韋達定理及應(yīng)用

韋達定理及應(yīng)用2021/5/91回憶一元二次方程的求根公式2021/5/92學(xué)習(xí)這章需要達到的目的1，理解韋達定理的推導(dǎo)過程。2，掌握韋達定理，并能應(yīng)用韋達定理解決一元二次方程有關(guān)根與系數(shù)的一些簡單問題。3，能不解方程熟練地求方程兩根的一些簡單對稱式的值。4通過參與韋達定理的“發(fā)現(xiàn)”，不完全歸納法的驗證以及演繹證明等過程，提高觀察，分析和綜合判斷能力。解右面的方程。比一比，看誰算得又快又準。解完后觀察一下所求得的結(jié)果，看看有沒有什么新發(fā)現(xiàn)X2–7x+12=0X2+3x－4=02X2+3x－2=02021/5/93對一對答案，觀察一下方程看看有沒有規(guī)律。比比誰先發(fā)現(xiàn)新大陸X1=3X2=4X1=1X2=-4X1=-2X2=1/22021/5/94導(dǎo)出韋達定理——僅僅是數(shù)學(xué)猜想對于一般一元二次方程都有：兩根的和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得商的相反數(shù)；兩根的積等于方程的常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得得商，并把它概括成“韋達定理”2021/5/95韋達定理的公式（牢記?。?/p>

x1+x2=-b/a

x1?x2=c/a2021/5/96在實數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用韋達定理時必須注意！B2–4ac>=0(方程實數(shù)根存在條件）2021/5/97下面請同學(xué)們看例題請同學(xué)們動筆思考。5分鐘后，看有沒有同學(xué)已經(jīng)求得了答案。2021/5/98例題：已知方程kx2-(2k－1)x+k－2＝0的兩根為x1,x2,x12+x22

＝3，求k的值。由韋達定理得：x12+x22=(x1+x2)2__2x1x2=(2k-1)2/k2__2(k-1)/k=(2k+1)2/k2=3,解得，k=+－1，這里必須考慮k不等于0,B2–4ac>=0的條件，經(jīng)檢驗,當(dāng)k=-1時，B2–4ac＝－3<0,所以k=-1應(yīng)當(dāng)舍去，所求k值只能是1。2021/5/99例題分析例題是韋達定理的直接應(yīng)用，今后在簡化計算中由計算兩個根的倒數(shù)和于平方和，那將時很繁瑣的，如果我們能找出兩個根的倒數(shù)和，兩個根的積之間的關(guān)系，就能夠利用韋達定理較多的用處，分析時，應(yīng)著重指出如果先求出方程的兩根，再進行簡便計算。2021/5/910例題：當(dāng)k為何值時，方程2x2－(k+1)x+k+3=0的兩根之差為1設(shè)方程的兩根為x1,x2,則，,x2－x1

＝1（不妨設(shè)x2>x1）。因為,（x2－x1）2

＝（x2＋x1）2

－4x1x2，由韋達定理得（x2－x1）2

＝（k+1）2/4–2（k+3）所以（k+1）2/4–2（k+3）＝1解得k=9或者k=-3。當(dāng)k=9或者k=-3由B2–4ac=4>0得，k=9或者k=-3均是本題得解。2021/5/911啟發(fā)：

（1）由方程的一個根是2，根據(jù)方程根的含義，能否先求出k的值，怎樣求。（2）求出k的值后，怎樣求另一個根才簡便2021/5/912適當(dāng)延伸：補充下題，利用韋達定理可檢驗下列每個方程后括號內(nèi)的兩個數(shù)是否都是方程的兩個根：1，x2–3x-10=0(5,-2)2，x2–2x-8=0(2,-4)3，4x2–11x-6=0(2,3/4)2021/5/913公布答案！1，是。2，不是。3，是。2021/5/914小結(jié)與鞏固韋達定理所反映的一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系是一元二次方程的重要性質(zhì)，它在方程