江蘇省蘇州市平江中學(xué)2024年高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析

江蘇省蘇州市平江中學(xué)2024年高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．己知，，，則（）A． B． C． D．2．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為A． B． C．2 D．3．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若對于任意的，函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知且，函數(shù)，若，則（）A．2 B． C． D．6．網(wǎng)絡(luò)是一種先進的高頻傳輸技術(shù)，我國的技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機，現(xiàn)調(diào)查得到該款手機上市時間和市場占有率（單位：%）的幾組相關(guān)對應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預(yù)測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%（精確到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月7．?dāng)?shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論：①曲線C經(jīng)過5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④8．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．9．甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測驗成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④10．已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．11．的展開式中有理項有（）A．項 B．項 C．項 D．項12．設(shè)拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍是____________．14．將底面直徑為4，高為的圓錐形石塊打磨成一個圓柱，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________.15．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是_______．16．若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：（）的左、右頂點分別為、，焦距為2，點為橢圓上異于、的點，且直線和的斜率之積為.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與軸的交點為，過坐標原點作交橢圓于點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.18．（12分）直線與拋物線相交于，兩點，且，若，到軸距離的乘積為．（1）求的方程；（2）設(shè)點為拋物線的焦點，當(dāng)面積最小時，求直線的方程．19．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，其面積記為，滿足.（1）求；（2）若，求的值.20．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，與交于，兩點，求的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，，切點分別為，，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，過頂點，的平面與棱，分別交于，兩點（不在棱的端點處）.（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求證：與不垂直；（3）若平面與棱所在直線交于點，當(dāng)四邊形為菱形時，求長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先將三個數(shù)通過指數(shù)，對數(shù)運算變形，再判斷.【詳解】因為，，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.2、A【解析】由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，且兩直角邊分別為和，所以底面面積為高為的三棱錐，所以三棱錐的體積為，故選A．3、B【解析】

對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.【點睛】本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

將原題等價轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個不同的根，先求導(dǎo)，可判斷時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù).因此，再令，求導(dǎo)得，結(jié)合韋達定理可知，要滿足題意，只能是存在零點，使得在有解，通過導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù)；則應(yīng)滿足，再結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解；【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個不同的零點，等價于方程在內(nèi)都有兩個不同的根.，所以當(dāng)時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù).因此.設(shè)，，若在無解，則在上是單調(diào)函數(shù)，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個解.設(shè)其解為，當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù).因為，方程在內(nèi)有兩個不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因為，所以，代入，得.設(shè)，，所以在上是增函數(shù)，而，由可得，得.由在上是增函數(shù)，得.綜上所述，故選：D.【點睛】本題考查由函數(shù)零點個數(shù)求解參數(shù)取值范圍問題，構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題5、C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式，知當(dāng)時，且，由于，則，即可求出.【詳解】由題意知：當(dāng)時，且由于，則可知：，則，∴，則，則.即.故選：C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，由分段函數(shù)解析式求自變量.6、C【解析】

根據(jù)圖形，計算出，然后解不等式即可.【詳解】解：，點在直線上，令因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【點睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實際應(yīng)用，基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用基本不等式得，可判斷②；和聯(lián)立解得可判斷①③；由圖可判斷④.【詳解】，解得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線C相切于點，，，，則①和③都錯誤；由，得④正確.故選：B.【點睛】本題考查曲線與方程的應(yīng)用，根據(jù)方程，判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論，考查學(xué)生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個選項，再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個選項.【詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.9、A【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯誤；,,則,故②錯誤,③正確；顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).10、C【解析】

如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積．11、B【解析】

由二項展開式定理求出通項，求出的指數(shù)為整數(shù)時的個數(shù)，即可求解.【詳解】，，當(dāng)，，，時，為有理項，共項.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式項的特征，熟練掌握二項展開式的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由圓過原點，知中有一點與原點重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點坐標，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點坐標，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點，所以原點是圓與拋物線的一個交點，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點坐標為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點，從而是等腰直角三角形，于是可得點坐標，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點，恐怕難度會大大增加，甚至沒法求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

方法一：令，則，，當(dāng)，時，，單調(diào)遞減，∴時，，，且，∴在上單調(diào)遞增，時，，，且，∴在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點，∴滿足題意；當(dāng)時，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時，，，所以，這與是函數(shù)的極大值點矛盾．綜上，．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點，由知須在的左側(cè)附近，，即；在的右側(cè)附近，，即．易知，時，與相切于原點，所以根據(jù)與的圖象關(guān)系，可得．14、【解析】

由題意欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐.設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，則，將側(cè)面積表示成關(guān)于的函數(shù)，再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐.設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，則，所以.∴，當(dāng)時，的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查圓柱的側(cè)面積的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.15、【解析】

求導(dǎo)，x=0代入求k，點斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點睛】本題考查切線方程，求導(dǎo)法則及運算，考查直線方程，考查計算能力，是基礎(chǔ)題16、【解析】

化簡函數(shù)，求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間，然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增，列出不等式求解即可．【詳解】由知，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在和上均單調(diào)遞增，，

，

的取值范圍為：．

故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）是定值，且定值為2【解析】

（1）設(shè)出點坐標并代入橢圓方程，根據(jù)列方程，求得的值，結(jié)合求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得點的橫坐標，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得，由此化簡求得為定值.【詳解】（1）已知點在橢圓：（）上，可設(shè)，即，又，且，可得橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，由，可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，即，即.即為定值，且定值為2.【點睛】本小題主要考查本小題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問題的求解，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)出兩點的坐標，由距離之積為16，可得.利用向量的數(shù)量積坐標運算，將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點均在拋物線上，即可求得p的值，從而求出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，由韋達定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過定點，將面積用參數(shù)t表示，求出其最值，并得出此時的直線方程.【詳解】解：（1）由題設(shè)，因為，到軸的距離的積為，所以，又因為，，，所以拋物線的方程為．（2）因為直線與拋物線兩個公共點，所以的斜率不為，所以設(shè)聯(lián)立，得，即，，即直線恒過定點，所以，當(dāng)時，面積取得最小值，此時.【點睛】本題考查了拋物線的標準方程的求法，直線與拋物線相交的問題，其中垂直條件的轉(zhuǎn)化，直線過定點均為該題的關(guān)鍵，屬于綜合性較強的題.19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式，即可求得，進而求得的值；（2）根據(jù)正弦定理將邊化為角，結(jié)合（1）中的值，即可將表達式化為的三角函數(shù)式；結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡，即可求得和，進而由正弦定理確定，代入整式即可求解.【詳解】（1）因為，所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運算可得，所以.因為，所以.（2）因為，所以由正弦定理代入化簡可得，由（1），代入可得，展開化簡可得，根據(jù)輔助角公式化簡可得.因為，所以，所以，所以為等腰三角形，且，所以.【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運算，正弦和角公式及輔助角公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)見解析;(2).【解析】試題分析：（1）利用平方法消去參數(shù)，即可得到的普通方程，兩邊同乘以利用即可得的直角坐標方程；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，利用韋達定理、直線參數(shù)方程的幾何意義以及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.試題解析：（1）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）又直線與曲線：存在兩個交點，因此.聯(lián)立直線與曲線：可得則聯(lián)立直線與曲線：可得，則即21、（1）見解析（2）直線過定點.【解析】

（1）設(shè)出兩點的坐標，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，設(shè)出點坐標并代入切線的方程，同理將點坐