福建省2022-2023學年高二上學期11月期中數(shù)學試題含解析

福建省2022-2023學年高二上學期11月期中數(shù)學試題含解析2022年秋季高二年期中質量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.2.已知直線：，：，若，則()A.0 B.1 C.2 D.3.如圖所示，在平行六面體中，為與交點，若，，，則()A. B. C. D.4.若點在圓外部，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.5.在長方體中，，，則異面直線與所成角余弦值為A. B. C. D.6.在日常生活中，可以看見很多有關直線與橢圓的位置關系的形象，如圖，某公園的一個窗戶就是長軸長為4米，短軸長為2米的橢圓形狀，其中三條豎直窗欞將長軸分為相等的四段，則該窗戶的最短的豎直窗欞的長度為()A. B. C.2 D.37.設點為直線：上的動點，點，，則的最小值為A. B. C. D.8.設橢圓的左、右焦點分別為，，點，在上(位于第一象限)，且點，關于原點對稱，若，，則的離心率為()A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.對于直線，下列說法正確的有()A.直線l過點 B.直線l與直線垂直C.直線l的一個方向向量為 D.直線l的傾斜角為45°10.下列方程能夠表示圓的是()A B.C. D.11.橢圓的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，以下說法正確的是()A.橢圓C的離心率為B.橢圓C上存在點P，使得C.過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為8D.若P為橢圓上一點，Q為圓上一點，則點P，Q的最大距離為212.在平面直角坐標系中，三點A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，動點P滿足PA=PB，則以下結論正確的是()A.點P的軌跡方程為(x－3)2+y2=8 B.△PAB面積最大時，PA=2C.∠PAB最大時，PA= D.P到直線AC距離最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線與平行，則它們的距離是_____14.已知點在直線上，則最小值為________．15.如圖所示，若正方形的邊長為，平面，且，分別為的中點，則點到平面的距離為________.16.如圖，橢圓的中心在坐標原點，，，，分別為橢圓的左、右、下、上頂點，為其右焦點，直線與交于點P，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為______．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.的三個頂點、、，D為BC中點，求：(1)BC邊上的高所在直線的方程；(2)中線AD所在直線的方程．18.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點.(1)求圓的標準方程；(2)過點的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程.19.如圖，已知平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分別為AB，PC的中點．(1)求證：平面PCD；(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值．20.如圖所示，已知橢圓的兩焦點為，，為橢圓上一點，且(1)求橢圓的標準方程；(2)若點在第二象限，，求的面積．21.如圖，在三棱錐中，，O為AC的中點．(1)證明：⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角為，求的值．22.已知橢圓經(jīng)過點，離心率為(1)求橢圓的方程；(2)設直線與橢圓相交于，兩點，若以，為鄰邊的平行四邊形的頂點在橢圓上，求證：平行四邊形的面積為定值.2022年秋季高二年期中質量監(jiān)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出直線的斜率，再求直線的傾斜角．【詳解】∵直線x+y﹣20的斜率k，設傾斜角為，則tan=∴直線x+y﹣2=0傾斜角為．故選C．【點睛】本題考查直線的傾斜角的求法，熟記斜率與傾斜角的關系是關鍵，是基礎題2.已知直線：，：，若，則()A.0 B.1 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意，直線平行，根據(jù)公式求參數(shù)，解方程并驗根，可得答案.【詳解】由題意，，則，，，解得：或，當時，，故不符合題意，當時，，符合題意.故選：D.3.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用表示出即可.【詳解】由題意，因為為與的交點，所以也為與的中點，因此.故選：D.4.若點在圓的外部，則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點與圓的位置關系及方程表示圓列出方程組，從而可得出答案.【詳解】解：因為點在圓的外部，所以，解得.故選：C．5.