【高中數(shù)學(xué)】向量的等和線(經(jīng)典例題)

/I

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自強(qiáng)不息厚德載物

向量的等和線

【基本定理】

（一）面向量共線定理

已知a=@+〃雙，若幾+〃=1,則48,。三點(diǎn)

共線；反之亦然

（二）等和線

平面內(nèi)一組基底麗麗及任一向量歷,

赤=兄厲+"礪（為”W火）,若點(diǎn)P在直線48上或者

在平行于45的直線上，則4+〃=〃（定值），反之也成

立，我們把直線也9以及與直線平行的直線稱為等和

線。

（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線.小時(shí)，4=1;

（2）當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線4&之間時(shí)，4￡（0,1）；

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)！-1-

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(3)當(dāng)直線相在點(diǎn)。和等和線之間時(shí)，左e(l,+oo)；

(4)當(dāng)?shù)群途€過。點(diǎn)時(shí)，k=0;

(5)若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值上互為相反數(shù)；

【解題步驟及說明】

1、等值線為1的線；

2、平移(旋轉(zhuǎn)或伸縮)該線，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的可行域，分析

何處取得最大值和最小值；

3、從長度比或者點(diǎn)的位置兩個(gè)角度，計(jì)算最大值和最小值；

說明：平面向量共線定理的表達(dá)式中的三個(gè)向量的起點(diǎn)務(wù)

必一致，若不一致，本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移

固定的向量；若需要研究的兩系數(shù)的線性關(guān)系，則需要通

過變換基底向量，使得需耍研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和。

引例L若點(diǎn)兒A。互不重合,P是4B,C三點(diǎn)所在平面

上的任意一點(diǎn)，且滿足PC=xPA+卜尸瓦則A,三點(diǎn)共

線ox+y=1.

證明：Q)由x+y=1=4員。三點(diǎn)共線.

由x+y=1彳導(dǎo)PC-xPA+yPB=xPA4-(1-x)PB

^>PC-PB=x{PA-PB)^>BC=xBA.

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-2-

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即反1，瓦!共線故4B,C三點(diǎn)共線.

⑵由4注。三點(diǎn)共線=*+＞，=1.

由4瓦。三點(diǎn)共線得氤,BA共線，即存在實(shí)數(shù)x使得

BC=xBA.

故定一方=M蘇一而)=無=汨+(l-x)方.

令丁=1f，則有x+y=1.

引例2.在"AB所在平面上的點(diǎn)C滿足

PC=xPA+j溝，且x+y=2，請(qǐng)指出點(diǎn)C的位置.

解:令PC=2PD=(x^y)PD，則

PD=-^—PA+^—PB.

x+yx+y

由二一+-^―=1得點(diǎn)4Ao共線，即點(diǎn)D在直線,4B

上.

再由PC=2PD知點(diǎn)C在直線4〃上，其中

PA'=2PA,PB'=2PB.如下圖：

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-3-

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引例3.在"AB所在平面上的點(diǎn)。滿足

PC=xPA^yPB，且2x+3^=5，請(qǐng)指出點(diǎn)。的位置.

蜂令PC=5PD=(2A+3y)PD，則

歷=—^+」一方，

2x+3y2x+3y

即，赤=2'網(wǎng)+3j函其中

2x+3y2x+3y

網(wǎng)=g麗西=g廂.

由-2a-+二2—=1得點(diǎn)兒,烏,。共線,即點(diǎn)。在直

2x+3y2x+3y

線4g上.

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-4-

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再由正=5而知點(diǎn)C在直線4員上，其中

P4=5P&PB2=5尸4.如下圖：

例1.若AR4B是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)。滿足

PC=xPA+yPB,且2x+3y=4,其中x>Qy>0,則

IPC|的取值范圍為.

解:令PC=4PD=(2x+3y)PD廁

■xy二一

PD=--------PA+---PB,

2x+3y2x+3y

即,方=/7-豆+丁二函，其中

2r+3?2x+3y

?1—1—■

PA^^-PA,PB^-PB.

.2x3y

由-------+―-=i知點(diǎn)D在線段44上(不含點(diǎn)

2x+3y2x+3y

4,4),如下圖:

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!一5一

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由于在耳中尸41=3,1尸4|=2,“尸片=60。，且點(diǎn)

D在線段,峭上不含端點(diǎn)4,用）,因此

IPH兇PD\<\己幻,其中尸，是邊44上的高.又由

麗2=（兩—河2=喏+可_2西.可=7可

得1441=近.再由

s必2=：1忍1.產(chǎn)用應(yīng)。乙卡片=；14科|?|月，1可

得|。，|=半匚所

以,N^WP0V3.

