重難點(diǎn) 解直角三角形及其應(yīng)用專項 中考數(shù)學(xué)

重難點(diǎn)08解直角三角形及其應(yīng)用考點(diǎn)一：特殊角的三角函數(shù)值及其運(yùn)算銳角三角函數(shù)的定義和運(yùn)算是中考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)，單獨(dú)考察時雖然難度不大，但是也需要熟記對應(yīng)考點(diǎn)。其中特殊角的三角函數(shù)值是必須記住的。題型01銳角三角函數(shù)的定義易錯點(diǎn)：解直角三角形相關(guān)：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三邊關(guān)系：兩銳角關(guān)系：邊與角關(guān)系：，，，銳角α是a、b的夾角面積：【中考真題練】1．（2023?攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為（）A． B． C． D．2．（2023?衢州）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，AB＝b，AB的最大仰角為α．當(dāng)∠C＝45°時，則點(diǎn)A到桌面的最大高度是（）A． B． C．a(chǎn)+bcosα D．a(chǎn)+bsinα3．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．4．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．5．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【中考模擬練】1．（2024?綏化模擬）在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB2．（2024?湖州一模）如圖，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”這些條件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圓規(guī)作BC時，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C出現(xiàn)C1和C2兩個位置，那么C1C2的長是（）A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm3．（2024?越秀區(qū)一模）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰△ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40cm，則高AD為cm．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）4．（2024?溫州模擬）“圭表”是中國古代用來確定節(jié)氣的儀器．某“圭表”示意圖如圖所示，AC⊥BC，AC＝3米，測得某地夏至正午時“表”的影長CD＝1米，冬至?xí)r的正午太陽高度角∠ABC＝α，則夏至到冬至，影長差BD的長為（）A．（3sinα﹣1）米 B．米 C．（3tanα﹣1）米 D．米5．（2024?西湖區(qū)一模）如圖，在4×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sinC的值為．6．（2024?雨花臺區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tanA＝，則AB＝．題型02含三角函數(shù)的實(shí)數(shù)的運(yùn)算易錯點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函數(shù)值，可以直接記數(shù)值，也可以記定義，然后現(xiàn)退對應(yīng)函數(shù)值，但顯然，直接熟記對應(yīng)數(shù)值會便捷很多?！局锌颊骖}練】1．（2023?云南）計算：|﹣1|+（﹣2）2﹣（π﹣1）0+（）﹣1﹣tan45°．2．（2023?內(nèi)蒙古）計算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．3．（2023?眉山）計算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．4．（2023?瀘州）計算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．5．（2023?北京）計算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．6．（2023?湘西州）計算：（π+2023）0+2sin45°﹣（）﹣1+|﹣2|．【中考模擬練】1．（2024?歷城區(qū)一模）計算：．2．（2024?雁塔區(qū)模擬）計算：．3．（2024?南山區(qū)二模）計算．4．（2024?南山區(qū)二模）計算：．5．（2024?文山州一模）計算：．考點(diǎn)二：解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用主要包含解答題中的仰角、俯角問題；坡角問題；方位角問題等。另外還經(jīng)常會和圓、三角形、網(wǎng)格等幾何圖形結(jié)合，計算中需要更加仔細(xì)一點(diǎn)。題型01解直角三角形的計算解題大招01：解直角三角形口訣“直乘斜除，對正臨余”——求直角三角形的直角邊，多用乘法；求斜邊，多用除法。求已知角的對邊，多用正弦或正切值；求已知角的臨邊，多用余弦值。常見輔助線：做垂線解題大招02：此類計算更多的是注意審題，因為題目中可能會要求精確位數(shù)，或者保留幾位有效數(shù)字，這時候要注意，一般計算到最后一步才帶入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計算，然后四舍五入?！局锌颊骖}練】1．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．2．（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為cm．3．（2023?丹東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為；點(diǎn)D的坐標(biāo)為．4．（2023?自貢）如圖，分別經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A（4，0）的動直線a，b夾角∠OBA＝30°，點(diǎn)M是OB中點(diǎn)，連接AM，則sin∠OAM的最大值是（）A． B． C． D．【中考模擬練】1．（2024?高青縣一模）如圖（1），在△ABC中，AB＝AC＝4，射線AN∥BC，D為AN上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB，交射線BC于點(diǎn)E．研究發(fā)現(xiàn)線段CE的長y與線段AD的長x之間的關(guān)系可用圖（2）的圖象表示，已知點(diǎn)M（8，2），則∠B的正切值為（）A． B． C． D．2．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝7，，將△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若AB'平分∠BAC，則B'C的長為（）A． B． C． D．3．（2024?松北區(qū)一模）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時，根據(jù)上述角的正對定義，則sad60°的值為（）A． B． C． D．14．（2024?南通模擬）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的格點(diǎn)上，那么sin∠BAC的值為（）A． B． C． D．5．（2024?涼州區(qū)一模）如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則cosA的值是（）A． B． C． D．6．（2024?金牛區(qū)模擬）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD＝AB＝8，連接AD，BE⊥AB，且交∠DAB的平分線AE于點(diǎn)E，AE與DC相交于點(diǎn)F，EH⊥DC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則AH的長為．7．（2024?張店區(qū)一模）如圖，分別經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（1，0）的動直線l1，l2交于點(diǎn)C，在線段AC上取點(diǎn)D，連接BD．若∠ACB＝30°，且，則當(dāng)tan∠ABD的值最大時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．題型02解直角三角形的應(yīng)用解題大招01：解直角三角形應(yīng)用常見輔助線在實(shí)際測量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合平面幾何知識構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或相似三角形來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：（1）不同地點(diǎn)看同一點(diǎn)，如圖①（2）同一地點(diǎn)看不同點(diǎn)，如圖②（3）利用反射構(gòu)造相似，如圖③（4）常用結(jié)論：【中考真題練】1．如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）2．（2023?