湖北省武漢市部分重點中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

武漢市部分重點中學(xué)2022—2023學(xué)年度上學(xué)期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為()A.2 B.1 C.－1 D.－22.已知等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項和為()A.15 B.16 C.20 D.303.已知雙曲線的實軸長為4，虛軸長為6，則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.4.已知數(shù)列滿足，則()A. B.1 C.4043 D.40445.有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的棱長為3，且該塔形的表面積(不含最底層正方體的底面面積)超過78，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是()A.4 B.5 C.6 D.76.已知拋物線C：的焦點，過F的直線與C交于M，N兩點，準(zhǔn)線與x軸的交點為A，當(dāng)時，直線MN的方程為()A. B. C. D.7.已知兩相交平面所成的銳二面角為70°，過空間一點P作直線l，使得直線l與兩平面所成的角均為30°，那么這樣的直線有()條A.1 B.2 C.3 D.48.數(shù)列滿足，，，則的整數(shù)部分是()A.1 B.2 C.3 D.4二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.方程表示的曲線中，可以是()A.雙曲線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線10.設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，且，都有．若，則()A. B.C.的最小值是 D.的最大值是11.拋物線C：的焦點為F，P是其上一動點，點，直線l與拋物線C相交于A，B兩點，準(zhǔn)線與x軸的交于點D，下列結(jié)論正確的是()A.的最小值是2B.的最大值是2C.存在直線l，使得A，B兩點關(guān)于直線對稱D.若直線l經(jīng)過點D，且B點在線段AD上，不存在直線l，使得12.如圖所示：給定正整數(shù)n()，按照如下規(guī)律構(gòu)成三角形數(shù)表：第一行從左到右依次為1，2，3，…，n，從第二行開始，每項都是它正上方和右上方兩數(shù)之和，依次類推，直到第n行只有一項，記第i行第j項為，下列說法正確的是()A當(dāng)n＝100時，．B.當(dāng)n＝100時，最后一行數(shù)為．C.當(dāng)n＝2022時，，則i的最小值為8．D.當(dāng)n＝2022時，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.年月，第屆冬季奧林匹克運動會在北京隆重舉行，中國代表團(tuán)獲得了金銀銅的優(yōu)異成績，彰顯了我國體育強國的底蘊和綜合國力．設(shè)某高山滑雪運動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程(單位：)與時間(單位：)之間的關(guān)系為，則當(dāng)時，該運動員的滑雪瞬時速度為______．14.等比數(shù)列中，，．則的前9項之和為______．15.三棱錐P－ABC中，二面角P－AB－C為120°，和均為邊長為2的正三角形，則三棱錐P－ABC外接球的半徑為______．16.已知橢圓E：，斜率為的直線與橢圓E交于P、Q兩點，P、Q在y軸左側(cè)，且P點在x軸上方，點P關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的點為R，且，則該橢圓的離心率為______．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.(1)求長軸長為12，離心率為，焦點在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知雙曲線的漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，求此雙曲線的方程．18.已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列前n項的和．19.如圖，在三棱柱中，AC＝BC，四邊形是菱形，，點D在棱上，且．(1)若，證明：平面平面ABD．(2)若，是否存在實數(shù)，使得平面與平面ABD所成得銳二面角余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．20.已知雙曲線C：左右焦點分別為，，右頂點為，點，，．(1)求雙曲線的方程；(2)直線經(jīng)過點，且與雙曲線相交于，兩點，若面積為，求直線的方程．21.已知拋物線C：，焦點為F，點，，過點M作拋物線的切線MP，切點為P，，又過M作直線交拋物線于不同的兩點A，B，直線AN交拋物線于另一點D．(1)求拋物線方程；(2)求證BD過定點．22.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，數(shù)列的通項公式為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項的和． 武漢市部分重點中學(xué)2022—2023學(xué)年度上學(xué)期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿足，則函數(shù)在x＝3處的導(dǎo)數(shù)為()A.2 B.1 C.－1 D.－2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】由題意，，所以.故選：D.2.已知等差數(shù)列滿足，則數(shù)列的前5項和為()A.15 B.16 C.20 D.30【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質(zhì)求出，再利用前n項和公式計算作答.【詳解】等差數(shù)列中，，解得，而，所以數(shù)列的前5項和.故選：A3.已知雙曲線的實軸長為4，虛軸長為6，則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)解決即可.【詳解】由題知雙曲線中，所以，雙曲線焦點在軸上，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：C.4.已知數(shù)列滿足，則()A. B.1 C.4043 D.4044【答案】A【解析】【分析】由遞推式得到，從而得到，由此再結(jié)合即可求得的值.