ch3-行波法與積分變換法

chapter3行波法只適用波動(dòng)方程的初值問題.積分變換法可用于任何方程類型，但主要用于自變量為無限的情形，其主要思想：降維使用積分變換法的兩個(gè)困難：1、選取哪一種積分變換2、逆變換難求行波法與積分變換法教學(xué)基本要求(1)掌握一維波動(dòng)方程初值問題的達(dá)朗貝爾公式；(2)了解三維波動(dòng)方程的泊松公式；(3)理解積分變換法在解微分方程中的應(yīng)用。重點(diǎn)：一維波動(dòng)方程初值問題的達(dá)郎貝爾公式；積分變換法在解微分方程中的應(yīng)用。難點(diǎn)：三維波動(dòng)方程的泊松公式。積分變換法解微分方程。本章內(nèi)容ssss3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式ssss3.3積分變換法舉例一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式ssss3.1ssss3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式chapter3五、行波法四、達(dá)朗貝爾解的物理意義三、達(dá)朗貝爾解的適定性二、達(dá)朗貝爾(D′Alembert)公式一、一維齊次波動(dòng)方程的通解六、非齊次方程情形現(xiàn)在我們討論無限長弦的自由橫向振動(dòng)。設(shè)弦的初始狀態(tài)為，即定解問題“無限長”桿的自由橫向振動(dòng)，“無限長”理想傳輸線上的電流、電壓的變化規(guī)律均提出與之相同的定解問題。一、一維齊次波動(dòng)方程的通解利用復(fù)合函數(shù)微分法那么得:用行波法求解這一問題，首先求出的通解，其次再利用初始條件確定特解?？勺魅缦麓鷵Q:同理有:一、一維齊次波動(dòng)方程的通解代入得:其中都是任意二次連續(xù)可微函數(shù)。一、一維齊次波動(dòng)方程的通解通解(包含有兩個(gè)任意函數(shù)的解)二、達(dá)朗貝爾(D′Alembert)公式利用初始條件來確定通解中的任意函數(shù)。將通解帶入定解條件中，得:將上式代回到二、達(dá)朗貝爾(D′Alembert)公式這就是達(dá)朗貝爾公式或稱為達(dá)朗貝爾解.中，即得方程定解問題的特解:三、達(dá)朗貝爾解的適定性易于驗(yàn)證，只要(x)

有直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，(x)有一階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，達(dá)朗貝爾解是滿足定解問題的，即達(dá)朗貝爾解是存在的。又從求解的方法中看到，通解中的任意函數(shù)以由初始條件完全確定，故達(dá)朗貝爾解是唯一的?，F(xiàn)在來證明達(dá)朗貝爾解的穩(wěn)定性。

設(shè)初始條件有兩組，且它們相差很小，即:即:那么由達(dá)朗貝爾公式三、達(dá)朗貝爾解的適定性有:所以在有限的時(shí)間內(nèi)，當(dāng)初始條件有微小改變時(shí)，其解也只有微小改變，即達(dá)朗貝爾解是穩(wěn)定的。綜上所述，達(dá)朗貝爾解是適定的.三、達(dá)朗貝爾解的適定性四、達(dá)朗貝爾解的物理意義定義右行波和左行波的疊加(相加)就給出弦的位移。即達(dá)朗貝爾解表示右行波和左行波的疊加。依賴區(qū)間表示一個(gè)以速度a沿x軸正方向傳播的行波，稱為右行波。表示一個(gè)以速度a沿x軸負(fù)方向傳播的行波，稱為左行波。決定區(qū)間影響區(qū)間四、達(dá)朗貝爾解的物理意義在區(qū)間[x1，x2]上給定初始條件，就可以在其決定區(qū)間域中決定初值問題的解。四、達(dá)朗貝爾解的物理意義由此可以看出，在x—t平面上斜率為的兩族直線常數(shù)，對一維波動(dòng)方程的研究起著重要的作用，我們稱其為一維波動(dòng)方程的特征線。四、達(dá)朗貝爾解的物理意義因?yàn)樵谔卣骶€x-at=C2上，右行波u2=f2(x-at)的振幅取常數(shù)值f2(C2)；在特征線x+at=C1上，左行波u1=f1(x+at)的振幅取常數(shù)值f1(C1)，且這兩個(gè)數(shù)值隨特征線的移動(dòng)(即常數(shù)Ci(i=1，2)的改變)而改變，所以波動(dòng)實(shí)際上是沿特征線傳播的。變換常稱為特征變換，行波法也稱為特征線法。四、達(dá)朗貝爾解的物理意義注：容易看出,一維波動(dòng)方程的兩族特征線x

