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2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（新課標I）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）設z=±L+2i,則|z|=（）

1+i

A.0B.1.C.1D.V2

2

2.（5分）已知集合A={xx2-x-2>0},貝KRA=（）

A.{x-l<x<2}B.{x|-lWxW2}C.{x|x<-1}U{x|x>2）D.{x|xW

-1}U{x|x22}

3.（5分）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻

番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建

設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:

建設前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例建設后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

4.（5分）記Sn為等差數(shù)列{aj的前n項和.若3s3=Sz+S4,ai=2,則a§=（）

A.-12B.-10C.10D.12

5.(5分)設函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f（x）為奇函數(shù),則曲線y=f（x）

在點（0,0）處的切線方程為（)

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

6.（5分）在AABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則昨=（)

ACD.IM

-評竽B?眄部-那抨

7.（5分）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M

在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在

此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

A.2V17B.2近C.3D.2

8.（5分）設拋物線C：y2=4x的焦點為F,過點（-2,0）且斜率為2的直線與

3

C交于M,N兩點，則而?而二（）

A.5B.6C.7D.8

9.（5分）已知函數(shù)f（x）=（eX,'40,g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2

Inx,x>0

個零點，則a的取值范圍是（）

A.[-1,0）B.[0,+8）C.[-1,+8）D.[1,+8）

10.（5分）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個

半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,

AC.AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為口，其余部分記為ID.在

整個圖形中隨機取一點，此點取自工，口，m的概率分別記為pi,P2,P3,

則（）

A.P1=P2B.P1=P3C.P2=P3D.P1=P2+P3

2

IL（5分）已知雙曲線C：2_-y2=i,。為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的

3

直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直角三角形,則|MN|=

（）

A.aB.3C.273D.4

2

12.（5分）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等,

則a截此正方體所得截面面積的最大值為（）

A.3MB.2MC.3MD.返

4342

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-2y-240

13.（5分）若x,y滿足約束條件卜『1＞。,則z=3x+2y的最大值為.

yCo

14.（5分）記Sn為數(shù)歹U屈｝的前n項和.若Sn=2an+1，則S6=.

15.（5分）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入

選，則不同的選法共有種.（用數(shù)字填寫答案）

16.（5分）已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x,則f（x）的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要

求作答。（一）必考題：共60分。

17.（12分）在平面四邊形ABCD中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

（1）求cosNADB；

（2）若DC=2圾，求BC.

18.(12分)如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以DF

為折痕把^DFC折起，使點C到達點P的位置，且PFJ_BF.

(1)證明：平面PEF,平面ABFD；

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

2

19.(12分)設橢圓C：5-+丫2=1的右焦點為F,過F的直線I與C交于A,B兩

點，點M的坐標為(2,0).

(1)當I與x軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設0為坐標原點，證明：ZOMA=ZOMB.

20.（12分）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶

之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從

這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作

檢驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0<p<l）,且各件產(chǎn)品是否為

不合格品相互獨立.

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p）,求f（p）的最大值點

Po.

（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的po

作為P的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，

則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記

為X,求EX；

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有

產(chǎn)品作檢驗？

21.（12分）已知函數(shù)f（x）=--x+alnx.

X

（1）討論f（X）的單調(diào)性；

（2）若f（x）存在兩個極值點xi,X2,證明：二八①<a-2.

xl-x2

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,

則按所做的第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

22.(10分)在直角坐標系xOy中，曲線Ci的方程為y=kx|+2.以坐標原點為

極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p2+2pcos0-

3=0.

(1)求C2的直角坐標方程；

(2)若Ci與C2有且僅有三個公共點，求Ci的方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知f(x)=x+11-ax-1.

(1)當a=l時，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若XG(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(新課標I)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.(5分)設z=±L+2i,則|z|=()

1+i

A.0B.1.C.1D.J?

2

【考點】A8：復數(shù)的模.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù).

【分析】利用復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算化簡后，然后求解復數(shù)的模.

【解答】解：z=—+2i=d)+2i=-i+2i=i,

1+i(1-i)(1+i)

則|z|=l.