鹽城）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段AB表示“鐵軍”雕塑的高，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，則線段AB的長約為m．（計算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）3．（2023?棗莊）如圖所示，桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時∠AOM＝45°，此時點(diǎn)B到水平地面EF的距離為米．（結(jié)果保留根號）4．（2023?湘潭）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運(yùn)動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)t＝0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM＝30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動到點(diǎn)B處．問題解決：（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，∠BOM的度數(shù)；（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）5．（2023?貴州）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點(diǎn)，沿途修建AB、CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂D處，中途設(shè)計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50m．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線夾角為45°，A、B兩處的水平距離AE為576m，DF⊥AF，垂足為點(diǎn)F．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、E、F在同一水平線上）（1）求索道AB的長（結(jié)果精確到1m）；（2）求水平距離AF的長（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）6．（2023?金昌）如圖1，某人的一器官后面A處長了一個新生物，現(xiàn)需檢測其到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術(shù)，檢測射線可避開器官從側(cè)面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計算出新生物到皮膚的距離方案如下：課題檢測新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖說明如圖2，新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的B處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠DBN；再在皮膚上選擇距離B處9cm的C處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠ECN．測量數(shù)據(jù)∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計算新生物A處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）7．（2023?山西）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動河湖名單（2022﹣2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）．某校“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動報告．請根據(jù)活動報告計算BC和AB的長度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）．課題母親河駁岸的調(diào)研與計算調(diào)查方式資料查閱、水利部門走訪、實(shí)地查看了解調(diào)查內(nèi)容功能駁岸是用來保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物材料所需材料為石料、混凝土等駁岸時剖面圖相關(guān)數(shù)據(jù)及說明：圖中，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，AE和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點(diǎn)A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．計算結(jié)果…交通展示…8．（2023?河南）綜合實(shí)踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀ABCD為正方形，AB＝30cm，頂點(diǎn)A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點(diǎn)D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點(diǎn)H．經(jīng)測量，點(diǎn)A距地面1.8m，到樹EG的距離AF＝11m，BH＝20cm．求樹EG的高度（結(jié)果精確到0.1m）．9．（2023?濟(jì)南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開后備廂，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開后備廂后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【中考模擬練】1．（2024?洛龍區(qū)一模）如圖，某汽車車門的底邊長為0.95m，車門側(cè)開后的最大角度為72°，若將一扇車門側(cè)開，則這扇車門底邊上所有點(diǎn)中到車身的最大距離是（）m．A．0.95 B．0.95sin72° C．0.95cos72° D．0.95tan72°2．（2024?福田區(qū)二模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測量建筑物CD的高度，如圖，建筑物CD前有一段坡度為i＝1：2的斜坡BE，小明同學(xué)站在山坡上的B點(diǎn)處，用測角儀測得建筑物屋頂C的仰角為37°，接著小明又向下走了米，剛好到達(dá)坡底E處，這是測到建筑物屋頂C的仰角為45°，A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，若測角儀的高度AB＝EF＝1.5米，則建筑物CD的高度約為（）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米3．（2024?光明區(qū)二模）如圖，在坡比為的斜坡上有一電線桿AB．某時刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，此時電線桿在斜坡上的影長BC為30米，則電線桿AB的高為（）米．A． B． C． D．4．（2024?安丘市一模）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，點(diǎn)M，A，B在同一條直線上，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）5．（2024?洪山區(qū)模擬）黃鶴樓位于湖北省武漢市，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標(biāo)建筑．身高1.4m的小偉今天在司門口黃鶴樓地鐵站C出口（圖中點(diǎn)A處）觀察黃鶴樓的仰角α＝12.8°，前行120m來到民主路上（圖中點(diǎn)B處）后，觀察黃鶴樓的仰角β＝26.6°．那么據(jù)此可以估算出黃鶴樓的高度為m．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，）6．（2024?興慶區(qū)校級一模）如圖，圖1是一輛電動車，圖2為其示意圖，點(diǎn)A為座墊，AB⊥BC，AB高度可調(diào)節(jié)，其初始高度為35cm，CD為車前柱，CD＝122cm，∠C＝70°，根據(jù)該款車提供信息表明，當(dāng)騎行者手臂DE與車前柱DC夾角為80°時，騎行者最舒適，若某人手臂長60cm，肩膀到座墊的高度AE＝42cm．若要想騎行最舒適，則座墊應(yīng)調(diào)高的厘米數(shù)為．（結(jié)果按四舍五入法精確到1cm，參考數(shù)據(jù)sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）7．（2024?廣安二模）如圖1，某款臺燈由底座、支撐臂AB、連桿BC、懸臂CD和安裝在D處的光源組成．如圖2是該款臺燈放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂AB⊥l，AB＝22cm，BC＝35cm，CD＝40cm，固定∠ABC＝143°，可通過調(diào)試懸臂CD與連桿BC的夾角提高照明效果．（1）求懸臂端點(diǎn)C到桌面l的距離約為多少？（2）已知光源D到桌面l的距離為30cm時照明效果較好，那么此時懸臂CD與連桿BC的夾角∠BCD的度數(shù)約為多少？（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）8．（2024?湖州一模）用某型號拖把去拖沙發(fā)底部地面的截面示意圖如圖所示，拖把頭為矩形ABCD，AB＝16cm，DA＝2cm．該沙發(fā)與地面的空隙為矩形EFGH，EF＝55cm，HE＝12cm．