2021屆跳出題海之高中數學必做100題73橢圓中的基本問題（解析版）

2021屆跳出題海之高中數學必做100題

第73題輔圓中的基本問題

題源探究?黃金母題

如圖，圓。的半徑為廣，A是圓。內的一個定點，P是圓上任意一點.線段AP的垂直平分線/和半徑OP

相交于點Q,當點尸在圓上運動時，點。的軌跡是什么？為什么？

【解析】連接QA,由于線段AP的垂直平分線/和半徑OP【試題來源】人人教版A版選修2-1P49習

題2.1A組T7.

相交于點Q,則貝4QH+|Qq=|QH+|Qq=r,

［母題評析1定義法是求軌跡的一種方法,

由于A為圓內一點，貝川。4|＜八根據橢圓定義，點。的軌跡

本題動點Q滿足到兩個定點距離之和是一

是以。、A為焦點的橢圓.

個常數（大于兩定點距離），符合橢圓定義,

可以利用定義法求出動點Q的軌跡.同理,

符合圓、雙曲線、拋物線的定義也是如

此.利用定義不僅可以求軌跡，也可以解

決很多相關問題，如求曲線方程、求離心

率等，因此在解決圓錐曲線問題時要時刻

牢記“勿忘定義”

【思路方法】根據題意找出動點是否符合

圓錐曲線的定義，如圓的定義，橢圓、雙

曲線、拋物線的定義，考慮問題注意運用

線段的垂直平分線性質，兩圓內切、外切

的條件等.

考場精彩?真題回放

【2020年高考全國m卷理數】已知橢圓C:工+工=1（0＜相＜5）的離心率為巫，A,B分別為C的左、

25m24

右頂點.

（1）求C的方程；

（2）若點P在C上，點。在直線x=6上，且13Pl=|3QI,BP1BQ,求A4PQ的面積.

[命題意圖】這類題主要考查橢圓的定義、

【解析】（1）由題設可得叵五=史，得〃/=烏，

標準方程及其簡單幾何性質等.

5416

【考試方向】高考對這部分的考查主要集

22

工+*_]中在以下幾個方面：（1）根據橢圓的定義

所以C的方程為三石'一.

求橢圓的標準方程（選擇、填空，解答題

16

第一問，常與橢圓性質、其它圓錐曲線和

直線等綜合考察）；（2）橢圓性質的初步

（2）設P（Xp,%）,Q（6,%）,根據對稱性可設%＞0,由

運用（選擇、填空、解答題第一問）；（3）

題意知力＞0,求橢圓中距離、周長或者面積等；（4）求

直線與橢圓相交時弦長、中點軌跡（解答

1/U、題第二問）；（5）確定橢圓中的弦長、式

由已知可得8（5,0）,直線3尸的方程為y=----（X-5）,

為子的定值問題，確定與橢圓有關的曲線經

所以|8Q|=Ji7需，過的定點問題（解答題第二問）：（6）求

橢圓中的弦長（或其它量）的最值或者范

圍（解答題第二問）.

因為18Pl=|8Q|,所以丹=1,將%=1代入。的方程，

解得％=3或-3.【學科素養(yǎng)】數學運算

【難點中心】1.利用定義解題，是數學常

由直線8P的方程得=2或8.

見題，靈活應用定義，一方面考查對定義

所以點P,Q的坐標分別為的理解，另一方面體現在靈活應用的“活”

字上，利用定義解題的題型很多，涉及求

6（3,1）,。（6,2）山（一3,1）,。2（6,8）.

離心率，求軌跡，求焦三角形的周長、面

積等.

I|=J16,直線PtQ}的方程為y=,點A(-5,0)到

直線［Qi的距離為巫，故△A4Q的面積為2.解決橢圓的離心率的求值及范圍問題，

2其關鍵就是確立一個關于a,b,c的方程或

L回X布=2.不等式，再根據a,"c的關系消掉匕得到

222

a,c的關系式，建立關于a,"c的方程或

710

1呂21=同，直線6Q的方程為丁=工8+/，點A到不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何

性質、點的坐標的范圍等.