故選：C.

【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的模的求法，考查計算能力.

2.(5分)已知集合A={xX?-x-2>0},貝U[RA=()

A.{x-l<x<2}B.{x|-lWxW2}C.{x|x<-1}U{x|x>2}D.{x|xW

-1}U{x|x22}

【考點】IF：補集及其運算.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5J：集合；5T：不等式.

【分析】通過求解不等式，得到集合A,然后求解補集即可.

【解答】解:集合A={x|x2-x-2>0},

可得A={x,xV-1或x>2},

則：[RA={X|-14W2}.

故選:B.

【點評】本題考查不等式的解法，補集的運算，是基本知識的考查.

3.（5分）某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻

番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建

設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:

建設前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例建設后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

【考點】2K：命題的真假判斷與應用；CS：概率的應用.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計；5L：簡易

邏輯.

【分析】設建設前經(jīng)濟收入為a,建設后經(jīng)濟收入為2a.通過選項逐一分析新農(nóng)

村建設前后，經(jīng)濟收入情況，利用數(shù)據(jù)推出結(jié)果.

【解答】解：設建設前經(jīng)濟收入為a,建設后經(jīng)濟收入為2a.

A項，種植收入37%X2a-60%a=14%a>0,

故建設后，種植收入增加，故A項錯誤.

B項，建設后，其他收入為5%X2a=10%a,

建設前，其他收入為4%a,

故10%a4-4%a=2.5>2,

故B項正確.

C項，建設后，養(yǎng)殖收入為30%X2a=60%a,

建設前，養(yǎng)殖收入為30%a,

故60%a4-30%a=2,

故C項正確.

D項，建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為

(30%+28%)X2a=58%X2a,

經(jīng)濟收入為2a,

故(58%X2a)4-2a=58%>50%,

故D項正確.

因為是選擇不正確的一項，

故選：A.

【點評】本題主要考查事件與概率，概率的應用，命題的真假的判斷，考查發(fā)現(xiàn)

問題解決問題的能力.

4.(5分)記Sn為等差數(shù)列匕等的前n項和.若3s3=Sz+S4,ai=2,則as=()

A.-12B.-10C.10D.12

【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】11：計算題；34：方程思想；40：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列出方程，能求出as的值.

【解答】解：?.$為等差數(shù)列屈｝的前n項和，3s3=Sz+S4,ai=2,

?'-3X(3ai+^^d產(chǎn)ai+ai+d+4ai+l^id，

把ai=2,代入得d=-3

.*.a5=2+4X(-3)=-10.

故選:B.

【點評】本題考查等差數(shù)列的第五項的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎知識，

考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題.

5.(5分)設函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)

在點(0,0)處的切線方程為()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應用.

【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出a,求出函數(shù)的導數(shù)，求出切線的向量然后求解

切線方程.

【解答】解：函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù)，

可得a=l,所以函數(shù)f(x)=x3+x,可得f'(x)=3x2+1,

曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線的斜率為：1,

則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為：y=x.

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的切線方程的求法，考查計算能力.

6.(5分)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則混=()

A.1AB-1ACB.C.評+/D

44萍/

【考點】9H：平面向量的基本定理.

【專題】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及應用.

【分析】運用向量的加減運算和向量中點的表示，計算可得所求向量.

【解答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，

EB=AB-AE=AB-^AD

2

=AB-^-X1(AB+AC)

22

=3標-工而

44

故選：A.

【點評】本題考查向量的加減運算和向量中點表示，考查運算能力，屬于基礎題.

7.（5分）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M

在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在

此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

B

A.2717B.275C.3D.2

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離.

【分析】判斷三視圖對應的幾何體的形狀，利用側(cè)面展開圖，轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長16,高為：2,

直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖：

圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的

路徑中，最短路徑的長度：-2+42=2旄.

故選:B.

【點評】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關系，側(cè)面展開圖的應用，考查計

算能力.

