù)面積公式求出S1與S2即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE＝a，在Rt△EAB中，由勾股定理得：，∵EF＝BE，∴，∴，即，∴，，即S1＝S2，故選：C．4．（2024?大渡口區(qū)模擬）已知C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），則AC：AB＝（）A．﹣1）：2 B．+1）：2 C．）：2 D．）：2【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（）叫做黃金比．【解答】解：根據(jù)黃金分割的定義，知AC：AB＝（﹣1）：2．故選：A．5．（2024?高新區(qū)校級(jí)二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．秦兵馬俑被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，若如圖所示的兵馬俑頭頂?shù)较掳偷木嚯x為0.3m，則該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為m．【分析】設(shè)該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為xm，根據(jù)題意可得：＝，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為xm，由題意得：＝，解得：x＝，∴該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為m，故答案為：．題型03平行線分線段成比例【中考真題練】1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【分析】由DE∥BC，利用平行線分線段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出結(jié)論．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．2．（2023?常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點(diǎn)：畫法圖形（1）以A為端點(diǎn)畫一條射線；（2）用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長(zhǎng)線段AC、CD、DE，連接BE；（3）過(guò)點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、N．M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)．這一畫圖過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等 C．垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理解答即可．【解答】解：∵CM∥DN∥BE，∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，∵AC＝CD＝DE，∴AM＝MN＝NB，∴這一畫圖過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，故選：D．3．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．【分析】根據(jù)題意求出AF，再根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算即可．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案為：．4．（2023?岳陽(yáng)）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長(zhǎng)是π（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧長(zhǎng)公式即可求出的長(zhǎng)；（2）連接OC，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥BD，再由切線得到EC∥BD，利用平行線分線段成比例得出，再根據(jù)勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖，連接OC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠BOC＝60°，OB＝3，∴的長(zhǎng)＝＝π；故答案為：π；（2）如圖，連接OC，∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴＝，∴OC⊥BD，又∵EC是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∴EC∥BD，∵＝，∴，設(shè)EB＝x，則AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x，∴EC＝＝＝2x，∴＝＝．故答案為：．【中考模擬練】1．（2024?大渡口區(qū)模擬）如圖，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，則AC的長(zhǎng)度是（）A．12 B．18 C．15 D．【分析】利用平行分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∴＝，∴AC＝18．故選：B．2．（2024?香坊區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且BF：FC＝3：4，AB＝14，則EF的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)EF∥AB，可得＝＝，＝，根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵EF∥AB，BF：FC＝3：4，∴＝＝，＝，∴＝，∴＝，∵AB＝14，∴EF＝8，故選：D．3．（2024?新安縣一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且DG＝2，DF＝10，＝，則AG的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．依據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得出AG的長(zhǎng)．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，又∵DG＝2，DF＝10，＝，∴＝，∴AG＝4．故選：C．4．（2024?沭陽(yáng)縣模擬）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，若BE＝1，則EC的長(zhǎng)為（）A．2 B．2.5 C．3 D．4【分析】過(guò)D點(diǎn)作DF∥CE交AE于F，如圖，先由DF∥BE，根據(jù)平行線分線段成比例得到DF＝BE＝3，再由DF∥CE得到比例式，然后利用比例的性質(zhì)求CE的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DF∥CE交AE于F，如圖，∵DF∥BE，∴，∵O是BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD，∴DF＝BE＝1，∵DF∥CE，∴，∵AD：DC＝1：2，∴AD：AC＝1：3，∴，∴CE＝3DF＝3×1＝3．故選：C．5．（2024?海寧市校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，CD上，且∠1＝∠2．（1）求證：AD∥EF．（2）當(dāng)CE：AE＝3：5，CF＝6時(shí)，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一得到BD＝DC，∠1＝∠CAD，根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明EF∥AD；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算求出DF，進(jìn)而求出BC．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的高線，∴BD＝DC，∠1＝∠CAD，∵∠1＝∠2，∴∠CAD＝∠2，∴EF∥AD；（2）解：∵EF∥AD，∴＝，∵CE：AE＝3：5，CF＝6，∴＝，解得：FD＝10，∴CD＝CF+DF＝10+6＝16，∴BC＝2CD＝32．