直線HQ,的距離為《圓，故△AEQ,的面積為

263.涉及直線與橢圓的位置關系的問題，只

要聯立直線與橢圓的方程，借助根與系數

、叵回上

關系，找準題設條件中突顯的或隱含的等

2262

量關系，把這種關系“翻譯”出來，有時

不一定要把結果及時求出來，可能需要整

綜上，△APQ的面積為2.

2體代換到后面的計算中去，從而減少計算

量.等于“中點弦問題”，可以利用“點差

法”處理.

三.理論基礎?解題原理

考點一橢圓的定義

橢圓的概念

(1)文字形式：在平面內到兩定點尸I、尸2的距離的和等于常數(大于|尸』2。?的點的軌跡(或集合)叫橢圓.這

兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距.

(2)代數式形式：集合P={M||MFJ+|MFJ=2a}|耳月|=2c.

①若a>c,則集合尸為橢圓；

②若。=c,則集合戶為線段;

③若“<c,則集合尸為空集.

考點二橢圓的標準方程

L.橢圓的標準方程:

（1）焦點在x軸，^-+p-=l（a>/?>0）；

22

（2）焦點在y軸，5+三=1僅>。>0）.

a~b~

2.滿足條件：2a>2c,a2=h2+c2,a>0,b>Q,o0

考點三橢圓的幾何性質

橢圓的標準方程及其幾何性質

條件2a>2c,a2=b2+c2,a>0,。>0,c>0

y

y

'FX

圖形4爭

%

2222

標準方程/+.=l(a”>0)

范圍卜\<b,\y\<a

對稱性曲線關于軸及原點對稱

頂點長軸頂點（士a,0）,短軸頂點（0,土?長軸頂點（0,±a），軸頂點（功，0）

焦點也,0）（0,土c）

焦距|耳用=Q,c(c2=a2-b2)

離心率e=—e（0,l）,其中。=丁/一。2

2b2

通徑過焦點垂直于長軸的弦叫通徑，其長為一

a

四.題型攻略?深度挖掘

【考試方向】這類試題在考查題型上，通常以解答題的形式出現，難度較小，往往以橢圓、拋物線、

雙曲線為載體，考查圓錐曲線的定義、性質等基本知識.

橢圓問題借助定義戶N+戶周=加，結合試題所給其它條件解題，特別是在焦三角形中，經常利用

三角形的邊角關系（正弦定理、余弦定理、有時利用勾股定理、面積公式）解題，注意歸用+10閭‘忙用忖用

之間的聯系，靈活應用定義解題.

橢圓是圓錐曲線中最重要的一類曲線，在高考中出現的次數也最多，主要考查橢圓的定義、性質、方

程，在解答題中多與直線、向量、軌跡等綜合出題.

考向1楠圓的定義與焦點三角形

22

設P是橢圓￡+（=1上一點，耳，罵是橢圓的兩個焦點，PFtPF2=O,【溫馨提醒】

角形中解決問題，注意

貝必耳尸居面積是.

橢圓定義的運用，還要

【答案】5注意余弦定理、三角形

_____面積公式的運用。

【解析】由橢圓方程可知。=5,。=衣仔=2逐，即歸用+歸閭=2。=10,

忻閭=2c=4君.因為P/Pg=0,,所以PK_LP寫，所以

|巴菊+|至「=忻《「=80,因為

（|尸耳|+|P聞）2=|冏f+歸瑪『+2歸用歸局,解得歸耳歸閭=10.因為

所以M用

PF^PF2,S"=；|PG||P=5-

考向2橢圓的標準方程

求滿足下列各條件的橢圓的標準方程:【溫馨提醒】1.求橢圓

標準方程的方法

(1)長軸是短軸的3倍且經過點A(3,0)；

求橢圓的標準方程，除

(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為小；了直接根據定義外，常

用待定系數法(先定性，

(3)已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點尸1(遂，1),

后定型，再定參).

小，一小).

當橢圓的焦點位置不明

2222222

【答案】⑴二或工或土+<；

+y2=l(2)+2_=1=1(3),+1確而無法確定其標準方

981912991293

程時，可設方程為

=1.

22-----1------1

【解析】(1錯焦點在X軸上，設方程為馬+]=l(a>b>0).mn

ab(m>0,〃>0且加7n)

.??橢圓過點d(3,0),,可以避免討論和繁雜

的計算，也可以設為

9

—=1,a=3,2tz=3x2b>22

aAx+5y=l(a>0,

.?.E.??方程為卷B>0且A#B),這種形

式在解題中更簡便.