拖把桿為線段OM，長為45cm，O為DC的中點(diǎn)，OM與DC所成角α的可變范圍是14°≤α≤90°，當(dāng)α大小固定時，若OM經(jīng)過點(diǎn)G，或點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，則此時AF的長即為沙發(fā)底部可拖最大深度．（1）如圖1，當(dāng)α＝30°時，求沙發(fā)底部可拖最大深度AF的長．（結(jié)果保留根號）（2）如圖2，為了能將沙發(fā)底部地面拖干凈，將α減小到14°，請通過計算，判斷此時沙發(fā)底部可拖最大深度AF的長能否達(dá)到55cm？（sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）9．（2024??？谝荒＃┠緳陬^燈塔是矗立在海南島文昌市的一座航標(biāo)燈塔（如圖1），被稱為”亞洲第一燈塔”，如圖2，虎威島A位于木欄頭燈塔O的南偏西50°方向上．一艘輪船在B處測得燈塔O位于它的北偏西45°方向上，輪船沿著正北方向航行3km后，到達(dá)位于燈塔O正東方向上的C處，該船繼續(xù)向北航行至直線AO上的點(diǎn)D處．（1）填空：∠BOC＝度，∠D＝度．（2）求點(diǎn)D到燈塔O的距離．（3）若輪船的航行速度為20km/h，求輪船在BD段航行了多少小時．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.73．結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后一位）10．（2024?遼寧模擬）如圖1，在水平桌面上擺放著一個主體部分為圓柱體的透明容器．容器的截面示意圖如圖2所示，其中CE＝21cm，∠CEF＝90°．（1）如圖3，點(diǎn)C固定不動，將容器傾斜至A1B1CD1位置，液面剛好位于M1E1處，點(diǎn)E1到直線l的距離E1K，記為hcm，測得∠E1CK＝60°，求h的值；（2）如圖4，在（1）的條件下，再將容器緩慢傾斜倒出適量的液體，此時容器位于A2B2CD2位置，液面剛好位于M2E2處，E1F1，E2F2的延長線分別與直線l相交于點(diǎn)H，G，點(diǎn)C，G，H都在直線l上，測得∠E2CG＝37°，求GH的長．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，，結(jié)果精確到0.1cm）題型03解直角三角形與幾何的綜合【中考真題練】1．（2023?淄博）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡明、直觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國古代數(shù)學(xué)成就的一個重要標(biāo)志，千百年來倍受人們的喜愛．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接EG，DG．若正方形ABCD與EFGH的邊長之比為：1，則sin∠DGE等于（）A． B． C． D．2．（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為α，則cosα的值為（）A． B． C． D．3．（2023?杭州）第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（）A．5 B．4 C．3 D．24．（2023?黃石）“神舟”十四號載人飛行任務(wù)是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方的F點(diǎn)處時，從點(diǎn)F能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為Q點(diǎn)，已知PF＝km，∠FOQ＝20°，cos20°≈0.9，則圓心角∠POQ所對的弧長約為km（結(jié)果保留π）．5．（2023?綏化）如圖，直線MN和EF為河的兩岸，且MN∥EF，為了測量河兩岸之間的距離，某同學(xué)在河岸FE的B點(diǎn)測得∠CBE＝30°，從B點(diǎn)沿河岸FE的方向走40米到達(dá)D點(diǎn)，測得∠CDE＝45°．（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號）（2）若從D點(diǎn)繼續(xù)沿DE的方向走（12+12）米到達(dá)P點(diǎn)．求tan∠CPE的值．6．（2023?樂至縣）如圖，在某機(jī)場的地面雷達(dá)觀測站O，觀測到空中點(diǎn)A處的一架飛機(jī)的仰角為45°，飛機(jī)沿水平線MN方向飛行到達(dá)點(diǎn)B處，此時觀測到飛機(jī)的仰角為60°，飛機(jī)繼續(xù)沿與水平線MN成15°角的方向爬升到點(diǎn)C處，此時觀測到飛機(jī)的仰角為60°．已知OA＝9千米．（A、B、C、O、M、N在同一豎直平面內(nèi)）（1）求O、B兩點(diǎn)之間的距離；（2）若飛機(jī)的飛行速度保持12千米/分鐘，求飛機(jī)從點(diǎn)B飛行到點(diǎn)C所用的時間是多少分鐘？（≈1.414，結(jié)果精確到0.01）【中考模擬練】1．（2024?高青縣一模）如圖（1），在△ABC中，AB＝AC＝4，射線AN∥BC，D為AN上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB，交射線BC于點(diǎn)E．研究發(fā)現(xiàn)線段CE的長y與線段AD的長x之間的關(guān)系可用圖（2）的圖象表示，已知點(diǎn)M（8，2），則∠B的正切值為（）A． B． C． D．2．（2024?金牛區(qū)模擬）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD＝AB＝8，連接AD，BE⊥AB，且交∠DAB的平分線AE于點(diǎn)E，AE與DC相交于點(diǎn)F，EH⊥DC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則AH的長為．3．（2024?天河區(qū)校級一模）如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB＝10，，點(diǎn)P為邊AB上一動點(diǎn)（不與A，B重合），PQ平分∠CPB交邊BC于點(diǎn)Q，QM⊥AB于M，QN⊥CP于N．（1）當(dāng)AP＝CP時，線段CQ的長是；（2）當(dāng)CP⊥AB時，線段CQ的長是．4．（2024?道里區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，BD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D作BD的垂線交BC的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AB的平行線交AC的延長線于點(diǎn)F，若BE+EF＝8，tan∠BAC＝，則線段DE的長．5．（2024?海淀區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC，交BE的延長線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：四邊形ADCF為矩形；（2）若BC＝6，sin，求EF的長．重難點(diǎn)解直角三角形及其應(yīng)用解析考點(diǎn)一：特殊角的三角函數(shù)值及其運(yùn)算銳角三角函數(shù)的定義和運(yùn)算是中考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)，單獨(dú)考察時雖然難度不大，但是也需要熟記對應(yīng)考點(diǎn)。其中特殊角的三角函數(shù)值是必須記住的。題型01銳角三角函數(shù)的定義易錯點(diǎn)：解直角三角形相關(guān)：在Rt△ABC中，∠C=90°AB=c，BC=a，AC=b三邊關(guān)系：兩銳角關(guān)系：邊與角關(guān)系：，，，銳角α是a、b的夾角面積：【中考真題練】1．（2023?攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，則cos∠A的值為（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，∵a＝6，b＝8，c＝10，a2+b2＝62+82＝36+64＝100，c2＝100．∴a2+b2＝c2．∴△ABC是直角三角形．∴cosA＝＝＝．故選：C．2．（2023?衢州）如圖，一款可調(diào)節(jié)的筆記本電腦支架放置在水平桌面上，調(diào)節(jié)桿，AB＝b，AB的最大仰角為α．當(dāng)∠C＝45°時，則點(diǎn)A到桌面的最大高度是（）A． B． C．a(chǎn)+bcosα D．a(chǎn)+bsinα【分析】過點(diǎn)A作AF⊥BE于F，過點(diǎn)B作BG⊥CD于G，利用解直角三角形可得AF＝bsinα，BG＝a，根據(jù)點(diǎn)A到桌面的最大高度＝BG+AF，即可求得答案【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BE于F，過點(diǎn)B作BG⊥CD于G，在Rt△ABF中，AF＝AB?sinα＝bsinα，在Rt△BCG中，BG＝BC?sin45°＝a×＝a，∴點(diǎn)A到桌面的最大高度＝BG+AF＝a+bsinα，故選：D．3．（2023?益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三點(diǎn)A（0，1），B（4，1），C（5，6），則sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【分析】過C作CD⊥AB交AB延長線于D，計算出CD、AC的長，根據(jù)正弦計算方法計算即可．【解答】解：過C作CD⊥AB交AB延長線于D，∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），∴D（5，1），∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，∴AC＝5，∴sin∠BAC＝＝，故選：C．