8.（5分）設拋物線C：y2=4x的焦點為F,過點（-2,0）且斜率為2的直線與

3

C交于M,N兩點，則而?祚=（）

A.5B.6C.7D.8

【考點】K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5A：平面向量及應用；5D：

圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】求出拋物線的焦點坐標，直線方程，求出M、N的坐標，然后求解向量

的數(shù)量積即可.

【解答】解：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0),過點(-2,0)且斜率為2的

3

直線為：3y=2x+4,

聯(lián)立直線與拋物線C：y2=4x,消去x可得：y2-6y+8=0,

解得yi=2,丫2=4,不妨M(1,2),N(4,4),而=(0,2)，同=(3,4),

則稱祚=(0,2)?(3,4)=8.

故選：D.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應用，向量的數(shù)量積的應用，考查計算能

力.

分)已知函數(shù)」若()存在

9.(5f(x)e5x<0,g(x)=f(X)+x+a.gx2

Inx,x>0

個零點，則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【考點】5B；分段函數(shù)的應用.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應用.

【分析】由g(x)=0得f(x)=-x-a,分別作出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象交

點個數(shù)與函數(shù)零點之間的關系進行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：由g(x)=0得f(x)=-x-a,

作出函數(shù)f(x)和丫=-x-a的圖象如圖：

當直線y=-x-a的截距-aWl,即a?-l時，兩個函數(shù)的圖象都有2個交點，

即函數(shù)g(x)存在2個零點，

故實數(shù)a的取值范圍是［-1,+8),

故選：c.

【點評】本題主要考查分段函數(shù)的應用，利用函數(shù)與零點之間的關系轉(zhuǎn)化為兩個

函數(shù)的圖象的交點問題是解決本題的關鍵.

10.（5分）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個

半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,

AC.AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為口，其余部分記為DI.在

整個圖形中隨機取一點，此點取自工，口，m的概率分別記為pi,P2,P3,

貝I（）

A.P1=P2B.P1=P3C.P2=P3D.P1=P2+P3

【考點】CF：幾何概型.

【專題】11：計算題；38：對應思想；40：定義法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】如圖:設BC=2n，AB=2r2,AC=2r3,分別求出I,H,HI所對應的面積,

即可得到答案.

【解答】解：如圖:設BC=2n，AB=2「2，AC=2r3,

ri2=r22+r32?

，$1=1*4「2「3=2「2「3，Sm=—Xnn2-2r2r3,

22

Sn=Lx7ir32+Lxnr22-Sm=—Xnr32+—Xm22-LxnrJ+Zr2r3=2r2r3,

22222

/.Si=Sn>

，P產(chǎn)P2,

故選：A.

【點評】本題考查了幾何概型的概率問題，關鍵是求出對應的面積，屬于基礎題.

2_

11.（5分）已知雙曲線C：L-y2=i,0為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的

3

直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若aOMN為直角三角形,則|MN|=

（）

A.?B.3C.2J3D.4

2

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì).

【專題】11：計算題；34：方程思想；4：解題方法；5D：圓錐曲線的定義、性

質(zhì)與方程.

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，求出直線方程，求出MN的坐標，然后求解

MN|.

【解答】解：雙曲線C：豈l-y2=i的漸近線方程為：y=+逅X，漸近線的夾角

33x

為：60°,不妨設過F（2,0）的直線為：y=M（x-2）,

仁應廠

則：｛尸3,解得M（芭，-X1）,

y^（x-2）

心返

-3x解得：N（3,M）,

y=V3（x-2）________________

則|MN|=J（3_1）2+（行率產(chǎn)3.

故選:B.

【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力.

12.（5分）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等,

則a截此正方體所得截面面積的最大值為（）

A.B.2炳C.D.近

4342

【考點】Ml：直線與平面所成的角.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離；

5G：空間角.

【分析】利用正方體棱的關系，判斷平面a所成的角都相等的位置，然后求解a

截此正方體所得截面面積的最大值.

【解答】解：正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平

面a所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，

a截此正方體所得截面面積的最大，

此時正六邊形的邊長返，

2___

a截此正方體所得截面最大值為：迥.