若焦點在F軸上，設方程為、?+三=l(a>b>0).

橢圓的標準方程有兩

a，o2.

9種形式，其結構簡單，

:橢圓過點4(3,0),.…b=3,,

形式對稱且系數的幾何

意義明確，在解題時要

又2d=3x2b,「.a=9,.??方程為《+三=1.

819防止遺漏，要深刻理解

22、橢圓中的幾何量

綜上所述，橢圓方程為惹+y'l或看+5=1.

,a2

a,b,c,e,—

a=2ca=2\/3c等之間的

⑵由已知，有J廠，解得<一

?-c=<3[c=V3關系，并能熟.練地應用.

從而方—才―c-=9,.,.所求橢圓方程為n'十二=1,或7■十三=L

129912

(3)設橢圓方程為mx2+ny2=Um>0,n>0且，”力t).?橢圓經過點尸i,Pi,

6，〃+"=1,①

點尸I,8的坐標適合橢圓方程.則、「.人

1

所求橢圓方程為曰+與

①②兩式聯立，解得1=1.

考向3橢圓的幾何性質（離心率、通徑等）

【溫馨提醒】橢圓的離

橢圓三+[=。＞。＞的左焦點為若尸關于直線的對

C：1（0）E,6x+y=O心率是橢圓最重要的幾

ab

何性質，求橢圓的離心

稱點A是橢圓。上的點，則橢圓。的離心率為.

率（或離心率的取值范

【答案】6-1圍），常見有兩種方法:

【解析】設廠為右焦點，則①求出a,c,代入公式

AF±AF',ZAF'F=AF=43AF',FF'=2AF',因此橢圓C的離心率

3

2cFF'

為五=②只需要根據一個條件

AF+AF'

得到關于a,b,c的齊

次式，結合b2=a2-c2

轉化為a,c的齊次式，

然后等式（不等式）兩邊

分別除以a或a2轉化為

關于e的方程（不等

式），解方程（不等式）

即可得e（e的取值范

圍）.

考向4直線與橢圓位置關系

[技能方法】宜線與橢

已知橢圓C:5+y2=l，過橢圓c的左焦點廠的直線/交橢圓。于A、B兩點,

圓的位置關系的判斷應

其中點8是橢圓的上頂點，橢圓。的左頂點為。，直線A。、8。分別與直線由直線方程與橢圓方程

聯立，根據方程組解的

加：x=-五一2相交于M、N兩點.則又尬

)

S^MND

個數可判斷交點的個

數，解決弦長問題，可

利用弦長公式求解。

【解析】由題意易得直線，：y=x+l,fi{T+r=1整理可得3/+4x=0,解得再=0用=-；.

y=x+l3

SBn例網sinZ皿Ijpl\DB\

而沁=f--------------=島.￡，再由三角形相似可得：

S^D沙4PM.sin/J/DNPM網

|AD||DB|w-卜3)%-(-6)

\DM\|DA^|-(-V2)-(-A/2-2)(-A/2)-(-72-2)

,一：-N)o-M)ji5

~(-V2)-(-V2-2)'(-V2)-(-V2-2)-23J

本題選擇B選項.

考向五與橢圓有關的最值、取值范圍問題

設為，尸分別是橢圓各方的左、右焦點，尸為橢圓上任一點，點的坐標

21M【技能方法】解決與橢

為(6,4),則圓有關的最值、取值范

圍問題應注意橢圓定義

1PM+|PFi|的最大值為.

的運用，要注意分析幾

何圖形的特點。

【解析】如圖，|PB|+|P&I=1O,甲矽|=10一|尸尸2|,|PM|+|PB|=10+|PM一甲尸2l，

易知點M在橢圓外，

連接MB并延長交橢圓于P點，此時1PM-1尸尸2|取最大值附尸21，故I尸M

+|「網|的最大值為10+|MF2|

=10+4(6—3)2+42=15.