考點(diǎn)二：相似三角形相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)考點(diǎn)，出題難度跨度很大，當(dāng)然，單獨(dú)出題時(shí)，相似三角形的性質(zhì)、判定、應(yīng)用大多以基礎(chǔ)和中等題為主。題型01相似三角形的判定與性質(zhì)解題大招01：相似三角形性質(zhì)的主要應(yīng)用方向有：①求角的度數(shù)；②求或證明比值關(guān)系；③證線段等積式；④求面積或面積比；解題大招02：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是求線段長(zhǎng)度的重要方法，也是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段；解題大招03：判定三角形相似的思路：（1）有平行截線——用平行線的性質(zhì)，找等角（2）有一對(duì)等角，找（3）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，找?jiàn)A角相等（4）直角三角形，找（5）等腰三角形，找【中考真題練】1．（2023?重慶）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，求解即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，∴這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比為1：4，故選：B．2．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，，BF＝8，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．3【分析】由DE∥BC，EF∥AC，得四邊形EFCD是平行四邊形，DE＝CF，設(shè)DE＝CF＝x，由△AED∽△ABC，＝可得＝，即可解得答案．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴DE＝CF，設(shè)DE＝CF＝x，∵BF＝8，∴BC＝BF+CF＝8+x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，∴＝，即＝，解得x＝，故選：A．3．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊AC上，且，則AE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或2【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，分兩種情況討論，由三角形中位線定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝，∵，∴DE＝1，如圖，當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，∵∠ADE＝∠ABC，，∴△ADE∽△ABC，∴，∴AE＝2，如圖，當(dāng)∠ADE≠90°時(shí)，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，∵點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)H是AC的中點(diǎn)，∴DH∥BC，DH＝BC＝1，∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，∴∠DEH＝60°，∴∠ADE＝∠A＝30°，∴AE＝DE＝1，故選：D．4．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，△DFC∽△AFG，先求出DF與BC的比值，繼而得出DF與AF的比值，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出GF的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴，即，∴，∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFG，∴，∵EF＝1，EC＝3，∴CF＝4，∴，∴GF＝8，故選：C．5．（2023?德州）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，AB＝AD，AC與BD交于點(diǎn)E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半徑為（）A．6 B． C．5 D．2【分析】連接DC，易得△ADE∽△ACD，即可求出AD，連接OA，由垂徑定理可得AO⊥BD，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：連接DC，AO，OD，如圖：∵AB＝AD，∴∠ADE＝∠ACD，∴△ADE∽△ACD，∴，即，解得AD＝2，∵AB＝AD，即A是的中點(diǎn)，∴AO⊥BD，BH＝DH＝2，在Rt△ADH中，AH2＝AD2﹣DH2，∴AH＝＝2，∴OH＝OD﹣2，在Rt△ODH中，OD2＝OH2+DH2，∴OD2＝（OD﹣2）2+（2）2，解得OD＝6．故選：A．6．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F，N是線段BF上的點(diǎn)，BN＝2NF，M是線段DE上的點(diǎn)，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積B．△BDF的面積 C．△BCN的面積D．△DCE的面積【分析】如圖所示，連接ND，證明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出，則，又∠NFD＝∠MEC，則△NFD∽△MEC，進(jìn)而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，結(jié)合題意得出，即可求解．【解答】解：如圖所示，連接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴＝，∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴，ME＝DE，∴∴，又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴．故選：D．7．（2023?江西）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度．如圖，點(diǎn)A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點(diǎn)D．測(cè)得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ＝6m．【分析】根據(jù)題意可知：△ABC∽△AQP，從而可以得到，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可得到PQ的長(zhǎng)．【解答】解：由題意可得，BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，∴△ABD∽△AQP，∴，即，解得QP＝6，∴樹高PQ＝6m，故答案為：68．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△AOB邊長(zhǎng)的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)大為△A1OB1邊長(zhǎng)的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為22023，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（22022，﹣22022×）．【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題．【解答】解：由題意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，∴△A2023OB2023的邊長(zhǎng)為22023，∵2023÷6＝337…1，∴A2023與A1都在第四象限，坐標(biāo)為（22022，﹣22022×）．故答案為：22023，（22022，﹣22022×）．9．（2023?無(wú)錫）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，則DG：EG＝2：3．