【詳解】由得，兩式相加得，即，故，所以.故選：A．5.有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點，已知最底層正方體的棱長為3，且該塔形的表面積(不含最底層正方體的底面面積)超過78，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，則為等比數(shù)列，由此求出塔形表面積的表達(dá)式，令即可得出的范圍．【詳解】解：設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，，，，則為以3為首頂，以為公比的等比數(shù)列，所以是以9為首項，以為公比的等比數(shù)列．所以塔形的表面積，令，解得，所以該塔形中正方體的個數(shù)至少為5個．故選：B．6.已知拋物線C：的焦點，過F的直線與C交于M，N兩點，準(zhǔn)線與x軸的交點為A，當(dāng)時，直線MN的方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得：拋物線方程為，則，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和即可求解.【詳解】由題意可知：，則拋物線方程為，所以.設(shè)過F的直線的方程為：，，聯(lián)立方程組，整理可得：，則，，又因為所以，，所以，也即，因為，所以即，解得：，所以直線的方程為：，故選：.7.已知兩相交平面所成的銳二面角為70°，過空間一點P作直線l，使得直線l與兩平面所成的角均為30°，那么這樣的直線有()條A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】分兩種情況，一是在二面角的平分面上，另一種情況是在鄰補二面角的平分面上研究，以角平分線為基準(zhǔn)，旋轉(zhuǎn)找符合要求的直線,最后過點作符合條件的平行直線即可.【詳解】作二面角的平面角,則，設(shè)為的平分線，則,當(dāng)以為中心，在二面角的平分面上轉(zhuǎn)時，與兩平面的夾角變小，會對稱出現(xiàn)兩條符合要求的直線.設(shè)為的補角角平分線，則，當(dāng)以為中心，在二面角的鄰補二面角平分面上轉(zhuǎn)時，與兩平面的夾角變小，會對稱出現(xiàn)兩條符合要求的直線.綜上所述:過點作與,平行的直線符號要求，共4條.故選：D8.數(shù)列滿足，，，則的整數(shù)部分是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用累加法求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可判斷的取值范圍，進(jìn)而求得其整數(shù)部分【詳解】由可得，所以，所以，則，，，，，上述式子累加得：，故，又因為，即，所以，根據(jù)遞推公式得：，，，所以，那么，則，則的整數(shù)部分是1，故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查累加法，以及數(shù)列的單調(diào)性，能夠正確的裂項從而累加是解決問題的關(guān)鍵二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.方程表示的曲線中，可以是()A.雙曲線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)雙曲線和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，若，即時，方程表示的曲線雙曲線；若，即時，方程表示的曲線橢圓.故選：AB.10.設(shè)為等差數(shù)列的前n項和，且，都有．若，則()A. B.C.的最小值是 D.的最大值是【答案】AC【解析】【分析】設(shè)數(shù)列公差為，由可知，又由可知，據(jù)此可判斷各選項正誤.【詳解】設(shè)數(shù)列公差為，，因，則，得數(shù)列為遞增數(shù)列·.又，則.故A正確，B錯誤.又?jǐn)?shù)列為遞增數(shù)列，，則數(shù)列前16項均為負(fù)數(shù)，第17項及以后各項均為正數(shù)，故的最小值是，的最大值不存在.故C正確，D錯誤.故選：AC11.拋物線C：的焦點為F，P是其上一動點，點，直線l與拋物線C相交于A，B兩點，準(zhǔn)線與x軸的交于點D，下列結(jié)論正確的是()A.的最小值是2B.的最大值是2C.存在直線l，使得A，B兩點關(guān)于直線對稱D.若直線l經(jīng)過點D，且B點在線段AD上，不存在直線l，使得【答案】ACD【解析】【分析】對于A，利用拋物線的定義，數(shù)形結(jié)合判斷；對于B，利用三角形兩邊的差小于第三邊判斷；；對于C，設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，借助對稱思想判斷；對于D，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線的定義判斷作答.【詳解】拋物線C：的焦點，準(zhǔn)線，過點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過點作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，交拋物線于點，連接，如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時取等號，因此，A正確；因為，即的最大值是1，B不正確；假設(shè)存在直線l，使得A，B兩點關(guān)于直線對稱，則設(shè)直線，由消去x得：，則，解得，設(shè)，即有，則有弦的中點在直線上，即，解得，符合題意，即存在直線l，使得A，B兩點關(guān)于直線對稱，C正確；點，顯然直線l的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，由消去y得：，，解得且，設(shè)橫坐標(biāo)分別為，則，，所以不存在直線l，使得，D正確.故選：ACD12.如圖所示：給定正整數(shù)n()，按照如下規(guī)律構(gòu)成三角形數(shù)表：第一行從左到右依次為1，2，3，…，n，從第二行開始，每項都是它正上方和右上方兩數(shù)之和，依次類推，直到第n行只有一項，記第i行第j項為，下列說法正確的是()A.當(dāng)n＝100時，．B.當(dāng)n＝100時，最后一行的數(shù)為．C.當(dāng)n＝2022時，，則i的最小值為8．D.當(dāng)n＝2022時，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)已知可得，再由即可解得.【詳解】由題可得三角形數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且公差分別為，所以…，所以，解得，所以i的最小值為9.