考向六橢圓中的定點、定值、定直線及存在性問題

22pi【技能方法】解決橢圓

平面直角坐標系xOy中，橢圓C：}?+方=1(。＞〃＞。)的離心率是千，

有關的定值問題，本題

拋物線E：V=2y的焦點尸是。的一個頂點.求點M在定直線上，應

求出點M的坐標，根據

()求橢圓。的方程；

1坐標為常數，即可得到

點在定直線上。

(2)設P是E上動點，且位于第一象限，E在點P處的切線/與。交于不同的

兩點A,B,線,段AB的中點為。，直線。。與過P且垂,直于x軸的直線.交

于點

(i)求證：點M在定直線上；

(ii)直線/與丁軸交于點G,記APFG的面積為3，APZW的面積為S2,

q

求令的最大值及取得最大值時點P的坐

$2

標.

【解析由題意知莊f=g，可得：a=?,因為拋物線E的焦點為尸fo4],所以

a2I2

瞅桶恥防程為44產=1

（2）（1）設尸m.yj（m>0）,由/=2何為'=x,觸直纜的斜率為a因此直線/腦程為

22nr

即〉=忸-?.設貽,力3（再,力）必及,外），的方程｛,一儂2，得

22八心1

4m2+1)%2—4m3%+m4—1=0,由A>0,得?！?〃〈也+石且

%+/=信’因此/=詈=潦['將其代入尸皿一手得

2

m,因為國，一,所以直線。。方程為y=-'—x.聯立

%

2(4療+14"?4m

X。

>?—_1—Y11

方程｛,4m,得點M的縱坐標為即點M在定直線丁=一公上

x=m

22

ITTrn~

（II）由（I）知直線/方程為y=令尤=0得>=一所以

(小

G0,--

<2,

-m2

,所以

52(W+1)

7

m（2m2+1）q

S2=^\PM\-\m~^\所以，=

8（W+1）32+1

令"2"，畛=『卻T+"當曷，艮"=2時,￡

s?

9V2421^1

取得最大值;，此時加=一，滿足A>0,所以點P的坐標為一,二，因此

42I24；

S9（A1、

心的最大值為了，此時點P的坐標為一/2,二

S24I24I

五.限時訓練*提升素養(yǎng)

1.（2020?黑龍江期中）已知耳，鳥分別是橢圓］+—J=l（a>0）的左、右兩焦點，過點居的直線交

aa-9

橢圓于點A,B,若A5耳為等邊三角形，則。的值為（）

A.3B.3A/3C.3亞D.卓

【答案】B

【詳解】

由題意可得，。2=/-（。2-9）=9,則c=3.

乂為等邊三角形，得直線A5與x軸垂直，NA￡苞=30。,

則|A6|=2|A￡|,

\AFX\+\AF2\=2a,則|4周=,，可得卜閭=國4鳥,

即6=氈。，求得a=36.

3

故選：B

V

X

22

2.(2020?全國高三)已知橢圓C：L+匕=1,M,N是坐標平面內的兩點，且M與C的焦點不重合.若M

43

關于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN=()

A.4B.8

C.12D.16

【答案】B

【詳解】

設MN的中點為O,橢圓C的左右焦點分別為瓦，F2,

如圖，連接DF2,

片是M4的中點，。是MN的中點，

二百。是zWW的中位線；

二|。耳|=g|AN|,同理|Z)6|=g|BN|；

.」A7V|+|3N|=2(|￡>EI+|Z)6I),

QO在橢圓上,

???根據橢圓的標準方程及橢圓的定義知:

|。耳|+|理卜2。=4,.」AW|+|BN|=8.

故選：B.

22

3.（2020?安徽）如圖，已知K，工分別是橢圓C：；+服=1的左、右焦點，過目的直線4與過工的直

線交于點N,線段6N的中點為M，線段耳N的垂直平分線叱與4的交點P（第一象限）在橢圓上,

若。為坐標原點，則\片OM斗\的取值范圍為（）

I叫

C.（0,72）D.（0,1）

【答案】D

【詳解】

如圖所示，點尸在y軸右邊,

因為PM為KN的垂直平分線，所以16M=|肱v|.

由中位線定理可得|。加|=曰工^.

設點P(%%)(飛>O,yo>0).

(Xo+c)2+p—》產

I22

=q-+2cx0+cr=a+CXQ<

同理可得歸用="為，

所以優(yōu)M=歸耳|-|叫=2/,故=%),

歷

因為a=8，C=4及，所以e=注，

2

/-V2

故10M卜出修，所以10M=三七>=%.