【分析】延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)H，由平行四邊形的性質(zhì)及E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，得CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，則CB＝AD＝2CE，再證明△HCF∽△ADF，得＝＝1，則HC＝AD＝CB＝2CE，所以HE＝3CE，再證明△ADG∽△HEG，得＝＝，于是得到問(wèn)題的答案．【解答】解：延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，∴CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，∴CB＝AD＝2CE，∵HC∥AD，∴△HCF∽△ADF，∴＝＝1，∴HC＝AD＝CB＝2CE，∴HE＝HC+CE＝2CE+CE＝3CE，∵AD∥HE，∴△ADG∽△HEG，∴＝＝＝，∴DG：EG＝2：3，故答案為：2：3．10．（2023?廣東）邊長(zhǎng)分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為15．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面積公式計(jì)算即可．【解答】解：如圖，∵BF∥DE，∴△ABF∽△ADE，∴＝，∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，∴＝，∴BF＝2，∴GF＝6﹣2＝4，∵CK∥DE，∴△ACK∽△ADE，∴＝，∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，∴＝，∴CK＝5，∴HK＝6﹣5＝1，∴陰影梯形的面積＝（HK+GF）?GH＝（1+4）×6＝15．故答案為：15．11．（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝2，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．【分析】利用勾股定理求得線段AC的長(zhǎng)度，利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DAB＝∠EAC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴．∵將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，∴∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC，∴．故答案為：．12．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)已知條件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B為公共角，于是得出△ABD∽△CBA；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出BD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AD是斜邊BC上的高，∴∠BDA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC，又∵∠B為公共角，∴△ABD∽△CBA；（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，∴，∴，∴BD＝3.6．13．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．【分析】（1）證明△ACF≌△DAE（ASA），即可解決問(wèn)題；（2）證明△ABF∽△CDE，得AF?DE＝BF?CE，結(jié)合（1）AF＝DE，即可解決問(wèn)題．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ACF＝∠DAC∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，∴△ACF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE；（2）∵△ACF≌△DAE，∴∠AFC＝∠DEA，∴∠AFB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，∴△ABF∽△CDE，∴＝，∴AF?DE＝BF?CE，∵AF＝DE，∴AF2＝BF?CE．14．（2023?泰安）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；（1）當(dāng)AF＝DF時(shí)，求∠AED；（2）求證：△EHG∽△ADG；（3）求證：．【分析】（1）可推出AC是ED的垂直平分線，從而得出AE＝AD，根據(jù)題意得出AE＝ED，從而得出△ADE是等邊三角形，從而得出結(jié)果；（2）可證得∠EGH＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠GEH，從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）得出比例式＝，進(jìn)而得出＝，根據(jù)等比的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，∴AC垂直平分ED，∴AE＝AD，∵EF⊥AD，∴AE＝ED，∴AD＝AE＝ED，∴∠AED＝60°；（2）證明：由（1）得：AC⊥ED，∴∠AGD＝∠AGE＝90°，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，∴∠AGE＝∠AFE，∵∠EHG＝∠AHF，∴∠DAG＝∠GEH，∴△EHG∽△ADG；（3）證明：由（2）知：△EHG∽△ADG，∴＝，∵AD＝AE，∴，∵∠ECD＝90°，EG＝DG，∴CG＝EG＝DG，∴＝，∴．【中考模擬練】1．（2024?揭東區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)O，則等于（）A． B． C． D．【分析】先證明△AOE∽△DOA，得出AO：DO＝AE：AD，再由AE＝AB＝AD，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠DAO+∠EAO＝90°，∵E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝AB＝AD，∵AF⊥DE，∴∠AOE＝∠DOA＝90°，∴∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠EAO＝∠ADO，∴△AOE∽△DOA，∴．故選：A．2．（2024?蕭縣一模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且DE⊥EF，若，則＝（）A．1 B． C． D．【分析】設(shè)BF＝a，則CF＝3a，證明△DEA∽△EFB，推出AE?BE＝4a2，設(shè)AE＝x，則BE＝4a﹣x，構(gòu)建一元二次方程，解方程即可求解．【解答】解：∵，∴設(shè)BF＝a，則CF＝3a，∴AD＝AB＝BC＝4a，∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠DEA＝90°﹣∠FEB＝∠EFB，∴△DEA∽△EFB，∴，即，∴AE?BE＝4a2，∵AE+BE＝4a，設(shè)AE＝x，則BE＝4a﹣x，∴x（4a﹣x）＝4a2，整理得（x﹣2a）2＝0，解得x＝2a，∴AE＝2a，BE＝2a，∴，故選：A．3．（2024?平房區(qū)一模）如圖，DE∥BC，EF∥AB，AC分別交DE、EF于點(diǎn)G、K，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】利用平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．∵DE∥BC，∴＝，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B．∵EF∥AB，∴△ADG∽△KEG，∴＝，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C∵EF∥AB，∴△ADG∽△KEG，∴＝，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D．∵DE∥BC，∴△GEK∽△CFK，，故本選項(xiàng)正確，不符合題意，故選：B．4．（2024?