北京市高考?jí)狠S卷理科數(shù)學(xué)

2018北京卷高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)（理）本試卷共150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將答題紙交回。第一部分（選擇題，共40分）選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．（1）已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，則集合A∩（?RB）=（）A．{1，2} B．{1，2，3} C．{0，1，2} D．（0，1）（2）以下說法正確的有（）（1）y=x+（x∈R）最小值為2；（2）a2+b2≥2ab對(duì)a，b∈R恒成立；（3）a＞b＞0且c＞d＞0，則必有ac＞bd；（4）命題“?x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“?x∈R，使得x2+x+1≥0”；（5）實(shí)數(shù)x＞y是＜成立的充要條件；（6）設(shè)p，q為簡(jiǎn)單命題，若“p∨q”為假命題，則“￢p∨￢q”也為假命題．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)（3）若雙曲線C:（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則雙曲線C的離心率為A．2B.C.D.（4）已知，函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是A． B． C． D．（5）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足，其中λ∈[0，1]，則的取值范圍是（）A．[0，3] B．[1，4] C．[2，5] D．[1，7]（6）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）（A）（B）（C）8（D）（7）閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為24，則輸出N的值為（A）0（B）1（C）2（D）3（8）已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（A） （B） （C） （D）第二部分（非選擇題，共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．（9）已知是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，若是純虛數(shù)，則．（10）某籃球?qū)W校的甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè)．命中個(gè)數(shù)的莖葉圖如下．則罰球命中率較高的是．（11）拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)P，直線l經(jīng)過點(diǎn)P，且與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是___________．（12）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是．（13）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則數(shù)列的最大項(xiàng)是第 項(xiàng).（14）已知函數(shù)滿足對(duì)任意的都有成立，則=。三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（15）（本小題13分）已知函數(shù)f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函數(shù)的最小正周期為．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．（16）（本小題13分）如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求證：AD⊥BM；（2）若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角E﹣AM﹣D的余弦值為．（17）（本小題14分）誠(chéng)信是立身之本，道德之基，某校學(xué)生會(huì)創(chuàng)設(shè)了“誠(chéng)信水站”，既便于學(xué)生用水，又推進(jìn)誠(chéng)信教育，并用“”表示每周“水站誠(chéng)信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個(gè)周期）的誠(chéng)信數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)：第一周第二周第三周第四周第一個(gè)周期95%98%92%88%第二個(gè)周期94%94%83%80%第三個(gè)周期85%92%95%96%（1）計(jì)算表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)；（2）分別從表中每個(gè)周期的4個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)據(jù)，設(shè)隨機(jī)變量X表示取出的3個(gè)數(shù)據(jù)中“水站誠(chéng)信度”超過91%的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和期望；（3）已知學(xué)生會(huì)分別在第一個(gè)周期的第四周末和第二個(gè)周期的第四周末各舉行了一次“以誠(chéng)信為本”的主題教育活動(dòng)，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動(dòng)的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由．（18）（本小題13分）已知函數(shù)f（x）=ex+x2﹣x，g（x）=x2+ax+b，a，b∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線l與曲線y=g（x）切于點(diǎn)（1，c），求a，b，c的值；（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．