4．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC＝．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．【解答】解：如圖，連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．5．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【分析】設(shè)AD＝t，根據(jù)已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【解答】解：設(shè)AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案為：．【中考模擬練】1．（2024?綏化模擬）在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB【分析】根據(jù)正弦、正切的定義計算，判斷即可．【解答】解：A、sinB＝，則b＝csinB，本選項說法錯誤；B、b＝csinB，本選項說法正確；C、tanB＝，則b＝atanB，本選項說法錯誤；D、b＝atanB，本選項說法錯誤；故選：B．2．（2024?湖州一模）如圖，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6cm，BC＝4cm”這些條件作△ABC．他先作出了∠A和AB，在用圓規(guī)作BC時，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C出現(xiàn)C1和C2兩個位置，那么C1C2的長是（）A．3cm B．4cm C．2cm D．2cm【分析】過點(diǎn)B作BM⊥AC2于點(diǎn)M，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BM＝3cm，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理求出C1M＝C2M＝cm，根據(jù)線段的和差求解即可．【解答】解：過點(diǎn)B作BM⊥AC2于點(diǎn)M，∵∠A＝30°，BM⊥AC2，AB＝6cm，∴BM＝AB＝3cm，∵BC1＝BC2＝4cm，BM⊥AC2，∴C1M＝C2M＝＝cm，∴C1C2＝2cm，故選：D．3．（2024?越秀區(qū)一模）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰△ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝40cm，則高AD為10.2cm．（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得BD＝20cm，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝20（cm），在Rt△ABD中，∠ABC＝27°，∴AD＝BD?tan27°≈20×0.51≈10.2（cm），∴高AD約為10.2cm，故答案為：10.2．4．（2024?溫州模擬）“圭表”是中國古代用來確定節(jié)氣的儀器．某“圭表”示意圖如圖所示，AC⊥BC，AC＝3米，測得某地夏至正午時“表”的影長CD＝1米，冬至?xí)r的正午太陽高度角∠ABC＝α，則夏至到冬至，影長差BD的長為（）A．（3sinα﹣1）米 B．米 C．（3tanα﹣1）米 D．米【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AC＝3米，∴BC＝＝（米），∵CD＝1米，∴BD＝BC﹣CD＝（﹣1）米，∴影長差BD的長為（﹣1）米，故選：D．5．（2024?西湖區(qū)一模）如圖，在4×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．若△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sinC的值為．【分析】連接格點(diǎn)B、D，利用勾股定理先求出AB、AD、BD、BC的長，再利用勾股定理的逆定理判斷△ABD是直角三角形，最后利用直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：連接格點(diǎn)B、D．由題圖知：AB＝＝，BC＝＝，BD＝＝2，AD＝＝．∵AD2+BD2＝2+8＝10，AB2＝10，∴AD2+BD2＝AB2．∴△ABD是直角三角形．∴∠ADB＝90°．∴∠BDC＝90°．在Rt△BDC中，sinC＝＝＝．故答案為：．6．（2024?雨花臺區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CD＝3，tanA＝，則AB＝6.5．【分析】根據(jù)CD⊥AB，得出tan∠BCD＝，再根據(jù)∠A＝∠BCD，得出tan∠BCD＝，根據(jù)CD＝3，則BD＝2，AD＝4.5，即可得出AB的長．【解答】解：∵CD⊥AB，∴tan∠BCD＝，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴tan∠BCD＝tanA＝＝，∴＝＝，∴BD＝2，AD＝4.5，∴BC＝AD+BD＝6.5．故答案為：6.5．題型02含三角函數(shù)的實(shí)數(shù)的運(yùn)算易錯點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值表αsinαcosαtanα30°45°60°特殊角的三角函數(shù)值，可以直接記數(shù)值，也可以記定義，然后現(xiàn)退對應(yīng)函數(shù)值，但顯然，直接熟記對應(yīng)數(shù)值會便捷很多。【中考真題練】1．（2023?云南）計算：|﹣1|+（﹣2）2﹣（π﹣1）0+（）﹣1﹣tan45°．【分析】利用絕對值的性質(zhì)，有理數(shù)的乘方，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式＝1+4﹣1+3﹣1＝4+3﹣1＝6．2．（2023?內(nèi)蒙古）計算：|﹣2|+（π﹣2023）0+（﹣）﹣2﹣2cos60°．【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值計算即可．【解答】解：原式＝2﹣2+1+4﹣2×＝2﹣2+1+4﹣1＝2+2．3．（2023?眉山）計算：（2）0﹣|1﹣|+3tan30°+（﹣）﹣2．【分析】原式利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，絕對值的代數(shù)意義，以及特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值．【解答】解：原式＝1﹣（﹣1）+3×+4＝1﹣+1++4＝6．4．（2023?瀘州）計算：3﹣1+（﹣1）0+2sin30°﹣（﹣）．【分析】原式利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，特殊角的三角函數(shù)值，以及減法法則計算即可求出值．【解答】解：原式＝+1+2×+＝+1+1+＝（+）+（1+1）＝1+2＝3．5．（2023?北京）計算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、絕對值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)計算．【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2＝2+3+2﹣2＝5．6．（2023?湘西州）計算：（π+2023）0+2sin45°﹣（）﹣1+|﹣2|．【分析】先計算零次冪，特殊角的正弦值，負(fù)指數(shù)冪，求解絕對值，再合并即可．【解答】解：＝＝＝1．【中考模擬練】1．（2024?歷城區(qū)一模）計算：．【分析】首先計算零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、開平方和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【解答】解：＝1+4×+﹣2＝1+2+﹣2＝．2．（2024?雁塔區(qū)模擬）計算：．【分析】首先計算乘方、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【解答】解：＝﹣|2×﹣2|﹣4＝3﹣|﹣2|﹣4＝3﹣（2﹣）﹣4＝3﹣2+﹣4＝﹣3．3．（2024?南山區(qū)二模）計算．【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．【解答】解：原式＝4﹣（3﹣）﹣2×+1＝4﹣3+﹣+1＝2．4．（2024?南山區(qū)二模）計算：．【分析】首先計算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、開平方、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【解答】解：＝2﹣1﹣3+﹣1+＝﹣．5．（2024?文山州一模）計算：．【分析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：＝2+1﹣2×+（﹣2）﹣1＝2+1﹣﹣2﹣1＝﹣2．考點(diǎn)二：解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用主要包含解答題中的仰角、俯角問題；坡角問題；方位角問題等。另外還經(jīng)常會和圓、三角形、網(wǎng)格等幾何圖形結(jié)合，計算中需要更加仔細(xì)一點(diǎn)。題型01解直角三角形的計算解題大招01：解直角三角形口訣“直乘斜除，對正臨余”——求直角三角形的直角邊，多用乘法；求斜邊，多用除法。求已知角的對邊，多用正弦或正切值；求已知角的臨邊，多用余弦值。