石獅市模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若，且△ABC的面積為9，則△ADE的面積為1．【分析】根據(jù)DE∥BC，可以求證△ADE∽△ABC，即可求得△ADE與△ABC面積的比值，即可解題．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC且相似比為1；3，∴△ADE與△ABC的面積比為，∵△ABC的面積為9，∴△ADE的面積為1，故答案為：1．5．（2024?交城縣一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，AE⊥BC于點(diǎn)E，對(duì)角線BD交AE于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為.【分析】由已知條件和菱形的性質(zhì)易求AE和BE的長(zhǎng)，易證△ADF∽△EBF，由相似三角形的性質(zhì)即可求出AF的長(zhǎng)．【解答】解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，∴AD＝AB＝4，∠ABE＝60°，AD∥BC，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝2，∴AE＝＝2，∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝，設(shè)AF＝x，則＝，解得：x＝，∴AF＝，故答案為：．6．（2024?黃浦區(qū)二模）如圖，D是等邊△ABC邊BC上點(diǎn)，BD：CD＝2：3，作AD的垂線交AB、AC分別于點(diǎn)E、F，那么AE：AF＝．【分析】過(guò)點(diǎn)D作GD⊥AD，交AB于點(diǎn)G，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，設(shè)BD＝2m，則CD＝3m，BC＝5m，利用等邊三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理表示出線段BM，CN，DM，DN的長(zhǎng)度，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段AG，AH的長(zhǎng)度，最后利用平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作GD⊥AD，交AB于點(diǎn)G，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，DM⊥AB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，如圖，∵BD：CD＝2：3，∴設(shè)BD＝2m，則CD＝3m，∴BC＝5m．∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝5m，∠B＝∠ACB＝60°，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠BDM＝NCD＝30°，∴BM＝BD＝m，CN＝CD＝m，∴DM＝m，DN＝m．∴AM＝AB﹣BM＝4m，AN＝AC﹣CN＝m．∴AD＝＝m．∵AD⊥DG，DM⊥AB，∴△AMD∽△ADG，∴．∴AG＝＝m．同理：△ADN∽△AHD，∴，∴AH＝m．∵EF⊥AD，GH⊥AD，∴EF∥GH，∴△AEF∽△AGH，∴＝．故答案為：．7．（2024?東安縣一模）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)E在CD上，連接BE，已知BD＝BE，且∠ACB＝∠BED．（1）求證：△BEC∽△CDA；（2）若BD＝4，DE＝3，BC＝5，求CE的長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠BDE＝∠BED，則可證明∠BEC＝∠ADC，再證明∠EBC＝∠ACD，即可證明△BEC∽△CDA；（2）先證明△CBD∽△ABC，求出AB＝，進(jìn)而得到AD＝，由（1）得＝，即＝，解之即可得到答案．【解答】（1）證明：∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵∠BDE+∠ADC＝180°＝∠BED+BEC，∴∠BEC＝∠ADC，∵∠ACB＝∠BED，∠BED＝∠EBC+∠BCE，∠ACB＝∠ACD+∠BCE，∴∠EBC＝∠ACD，∴△BEC∽△CDA；（2）解：∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵∠ACB＝∠BED，∴∠BDC＝∠ACB，∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴＝，即＝，∴AB＝，∴AD＝AB?BD＝?4＝，由（1）得＝，即＝，整理得CE2+3CE?9＝0，解得CE＝（邊長(zhǎng)為正值，舍去負(fù)值）．8．（2024?開原市一模），如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長(zhǎng)．【分析】（1）由圓的基本性質(zhì)得∠ACB＝∠DEB，∠CAB＝∠D，即可求證；（2）過(guò)點(diǎn)C做CG⊥AB于點(diǎn)G，由勾股定理得AB＝＝5，由三角函數(shù)得cos∠BAC＝，AG＝AC?cos∠BAC，由相似三角形的性質(zhì)得，即可求解．【解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠DEB＝90°∴∠ACB＝∠DEB，∵＝，∴∠CAB＝∠D，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C做CG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝＝5，cos∠BAC＝，∵CG⊥AB，∴AG＝AC?cos∠BAC＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠BFD＝∠D，∴BD＝BF＝AB?AF＝5?2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴，∴＝，∴ED＝．9．（2024?涼州區(qū)校級(jí)一模）已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD．（1）求證：CD2＝BC?AD；（2）點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，連接AF，與BD相交于點(diǎn)G，如果∠BAF＝∠DBF，求證：．【分析】（1）首先根據(jù)已知得出∠ACD＝∠CBD，以及∠ADC＝∠BCD＝90°，進(jìn)而求出△ACD∽△DBC，即可得出答案；（2）首先證明△ABG∽△DBA，進(jìn)而得出＝，再利用△ABG∽△DBA，得出＝，則AB2＝BG?BD，進(jìn)而得出答案．【解答】證明：（1）∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，又∵AC⊥BD，∴∠ACD+∠ACB＝∠CBD+∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBD，∴△ACD∽△DBC，∴＝，即CD2＝BC×AD；（2）方法一：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA，∴＝，∴＝，又∵△ABG∽△DBA，∴＝，∴AB2＝BG?BD，∴＝＝＝，方法二：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠BAF＝∠DBF，∴∠ADB＝∠BAF，∵∠ABG＝∠DBA，∴△ABG∽△DBA，∴＝（）2＝，而＝，∴＝．10．（2024?惠城區(qū)模擬）把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)．