at=常數(shù),正好是常微分方程(dx)2-a2(dt)2=0的積分曲線(解)。這個(gè)常微分方程稱為波動(dòng)方程的特征方程。對于更一般的二階線性偏微分方程四、達(dá)朗貝爾解的物理意義它的特征方程為A(dy)2-2Bdxdy+C(dx)2=0這個(gè)常微分方程的積分曲線稱為偏微分方程(1)的特征曲線。二階線性偏微分方程的特征線僅與該方程中的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)有關(guān)，而與其低階項(xiàng)的系數(shù)是無關(guān)的。四、達(dá)朗貝爾解的物理意義并不是任意一個(gè)二階線性偏微分方程(1)都有兩族實(shí)的特征線。例如，假設(shè)在某一區(qū)域內(nèi)B2-AC<0，那么過此域內(nèi)每一點(diǎn)都不存在實(shí)的特征線；假設(shè)在某區(qū)域內(nèi)，B2-AC=0，那么過此域內(nèi)每一點(diǎn)僅有一條實(shí)的特征線；只有在B2-AC>0的區(qū)域內(nèi)，過其中每一點(diǎn)才有兩條相異實(shí)的特征線。四、達(dá)朗貝爾解的物理意義假設(shè)在某域內(nèi)B2-AC<0，那么在此域內(nèi)稱(1)為橢圓型方程。拉普拉斯方程及泊松方程均屬于橢圓型；假設(shè)在某域內(nèi)B2-AC=0，那么在此域內(nèi)稱(1)為拋物型方程。熱傳導(dǎo)方程屬于拋物型；假設(shè)在某域內(nèi)B2-AC>0，那么在此域內(nèi)稱(1)為雙曲線方程。波動(dòng)方程屬于雙曲線型。特點(diǎn):(1)求解出發(fā)點(diǎn)是基于波動(dòng)現(xiàn)象的特點(diǎn)為背景的變量變換;(2)引入了坐標(biāo)變換來簡化方程;(3)優(yōu)點(diǎn)：求解方式易于理解，求解波動(dòng)方程十分方便;(4)缺點(diǎn):通解不易求，使之有局限性，一般只用它求解波動(dòng)問題。五、行波法例題求以下柯西問題的解.它的兩族積分線為:先確定所給方程的特征線。為此寫出它的特征方程:例1解例題其中f1，f2都是任意二次連續(xù)可微函數(shù)。原方程的通解為:它的通解為:例題代入得:例題代入得到所求的解為:例題例2求方程的一般解。解：特征方程為特征曲線為例題所以，做變換那么原方程可以變?yōu)槠渲衒1,f2是任意的二次連續(xù)可微函數(shù)。六、非齊次方程可以證明其解為：解：代入下式，例3求解下面初值問題：得ENDssss3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式chapter3三、泊松公式的物理意義二、三維波動(dòng)方程的泊松公式一、三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解四、小結(jié)定解問題現(xiàn)在我們討論在三維無限空間中的波動(dòng)問題:其中M代表空間中任意一點(diǎn),這個(gè)定解問題仍可用行波法來解，但由于坐標(biāo)變量有三個(gè)，不能直接利用通解公式。下面先考慮一個(gè)特例。一、三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解球?qū)ΨQ即u與θ,都無關(guān)。將波動(dòng)函數(shù)u用空間球坐標(biāo)(r,θ,)來表示.那么:而或這就是三維波動(dòng)方程的關(guān)于原點(diǎn)為球?qū)ΨQ的解，其中f1,f2是任意二次連續(xù)可微函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)可以通過指定的初始條件來確定。所以最后得:一、三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解或這是關(guān)于ru的一維波動(dòng)方程，其通解為:二、三維波動(dòng)方程的泊松公式稱之為函數(shù)u(M,t)

