浙江省金華市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

浙江省金華市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(共40分，每小題五分)1.若直線的方向向量，則直線的斜率是()A. B. C. D.2.若曲線：表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.3.下列命題中正確的是()．A.若直線的傾斜角為，則直線的斜率為B.若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C.平行于x軸的直線的傾斜角為D.若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線x2=2y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，則點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為()A. B.1 C.2 D.45.圓

被軸所截得的弦長為()A. B. C.4 D.6.已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則()A.2 B. C.2或 D.2或7.“直線與直線相互垂直”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為()A. B. C. D.二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)直線的方程為，圓的方程為，圓上存在個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值可能為()A. B. C. D.10.已知橢圓：的焦點(diǎn)在軸上，且長軸長是短軸長的3倍，則下列說法正確的是()A.橢圓的長軸長為6 B.橢圓的短軸長為2C.橢圓的焦距為 D.橢圓的離心率為11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是()A.的周長為8 B.面積的最大值為C.的取值范圍為 D.的取值范圍為12.已知邊長為2的菱形中，(如圖1所示)，將沿對(duì)角線折起到的位置(如圖2所示)，點(diǎn)為棱上任意一點(diǎn)(點(diǎn)不與，重合)，則下列說法正確的是()A.四面體體積的最大值為1B.當(dāng)時(shí)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長度的最小值為C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D.三棱錐的體積與點(diǎn)的位置無關(guān)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，則點(diǎn)P到平面的距離為______．14.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為________.15.已知點(diǎn)，是橢圓內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．16.已知點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，若直線過點(diǎn)且與直線交于點(diǎn)，若，且直線的傾斜角大于的傾斜角，則直線的斜截式方程為_______．四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)若直線過點(diǎn)C且與直線AB平行，求直線方程；(2)求線段BC的垂直平分線方程．18.如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，且(1)若點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，證明：平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值．19.已知圓過點(diǎn)．(1)求圓的一般方程；(2)已知直線過點(diǎn)且與直線平行，若直線與圓相切，求值以及直線的方程．20.如圖甲，在矩形中，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得，如圖乙.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置.21.在①圓心在直線上，是圓上點(diǎn)；②圓過直線和圓的交點(diǎn)．這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充下面問題中，并進(jìn)行解答．問題：已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓過點(diǎn)，且．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)的圓的切線方程．22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩個(gè)定點(diǎn)，曲線上動(dòng)點(diǎn)滿足.(1)求曲線方程；(2)過點(diǎn)任作一條直線與曲線交于兩點(diǎn)不在軸上)，設(shè)，并設(shè)直線和直線交于點(diǎn).試證明：點(diǎn)恒在一條定直線上，并求出此定直線方程.2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(共40分，每小題五分)1.若直線的方向向量，則直線的斜率是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率與方向向量的關(guān)系可求得直線的斜率.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量，則直線的斜率是.故選：D.2.若曲線：表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的一般式變形為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)而可得參數(shù)范圍.【詳解】由，得，由該曲線表示圓，可知，解得或，故選：B.3.下列命題中正確的是()．A.若直線的傾斜角為，則直線的斜率為B.若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C.平行于x軸的直線的傾斜角為D.若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的概念進(jìn)行分析可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，故A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，斜率為，傾斜角為，故B不正確；對(duì)于C，平行于x軸的直線的傾斜角為，故C不正確；對(duì)于D，若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為是正確的.故選：D4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線x2=2y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，則點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為()A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€x2=2y，所以，即，所以焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為1，故選：B5.圓