DE與AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長(zhǎng)，并寫出t的取值范圍；（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出CQ、AQ，從而得出結(jié)論，（2）作PG⊥x軸，將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，（3）根據(jù)題意以及三角形相似對(duì)邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：AP＝2t（cm）∵∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，∴∠CQE＝45°＝∠DEF，∴CQ＝CE＝t（cm），∴AQ＝8﹣t（cm），t的取值范圍是：0≤t≤5；（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，可求得AB＝10（cm），SinB＝，PB＝（10﹣2t）（cm），EB＝（6﹣t）（cm），∴PG＝PBSinB＝（10﹣2t）（cm）∴y＝S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE＝＝∴當(dāng)（在0≤t≤5內(nèi)），y有最大值，y最大值＝（cm2）（3）若AP＝AQ，則有2t＝8﹣t解得：（s）若AP＝PQ，如圖①：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，則AH＝QH＝（cm），PH∥BC∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ＝PQ，如圖②：過(guò)點(diǎn)Q作QI⊥AB，則AI＝PI＝AP＝t（cm）∵∠AIQ＝∠ACB＝90°∠A＝∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，△APQ是等腰三角形．題型02相似三角形的應(yīng)用解題大招：相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用：建模思想：建立相似三角形的模型（二）常見(jiàn)題目類型：1.利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解2.測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度3.測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度4.測(cè)量河的寬度【中考真題練】1．如圖，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時(shí)，另一端B到地面的高度為60cm；當(dāng)AB的一端B碰到地面時(shí)，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm【分析】過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AH，垂足為C，再證明A字模型相似△AOH∽△ABC，從而可得＝，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BH，垂足為D，然后證明A字模型相似△ABD∽△OBH，從而可得＝，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AH，垂足為C，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴∠AHO＝∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠OAH，∴△AOH∽△ABC，∴＝，∴＝，如圖：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BH，垂足為D，∵OH⊥BD，AD⊥BD，∴∠OHB＝∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠OBH，∴△ABD∽△OBH，∴＝，∴＝，∴+＝+，∴+＝，∴+＝1，解得：OH＝36，∴蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的高度OH是36cm，故選：A．2．（2023?湖州）某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點(diǎn)E處，然后沿著直線BF后退至點(diǎn)D處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測(cè)量BF，DF，EF，觀測(cè)者目高（CD）的長(zhǎng)，利用測(cè)得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點(diǎn)D，EF⊥BD于點(diǎn)F，AB⊥BD于點(diǎn)B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長(zhǎng)）是4.1米．【分析】過(guò)點(diǎn)E作水平線交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)求出△CHE∽△AGE，再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例解答即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作水平線交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，如圖，∵DB是水平線，CD，EF，AB都是鉛垂線，∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），又根據(jù)題意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，∴△CHE∽△AGE，∴，即，解得：AG＝3.6米，∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．故答案為：4.1．3．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問(wèn)題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過(guò)竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為18.2米．【分析】過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)H，根據(jù)題意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，從而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后證明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，從而利用相似三角形的性質(zhì)求出BH的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CD，垂足為G，延長(zhǎng)FG交AB于點(diǎn)H，由題意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，∴∠DGF＝∠BHF＝90°，∵CD＝7米，∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH，∴＝，∴＝，∴BH＝16.8，∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），∴塔的高度為18.2米，故答案為：18.2．4．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國(guó)佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來(lái)測(cè)量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．【分析】設(shè)BD＝xm，則BC＝（x+48）m，通過(guò)證明△ABD∽△EFD，得到，即，同理得到，則可建立方程，解方程即可得到答案．【解答】解：設(shè)BD＝xm，則BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△ABD∽△FED，∴，即，同理可證△ABC∽△HGC，∴，即，∴，解得x＝48，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝48是原方程的解，∴＝，∴AB＝36m，∴該古建筑AB的高度為36m．5．（2023?南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計(jì)折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說(shuō)明CD的長(zhǎng)度不變．（2）桌面上一點(diǎn)P恰在點(diǎn)O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點(diǎn)O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得CD的長(zhǎng)度最大．