7

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!一6一

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再由所=4萬可知」一0尸C|<12.

7

例2.若點(diǎn)C在以尸為圓心,6為半徑的弧，超上，目

PC=xPA+yPB廁2x+3y的取值范圍為

解:令記=(2x+3y)無廁

4=—^-⑸+=一方，

2x+3y2x+3y

即，麗=—^—網(wǎng)+—^—函，其中

2x+3y2x+3y

—,1—?—,1—?

P4=-PA,PB】=-PB.

1213

由--2'v-+-=1知點(diǎn)。在線段&月上(含點(diǎn)

2x+3y2x+3y

4,4),如下圖：

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-7-

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由于在"A出中,|尸4|=3,1PBl|=2.乙4尸⑸=120°，且

點(diǎn)。在線段4與上（含端點(diǎn)4,司）,因此有

IPH兇PD\<,P4|,其中是邊上的高.又由

麗二二（麗-而）2=時(shí)+網(wǎng)2-2函?囤=19可

得14月|=ja由

8叩=：1叼”做人出夕出=；14印?|尸HI可

得IP"1=嚕.

3-J57

所以，土-WP0W3.

19

再由無=（2x+3y）PD可知

-、IP6s

2x+3y=___；—xe[2,

10。I*

例3.如圖,如，礪是圓。上的三點(diǎn),且線段CO的延長線

與線段BA的延長線交于圓。外的點(diǎn)。，若

OC="04+tiOB廁m+n的取值范圍是.

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解:令OC=AOD，則由點(diǎn)。在圓。外，且在的延長線

上可知2vT.

由無=丸歷=/%+7加彳導(dǎo)歷=2勿十二礪.

A2

由R4。三點(diǎn)共線可得=1=〃7+〃=2<-1.

例4.已知\ABC的外心O滿足AO=xAB-byAC.若

=6,4C=10,且2x+1Oy=5廁cosZBAC=

解:當(dāng)x=0時(shí)j=1.此時(shí)，由AO=xAB+yAC可得

2

AO=-AC.

2

故\ABC是以AC為斜邊的直角三角形，則

cosABAC=.

AC5

當(dāng)xH0時(shí)，由9=xAB+yK彳導(dǎo)

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—?2x5—?1—?

/。=三（叫+2）中。）.

、，■■?■?，??，?--?

如圖,設(shè)二他=4E;-,4C=/F則|/E|=15,|/F|=5.

22

由彩=全存+2^赤，及=+2y=l知點(diǎn)及O尸共

線.

又由不=!就知/為/。中點(diǎn)，故O4c.

2

J/71

所以,cos/^4c===上.

AE3

31

綜上可知,cosZ.BAC=一成cosZ,BAC=-.

53

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例5.已知點(diǎn)O是?1BC的夕櫻圓圓心目.48=3HC=4若

存在非零實(shí)數(shù)X、y,使得益=工而+/，且x+2y=l,

貝!Jcos/8/C=.

解答：取.4C中點(diǎn)D,則有

Ad=xAB+yAC=xAB4-2yAD，而x+2y=l,得點(diǎn)

B,O,D三點(diǎn)共線，已知點(diǎn)O是"8C的外心，可得

BDLAC，故有8。=月8=3,月。=4,求得

2

cosZ.BAC=—.

3

例6.設(shè)。3BC的外心（三角形外接圓的圓心）.若

?1.1.

AO=-AB^-AC,則乙即C的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C,60°D,90°

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解答:取.4C中點(diǎn)。，則有而=；礪+1?蒞得點(diǎn)8,OQ

?J

三點(diǎn)共線，已知點(diǎn)o是必BC的外心，可得應(yīng))_L,4C,即

有AO=BO=2DO,故可求得NB47=60。.

例7.已知MOB,點(diǎn)P在直線.48上，且滿足

同

則同=(

解答：由已知無==則+，為，點(diǎn)P在直線AB上,

彳導(dǎo)乏+/=1,解彳導(dǎo)，=-1或，=:.當(dāng)，=一1時(shí)，可彳導(dǎo)

1+2/2

—1—1—網(wǎng)1

OA=-OP+-OB，此時(shí)A為PB中點(diǎn)，;當(dāng)

22PB\2

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/時(shí)，可彳導(dǎo)礪=:礪+:礪，此時(shí)P為AB中點(diǎn)，

222

回1

網(wǎng)=,

2

例8.已知。為A/WC的外心，40=2〃,AC=-(a>0),

a

440=120；若,而=》京+?/(xJ為實(shí)數(shù))，則

X+V的最小值為一.