【點評】本題考查直線與平面所成角的大小關系，考查空間想象能力以及計算能

力，有一定的難度.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-2y-240

13.（5分）若x,y滿足約束條件＜x-y+l》0，則z=3x+2v的最大值為6

《0

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；59：不等式的解法及應用.

【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義進行求解即可.

【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：

由z=3x+2y得y=-Wx+A_z,

22

平移直線y=-lx+lz,

22

由圖象知當直線丫=-當+Lz經(jīng)過點A(2,0)時，直線的截距最大，此時z最

22

大，

最大值為z=3X2=6,

故答案為：6

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義以及數(shù)形結(jié)合

是解決本題的關鍵.

14.(5分)記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和.若Sn=2an+1,則Sfi=-63.

【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式.

【專題】11：計算題；38：對應思想；4R：轉(zhuǎn)化法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】先根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得｛aj是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)

歹U，再根據(jù)求和公式計算即可.

【解答】解：Sn為數(shù)列｛aj的前n項和，Sn=2an+1，①

當n=l時，ai=2ai+l,解得ai=-1,

當n?2時，Sni=2an1+1,②，

由①-②可得an=2an-2a”i，

??8n=2an-1，

???｛an｝是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

6

...S6=-lX(l-2)=-63,

1-2

故答案為：-63

【點評】本題考查了數(shù)列的遞推公式和等比數(shù)列的求和公式，屬于基礎題.

15.(5分)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入

選，則不同的選法共有」種.(用數(shù)字填寫答案)

【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題.

【專題】11：計算題；38：對應思想；40：定義法；50：排列組合.

【分析】方法一：直接法，分類即可求出，

方法二：間接法，先求出沒有限制的種數(shù)，再排除全是男生的種數(shù).

【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21c42=12,2女1男，有C22c乃=4

根據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有12+4=16種，

33

方法二,間接法：C6-C4=20-4=16

故答案為：16

【點評】本題考查了分類計數(shù)原理，屬于基礎題

16.(5分)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是小反.

一2一

【考點】6E：利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；HW：三角函數(shù)的最值.

【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；53：導數(shù)的綜合應用；56：

三角函數(shù)的求值.

【分析】由題意可得T=2兀是f(x)的一個周期，問題轉(zhuǎn)化為f(x)在［0,2R)

上的最小值，求導數(shù)計算極值和端點值，比較可得.

【解答】解：由題意可得T=2n是f(x)=2sinx+sin2x的一個周期，

故只需考慮f(x)=2sinx+sin2x在［0,2n)上的值域，

先來求該函數(shù)在［0,2n)上的極值點，

求導數(shù)可得f'(x)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),

令F(x)=0可解得cosx=工或cosx=-1,

2

可得此時X=2L,n或且L；

33

，y=2sinx+sin2x的最小值只能在點x=2L,n或盟和邊界點x=0中取到，

33

計算可得f(2L)=里，f(TO=o,f(52L)=-笠，f(o)=o,

3232

函數(shù)的最小值為-3叵，

2

故答案為：國1.

2

【點評】本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及導數(shù)法求函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要

求作答。(一)必考題：共60分。

17.(12分)在平面四邊形ABCD中，NADC=90°,ZA=45",AB=2,BD=5.

(1)求cosNADB；

(2)若DC=2圾，求BC.

【考點】HT：三角形中的幾何計算.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；49：綜合法；58：解三角形.

【分析】(1)由正弦定理得一?_=5,求出sin/ADB=返，由此能求

sinZADBsin455

出cosZADB；

(2)由NADC=90。，得cosNBDC=sin/ADB=返，再由DC=2&,利用余弦定理

5

能求出BC.

【解答】解：(1)VZADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

...由正弦定理得：一單一=Tz-，即-3—=—T

sin/ADBsin/Asin/ADBsin45

/.sinNADB=2sin45°=返,

55

VAB<BD,/.ZADB<ZA,

/.cosZADB=

(2)VZADC=90°,，cosNBDC=sinNADB=返，

5

,/DC=2近,

BC=22

*#,VBD+DC-2XBDXDCXcosZBDC

c

【點評】本題考查三角函數(shù)中角的余弦值、線段長的求法，考查正弦定理、余弦

定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

18.（12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以DF

為折痕把aDFC折起，使點C到達點P的位置，且PFLBF.