①畫出此時(shí)AB所在位置的示意圖；②CD的長(zhǎng)度的最大值為80cm．【分析】（1）設(shè)AB平移到EF，EF在地面上形成的影子為MN．利用平行相似即可；（2）①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)OQ與⊙A相切于H時(shí)，此時(shí)CD最大為CQ．②先證明△GHA～△GPO，再利用勾股定理求出AG＝30，由，即可求出CD的長(zhǎng)度的最大值．【解答】解：（1）設(shè)AB平移到EF，EF在地面上形成的影子為MN．∵AB∥CD，∴△OAB～△OCD，△OEF～△OMN，△OEB～△OMD，∴，，，∴，∵EF＝AB，∴MN＝CD，∴沿著AB方向平移時(shí)，CD長(zhǎng)度不變．（2）①以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，當(dāng)OQ與⊙A相切于H時(shí)，此時(shí)CD最大為CQ．此時(shí)AB所在位置為AH．②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，∴△GHA～△GPO，∴，∴設(shè)GA＝x，則GO＝2x，在Rt△OPG中，OP2+PG2＝OG2，∴362+（18+x）2＝（2x）2，∴x2﹣12x﹣540＝0，∴x1＝30，x2＝﹣18（舍去），∴AG＝30，由①，∴，∴CQ＝80，即CD的長(zhǎng)度的最大值為80cm．【中考模擬練】1．（2024?劍河縣校級(jí)模擬）如圖①，是生活中常見(jiàn)的人字梯，也稱折梯，用于在平面上方空間進(jìn)行工作的一類登高工具，因其使用時(shí)，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，看起來(lái)像一個(gè)“人”字，因而把它形象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，AB＝AC，拉桿EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為（）A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．米【分析】證得△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出BC．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝∵AE＝，EF＝0.35米，∴＝，∴BC＝2.1，即兩梯桿跨度B、C之間距離為2.1米，故選：B．2．（2024?甘井子區(qū)一模）《孫子算經(jīng)》有首數(shù)學(xué)歌謠，意思是：有一根竹竿不知道有多長(zhǎng)，直立后量出它在太陽(yáng)下的影子長(zhǎng)一丈五尺，同時(shí)直立一根一尺五寸的小標(biāo)桿（如圖所示），它的影長(zhǎng)五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），則竹竿的長(zhǎng)為（）A．四丈 B．四丈五尺 C．五丈 D．五丈四尺【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出方程求解即可．【解答】解：如圖，由題意可知，△ABC∽△DEF，BC＝15尺，DE＝1.5尺，EF＝0.5尺，∴，∴，解得AB＝45，即竹竿的長(zhǎng)為四丈五尺，故選：B．3．（2024?應(yīng)縣一模）如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段AE和BD相交于點(diǎn)C，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，測(cè)得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．130° D．135°【分析】根據(jù)已知易得：＝＝，從而可得△ACB∽△ECD，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DEC＝60°，從而利用平角定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ACB∽△ECD，∴∠BAC＝∠DEC＝60°，∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝120°，故選：A．4．（2024?深圳模擬）如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過(guò)凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm【分析】先證△CAE∽△COF得出，再證△OAB∽△OCD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出，即可求出CD的長(zhǎng)．【解答】解：由題意得，AB∥MN，AE∥OF，AB∥CD，∴四邊形ABOE是平行四邊形，∴AE＝OB＝6cm，∵AE∥OF，∴△CAE∽△COF，∴，∴，∴，∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝13.5cm，故選：C．5．（2024?化德縣校級(jí)模擬）如圖，在測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小達(dá)同學(xué)在腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到旗桿的頂部．若眼睛距離地面AB＝1.5米，同時(shí)量得BC＝2米，CD＝10米，則旗桿高度DE為（）A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，，∴DE＝7.5，故選：A．6．（2024?新昌縣一模）如圖1是某一遮陽(yáng)篷支架從閉合到完全展開的一個(gè)過(guò)程，當(dāng)遮陽(yáng)篷支架完全閉合時(shí)，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽(yáng)篷支架完全展開時(shí)的一個(gè)示意圖，支桿MN固定在垂直于地面的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，在支架展開過(guò)程中四邊形ABCD始終是平行四邊形，展開時(shí)∠GHB為90度．（1）若遮陽(yáng)棚完全展開時(shí)，CE長(zhǎng)2米，在與水平地面呈60°的太陽(yáng)光照射下，CE在地面的影子有2米（影子完全落在地面）．（2）長(zhǎng)支桿與短支桿的長(zhǎng)度比（即CE與AD的長(zhǎng)度比）是+1．【分析】（1）過(guò)C作與水平地面呈60°的直線KC交MN的延長(zhǎng)線于K，分別過(guò)K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四邊形CESK是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求得KS的長(zhǎng)即可．（2）由題意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，則FH⊥GB，進(jìn)而證明△MOK∽△FOH，再證明GH＝GF，最后找到CE與AD的長(zhǎng)度比即可．【解答】解：（1）過(guò)C作與水平地面呈60°的直線KC交MN的延長(zhǎng)線于K，分別過(guò)K、E作KS∥CE，ES∥CK，∴四邊形CESK是平行四邊形，∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的長(zhǎng)為2米．故答案為：2．（2）連結(jié)FH，設(shè)DE＝a，CD＝b，由題意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b，在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB，∴FH⊥GB，又∵M(jìn)K⊥GB，∴MK∥FH，∴△MOK∽△FOH．∵FK＝MH，∴OH＝OF，∴∠OFH＝∠OHF，又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°，∴∠GFO+∠OHF＝90°，又∵∠FGO+∠OHF＝90°，∴∠GFO＝∠FGO，即OG＝OF，∴OH＝OF＝OG，∴∠FGH＝45°，∴GH＝GF．即：b＝a，∴＝＝＝+1，∴CE：AD＝+1．故答案為：+1．7．（2024?