在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關系求結果.詳解：以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以,因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.6.在日常生活中，可以看見很多有關直線與橢圓的位置關系的形象，如圖，某公園的一個窗戶就是長軸長為4米，短軸長為2米的橢圓形狀，其中三條豎直窗欞將長軸分為相等的四段，則該窗戶的最短的豎直窗欞的長度為()A B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，建立坐標系得橢圓的標準方程為，再結合題意計算即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標系，因為窗戶就是長軸長為4米，短軸長為2米的橢圓形狀，所以橢圓的標準方程為，因為其中三條豎直窗欞將長軸分為相等的四段，所以當時，，所以最短窗欞的長度為．故選：B7.設點為直線：上的動點，點，，則的最小值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設點關于直線的對稱點為，利用對稱性列方程組求得，利用對稱性可得，結合圖像即可得當三點共線時，最大，問題得解．【詳解】依據(jù)題意作出圖像如下：設點關于直線的對稱點為，則它們的中點坐標為：，且由對稱性可得：，解得：，所以因為，所以當三點共線時，最大此時最大值為故選A【點睛】本題主要考查了點關于直線對稱的點的求法，還考查了轉化思想及計算能力，屬于中檔題．8.設橢圓的左、右焦點分別為，，點，在上(位于第一象限)，且點，關于原點對稱，若，，則的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意判斷四邊形是矩形，設，結合橢圓定義表示出之間的關系，利用勾股定理列式，即可求得答案.【詳解】依題意作圖，由于，點，關于原點對稱,并且線段互相平分，∴四邊形是矩形，其中,由于，設，則，即,又，根據(jù)勾股定理，，即故選：C．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.對于直線，下列說法正確有()A.直線l過點 B.直線l與直線垂直C.直線l的一個方向向量為 D.直線l的傾斜角為45°【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)直線的斜截式，結合直線斜率與傾斜角的關系、直線方向向量的定義、互相垂直兩直線的性質逐一判斷即可.【詳解】解析：直線化成斜截式為，所以當時，，A對；直線l的斜率為﹣1，傾斜角為135°，D錯；直線的斜率為1，，所以兩直線垂直，B對；直線l的一個方向向量為，C錯．故選：AB．10.下列方程能夠表示圓的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】依次判斷各個選項中方程所表示的曲線即可得到結果.【詳解】對于A，表示圓心為，半徑為的圓，A正確；對于B，不符合圓的方程，B錯誤；對于C，由得：，則其表示圓心為，半徑為的圓，C正確；對于D，含項，不符合圓的方程，D錯誤.故選：AC.11.橢圓的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，以下說法正確的是()A.橢圓C的離心率為B.橢圓C上存在點P，使得C.過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為8D.若P為橢圓上一點，Q為圓上一點，則點P，Q的最大距離為2【答案】BC【解析】【分析】求得橢圓C的離心率判斷選項A；求得滿足條件的點P判斷選項B；求得的周長判斷選項C；求得點P，Q的最大距離判斷選項D.【詳解】對于選項A，因為，，所以，即，所以橢圓C離心率，故A錯誤；對于選項B，設點為橢圓上任意一點，則點P的坐標滿足，且，又，，所以，，因此，令，可得，故B正確；對于選項C，由橢圓的定義可得，因此的周長為，故C正確；對于選項D，設點為橢圓上任意一點，由題意可得點到圓的圓心的距離，因為，所以則，故D錯誤．故選：BC．12.在平面直角坐標系中，三點A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，動點P滿足PA=PB，則以下結論正確的是()A.點P的軌跡方程為(x－3)2+y2=8 B.△PAB面積最大時，PA=2C.∠PAB最大時，PA= D.P到直線AC距離最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)可求得點軌跡方程為，A正確；根據(jù)直線過圓心可知點到直線的距離最大值為，由此可確定面積最大時，由此可確定B不正確；當最大時，為圓的切線，利用切線長的求法可知C錯誤；求得方程后，利用圓上點到直線距離最值的求解方法可確定D正確.【詳解】解：對于A：設，由得：，即，化簡可得：，即點軌跡方程為，故A正確；對于B：直線過圓的圓心，點到直線的距離的最大值為圓的半徑，即為，，面積最大為，此時，，故B不正確；對于C：當最大時，則為圓的切線，，故C正確；對于D：直線的方程為，則圓心到直線的距離為，點到直線距離最小值為，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線與平行，則它們的距離是_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩個平行線之間的距離計算公式，計算得答案.