（1）證明：平面PEF,平面ABFD；

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

P

\

丁C

B

【考點】LY：平面與平面垂直；Ml：直線與平面所成的角.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位

置關系與距離；5G：空間角.

【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)可得BF垂直于面PEF,然后利用平面與平面垂

直的判斷定理證明即可.

（2）利用等體積法可求出點P到面ABCD的距離，進而求出線面角.

【解答】（1）證明：由題意，點E、F分別是AD、BC的中點，

則四卷仙，BF^-BC-

由于四邊形ABCD為正方形，所以EFLBC.

由于PF^BF,EFAPF=F,則BF_L平面PEF.

又因為BFu平面ABFD,所以：平面PEF,平面ABFD.

（2）在平面DEF中，過P作PHLEF于點H,連接DH,

由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PH1EF,

則PHL面ABFD,故PHLDH.

在三棱錐P-DEF中，可以利用等體積法求PH,

因為DE〃BF且PF±BF,

所以PF1DE,

又因為△PDFgZ\CDF,

所以NFPD=NFCD=90°,

所以PF1PD,

由于DECPD=D,則PFJ_平面PDE,

故VFPDEM'PFW^DE'

因為BF〃DA且BF_L面PEF,

所以DA上面PEF,

所以DE±EP.

設正方形邊長為2a,則PD=2a,DE=a

在4PDE中，PE=V3a,

所以SgDE等相，

故PDE3

VF-=—60A?

乂因為S/kDEF^a叨au/，

所以PH"嗎逅

a22a

所以在△PHD中，sinNPDH=Kl=Yl,

PD4_

即NPDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為：區(qū).

4

C

【點評】本題主要考查點、直線、平面的位置關系.直線與平面所成角的求法.幾

何法的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

2

19.（12分）設橢圓C：勺+丫2=1的右焦點為F,過F的直線I與C交于A,B兩

點，點M的坐標為（2,0）.

（1）當I與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設0為坐標原點，證明：ZOMA=ZOMB.

【考點】KL：直線與橢圓的綜合.

【專題】15：綜合題；38：對應思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5E：圓錐曲線中的最值與范

圍問題.

【分析】（1）先得到F的坐標，再求出點A的方程，根據(jù)兩點式可得直線方程，

（2）分三種情況討論，根據(jù)直線斜率的問題，以及韋達定理，即可證明.

【解答】解：（1）c=g=l,

AF（1,0）,

?.」與x軸垂直，

.\x=l,

X=1X=1X=1

2

由，x21，解得亞或，近，

T+y=1尸T尸一F

AA（1.返），或（1,-返），

22

直線AM的方程為y=-Y^x+圾，y=/“-y[2,

22

證明：（2）當I與x軸重合時，NOMA=NOMB=0。,

當|與x軸垂直時，0M為AB的垂直平分線，/.Z0MA=Z0MB,

當I與x軸不重合也不垂直時，設I的方程為y=k（x-1）,k#0,

A（xi，yi）,B（X2，丫2），則X1V0,X2〈血，

直線MA,MB的斜率之和為kMA，kMB之和為kMA+kMB=2L+上一，

xj-2x2-2

,,,,ZB,2kx,x?-3k(x<+x?)+4k

+2

由yi=KXi-k,y2=KX2-k得kMAKMB=-----------------r-r-——x-------，

(xr2)(x2-2)

,,2

將y=k(x-1)代入-^_+y2=i可得(2k2+l)x2-4k2x+2k2-2=0,

Xl+X2=———，XlX2=2k2,

2k2+12k2+1

2kxiX2-3k(X1+X2)+4k=——-----(4k3-4k-12k3+8k3+4k)=0

2k2+1

從而kMA+kMB=0，

故MA,MB的傾斜角互補，

/.ZOMA=ZOMB,

綜上NOMA=NOMB.