常見輔助線：做垂線解題大招02：此類計算更多的是注意審題，因為題目中可能會要求精確位數(shù)，或者保留幾位有效數(shù)字，這時候要注意，一般計算到最后一步才帶入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計算，然后四舍五入。【中考真題練】1．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在點(diǎn)A右方，連接AB，BC，若tan∠ABC＝，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）．【分析】設(shè)C（a，0），結(jié)合A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離可得OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，通過解直角三角形可得∠OBA＝∠ABC，過C點(diǎn)作CD∥y軸交BA的延長線于點(diǎn)D，利用平行線的性質(zhì)可得△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，列比例式再代入計算可求解a值，進(jìn)而可求解．【解答】解：設(shè)C（a，0），∴OC＝a，∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，﹣3），∴OA＝1，AC＝a﹣1，OB＝3，BC＝，在Rt△OAB中，tan∠OBA＝，tan∠ABC＝，∴∠OBA＝∠ABC，過C點(diǎn)作CD∥y軸交BA的延長線于點(diǎn)D，∴∠OBA＝∠D，∠AOB＝∠ACD，∴△OBA∽△CDA，∠ABC＝∠D，∴，CD＝BC，∴，∴，解得a＝0（舍去）或a＝，∴C（，0），故答案為：（，0）．2．（2023?牡丹江）如圖，將45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)O與尺下沿的端點(diǎn)重合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點(diǎn)B在尺上的讀數(shù)恰為2cm，若按相同的方式將22.5°的∠AOC放置在該刻度尺上，則OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得到OB＝BD＝2cm，由平行線的性質(zhì)推出BC＝OB，即可求出CD長，得到OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)．【解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，∴∠BOC＝∠AOC，∵BC∥OA，∴∠BCO＝∠AOC，∴∠BCO＝∠BOC，∴BC＝OB，∵△ODB是等腰直角三角形，∴OB＝BD＝2cm，∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．∴OC與尺上沿的交點(diǎn)C在尺上的讀數(shù)為（2+2）cm．故答案為：（2+2）．3．（2023?丹東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，連接AB，BC，若tan∠ABC＝2，以BC為邊作等邊三角形BCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0）；點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1﹣2，2+）或（﹣1+2，2﹣）．【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，先求處AB＝5，再設(shè)BE＝t，由tan∠ABC＝2得CE＝2t，進(jìn)而得BC＝，由三角形的面積公式得S△ABC＝AC?OB＝AB?CE，即5×2t＝4×（3+OC），則OC＝﹣3，然后在Rt△BOC中由勾股定理得，由此解出t1＝2，t2＝10（不合題意，舍去），此時OC＝﹣3＝2，故此可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），由兩點(diǎn)間的距離公式得：BC2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，由△BCD為等邊三角形得，整理：，②﹣①整理得m＝3﹣2n，將m＝3﹣2n代入①整理得n2﹣4n+1＝0，解得n＝，進(jìn)而再求出m即可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，如圖：∵點(diǎn)A（3，0），B（0，4），由兩點(diǎn)間的距離公式得：AB＝＝5，設(shè)BE＝t，∵tan∠ABC＝2，在Rt△BCE中，tan∠ABC＝，∴＝2，∴CE＝2t，由勾股定理得：BC＝＝t，∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC＝OC+OA＝3+OC，∴S△ABC＝AC?OB＝AB?CE，即：5×2t＝4×（3+OC），∴OC＝﹣3，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC2﹣OB2＝OC2，即，整理得：t2﹣12t+20＝0，解得：t1＝2，t2＝10（不合題意，舍去），∴t＝2，此時OC＝﹣3＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），方法二：設(shè)BE＝2t，CE＝4t，AE＝3t，AC＝BC＝5t，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，n），由兩點(diǎn)間的距離公式得：BC2＝（﹣2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，BD2＝（m﹣0）2+（n﹣4）2，CD2＝（m+2）2+（n﹣0）2，∵△BCD為等邊三角形，∵BD＝CD＝BC，∴，整理得：，②﹣①得：4m+8n＝12，∴m＝3﹣2n，將m＝3﹣2n代入①得：（3﹣2n）2+n2﹣8n＝4，整理得：n2﹣4n+1＝0，解得：n＝，當(dāng)n＝時，m＝3﹣2n＝，當(dāng)n＝時，m＝3﹣2n＝，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．D在BC左側(cè)時，倍長BD，可得Rt△BCF，作FH⊥x軸于H，則CH＝4√3，F(xiàn)H＝2√3F（﹣2﹣4√3，2√3），中點(diǎn)公式可求點(diǎn)D，在BC右側(cè)的點(diǎn)D同理可求D．故答案為：（﹣2，0）；或．4．（2023?自貢）如圖，分別經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)A（4，0）的動直線a，b夾角∠OBA＝30°，點(diǎn)M是OB中點(diǎn)，連接AM，則sin∠OAM的最大值是（）A． B． C． D．【分析】作△AOB的外接圓⊙T，連接OT，TA，TB，取OT的中點(diǎn)K，連接KM．證明KM＝TB＝2，推出點(diǎn)M在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)AM與⊙K相切時，∠OAM的值最大，此時sin∠OAM的值最大．【解答】解：如圖，作△AOB的外接圓⊙T，連接OT，TA，TB，取OT的中點(diǎn)K，連接KM．∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，∴△OAT是等邊三角形，∵A（4，0），∴TO＝TA＝TB＝4，∵OK＝KT，OM＝MB，∴KM＝TB＝2，∴點(diǎn)M在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)AM與⊙K相切時，∠OAM的值最大，此時sin∠OAM的值最大，∵△OTA是等邊三角形，OK＝KT，∴AK⊥OT，∴AK＝＝＝2，∵AM是切線，KM是半徑，∴AM⊥KM，∴AM＝＝＝2，過點(diǎn)M作ML⊥OA于點(diǎn)L，KR⊥OA于點(diǎn)R，MP⊥RK于點(diǎn)P．∵∠PML＝∠AMK＝90°，∴∠PMK＝∠LMA，∵∠P＝∠MLA＝90°，∴△MPK∽△MLA，∴＝＝＝＝，設(shè)PK＝x，PM＝y(tǒng)，則有ML＝y(tǒng)，AL＝x，∴y＝+x①，y＝3﹣x，解得，x＝，y＝，∴ML＝y(tǒng)＝，∴sin∠OAM＝＝＝．故選：A．【中考模擬練】1．（2024?高青縣一模）如圖（1），在△ABC中，AB＝AC＝4，射線AN∥BC，D為AN上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥AB，交射線BC于點(diǎn)E．研究發(fā)現(xiàn)線段CE的長y與線段AD的長x之間的關(guān)系可用圖（2）的圖象表示，已知點(diǎn)M（8，2），則∠B的正切值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)可求出BC的長，再過點(diǎn)A作BC的垂線，構(gòu)造直角三角形即可解決問題．【解答】解：因為點(diǎn)M的坐標(biāo)為（8，2），如圖所示，AD′＝8，CE′＝2．過點(diǎn)C作D′E′的平行線，交AN于點(diǎn)F，∵CF∥D′E′，AN∥BC，∴四邊形CE′D′F是平行四邊形，∴D′F＝CE′＝2，∴AF＝8﹣2＝6．同理可得，四邊形ABCF是平行四邊形，∴BC＝AF＝6．過點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為M，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝．在Rt△ABM中，AM＝，∴tan∠B＝．故選：A．2．