長(zhǎng)沙模擬）如圖，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的A處駛來(lái)（CM⊥DM，BD⊥DM，BC與DM相交于點(diǎn)O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，則汽車從A處前行的距離AB＝5.75米時(shí)，才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童．【分析】先在Rt△△CMO中，利用勾股定理求出CM的長(zhǎng)，再證明8字模型相似三角形△BDO∽△CMO，從而利用相似三角形的性質(zhì)可得BD＝2.25m，然后在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m，∴CM＝＝＝3m，∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°，∴△BDO∽△CMO，∴，∴，∴BD＝2.25m，在Rt△AOD中，OA＝米，∴AD＝＝8m，∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m），∴汽車從A處前行5.75米，才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童，故答案為：5.75．8．（2024?灞橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長(zhǎng)，在離河岸D點(diǎn)2米遠(yuǎn)的B點(diǎn)，立一根長(zhǎng)為1米的標(biāo)桿AB，在河對(duì)岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點(diǎn)N，即PM＝PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE＝FP＝1.25米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？【分析】延長(zhǎng)AB交EP的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由△ABD∽△AHO求得OH，再由△AHO∽△NPO求得OP，即可解決問(wèn)題，【解答】解：延長(zhǎng)AB交EP的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則四邊形BDEH是矩形，∴BH＝DE＝1.25，BD∥EH，∴AH＝AB+BH＝AB+DE＝1+1.25＝2.25，∵BD∥OH，∴△ABD∽△AHO，∴＝，∴＝，∴HO＝4.5，∵PM＝PN，MF＝2.5米，F(xiàn)P＝1.25米，∴PN＝MF+FP＝3.75（米），∵AH⊥EP，PN⊥EP，∴AH∥PN，∴△AHO∽△NPO，∴＝，∴＝，∴PO＝7.5，∴PE＝PO+OE＝7.5+（4.5﹣2）＝10（米），答：河寬EP是10米．9．（2024?鄞州區(qū)模擬）國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，圓圓對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研究：延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線交EF于點(diǎn)M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得∠BAE＝∠AED＝108°，從而利用平角定義可得∠FAE＝∠AEF＝72°，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分線的定義可得∠FAM＝∠MAE＝36°，從而可得∠F＝∠MAE，進(jìn)而可證△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）設(shè)AE＝x，利用（1）的結(jié)論可得：∠F＝∠FAM＝36°，從而可得FM＝AM，在利用（1）的結(jié)論可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，從而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠AME＝∠AEF＝72°，從而可得AM＝AE，進(jìn)而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用線段的和差關(guān)系可得ME＝1﹣x，最后利用（1）的結(jié)論可得：AE2＝EF?EM，從而可得x2＝1?（1﹣x），進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝∠AED＝108°，∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，∴∠F＝∠MAE，∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴，∴AE2＝EF?EM；（2）解：設(shè)AE＝x，由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，∴FM＝AM，由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FA＝FE＝1，∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，∴AM＝AE，∴AM＝AE＝FM＝x，∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，由（1）可得：AE2＝EF?EM，∴x2＝1?（1﹣x），解得x＝或x＝（舍去），∴AE＝，∴AE的長(zhǎng)為．題型03位似變換【中考真題練】1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．2．（2023?煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）【分析】根據(jù)位似變換的概念、點(diǎn)的坐標(biāo)的變化情況找出點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【解答】解：由題意可知：點(diǎn)A1（﹣2，1），點(diǎn)A4（﹣1，2），點(diǎn)A7（0，3），∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，∴頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（33﹣2，33+1），即（31，34），故選：A．3．在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）【分析】根據(jù)位似中心的定義作答．【解答】解：如圖：△ABC與△DEF的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于點(diǎn)（﹣1，0），則位似中心的坐標(biāo)為（﹣1，0）．故選：A．4．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點(diǎn)O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1）．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵△ABC與△A1B1C1位似，且原點(diǎn)O為位似中心，且＝3，點(diǎn)A（9，3），∴×9＝3，×3＝1，即A1點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，1），故答案為：（3，1）．5．（2023?長(zhǎng)春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長(zhǎng)之比為1：3．【分析】根據(jù)題意求出OA：OA′＝1：3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AC：A′C′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)比為1：3，故答案為：1：3．6．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，6）．