在以為中心,r為半徑的球面上的平均值.其中為立體角元.很容易看出和我們所要求的有很緊密的聯(lián)系:1.平均值法

引入函數(shù):因此,欲求波動(dòng)方程的解u(M，t)在任意一點(diǎn)M0任意時(shí)刻t0的值u(M0，t0)，只要先求u(M，t)在t0時(shí)刻，以M0為中心，r為半徑的球面上的平均值，再令r0即可。二、三維波動(dòng)方程的泊松公式這種處理問題的方法稱為平均值法。這里各坐標(biāo)變量之間的關(guān)系為:2、三維齊次波動(dòng)方程的通解二、三維波動(dòng)方程的泊松公式又因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中:即類似的的有:二、三維波動(dòng)方程的泊松公式二、三維波動(dòng)方程的泊松公式其通解為:二、三維波動(dòng)方程的泊松公式而可以證明或?qū)懗?二、三維波動(dòng)方程的泊松公式上式稱為三維波動(dòng)方程的泊松公式，它給出了三維無界空間波動(dòng)方程的初值問題的解。二、三維波動(dòng)方程的泊松公式其中M′表示以M為中心at為半徑的球面上的動(dòng)點(diǎn).三、泊松公式的物理意義泊松公式的物理意義很明顯，它說明定解問題的解在M點(diǎn)t時(shí)刻之值，由以M為中心at為半徑的球面上的初始值而確定.如圖，設(shè)初始擾動(dòng)限于空間某個(gè)區(qū)域T0，d為M點(diǎn)到T0的最近距離，D為M點(diǎn)與T0的最大距離，那么:1.當(dāng)at<d，即t<d/a時(shí)，與T0不相交，

(M)和

(M)之值均不為零，因而兩個(gè)積分之值亦均不為零，即u(M，t)=0。這表示擾動(dòng)的前鋒尚未到達(dá)。三、泊松公式的物理意義這種現(xiàn)象在物理學(xué)中稱為惠更斯(Huygens)原理或無后效現(xiàn)象.3.當(dāng)at>D，即t>D/a，與T0也不相交，因而同樣u(M，t)=0，這表明擾動(dòng)的陣尾已經(jīng)過去了。2.當(dāng)d<at<D，即d/a<t<D/a時(shí)，與T0相交，

(M),

(M)之值不為零，因而積分之值亦不為零，即u(M，t)

0，這表明擾動(dòng)正在經(jīng)過M點(diǎn)。三、泊松公式的物理意義由于在點(diǎn)(

，

，

)的初始擾動(dòng)是向各方向傳播的，在時(shí)間t它的影響是在以(

，

，

)為中心，at為半徑的一個(gè)球面上，因此解稱為球面波。事實(shí)上如果u與z無關(guān)，則，這時(shí)三維波動(dòng)方程的始值問題就變成二維波動(dòng)方程的始值問題：從三維波動(dòng)方程的泊松公式我們也可以得到二維波動(dòng)方程初值問題的解。三、泊松公式的物理意義要想從泊松公式得到上述問題解的表達(dá)式，就應(yīng)將泊松公式中兩個(gè)沿球面的積分轉(zhuǎn)化成沿圓域內(nèi)的積分，下面以為例說明這個(gè)轉(zhuǎn)化方法。三、泊松公式的物理意義其中S1，S2分別表示球面的上半球面與下半球面。把右端的曲面積分化成二重積分可得先將這個(gè)積分拆成兩局部：由于被積函數(shù)不依賴于變量z，所以上式右端兩個(gè)積分是相等的，即三、泊松公式的物理意義同理將這兩個(gè)等式代入三維波動(dòng)方程的泊松公式，即得問題的解為三、泊松公式的物理意義，這種現(xiàn)象稱為有后效。當(dāng)時(shí)，由于圓域包含了區(qū)域T0，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也就是說，在二維情形，局部范圍內(nèi)的初始擾動(dòng)，具有長期的連續(xù)的后效特性，擾動(dòng)有清晰的“前鋒”，而無“陣尾”，這一點(diǎn)與球面波不同。三、泊松公式的物理意義在空間坐標(biāo)系內(nèi)表示母線平行與z軸的直圓柱面，所以在過(

,

)點(diǎn)平行于z軸的無限長的直線上的初始擾動(dòng)，在時(shí)間t后的影響是在以該直線為軸，at為半徑的圓柱面內(nèi)，因此解稱為柱面波。平面上以點(diǎn)(