解答：如圖，設(shè)490叱=石，EO=m,AO=R，則

易知而=—^一次=R■樂+必怒)，其中

R-mR-m

R-R

/+必=1,mw子R，故由已知可得x+y=

R-m

所求取值范圍是［2.+8).

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-13-

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例9.已知。為A4BC的外心，

AB=4,AC=2,ABAC=\20\若

AO=\AB+A2AC,則4+4=

解法1：如圖，設(shè)后，EO=m,AO=R,

/產(chǎn)JL5。于F點(diǎn)，。6,5。于6點(diǎn)，則易知

於=/-亞=/~（玉樂+必，其中

K-mR—m''

i=l,由已知可求得8=孚*=半，故

R_AF^OG13

可求得4+4=1+生=

R-mAFAF6

AO-AB=A.AB2+JL.AC-AB

解法2:，得

而?/=4萬?萬+4元?

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-14-

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4=2

’8=164-44

[2=-44+44,解得；o，故O

4n=Z

解法3:設(shè)/（0,0）,3（4,0），外心。是

g26g工

中垂線x=2和/C中垂線歹=----Xd的父點(diǎn)

3------3

小竽｝得珂邛）

,詬=(4.0),

13

故4+4=L

6

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!_15_

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最小值立.

2

例11.如圖，在直角梯形,ADLAB,

ABIIDC,AD=DC=\,月8=2，動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓

心，且與直線8。相切的圓上或圓內(nèi)移動(dòng)，設(shè)

簫二%赤+〃礪（2，從sR）,則X+"取值范圍

是.

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-16一

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解答：設(shè),4Pn30=E,AE=m,AP=〃,則

AP=-^AE=-（xAB^yAC],其中x+y=l,得

mm'）

n=1+當(dāng)無，上表示點(diǎn)P到BC邊的

2+//=哈

m2y（5

5

-2忖

2巨離，0,—，得所求取值范圍是[L2].

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例12.如圖,在扇形OAB中,ZAOB=60；C為弧AB上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若^^xOA-^yOB/則x+3y的取值范圍是_

[13]

解答：如圖，在OB上取一點(diǎn)D,使OB=3OD,設(shè)

OC^,AD-E,OE=m,EC=//,則有

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-18-

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石Kw+m^n

OC=---OE=---（可物+必歷），其中

*1+%=1,另有OC=.10+)05=.m+3}OZ),得

-m十九,n一」.一.—一人,力一

x+3y=-------=1+—，易知當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)A重合時(shí)一達(dá)

mmm

最小值0,當(dāng)點(diǎn)C和點(diǎn)B重合時(shí)達(dá)最大值2,故

m

x+3ye[1,3].

例13.在A4BC中，Z^C=90°,以AB為一邊向

入必。外作等邊4版）,若々8=2乙4。。，

而=2否+從就，貝!J2+〃=.

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解：如圖，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為。：且。交/。

于點(diǎn)E.設(shè)〃C4=，，則

ZBCZ)=20,乙CD'Q=90。一/Z.CBD=150°-3a在

MXD\ABCD中利用正弦定理得

CD_BD_DD'_CD，曰

sin(150°-3^)sin20sin20sin(90°—0)而將

sin(15O°-36?)=sin(9O°-<9)，從而150°-3。=90°—夕

或150°-3。+90°-。=180°從而得6=15°顯然

例14.已知中，AB=4,AC=2,若

|尢石+(2-22)圖的最小值是2,則對(duì)于■C內(nèi)一點(diǎn)

P,⑸?(而+無)的最小ffiJS.

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-20-

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解：

卜赤+(2-22)畫二卜樂+(T)?2園二卜刀+(1-勾畫

的最小值是2,

設(shè)毋=4通+(1-之)而，則點(diǎn)E在直線AD上，

AB=4,AC=2,AD=4,故當(dāng)AE長度最小為2時(shí)，E為

BD中點(diǎn)，,

得NB4C=120。，取BC中點(diǎn)F,連結(jié)AF,取AF中點(diǎn)G,

PA'PB+PC)=2PA,PF=2、PG-GAj=2PG――AF

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G重合時(shí)，有最小值

，病」同砌

2人,2

讓夢(mèng)想起飛讓成績飛揚(yáng)!-21-