【點評】本題考查了直線和橢圓的位置關系，以韋達定理，考查了運算能力和轉(zhuǎn)

化能力，屬于中檔題.

20.（12分）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶

之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從

這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作

檢驗.設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（OVpVl）,且各件產(chǎn)品是否為

不合格品相互獨立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點

po.

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的po

作為P的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，

則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記

為X,求EX；

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有

產(chǎn)品作檢驗？

【考點】CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】(1)求出f(p)=C2op2(1,p)18,則

18217=17

f'(P)=C^o[2p(lT))-18p(l-I>)]2C|op(lT?)(l-lOp)?利用導數(shù)

性質(zhì)能求出f(p)的最大值點po=O.L

(2)(i)由p=0.1,令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y?B

(180,0.1),再由X=20X2+25Y,即X=40+25Y,能求出E(X).

(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元，E(X)

=490>400,從而應該對余下的產(chǎn)品進行檢驗.

【解答】解：(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),

218

則f(P)=c|0p(l-p)*

,,f(p)=C2(j[2p(l-p)18-18p2(l-p)"]=2C、吩(l~p)RlTOpA

令r(p)=o,得p=o.i,

當pG(o,0.1)時，f(p)>o,

當pG(0.1,1)時，f(p)<0,

.,.f(p)的最大值點po=o.l.

(2)(i)由(1)知p=0.1,

令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y?B(180,0.1),

X=20X2+25Y,即X=40+25Y,

AE(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25X180X0,1=490.

(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元，

VE(X)=490>400,

...應該對余下的產(chǎn)品進行檢驗.

【點評】本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的求法，

考查是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗的判斷與求法，考查二項分布等基

礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=JL-x+alnx.

X

(1)討論f(X)的單調(diào)性；

(2)若f(x)存在兩個極值點X1，X2,證明：f(-1-f(i2).<a-2.

xl-x2

【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】32：分類討論；4R：轉(zhuǎn)化法；53：導數(shù)的綜合應用.

【分析】(1)求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關系進行

求解即可.

(2)將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到

結(jié)論.

【解答】解：(1)函數(shù)的定義域為(0,+8),

函數(shù)的導數(shù)f(x)=--L-1+A=-

22

Xxx

設g(x)=x2-ax+1,

當aWO時，g(x)>0恒成立，即f(x)<0恒成立，此時函數(shù)f(x)在(0,+

00)上是減函數(shù)，

當a>0時,判別式4=22-4,

①當0VaW2時，△WO,即g(x)>0,即f，(x)VO恒成立，此時函數(shù)f(x)

在(0,+8)上是減函數(shù),

②當a>2時，x,f(x),f(x)的變化如下表:

x

。a~Va2

a?/Y2

-2-

)

f(x)0+0-

f(x)遞減遞增遞減

綜上當aW2時，f(x)在(0,+8)上是減函數(shù),

當a>2時，在(0,?"一￡),和(山且也,+oo)上是減函數(shù),

22

則(aW*,aWa2-4)上是增函數(shù).

22

(2)由(1)矢口a>2,0<xi<l<x2,xiX2=l,

貝ijf(xi)-f(X2)=(X2-Xi)(1+---)+a(Inxi-Inxz)=2(X2-Xi)+a(Inxi

xlx2

-Inxz),

則f(xp-f(X2)_a(lnXj-lnx)

2+----2

xl-x2xfx2

則問題轉(zhuǎn)為證明181-1加2<1即可,

xl-x2

即證明Inxi-Inx2>xi-X2,

貝！JInxi-

X1X1

ERlnxi+lnxi>xi-

X1

即證21nxi>xi-在(0,1)上恒成立，

X1

設h(x)=2lnx-x+工，(0<x<l),其中h(1)=0,

x

2

求導得h，(X)=2-1」=-x2-2x+l=,(x-l)<Oy

Y222

AXXX

則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

h(x)>h(1),即21nx-x+L>0,

x

故2lnx>x-A.,

x

則△'1)一式*2)<2-2成立.