,

)為中心的圓周的方程設(shè),,求方程相應(yīng)柯西問題的解.例題將給定的初始條件與代入三維波動(dòng)方程的泊松公式，得到所要求的解為:例1解對于齊次偏微分方程，自由振動(dòng)定解問題的解直接由達(dá)朗貝爾公式給出.四、小結(jié)ssss3.3積分變換法舉例chapter3二、拉普拉斯變換法一、傅里葉變換法積分變換法是通過積分變換簡化定解問題的一種有效的求解方法.三、小結(jié)

積分變換—就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)f(x)，經(jīng)過某種可逆的積分手續(xù):定義積分變換變成另一函數(shù)類B中的函數(shù)F(p)。F(p)—f(x)的像函數(shù)f(x)—像原函數(shù)k(x，p)是p和x的函數(shù)—積分變換的核.下面我們通過例題來說明用積分變換法解定解問題的一般步驟。

無界桿上的熱傳導(dǎo)問題設(shè)有一根無限長的桿，桿上具有強(qiáng)度為F(x，t)的熱源，桿的初始溫度為

(x)，試求t>0

時(shí)桿上溫度的分布規(guī)律。一、傅里葉變換法其中這個(gè)問題可歸結(jié)為求解以下定解問題:例1解由于方程是非齊次的，且求解的區(qū)域又是無界的，因此用別離變量法來解將導(dǎo)致比較復(fù)雜的運(yùn)算。對方程兩端關(guān)于x分別進(jìn)行傅氏變換，并記:一、傅里葉變換法現(xiàn)在我們用傅里葉變換來解.那么有:這是帶參數(shù)

關(guān)于變量t的常微分方程的初值問題，解之得:一、傅里葉變換法對取傅里葉逆變換。查表可知:即得原定解問題的解.一、傅里葉變換法卷積性質(zhì)由這個(gè)例子可以看出，用積分變換法解定解問題的步驟:1、對方程和定解條件(關(guān)于某個(gè)變量)取變換。2、解變換后得到的像函數(shù)的常微分方程的定解問題。3、求像函數(shù)的逆變換(反演)即得原定解問題的解。一個(gè)函數(shù)當(dāng)它未作綜合工作之前，用積分變換法所求的解都只是形式解。積分變換二、拉普拉斯變換法一條半無限長的桿，端點(diǎn)溫度變化情況為，桿的初始溫度為0℃，求桿上溫度的分布規(guī)律。由于此題為半無界問題，因此不能用傅里葉變換來解。下面我們用拉普拉斯變換來解.這個(gè)問題可歸結(jié)為求解以下定解問題:例2解對方程兩邊關(guān)于變量t做拉氏變換，并記:二、拉普拉斯變換法再對邊界條件關(guān)于變量t做拉氏變換，并記:代入初始條件得:常微分方程的通解為:二、拉普拉斯變換法對U(x，p)求拉普拉斯逆變換，查表可知:由邊界條件可得:微分性質(zhì)卷積性質(zhì)即所要求的解.二、拉普拉斯變換法應(yīng)用積分變換法需要注意以下幾點(diǎn):1、選取恰當(dāng)?shù)姆e分變換首先要注意自變量的變化范圍，其次要注意定解條件的形式。2、但凡對方程取變換時(shí)沒有用到的條件都要對它取變換，使它轉(zhuǎn)化為新方程的定解條件。3、求逆變換：查表并運(yùn)用變換的性質(zhì)；由逆變換公式來求，常常要用留數(shù)定理計(jì)算積分。積分變換

設(shè)有一長為l的均勻桿,其一端固定，另一端由靜止?fàn)顟B(tài)開始受力的作用，力F的方向和桿的軸線一致，求桿作縱振動(dòng)的規(guī)律.二、拉普拉斯變換法其中E為楊氏模量.由于桿作縱振動(dòng)與弦作橫振動(dòng)的方程完全相同。因此這個(gè)問題可歸結(jié)為求解以下定解問題:例3解對定解問題兩邊分別取關(guān)于t的拉普拉斯變換，得:二、拉普拉斯變換法求逆變換，即得原定解問題的解。二、拉普拉斯變換法記而二、拉普拉斯變換法即原方程所要求的解.