（19）（本小題14分）設(shè)橢圓的離心率，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若直線垂直于軸時(shí)，有（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.（20）（本小題13分）對(duì)于數(shù)列A：a1，a2，…，an，若滿足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），則稱數(shù)列A為“0﹣1數(shù)列”．若存在一個(gè)正整數(shù)k（2≤k≤n﹣1），若數(shù)列{an}中存在連續(xù)的k項(xiàng)和該數(shù)列中另一個(gè)連續(xù)的k項(xiàng)恰好按次序?qū)?yīng)相等，則稱數(shù)列{an}是“k階可重復(fù)數(shù)列”，例如數(shù)列A：0，1，1，0，1，1，0．因?yàn)閍1，a2，a3，a4與a4，a5，a6，a7按次序?qū)?yīng)相等，所以數(shù)列{an}是“4階可重復(fù)數(shù)列”．（Ⅰ）分別判斷下列數(shù)列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1．是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請(qǐng)寫出重復(fù)的這5項(xiàng)；（Ⅱ）若項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列A一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是多少？說明理由；（III）假設(shè)數(shù)列A不是“5階可重復(fù)數(shù)列”，若在其最后一項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，且a4=1，求數(shù)列{an}的最后一項(xiàng)am的值．?dāng)?shù)學(xué)（理）試卷答案及評(píng)分參考一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．1【答案】A【解析】∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≤﹣3或x≥3}，∴CRA={x|﹣3＜x＜3}，集合A∩（?RB）={1，2}．故選：A．2【答案】A【解析】（1）當(dāng)x＜0時(shí)函數(shù)，無(wú)最小值，故（1）錯(cuò)誤；（2）∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b都成立，∴a2+b2≥2ab對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b恒成立，故（2）正確；（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)易知（3）正確；（4）根據(jù)特稱命題的否定形式知，命題“?x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定應(yīng)為“?x∈R，x2+x+1＜0”，故（4）錯(cuò)誤；（5）取x=1，y=﹣1滿足x＞y，但，故（5）錯(cuò)誤；（6）若p∨q為假命題，則p，q都為假命題，所以￢p，￢q都為真命題，所以￢p∨￢q為真命題，故（6）錯(cuò)誤．綜上可得正確命題為（2）（3）．故選A．3【答案】A4【答案】C【解析】，.又.顯然，所以.則，令，則，當(dāng)時(shí)，，故C項(xiàng)正確.5【答案】C【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則B（2，0），A（0，0），D（，）．∵，λ∈[0，1]，=+λ=+λ=M（2+，λ），即M（2+，λ）；==+（﹣λ）=（，）+（1﹣λ）?（2，0）=（﹣2λ，），即N（﹣2λ，）．所以=（2+，λ）?（﹣2λ，）=﹣λ2﹣2λ+5=﹣（λ+1）2+6．因?yàn)棣恕蔥0，1]，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：λ=﹣1，故當(dāng)λ∈[0，1]時(shí)，﹣λ2﹣2λ+5∈[2，5]．故選：C．6【答案】B7【答案】C【解析】依次為,，輸出，選C.8【答案】A【解析】不等式f(x)≥為－f(x)≤≤f(x)(*)當(dāng)x≤1時(shí)，(*)式即為－x2+x－3≤≤x2－x+3，－x2+－3≤a≤x2－+3，又－x2+－3=－(x－)2－≤－(x=時(shí)取等號(hào))x2－+3=(x－)2+≥(x=時(shí)取等號(hào))所以－≤a≤當(dāng)x＞1時(shí)，(*)式為－x－≤≤x+，－－≤a≤+又－－=－(+)≤(當(dāng)x=時(shí)取等號(hào))+≥(當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào))所以≤a≤2，綜上－≤a≤2．故選A．二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9【答案】110【答案】甲11【答案】【解析】12【答案】13【答案】1314【答案】7三、解答題共6小題，共80分．15．（本小題13分）【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），化簡(jiǎn)可得：f（x）=sin（2ax﹣）+cos（2ax﹣）+1=cos2ax+sin2ax+1=2sin（2ax+）+1∵函數(shù)的最小正周期為．即T=,由T=，可得a=2．∴a的值為2．故f（x）=2sin（4x+）+1；（Ⅱ）x∈[0，]時(shí)，4x+∈[0，]．當(dāng)4x+=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為=1．當(dāng)4x+=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2×1+1=3∴f（x）在[0，]上的最大值為3，最小值為1．【解析】（Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．（Ⅱ）x∈[0，]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求，可求f（x）最大值和最小值．16．（本小題13分）【答案】（1）證明：∵長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=，M為DC的中點(diǎn)，∴AM=BM=2，則AM⊥BM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM；（2）解：取M中點(diǎn)O，連接DO，則DO⊥平面ABCM，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則平面ADM的一個(gè)法向量為，設(shè)，，．