2024屆安徽省阜陽市皖江名校聯(lián)盟高三模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題

姓名______座位號______（在此卷上答題無效）數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19題。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。考生注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為（）A. B. C. D.3.記，，，則（）A. B. C. D.4.已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線，，.“，，共面”是“，，兩兩相交”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知復(fù)數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.6.在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是（）A.常數(shù)項(xiàng)為 B.各項(xiàng)的系數(shù)和為64C.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大 D.奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量與關(guān)于軸對稱，若向量滿足，記的軌跡為，則（）A.是一條垂直于軸的直線 B.是兩條平行直線C.是一個(gè)半徑為1的圓 D.是橢圓8.設(shè)正數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列 C.單調(diào)遞增 D.單調(diào)遞增二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如表，若離散型隨機(jī)變量滿足，則（）012340.10.40.20.2A. B.，C.， D.，10.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，且圖中陰影部分的面積為，則（）A.B.點(diǎn)是曲線的一個(gè)對稱中心C.直線是曲線的一條對稱軸D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減11.拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為直線，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，分別過，作拋物線的切線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)在直線上 B.點(diǎn)在直線上的投影是定點(diǎn)C.以為直徑的圓與直線相切 D.的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知，則的最小值為______.13.已知三棱錐的外接球?yàn)榍颍瑸榍虻闹睆?，且，，，則三棱錐的體積為______.14.“完全數(shù)”是一類特殊的自然數(shù)，它的所有正因數(shù)的和等于它自身的兩倍.尋找“完全數(shù)”用到函數(shù)，為的所有正因數(shù)之和，如，則______；______.四、解答題：共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）已知函數(shù)的最小正周期為，且函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的函數(shù)為偶函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式，并通過列表、描點(diǎn)在給定坐標(biāo)系中作出函數(shù)在上的圖象；（2）在銳角中，，，分別是角，，的對邊，若，求的值域.16.（15分）籃球運(yùn)動深受青少年喜愛，2024《街頭籃球》全國超級聯(lián)賽賽程正式公布，首站比賽將于4月13日正式打響，于6月30日結(jié)束，共進(jìn)行13站比賽.（1）為了解喜愛籃球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，某統(tǒng)計(jì)部門在某地隨機(jī)抽取了男性和女性各100名進(jìn)行調(diào)查，得到列聯(lián)表如下：喜愛籃球運(yùn)動不喜愛籃球運(yùn)動合計(jì)男性6040100女性2080100合計(jì)80120200依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動與性別有關(guān)？（2）某校籃球隊(duì)的甲、乙、丙、丁四名球員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能將球傳給另外三個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到.記甲第次觸球的概率為，則.（i）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）判斷第24次與第25次觸球者是甲的概率的大小.附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.（15分）如圖，在圓臺中，，分別為上、下底面的直徑，且，，為異于，的一條母線.（1）若為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值.18.（17分）已知函數(shù)，其中.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的最小值；（2）若對于任意均成立，且的最小值為1，求實(shí)數(shù).19.（17分）如圖，各邊與坐標(biāo)軸平行或垂直的矩形內(nèi)接于橢圓，其中點(diǎn)，分別在第三、四象限，邊，與軸的交點(diǎn)為，.（1）若，且，為橢圓的焦點(diǎn)，求橢圓的離心率；（2）若是橢圓的另一內(nèi)接矩形，且點(diǎn)也在第三象限，若矩形和矩形的面積相等，證明：是定值，并求出該定值；（3）若是邊長為1的正方形，邊，與軸的交點(diǎn)為，，設(shè)（，，…，）是正方形內(nèi)部的100個(gè)點(diǎn)，記，其中，，，.證明：，，，中至少有兩個(gè)小于81.

數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、二、選擇題：題號1234567891011答案ABCBDACDBDABCBCD【解析】1.依題意，，因此，選項(xiàng)A正確2.因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以，解得，所以則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為，選項(xiàng)B正確.3.顯然，，，故選項(xiàng)C正確.4.依題意，直線，，不過同一點(diǎn)，因此，若“，，兩兩相交”則必有“，，共面（由三個(gè)交點(diǎn)確定的平面）”，但若“，，共面”，有可能有兩條直線平行，與第三條之間分別相交，但此時(shí)，“，，兩兩相交”結(jié)論錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B正確.5.因?yàn)?，所以，從而，選項(xiàng)D正確.6.的展開式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，選項(xiàng)A正確；令，得各項(xiàng)的系數(shù)和為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大應(yīng)為第4項(xiàng)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；依題意奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.7.不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，由可得，即，故選項(xiàng)C正確.8.依題意，令，解得，從而，，，易知選項(xiàng)D正確.9.因?yàn)椋?，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，而，故，因此選項(xiàng)B正確；又，所以，，，故C錯(cuò)D對.10.由題意，，，所以，即，又，所以，可得，因此.顯然，函數(shù)周期為，，選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B正確，，選項(xiàng)C正確；若，即，則，函數(shù)先減再增，D錯(cuò)誤.11.依題意焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為直線，不妨設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立與，得，從而，，由題意，，，故拋物線過點(diǎn)，的切線方程分別為，，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在直線上的投影是點(diǎn)（定點(diǎn)），故選項(xiàng)B正確；可證，，因此，即以為直徑的圓與直線相切，選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，從而，令，由函?shù)單調(diào)性易知，，函數(shù)取最小值.D正確.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12.2013.14.；.（第一空2分，第二空3分）【解析】12.依題意，，，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).13.如圖，易知，，作于點(diǎn)，易知，，，，故三棱錐的體積為.14..四、解答題：15.（13分）解：（1）函數(shù)的最小正周期，，向左平移后為偶函數(shù)，且，，故解析式為.列表如下：00100在上的圖象如圖所示：（2），，即，解得，即，又因?yàn)槭卿J角三角形，所以，故，即.16.（15分）解：（1）假設(shè)：喜愛籃球運(yùn)動與性別獨(dú)立，即喜愛籃球運(yùn)動與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即能認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動與性別有關(guān)，從此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.（2）（i）由題意，，所以又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（ii）由（i），，所以，.故甲第25次觸球者的概率大.17.（15分）解：（1）證明：連接.因?yàn)椋謩e為上、下底面的直徑，且.所以，，為圓臺母線且交于一點(diǎn).因此，，，四點(diǎn)共面.因?yàn)閳A臺中平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)椋?，所以，從而，即為的中點(diǎn).在中，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸，過點(diǎn)且垂直與平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，所以，，，因?yàn)?，所以，故，所以，設(shè)平面的法向量為，則即，所以平面的一個(gè)法向量為.又，設(shè)平面的法向量為，所以即所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)二面角的大小為，則，從而，所以二面角的正弦值為.18.（17分）解：（1）①由題意，且的定義域?yàn)?，依題意即從而.故，，從而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2）依題意，，其中，記，則，因?yàn)椋?，即是的極小值也是最小值，故，而，所以，解得，此時(shí)，若，則時(shí)，，，，，即，與矛盾！若，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，符合題意.故.所以，其中.若即時(shí)，則函數(shù)在上最小值為，依題意，解得，符合題意；若即時(shí)，則函數(shù)在上最小值為，依題意，即，無解，不符合題意.所以，.19.（17分