xl-x2

(2)另解:注意到f(?)=x---alnx=-f(x),

XX

即f(x)+f(—)=0,

X

由韋達定理得X1X2=1,Xl+X2=a>2,得OVX1〈1VX2，X1=A,,

x2

可得f(X2)+f(X)=0,即f(xi)+f(x2)=0,

x2

f(x,)-f(X)..-f(x)-f(X)

要證---1----------<2a-2,只要n證-------24---------2^-<a-2,

X|-X2Xj-x2

即證2alnx2-ax2+-S-V0,(X2>1)>

x2

構(gòu)造函數(shù)h(x)=2alnx-ax+—,(x>l),hz(x)=R(xT)w0,

Y.2

.'.h(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

h(x)<h(1)=0,

2alnx-ax+且VO成立，BP2alnxz-ax2+-^-<0?(xz>l)成立.

XX2

f(xj)-f(X)7_十一

即Hn---i----------2<a-2成立.

xl-x2

【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)與不等式的綜合，求函數(shù)

的導數(shù)，利用導數(shù)的應用是解決本題的關鍵.綜合性較強，難度較大.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,

則按所做的第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分）

22.（10分）在直角坐標系xOy中，曲線Ci的方程為y=kx|+2.以坐標原點為

極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p2+2pcos0-

3=0.

（1）求C2的直角坐標方程；

（2）若Ci與C2有且僅有三個公共點，求Ci的方程.

【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；5S：坐標系和參數(shù)方程.

【分析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關系，把參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程進行

轉(zhuǎn)化.

（2）利用直線在坐標系中的位置，再利用點到直線的距離公式的應用求出結(jié)果.

【解答】解:（1）曲線C2的極坐標方程為p2+2pcos0-3=0.

轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為：x2+y2+2x-3=0,

轉(zhuǎn)換為標準式為：（X+1）2+y2=4.

（2）由于曲線Ci的方程為y=k|x|+2,則：該射線關于y軸對稱，且恒過定點（0,

2）.

由于該射線與曲線C2的極坐標有且僅有三個公共點.

所以：必有一直線相切，一直線相交.

則:圓心到直線y=kx+2的距離等于半徑2.

故：J2±L=2,或富=2

Vl+k2Vl+k2

解得：k=）或0,（0舍去）或1<=2或0

33

經(jīng)檢驗，直線尸&乂+2與曲線C2沒有公共點.

3

故C1的方程為：支-1圖+2?

【點評】本體考察知識要點：參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，直

線和曲線的位置關系的應用，點到直線的距離公式的應用.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知f(x)=x+11-|ax-11.

(1)當a=l時，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若xe(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

【考點】R5：絕對值不等式的解法.

【專題】15：綜合題；38：對應思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5T：不等式.

【分析】(1)去絕對值，化為分段函數(shù)，即可求出不等式的解集，

(2)當x￡(0,1)時不等式f(x)>x成立，轉(zhuǎn)化為即|ax-VI,即OVax

<2,轉(zhuǎn)化為a<2,且a>0,即可求出a的范圍.

X

2x>i

【解答】解：(1)當a=l時，f(x)=|x+l|-|x-11=*2x,

-2,

由f(x)>1,

,f2x>l或［2>1,

解得X>L,

2

故不等式f(X)>1的解集為(L,+8),

2

(2)當xd(0,1)時不等式f(x)>x成立，

x+11-ax-1-x>0,

即x+1-ax-11-x>0,

即Iax-1<1,

-l<ax-1<1,

.,.0<ax<2,

Vxe(0,1),

.,.a>0,

.,.0<x<.2,

a

x

V.2>2,

x

?\0VaW2,

故a的取值范圍為（0,2].

【點評】本題考查了絕對值不等式的解法和含參數(shù)的取值范圍，考查了運算能力

和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

一.集合與函數(shù)

1.進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情

況，不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進行求解.

2.在應用條件時，易A忽略是空集的情