2\OF2\408

因為飛正（0,8）,所以，

8

\0M\/、

故標j的取值范圍為（0』）

故選：D.

4.（2020?浙江）已知橢圓二+2=1(。>/>>0)，點M在橢圓上，以M為圓心的圓與x軸相切與橢圓的

焦點，與y軸相交于p,Q,若MPQ為正三角形，則橢圓的離心率為（）

1

A.—B.L?----D,昱

2323

【答案】D

【詳解】

不妨設M（/,%）在第一象限，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓右焦點，則x0=c,

又M在橢圓上，則%二—，，圓M的半徑r=一，

aa

MPQ為正三角形，：.c=?r=^~

22a

V3c2—-\/3iz2+2ac=0>即+2e—=0，解得：e=

3

故選：D.

22

C:5+與=l（a>〃>0）e=—,A.B

5.（2020?江蘇?。┮阎獧E圓a-b-的離心率2分別是橢圓的左、右頂點,

點尸是橢圓上的一點，直線9、PB的傾斜角分別為二、B,滿足tana+tan￡=l,則直線的斜率為

[答案】或土史

【詳解】

1/、/、”2%?%=]

依題意￡力=26設P（X°,%）（X°H0），則方+方=1，即/二，化

簡得—4yj=XQ-a~.

由于A6是橢圓的左右頂點，所以A（—a,0）,8（a,0）,所以tana+tan/7=一9+―-

Q

與+xQ-a

V2V2

/=--亍ax^-a

，所以〈」或0「

V2V2

%=彳。［%=一彳

及〃Oa

------CL--------

所以當《時,tana

6缶

寸丁4_1—V2,所以直線口的斜率為立±1或匕立

當《時，=—

血正~222

----+a

%=一72

故答案為：變±1或匕2色

22

￡+2_]

6.已知橢圓氏2)，點P(2,0，/為橢圓的左焦點，過點尸作橢圓的切線雨、PB,切點分別為A、

x2J/

—+1

B,則ABk面積的范圍是.(經過橢圓。上一點(X0,州)的橢圓的切線方程是:

V.2V=|

/〃一)

【答案】僅,忘]

【詳解】

解：設點A(X1,y),B(x2,y2),

所以切線抬的方程為當+Xy=1，切線依的方程為筍+%)'=1，

因為點P在切線Q4和切線PB匕

X.+ty.=1

所以《.所以直線AB的方程為x+“=l

X2+ty2=1

所以直線過定點0,0),且定點是橢圓E的右焦點F2,

x+ty=\

聯立方程〈X2,,消去X得：(產+2)丁—2)-1=0,

—+y-=1

2-

2t-1

所以蘆+%=不，,跖=不，

S"尸=；x|.|x|y-%1=Jx2x&乂+%）2-4X必=J（77X）2-4X7T?=2f;廣

乙乙YII乙II乙LI乙

令，產+1=機21，則/=加？一1,mH—22,則12

-mm+—

m

c2>/2#+l2近m2V2/n/--I

則s，=r+W,=村:二武。,.」

m+—

m

故答案為：倒,0]

~5"+"^T=1（。＞8＞0）4Mn\

7.（2020.浙江）已知橢圓礦左右頂點為A—UJ,上頂點為8,該橢圓上一點P與A的

k、=_A

連線的斜率'4,中點為E,記°后的斜率為自3且滿足后。E+4匕=。若C、。分別是x軸、＞軸

負半軸上的動點，且四邊形A3C。的面積為2,則三角形COD面積的最大值是.

【答案】3-20

【詳解】

解：設「（不，,）,A（x2,y2）,Q4中點￡（%,%）,

2222

則有名+*=1,號+普=1,

a-b2crb2

兩式相減得G+々坐r）+（y+型xf）=0,即一寫,

ab玉+工2Mra

b2

則k、,kOE——-'

由A（2,0）為橢圓右頂點，所以。=2,

又勺=—k（）E+4kt=0,得到%E=1,b=\.

設C（T〃0）,。（0,—〃），m>0，〃>0,則由四邊形A8CO的面積為2,乂3為上頂點，

則;（/〃+2）（〃+1）=2,B|Jinn+m+2n=2,

由基本不等式得2>mn+2y/2mn?解不等式得J嬴<2-J5，

11