被軸所截得的弦長為()A. B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的弦長公式即可求解.【詳解】的圓心和半徑分別為，，因此圓被軸所截得的弦長為，故選：D6.已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則()A.2 B. C.2或 D.2或【答案】D【解析】【分析】分在的同側(cè)和異側(cè)分類討論求解.【詳解】(1)若在的同側(cè)，則，所以，，(2)若在的異側(cè)，則的中點(diǎn)在直線上，所以解得,故選:D.7.“直線與直線相互垂直”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直，求出的值，則可判斷充分性和必要性.【詳解】因?yàn)橹本€與直線相互垂直，所以，所以．當(dāng)時(shí)，直線與直線相互垂直，而當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，不一定成立，所以“直線與直線相互垂直”是“”的必要而不充分條件，故選:B．8.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為()A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理得出，利用橢圓的定義求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可解得該橢圓的離心率.【詳解】如下圖所示，設(shè)，則，，所以，，所以，，由橢圓定義可得，，，所以，，所以，為等腰直角三角形，可得，，所以，該橢圓的離心率為.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線離心率的方法如下：(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)直線的方程為，圓的方程為，圓上存在個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值可能為()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由圓的方程可得圓心和半徑，根據(jù)題意可知圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得的范圍，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】圓的方程可化為，可知圓心為，半徑為，若圓上存在個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則到直線的距離，即，解得：，則實(shí)數(shù)的取值可能是，.故選：AC.10.已知橢圓：的焦點(diǎn)在軸上，且長軸長是短軸長的3倍，則下列說法正確的是()A.橢圓的長軸長為6 B.橢圓的短軸長為2C.橢圓的焦距為 D.橢圓的離心率為【答案】ABD【解析】【分析】先由題意及橢圓的幾何性質(zhì)求得，從而得到，，，由此對(duì)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)分析即可.【詳解】因?yàn)闄E圓：的焦點(diǎn)在軸上，所以，又因?yàn)椋?，即，故，?duì)于A，由得，故橢圓的長軸長為，故A正確；對(duì)于B，由得，故橢圓的短軸長為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故橢圓的焦距為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知橢圓的離心率為，故D正確.故選：ABD.11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是()A.周長為8 B.面積的最大值為C.的取值范圍為 D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知求得，，.又橢圓的定義，即可判斷A項(xiàng)；當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，即可得到B項(xiàng)；設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出，根據(jù)橢圓的范圍即可得到范圍，進(jìn)而判斷C項(xiàng)；由橢圓的定義可得，，，求出時(shí)的值域，即可判斷D項(xiàng).【詳解】由可得，，，.對(duì)于A項(xiàng)，的周長為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)，，則，所以當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大面積為，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)，，，，則，，則.因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以的取值范圍為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由可得，，由C知，，則，因?yàn)?，所以，所以，同理?所以，當(dāng)時(shí)有最大值4，當(dāng)或時(shí)，值為3，但是且，所以的取值范圍為，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.12.已知邊長為2的菱形中，(如圖1所示)，將沿對(duì)角線折起到的位置(如圖2所示)，點(diǎn)為棱上任意一點(diǎn)(點(diǎn)不與，重合)，則下列說法正確的是()A.四面體體積的最大值為1B.當(dāng)時(shí)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長度的最小值為C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D.三棱錐的體積與點(diǎn)的位置無關(guān)【答案】ABC【解析】【分析】逐一進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)A，平面平面時(shí)有體積最大，計(jì)算即可;對(duì)B建系計(jì)算判斷；對(duì)C，計(jì)算即可；對(duì)D依據(jù)圖形判斷即可.【詳解】如圖設(shè)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意知，，，，當(dāng)折到平面平面時(shí)，四面體的體積最大，此時(shí)四面體的最大體積，故A正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，，其中，，，當(dāng)，時(shí)，取得最小值為，故B正確；，，，，則，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，得，所以點(diǎn)到平面(即平面)的距離，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，顯然隨著點(diǎn)的移動(dòng)，該三棱錐的高(點(diǎn)到平面的距離)發(fā)生變化，因而其體積也發(fā)生變化，不是定值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，點(diǎn)在外，則點(diǎn)P到平面的距離為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面距離的向量求法計(jì)算作答.【詳解】依題意，，而平面的法向量為，所以點(diǎn)P到平面距離.故答案為：14.在平面直角坐標(biāo)系中，若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為________.【答案】【解析】【分析】直線為兩個(gè)圓心的中垂線，分別求圓心，利用點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】若圓和圓關(guān)于直線對(duì)稱，則直線為兩個(gè)圓心的中垂線，的圓心為，的圓心為.，中點(diǎn)為可得直線為，整理得：.故答案為：.15.已知點(diǎn)，是橢圓內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】##【解析】【分析】結(jié)合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故答案為：16.已知點(diǎn)，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，若直線過點(diǎn)且與直線交于點(diǎn)，若，且直線的傾斜角大于的傾斜角，則直線的斜截式方程為_______．【答案】【解析】【分析】利用兩點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出以及直線的方程，設(shè)點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及求出的值，根據(jù)直線的斜率的取值范圍為得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為，由題意可得，解得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，且，點(diǎn)到直線的距離為，，解得或.因?yàn)橹本€的傾斜角大于的傾斜角，且直線的斜率為，設(shè)直線的斜率為，則.若時(shí)，則點(diǎn)，此時(shí)，合乎題意；若時(shí)，則點(diǎn)，，不合乎題意.所以，直線的方程為.故答案為：.四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)若直線過點(diǎn)C且與直線AB平行，求直線的方程；(2)求線段BC的垂直平分線方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用直線平行求得，再利用點(diǎn)斜式即可求得直線的方程；(2)先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得BC的中點(diǎn)，再利用直線垂直求得，從而利用點(diǎn)斜式即可求得所求.【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)橹本€與直線AB平行，所以，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線為，即.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以BC的中點(diǎn)為，，故線段BC的垂直平分線的斜率為，所以直線為，即.18.如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，且(1)若點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，證明：平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明；(2)根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求線面夾角的正弦值.【小問1詳解】作交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?又因?yàn)?，且，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平?【小問2詳解】因?yàn)槠矫?平面,所以,又因?yàn)?，所以則可以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，.19.已知圓過點(diǎn)．(1)求圓的一般方程；(2)已知直線過點(diǎn)且與直線平行，若直線與圓相切，求的值以及直線的方程．【答案】(1);(2);直線的方程為.【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，代入已知點(diǎn)即可求解；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用平行系及直線與圓相切的條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式及點(diǎn)在直線上即可求解.【小問1詳解】設(shè)圓的一般方程為.因?yàn)槿c(diǎn)都在圓上，所以，解得,故圓的一般方程為.【小問2詳解】由(1)知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以圓心，半徑為.因?yàn)橹本€與直線平行，所以設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離為,即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得(舍).當(dāng)時(shí)，直線的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得,符合題意，所以，直線的方程為.20.如圖甲，在矩形中，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得，如圖乙.(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)【解析】【分析】(1)作出輔助線，得到，，從而得到線面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，求出平面的法向量，從而列出方程，求出的值，確定點(diǎn)位置.【小問1詳解】證明：連接，取線段中點(diǎn)，連接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又平面∴平面平面，在中，，∵平面平面平面，平面.【小問2詳解】過作的平行線，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，設(shè)的坐標(biāo)為，則，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，由已知，解之得：或9(舍去)，所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn).21.在①圓心在直線上，是圓上的點(diǎn)；②圓過直線和圓的交點(diǎn)．這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行解答．問題：已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓過點(diǎn)，且．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)的圓的切線方程