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝7，，將△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，若AB'平分∠BAC，則B'C的長為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得：AB∥A′B′，從而可得∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，∠B＝∠A′B′C，進(jìn)而可得tan∠EB′C＝tanB＝，然后在Rt△B′EC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可設(shè)EC＝4x，則B′E＝3x，從而利用勾股定理可得B′C＝5x，再利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△AEB′是等腰三角形，從而可得AE＝EB′＝3x，最后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：由平移得：AB∥A′B′，∴∠BAC＝∠B′EC＝90°，∠BAB′＝∠AB′E，∠B＝∠A′B′C，∵，∴tan∠EB′C＝tanB＝，在Rt△B′EC中，tan∠EB′C＝＝，∴設(shè)EC＝4x，則B′E＝3x，∴B′C＝＝＝5x，∵AB′平分∠BAC，∴∠BAB′＝∠B′AC，∴∠AB′E＝∠B′AC，∴AE＝EB′＝3x，在Rt△ABC中，AB＝7，∴tanB＝＝＝，解得：x＝，∴B′C＝5x＝，故選：B．3．（2024?松北區(qū)一模）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時，根據(jù)上述角的正對定義，則sad60°的值為（）A． B． C． D．1【分析】根據(jù)題意可知三角形是等邊三角形，依據(jù)正對定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時，且∠A＝60°，∴AB＝BC＝AC，∴sad60°＝＝1，故選：D．4．（2024?南通模擬）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的格點(diǎn)上，那么sin∠BAC的值為（）A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，利用等面積法求出CM，然后利用正弦是定義求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，由題意得AB＝，AC＝，∵S，即，解得CM＝，∴sin∠BAC＝．故選：C．5．（2024?涼州區(qū)一模）如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則cosA的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．【解答】解：如圖，從圖形可知：AE＝4，CE＝2，由勾股定理得：AC＝＝2，cosA＝．故選：D．6．（2024?金牛區(qū)模擬）如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，CD⊥AB且CD＝AB＝8，連接AD，BE⊥AB，且交∠DAB的平分線AE于點(diǎn)E，AE與DC相交于點(diǎn)F，EH⊥DC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，則AH的長為10﹣2．【分析】由∠ACD＝90°，CD＝AB＝8，AC＝BC＝AB＝4，求得AD＝4，再證明四邊形BCGE是矩形，則EG＝BC＝4，EG∥BC，所以∠HEA＝∠BAE，而∠HAE＝∠BAE，則∠HEA＝∠HAE，所以EH＝AH，由＝＝sinD，得＝，求得AH＝10﹣2，于是得到問題的答案．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°，∵點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，CD＝AB＝8，∴AC＝BC＝AB＝4，∴AD＝＝4，∵BE⊥AB，EH⊥DC，∴∠B＝∠BCG＝∠CGE＝90°，∴四邊形BCGE是矩形，∴EG＝BC＝4，EG∥BC，∴∠HEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠HAE＝∠BAE，∴∠HEA＝∠HAE，∴EH＝AH，∴HG＝EH﹣EG＝AH﹣4，HD＝AD﹣AH＝4﹣AH，∵∠HGD＝∠ACD＝90°，∴＝＝sinD，∴＝，∴解得AH＝10﹣2，故答案為：10﹣2．7．（2024?張店區(qū)一模）如圖，分別經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（1，0）的動直線l1，l2交于點(diǎn)C，在線段AC上取點(diǎn)D，連接BD．若∠ACB＝30°，且，則當(dāng)tan∠ABD的值最大時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．【分析】作△ABC的外接圓⊙M，連接AM，BM，CM，在AM上取點(diǎn)N，使，連接ND，BD，BN，過點(diǎn)N做NK⊥AB于K，過D作DG⊥x軸于G，過C作CH⊥x軸于H，證明△ABM是等邊三角形，可得出AM＝AB，∠MAB＝60°，根據(jù)三線合一性質(zhì)可判斷M在y軸上，證明△NAD∽△MAC，可求出，則點(diǎn)D在以N為圓心，ND為半徑的⊙N上運(yùn)動，當(dāng)BD與⊙N相切時，∠ABD最大，即tan∠ABD的值最大，此時利用勾股定理可求出，設(shè)設(shè)D（m，n），證明△ADG∽△ACH，可求出CH＝3n，AH＝3m+3，OH＝3m+2，則C（3m+2，3n），根據(jù)，CM＝2，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式列方程組，然后解方程組即可求解．【解答】解：作△ABC的外接圓⊙M，連接AM，BM，CM，在AM上取點(diǎn)N，使，連接ND，BD，BN，過點(diǎn)N做NK⊥AB于K，過D作DG⊥x軸于G，過C作CH⊥x軸于H，∵∠ACB＝30°，∴∠AMB＝2∠ACB＝60°，又AM＝BM，∴△ABM是等邊三角形，∴AM＝AB，∠MAB＝60°，∵A（﹣1，0），B（1，0），∴AO＝BO＝1，AM＝AB＝2，∴MO⊥AB，，∴M在y軸上，在Rt△ANK中，，∠NAK＝60°，∠AKN＝90°，∴，，∴，∴，∵，∴，又∠NAD＝∠MAC，∴△NAD∽△MAC∴，即∴，∴點(diǎn)D在以N為圓心，ND為半徑的⊙N上運(yùn)動，當(dāng)BD與⊙N相切時，∠ABD最大，即tan∠ABD的值最大此時∠BDN＝90°，∴，設(shè)D（m，n），∵DG⊥x軸，CH⊥x軸，∴DG∥CH，∴△ADG∽△ACH，∴，即，解得CH＝3n，AH＝3m+3，∴OH＝3m+2，∴C（3m+2，3n），∵，CM＝2，∴，化簡的，①﹣②，得，∴，即3n2＝（5m+3）2把3n2＝（5m+3）2代入①，得3m2﹣6m+（5m+3）2＝5，整理，得7m2+6m+1＝0，解得，，當(dāng)時，，∴，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為；當(dāng)時，，∴，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為；綜上，點(diǎn)C坐標(biāo)為或．故答案為：或．題型02解直角三角形的應(yīng)用解題大招01：解直角三角形應(yīng)用常見輔助線在實(shí)際測量高度、寬度、距離等問題中，常結(jié)合平面幾何知識構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)或相似三角形來解決問題，常見的構(gòu)造的基本圖形有如下幾種：（1）不同地點(diǎn)看同一點(diǎn)，如圖①（2）同一地點(diǎn)看不同點(diǎn)，如圖②（3）利用反射構(gòu)造相似，如圖③（4）常用結(jié)論：【中考真題練】1．如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37°的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材約21m（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得AD＝BD＝AB，然后在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC，AD的長，從而求出AB的長，最后進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，CD＝3m，∴AC＝≈＝5（m），AD＝≈＝4（m），∴CA＝CB＝5m，AB＝2AD＝8（m），∴共需鋼材約＝AC+CB+AB+CD＝5+5+8+3＝21（m），故答案為：21．2．（2023?鹽城）如圖1，位于市區(qū)的“鐵軍”雕塑“大銅馬”是鹽城市標(biāo)志性文化名片，如圖2，線段AB表示“鐵軍”雕塑的高，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，則線段AB的長約為15m．（計算結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【分析】由外角的性質(zhì)可求∠ADB＝∠CAD＝30°，可得AC＝CD＝17.5m，由銳角三角函數(shù)可求解．【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∠ACB＝∠ADB+∠CAD，∴∠ADB＝∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝17.5m，∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝AC?sin∠ACB＝AC≈15m，故答案為：15．3．（2023?棗莊）如圖所示，桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶．當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處，若已知：杠桿AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以繞著點(diǎn)O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時∠AOM＝45°，此時點(diǎn)B到水平地面EF的距離為（3+）米．（結(jié)果保留根號）【分析】過點(diǎn)O作OC⊥BT，垂足為C，根據(jù)題意可得：BC∥OM，從而可得∠AOM＝∠OBC＝45°，再根據(jù)已知易得AO＝4米，OB＝2米，然后在Rt△OBC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：過點(diǎn)O作OC⊥BT，垂足為C，由題意得：BC∥OM，∴∠AOM＝∠OBC＝45°，∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，∴AO＝4米，OB＝2米，在Rt△OBC中，BC＝OB?cos45°＝2×＝（米），∵OM＝3米，∴此時點(diǎn)B到水平地面EF的距離＝BC+OM＝（3+）米，故答案為：（3+）．4．（2023?湘潭）問題情境：筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運(yùn)動，每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)t＝0時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時∠AOM＝30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動到點(diǎn)B處．問題解決：（1）求該盛水筒從A處逆時針旋轉(zhuǎn)到B處時，∠BOM的度數(shù)；（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)≈1.414，≈1.732）【分析】（1）求出筒車每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)，再根據(jù)周角的定義進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系分別求出OD、OC即可．【解答】解：（1）由于筒車每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒．所以每秒轉(zhuǎn)過360°÷120＝3°，∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；（2）如圖，過點(diǎn)B、點(diǎn)A分別作OM的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D，在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，∴OD＝OA＝（米）．在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，∴OC＝OB＝（米），∴CD＝OD﹣OC＝﹣≈0.3（米），即該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時到水面的距離約為0.3米．5．（2023?貴州）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計示意圖如圖②所示，以山腳A為起點(diǎn)，沿途修建AB、CD兩段長度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂D處，中途設(shè)計了一段與AF平行的觀光平臺BC為50m．索道AB與AF的夾角為15°，CD與水平線夾角為45°，A、B兩處的水平距離AE為576m，DF⊥AF，垂足為點(diǎn)F．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、E、F在同一水平線上）（1）求索道AB的長（結(jié)果精確到1m）；（2）求水平距離AF的長（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，）【分析】（1）通過解Rt△ABE可求得AB的長；（2）延長BC交DF于G，證明四邊形BEFG是矩形，可得EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，再解Rt△CDG可求解CG的長，進(jìn)而可求解．【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，∴AB＝（m），即AB的長約為600m；（2）延長BC交DF于G，∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°，∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°，∴四邊形BEFG為矩形，∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，∴CG＝CD?cos∠DCG＝600×cos45°＝600×＝（m），∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），即AF的長為1049m．6．（2023?金昌）如圖1，某人的一器官后面A處長了一個新生物，現(xiàn)需檢測其到皮膚的距離（圖1）．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測技術(shù)，檢測射線可避開器官從側(cè)面測量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計算出新生物到皮膚的距離方案如下：課題檢測新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖說明如圖2，新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的B處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠DBN；再在皮膚上選擇距離B處9cm的C處照射新生物，檢測射線與皮膚MN的夾角為∠ECN．測量數(shù)據(jù)∠DBN＝35°，∠ECN＝22°，BC＝9cm請你根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，計算新生物A處到皮膚的距離．（結(jié)果精確到0.1cm）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【分析】過點(diǎn)A作AF⊥MN，垂足為F，設(shè)BF＝xcm，則CF＝（x+9）cm，然后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，再在Rt△ACF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥MN，垂足為F，設(shè)BF＝xcm，∵BC＝9cm，∴CF＝BC+BF＝（x+9）cm，在Rt△ABF中，∠ABF＝∠DBN＝35°，∴AF＝BF?tan35°≈0.7x（cm），在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ECN＝22°，∴AF＝CF?tan22°≈0.4（x+9）cm，∴0.7x＝0.4（x+9），解得：x＝12，∴AF＝0.7x＝8.4（cm），∴新生物A處到皮膚的距離約為8.4cm．7．（2023?山西）2023年3月，水利部印發(fā)《母親河復(fù)蘇行動河湖名單（2022﹣2025年）》，我省境內(nèi)有汾河、桑干河、洋河、清漳河、濁漳河、沁河六條河流入選，在推進(jìn)實(shí)施母親河復(fù)蘇行動中，需要砌筑各種駁岸（也叫護(hù)坡）．某?！熬C合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“母親河駁岸的調(diào)研與計算”作為一項課題活動，利用課余時間完成了實(shí)踐調(diào)查，并形成了如下活動報告．請根據(jù)活動報告計算BC和AB的長度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）．課題母親河駁岸的調(diào)研與計算調(diào)查方式資料查閱、水利部門走訪、實(shí)地查看了解調(diào)查內(nèi)容功能駁岸是用來保護(hù)河岸，阻止河岸崩塌或沖刷的構(gòu)筑物材料所需材料為石料、混凝土等駁岸時剖面圖相關(guān)數(shù)據(jù)及說明：圖中，點(diǎn)A，B，C，D，E在同一豎直平面內(nèi)，AE和CD均與地面平行，岸墻AB⊥AE于點(diǎn)A，∠BCD＝135°，∠EDC＝60°，ED＝6m，AE＝1.5m，CD＝3.5m．計算結(jié)果…交通展示…【分析】過E作EF⊥CD于F，延長AB，CD交于H，得到∠EFD＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：過E作EF⊥CD于F，延長AB，CD交于H，∴∠EFD＝90°，由題意得，在Rt△EFD中，，cos，∴（m），∴FD＝ED?cos∠EDF＝6×cos60°＝6×＝3（m），由題意得，∠H＝90°，四邊形AEFH是矩形，∴，HF＝AE＝1.5m，∵CF＝CD﹣FD＝3.5﹣3＝0.5（m），∴CH＝HF﹣CF＝1.5﹣0.5＝1（m），在Rt△BCH中，∠H＝90°，∠BCH＝180°﹣∠BCD＝180°﹣135°＝45°，∵，∴1.4（m），∴BH＝CH?tan∠BCH＝1×tan45°＝1（m），∴AB＝AH﹣BH＝3．答：BC的長度約為1.4m，AB的長度約為4.2m．8．（2023?河南）綜合實(shí)踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀ABCD為正方形，AB＝30cm，頂點(diǎn)A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點(diǎn)D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線AM交BC于點(diǎn)H．