設(shè)平面AME的一個(gè)法向量為，則，取y=1，得．由cos＜＞=，解得．∴E為BD上靠近D點(diǎn)的處．【解析】（1）在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，AD=，M為DC的中點(diǎn)，可得AM=BM=2，則AM⊥BM，由線面垂直的判定可得BM⊥平面ADM，則AD⊥BM；（2）取M中點(diǎn)O，連接DO，則DO⊥平面ABCM，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則平面ADM的一個(gè)法向量為，設(shè)，則，，求出平面AME的一個(gè)法向量為，利用二面角E﹣AM﹣D的余弦值為求得λ值可得E的位置．17．（本小題14分）【答案】解：（1）表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)：=×=91%．（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列為：X0123PEX==2．（3）兩次活動(dòng)效果均好．理由：活動(dòng)舉辦后，“水站誠(chéng)信度”由88%→94%和80%到85%看出，后繼一周都有提升．【解析】（1）利用平均數(shù)公式能求出表中十二周“水站誠(chéng)信度”的平均數(shù)．（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（3）兩次活動(dòng)效果均好，活動(dòng)舉辦后，“水站誠(chéng)信度”由88%→94%和80%到85%看出，后繼一周都有提升．18．（本小題13分）【答案】（Ⅰ）F（x）=ex﹣2x﹣b，則F'（x）=ex﹣2．令F'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2，所以F（x）在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．令F'（x）=ex﹣2＜0，得x＜ln2，所以F（x）在（﹣∞，ln2）上單調(diào)遞減．…（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=ex+2x﹣1，所以f'（0）=0，所以l的方程為y=1．依題意，，c=1．于是l與拋物線g（x）=x2﹣2x+b切于點(diǎn)（1，1），由12﹣2+b=1得b=2．所以a=﹣2，b=2，c=1．…（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣（a+1）x﹣b，則h（x）≥0恒成立．易得h'（x）=ex﹣（a+1）．（1）當(dāng)a+1≤0時(shí)，因?yàn)閔'（x）＞0，所以此時(shí)h（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增．①若a+1=0，則當(dāng)b≤0時(shí)滿足條件，此時(shí)a+b≤﹣1；②若a+1＜0，取x0＜0且，此時(shí)，所以h（x）≥0不恒成立．不滿足條件；（2）當(dāng)a+1＞0時(shí)，令h'（x）=0，得x=ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．所以h（x）在（﹣∞，ln（a+1））上單調(diào)遞減，在（ln（a+1），+∞）上單調(diào)遞增．要使得“h（x）=ex﹣（a+1）x﹣b≥0恒成立”，必須有：“當(dāng)x=ln（a+1）時(shí)，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0”成立．所以b≤（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）．則a+b≤2（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣1．令G（x）=2x﹣xlnx﹣1，x＞0，則G'（x）=1﹣lnx．令G'（x）=0，得x=e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)x=e時(shí)，G（x）max=e﹣1．從而，當(dāng)a=e﹣1，b=0時(shí)，a+b的最大值為e﹣1．綜上，a+b的最大值為e﹣1．19．（本小題14分）【答案】（1）設(shè)，因?yàn)樗杂?，又由得，且，得，因此橢圓的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故.將與聯(lián)立，消去，整理得，解得，或.由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn).由，可得直線的方程為，令，解得，故.所以.又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以.所以，直線的方程為，或.20．（本小題13分）【答案】解：（Ⅰ）是“5階可重復(fù)數(shù)列”，10101．…．（Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列{an}的每一項(xiàng)只可以是0或1，所以連續(xù)3項(xiàng)共有23=8種不同的情形．若m=11，則數(shù)列{an}中有9組連續(xù)3項(xiàng)，則這其中至少有兩組按次序?qū)?yīng)相等，即項(xiàng)數(shù)為11的數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”；若m=10，數(shù)列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3階可重復(fù)數(shù)列”；則3≤m＜10時(shí)，均存在不是“3階可重復(fù)數(shù)列”的數(shù)列{an}．所以，要使數(shù)列{an}一定是“3階可重復(fù)數(shù)列”，則m的最小值是11．…．（III）由于數(shù)列{an}在其最后一項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，均可使新數(shù)列是“5階可重復(fù)數(shù)列”，即在數(shù)列{an}的末項(xiàng)am后再添加一項(xiàng)0或1，則存在i≠j，使得ai，ai+1，ai+2，ai+3，ai+4與am﹣3，am﹣2，am﹣1，am，0按次序?qū)?yīng)相等，或aj，aj+1，aj+2，aj+3，aj+