【詳解】直線可化為直線，又，且，所以它們的距離.故答案為：.14.已知點在直線上，則的最小值為________．【答案】2【解析】【分析】將的最小值轉化為原點到直線的距離來求解即可.【詳解】可以理解為點到點的距離，又∵點在直線上，∴的最小值等于點到直線的距離，且.故答案為：.15.如圖所示，若正方形的邊長為，平面，且，分別為的中點，則點到平面的距離為________.【答案】【解析】【分析】設點到平面距離為，轉化為三棱錐的高，結合，利用錐體的體積公式，列出方程，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，因為正方形的邊長為，且、分別為、的中點，可得,又因為平面，且，所以，設點到平面的距離為，即為三棱錐的高，因為平面，且平面，所以，由正方形的邊長為，且，在直角中，可得，則,在直角中，可得，則在直角中，可得，即，取的中點，因為，所以，且，所以，又由，可得，即，解得，即點到平面的距離為.故答案為：.16.如圖，橢圓的中心在坐標原點，，，，分別為橢圓的左、右、下、上頂點，為其右焦點，直線與交于點P，若為鈍角，則該橢圓的離心率的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)為鈍角轉化為，從而得到關于，的不等式，即可求解.【詳解】設橢圓的標準方程為，．由題意，得，，，則，．因為為向量與的夾角，且為鈍角，所以，所以．又，所以，即，解得或，因為，所以，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.的三個頂點、、，D為BC中點，求：(1)BC邊上的高所在直線的方程；(2)中線AD所在直線的方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)求出直線的斜率，即可得到BC邊上的高線的斜率，利用直線方程的點斜式，即可求解.(2)求出BC的中點D坐標，求出中線AD所在直線的斜率，代點斜式即可求解.【小問1詳解】解：∵、，BC邊斜率k，故BC邊上的高線的斜率k＝，故BC邊上的高線所在直線的方程為，即.【小問2詳解】解：BC的中點，中線AD所在直線的斜率為，故BC邊上的中線AD所在直線的方程為，即.18.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點.(1)求圓的標準方程；(2)過點的直線與圓相交于兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，設的中點為，求出的坐標，求出直線的斜率，由直線的點斜式方程分析可得答案，設圓的標準方程為，由圓心的位置分析可得的值，進而計算可得的值，據(jù)此分析可得答案；(2)設為的中點，結合直線與圓的位置關系，分直線的斜率是否存在兩種情況討論，綜合即可得答案.【詳解】解：(1)設的中點為，則，由圓的性質得，所以，得，所以線段的垂直平分線方程是，設圓的標準方程為，其中，半徑為，由圓的性質，圓心在直線上，化簡得，所以圓心，，所以圓的標準方程為；(2)由(1)設為中點，則，得，圓心到直線的距離，當直線的斜率不存在時，的方程，此時，符合題意；當直線的斜率存在時，設的方程，即，由題意得，解得；故直線的方程為，即；綜上直線的方程為或.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，涉及直線與圓方程的綜合應用，屬于基礎題.19.如圖，已知平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分別為AB，PC的中點．(1)求證：平面PCD；(2)求PD與平面PMC所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)取的中點，連接，，證明平面,原題即得證；(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求出PD與平面PMC所成角的正弦值．【小問1詳解】取的中點，連接，，∵，分別為，的中點，∴且，又為的中點，底面為正方形，∴且，∴且，故四邊形為平行四邊形，∴..因為平面ABCD，CD在面ABCD內，所以.又，平面,所以平面，AE在面PAD內，所以.又平面,所以平面,所以平面.【小問2詳解】由題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵，所以，故，設平面的法向量，則，得，設與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為.20.如圖所示，已知橢圓的兩焦點為，，為橢圓上一點，且(1)求橢圓的標準方程；(2)若點在第二象限，，求的面積．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)，求出，結合焦點坐標求出，從而可求，即可得出橢圓方程；(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得的坐標，利用三角形的面積公式，可求△的面積．【小問1詳解】解：依題意得，又，，，，．所求橢圓的方程為．【小問2詳解】解：設點坐標為，，所在直線的方程為，即．解方程組，并注意到，，可得．21.如圖，在三棱錐中，，O為AC的中點．(1)證明：⊥平面ABC；(2)若點M在棱BC上，且二面角為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【