經(jīng)測量，點(diǎn)A距地面1.8m，到樹EG的距離AF＝11m，BH＝20cm．求樹EG的高度（結(jié)果精確到0.1m）．【分析】由題意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，F(xiàn)G＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，進(jìn)而求得，利用EG＝EF+FG即可求解．【解答】解：由題意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，F(xiàn)G＝1.8m，則∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，∴∠EAF＝∠BAH，∵AB＝30cm，BH＝20cm，則tan∠EAF＝＝，∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，∵AF＝11m，則，∴EF＝，∴EG＝EF+FG＝1.8≈9.1m．答：樹EG的高度約為9.1m．9．（2023?濟(jì)南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知AB＝1m，BC＝0.6m，∠ABC＝123°，該車的高度AO＝1.7m．如圖2，打開后備廂，車后蓋ABC落在AB'C'處，AB'與水平面的夾角∠B'AD＝27°．（1）求打開后備廂后，車后蓋最高點(diǎn)B'到地面l的距離；（2）若小琳爸爸的身高為1.8m，他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險？請說明理由．（結(jié)果精確到0.01m，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，≈1.732）【分析】（1）作B′E⊥AD，垂足為點(diǎn)E，先求出B′E的長，再求出B′E+AO的長即可；（2）過C′作C′F⊥B′E，垂足為點(diǎn)F，先求得∠AB′E＝63°，再得到∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，再求得B′F＝B′C′?cos60°＝0.3m，從而得出C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85（m），最后比較即可．【解答】解：（1）如圖，作B′E⊥AD，垂足為點(diǎn)E，在Rt△AB′E中，∵∠B′AD＝27°，AB′＝AB＝1m，∴sin27°＝，∴B′E＝AB′sin27°≈1×0.454＝0.454m，∵平行線間的距離處處相等，∴B′E+AO＝0.454+1.7＝2.154≈2.15m，答：車后蓋最高點(diǎn)B′到地面的距離為2.15m．（2）沒有危險，理由如下：如圖，過C′作C′F⊥B′E，垂足為點(diǎn)F，∵∠B′AD＝27°，∠B′EA＝90°，∴∠AB′E＝63°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝123°，∴∠C′B′F＝∠AB′C′﹣∠AB′E＝60°，在Rt△B′FC′中，B′C′＝BC＝0.6m，∴B′F＝B′C′?cos60°＝0.3m．∵平行線間的距離處處相等，∴C′到地面的距離為2.15﹣0.3＝1.85m．∵1.85＞1.8，∴沒有危險．【中考模擬練】1．（2024?洛龍區(qū)一模）如圖，某汽車車門的底邊長為0.95m，車門側(cè)開后的最大角度為72°，若將一扇車門側(cè)開，則這扇車門底邊上所有點(diǎn)中到車身的最大距離是（）m．A．0.95 B．0.95sin72° C．0.95cos72° D．0.95tan72°【分析】過點(diǎn)N作NH⊥OM于點(diǎn)H，則NH為最大距離，根據(jù)三角函數(shù)作答即可．【解答】解：過點(diǎn)N作NH⊥OM于點(diǎn)H，則NH為最大距離，在Rt△OMN中，ON＝0.95m，∠NOH＝72°，∴NH＝ON?sin∠NOH＝0.95sin72°，故選：B．2．（2024?福田區(qū)二模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測量建筑物CD的高度，如圖，建筑物CD前有一段坡度為i＝1：2的斜坡BE，小明同學(xué)站在山坡上的B點(diǎn)處，用測角儀測得建筑物屋頂C的仰角為37°，接著小明又向下走了米，剛好到達(dá)坡底E處，這是測到建筑物屋頂C的仰角為45°，A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)，若測角儀的高度AB＝EF＝1.5米，則建筑物CD的高度約為（）米．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．38.5米 B．39.0米 C．40.0米 D．41.5米【分析】設(shè)CD＝x米．延長AB交DE于H，作AM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥CD于N，求出BH＝4（米），EH＝8（米），由矩形的性質(zhì)得出AM＝DH，AH＝DM，F(xiàn)N＝DE，F(xiàn)E＝DN＝1.5（米），在Rt△CFN中，求出CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），在Rt△ACM中，由AM＝≈，得出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)CD＝x米．延長AB交DE于H，作AM⊥CD于M，F(xiàn)N⊥CD于N，如圖所示：在Rt△BHE中，∵BE＝4米，BH：EH＝1：2，∴BH＝4（米），EH＝8（米），∵四邊形AHDM是矩形，四邊形FEDN是矩形，∴AM＝DH，AH＝DM，F(xiàn)N＝DE，F(xiàn)E＝DN＝1.5（米），在Rt△CFN中，∵∠CFN＝45°，∴CN＝FN＝DE＝（x﹣1.5）（米），∵AM＝DH＝（8+x﹣1.5）（米），CM＝（x﹣5.5）（米），在Rt△ACM中，∵∠CAM＝37°，∴AM＝≈，∴8+x﹣1.5≈，∴x≈41.5（米），∴CD≈41.5米，故選：D．3．（2024?光明區(qū)二模）如圖，在坡比為的斜坡上有一電線桿AB．某時刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，此時電線桿在斜坡上的影長BC為30米，則電線桿AB的高為（）米．A． B． C． D．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)D，根據(jù)坡度的概念、勾股定理分別求出BD、CD，根據(jù)平行投影求出AD，進(jìn)而求出AB．【解答】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)D，設(shè)BD＝x米，∵斜坡AB的坡度為1：，∴CD＝x米，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，即302＝（x）2+x2，解得：x＝15（負(fù)值舍去），則BD＝15米，CD＝15米，由題意可知：AD＝CD＝15米，∴AB＝AD﹣BD＝（15﹣15）米，故選：C．4．（2024?安丘市一模）如圖，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，點(diǎn)M，A，B在同一條直線上，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AM＝5米，AB＝10米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，則警示牌的高CD為3.7米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）【分析】根據(jù)題意可得：CM⊥MB，然后分別在Rt△ADM和Rt△CMB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DM和CM的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：由題意得：CM⊥MB，在Rt△ADM中，AM＝5米，∠MAD＝45°，∴DM＝AM?tan45°＝5（米），∵AB＝10米，∴MB＝AM+AB＝15（米），在Rt△CMB中，∠CBM＝30°，∴CM＝BM?tan30°＝15×＝5（米），∴CD＝CM﹣DM＝5﹣5≈3.7（米），∴警示牌的高CD約為3.7米，故答案為：3.7．5．（2024?洪山區(qū)模擬）黃鶴樓位于湖北省武漢市，地處蛇山之巔，瀕臨萬里長江，為武漢市地標(biāo)建筑．身高1.4m的小偉今天在司門口黃鶴樓地鐵站C出口（圖中點(diǎn)A處）觀察黃鶴樓的仰角α＝12.8°，前行120m來到民主路上（圖中點(diǎn)B處）后，觀察黃鶴樓的仰角β＝26.6°．那么據(jù)此可以估算出黃鶴樓的高度為51.4m．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，）【分析】在Rt△BEF中，根據(jù)三角函數(shù)求出BF，AF＝BF+AB，在Rt△AEF中，根據(jù)三角函數(shù)求出EF，EF＝（+120）×tan12.8°，EG＝EF+FG，進(jìn)而作答即可．【解答】解：如圖，標(biāo)記相關(guān)字母，在Rt△BEF中，BF＝，∴AF＝BF+AB＝+120，在Rt△AEF中，EF＝AF?tan12.8°，即EF＝（+120）×tan12.8°，∴EF＝120÷（）≈50（m），EG＝EF+FG＝50+1.4＝51.4（m），故答案為：51.4．6．（2024?興慶區(qū)校級一模）如圖，圖1是一輛電動車，圖2為其示意圖，點(diǎn)A為座墊，AB⊥BC，AB高度可調(diào)節(jié)，其初始高度為35cm，CD為車前柱，CD＝122cm，∠C＝70°，根據(jù)該款車提供信息表明，當(dāng)騎行者手臂DE與車前柱DC夾角為80°時，騎行者最舒適，若某人手臂長60cm，肩膀到座墊的高