故選項錯;因為.故正確；因為,令所以，故正確；因為,令，當(dāng)n＝100時，最后一行的數(shù)為．故正確；故答案為：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.年月，第屆冬季奧林匹克運動會在北京隆重舉行，中國代表團(tuán)獲得了金銀銅的優(yōu)異成績，彰顯了我國體育強國的底蘊和綜合國力．設(shè)某高山滑雪運動員在一次滑雪訓(xùn)練中滑行的路程(單位：)與時間(單位：)之間的關(guān)系為，則當(dāng)時，該運動員的滑雪瞬時速度為______．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得該運動員在時滑雪瞬時速度.【詳解】，所以，該運動員的滑雪瞬時速度為.故答案為：.14.等比數(shù)列中，，．則的前9項之和為______．【答案】9或21【解析】【分析】利用解出公比，即可求解.【詳解】,即，，若，則，若，則，故答案為：9或21.15.三棱錐P－ABC中，二面角P－AB－C為120°，和均為邊長為2的正三角形，則三棱錐P－ABC外接球的半徑為______．【答案】【解析】【分析】作出圖形，根據(jù)條件可知：球心既過的外心垂直平面的垂線上，又在過的外心垂直平面的垂線上，然后利用二面角的大小和勾股定理即可求解.【詳解】作出三棱錐P－ABC，如圖所示：為的中點，分別為和的外心，過點分別作平面和平面的垂線，交點為，連接.根據(jù)題意可知：球心既過的外心垂直平面的垂線上，又在過的外心垂直平面的垂線上，所以三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球半徑，由題意知：和均為邊長為2的正三角形，所以，，所以即為二面角P－AB－C的平面角，因為二面角P－AB－C為120°，也即，因為和均為邊長為2的正三角形，所以，，則，所以，則，在中，因為，，所以，又因為，所以在中，，即，所以，故答案：.16.已知橢圓E：，斜率為的直線與橢圓E交于P、Q兩點，P、Q在y軸左側(cè)，且P點在x軸上方，點P關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的點為R，且，則該橢圓的離心率為______．【答案】【解析】【分析】x軸交PB于A，則，，設(shè)出直線，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理與兩點斜率公式可求出參數(shù)的齊次方程，進(jìn)而可求離心率.【詳解】x軸交PB于A，如圖所示，設(shè)直線為，，則，聯(lián)立得得.則，，，由，∴，∴.∴該橢圓的離心率.故答案為：四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.(1)求長軸長為12，離心率為，焦點在軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知雙曲線的漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點，求此雙曲線的方程．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】(1)設(shè)橢圓方程為：且a>b>0，，，，，故橢圓方程為：；(2)的焦點為：，根據(jù)題意得到：，則，解得：，故，故雙曲線的方程為：.18.已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列前n項的和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)求解即可；(2)由于時，，當(dāng)時，，所以分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】因為數(shù)列的前項和為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，顯然，當(dāng)時，滿足，所以.【小問2詳解】由(1)知，因為時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，①，②，所以①②得，因為，所以，所以19.如圖，在三棱柱中，AC＝BC，四邊形是菱形，，點D在棱上，且．(1)若，證明：平面平面ABD．(2)若，是否存在實數(shù)，使得平面與平面ABD所成得銳二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，．【解析】【分析】(1)取AB的中點O，連接，OC．利用三角形高線與對應(yīng)底邊垂直得出AB⊥平面．然后再證明平面ABD，最后利用面面垂直的判定即可證明；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)，分別求出平面平面和平面ABD的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：取AB的中點O，連接，OC．因為四邊形是菱形，且，所以，則．因為O為AB的中點，所以．因為，且O為AB的中點，所以AB⊥OC．因為，平面，且，所以AB⊥平面．因為平面，所以．因為，AB，平面ABD．且，所以平面ABD．因為平面，所以平面平面ABD．【小問2詳解】因為，所以，所以AC⊥BC．因為O是AB的中點，所以．因為四邊形是菱形，且∠，所以是等邊三角形．因為O是AB的中點，所以．因為，所以，則OB，OC，兩兩垂直，故以O(shè)為原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，故，，，，.因為，所以，所以．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)平面ABD的法向量為，則，令，得．設(shè)平面與平面ABD所成的角為，則，解得或，故存在或，使得平面與平面ABD所成角的余弦值是．20.已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，右頂點為，點，，．(1)求雙曲線的方程；(2)直線經(jīng)過點，且與雙曲線相交于，兩點，若的面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2)或.【解析】分析】(1)由題意可得：，，，解得，，，即可得出雙曲線的方程．(2)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，利用的面積，解得，即可得出直線的方程．【小問1詳解】解：由題意可得：，，，解得，，，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】解：由題意可知，直線的斜率不為0，設(shè)：，設(shè)，，聯(lián)立，消，得，由，解得，則.所以，所以的面積，由，整理得，解得，，所以直線的方程為或.21.已知拋物線C：，焦點為F，點，，過點M作拋物線的切線MP，切點為