【分析】根據(jù)四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，可得四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，進(jìn)而得出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而得第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)．【解答】解：∵四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，∴四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，∵點(diǎn)B（2，3），∴第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，6）．故答案為：（4，6）．【中考模擬練】1．（2024?涼州區(qū)一模）如圖：△AOB與△A1OB1是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為1：3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（3，﹣6） D．（3，6）【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵△AOB與△A1OB1是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為1：3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），∴點(diǎn)B1的坐標(biāo)為[﹣1×（﹣3），2×（﹣3）]，即（3，﹣6）．故選：C．2．（2024?鞍山模擬）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A′B′C是位似關(guān)系圖，則位似中心是（）A．點(diǎn)R B．點(diǎn)P C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)O【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)，連接AA′，BB′，CC′，交點(diǎn)即為位似中心，據(jù)此解答．【解答】解：如圖：∴點(diǎn)O是位似中心．故選：D．3．（2024?酒泉一模）如圖，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，若OA：OA′＝2：3，則CD：C′D′的值為（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：9【分析】根據(jù)位似變換的概念得到CD∥C′D′，得到△OCD∽△OC′D′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，∴CD∥C′D′，∴△OCD∽△OC′D′，∴＝＝，故選：B．4．（2024?鄲城縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3，點(diǎn)A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長(zhǎng)為3，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，1） B．（，1） C．（，） D．（，）【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到AD∥BG，得到△OAD∽△OBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出OA，進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1：3，正方形BEFG的邊長(zhǎng)為3，∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，即＝，解得：OA＝，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），故選：B．5．（2023?新化縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到矩形OA'B'C'∽矩形OABC，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出相似比，根據(jù)位似圖形與坐標(biāo)的關(guān)系計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵矩形OA'B'C'與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，∴矩形OA'B'C'∽矩形OABC，∵矩形OA'B'C'的面積等于矩形OABC面積的，∴矩形OA'B'C'與矩形OABC的相似比為，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），∴點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（6×，4×）或（﹣6×，﹣4×），即（3，2）或（﹣3，﹣2）．故選：D．6．（2024?新榮區(qū)一模）如圖，A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)B、D在y軸正半軸上，△ABD是△COD關(guān)于點(diǎn)D的位似圖形，且△ABD與△COD的位似比是1：3，△ABD的面積為1，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為．【分析】根據(jù)△ABD是△COD關(guān)于點(diǎn)D的位似圖形，且△ABD與△COD的位似比是1：3，得出，進(jìn)而得出假設(shè)BD＝x，AE＝4x，DO＝3x，AB＝y(tǒng)，根據(jù)△ABD的面積為1，求出xy＝2即可得出答案．【解答】解：過(guò)A作AE⊥x軸，∵△ABD是△COD關(guān)于點(diǎn)D的位似圖形，且△ABD與△COD的位似是1：3，∴＝，∴OE＝AB，∴，假設(shè)BD＝x，AB＝y(tǒng)∴DO＝3x，AE＝4x，CO＝3y，∵△ABD的面積為1，∴xy＝1，∴xy＝2，∴AB?AE＝4xy＝8，該反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y＝，故答案為：y＝．考點(diǎn)三：相似形綜合相似三角形出綜合題時(shí)，經(jīng)常是相似的性質(zhì)與其他幾何圖形的綜合，特別是和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等考點(diǎn)一起出題時(shí)，基本都是填空壓軸題和簡(jiǎn)答題壓軸題。題型01相似形綜合題【中考真題練】1．（2023?德陽(yáng)）如圖，⊙O的直徑AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，DB的延長(zhǎng)線與OE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，連接CG．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切線；③B，E兩點(diǎn)間的距離是；④DF＝．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】連接AE，BE，OC，利用圓周角定理，垂徑定理，圓的切線的判定與性質(zhì)直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：①連接AE，BE，如圖，∵⊙O的直徑AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，∴，∵＝，∴，∴，∴∠CAE＝∠EAB＝∠BAD，∴∠CAD＝3∠DAB．∵∠DBF為圓內(nèi)接四邊形ADBC的外角，∴∠DBF＝∠CAD＝3∠DAB．∴①的結(jié)論正確；②連接OC，∵，∴OE垂直平分BC，∴GC＝GB．在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠OCG＝∠OBG．由題意GB與⊙O相交，∴∠OBG為鈍角，∴∠OCG為鈍角，∴OC與GC不垂直，∴CG不是⊙O的切線．∴②的結(jié)論不正確；③∵AB為⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．設(shè)DE交BO于點(diǎn)H，∵OE⊥BC，AC⊥BC，∴OE∥AC，∴∠EOB＝∠CAB，∴sin∠EOB＝sin∠BAC＝，∴，∴EH＝3，∴OH＝＝4，∴BH＝OB﹣OH＝1，∴BE＝＝．∴③的結(jié)論正確；④∵AB為⊙O的直徑，∴∠BCA＝90°，∵sin∠BA