2024屆高二年級(jí)上冊(cè)第一次月考模擬試卷及答案解析

2024屆高二上學(xué)期第一次月考模擬1

數(shù)學(xué)試卷

題號(hào)一二三四總分

得分

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.已知n是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

（）

A.若mua,nC/?,則a_L/?

B.若m〃幾，nc/?,則m〃3

C.若7n_La,m〃幾，n//0,則aJL/?

D.若mua,nca,m/ffi,n//0,則a〃夕

2.已知復(fù)數(shù)z=（3'-2g一“G為虛數(shù)單位）,則下列說法正確的是（）

A.z的虛部為4

B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限

C.z的共貌復(fù)數(shù)工=4-2匕

D.\z\=2V5

3.如圖，已知AOB是半徑為4,圓心角為1的扇形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是。4,08上

的兩動(dòng)點(diǎn)，且EF=2,點(diǎn)P在圓弧助上，則正.巨聲的最小值為（）

A.4B.8C.19-8V^D.16-8\/2

4.設(shè)兩個(gè)向量N=(入+2,2-cos%)和R=(m,殍+sina),其中入，m,a為實(shí)

數(shù).若/=27，則上的取值范圍是()

m

A.[-6,1]B.[4,8]C.(-oo,l]D.[-1,6]

5.在正方體ABOO—4B1GA中，動(dòng)點(diǎn)E在棱上，動(dòng)點(diǎn)F在線段4G上，O

為底面A8CD的中心，若BEK,AiF=y,則四面體O-4EF的體積（）

A.與工，都有關(guān)B.與工，3/都無關(guān)

C.與a：有關(guān)，與？無關(guān)D.與？有關(guān)，與土無關(guān)

6.如圖所示，在直角梯形BCEF中，NCBF=/BCE=90°,A.D分別是_8尸、

CE上的點(diǎn)，，且AB=DE=2BC=2AF（如圖1）.將四邊形ADEF沿

A0折起，連結(jié)BE、BF、CE（如圖2）.在折起的過程中，下列說法中錯(cuò)誤的是

（）

第2頁，共27頁

E

A.4c〃平面gEF

B.3、C、E、F四點(diǎn)不可能共面

C.若EFLCF，則平面ADEF±平面ABC。

D.平面BCE與平面8EF可能垂直

7.設(shè)函數(shù)/(￡)的定義域?yàn)镽,/(z+1)為奇函數(shù)，/Q+2)為偶函數(shù)，當(dāng)[1,2]時(shí)，

/(I)=00^+6.若f(0)+/(3)=6,則/(￡)=()

A.――B.——C."D."

4242

8.已知三棱錐S-4BC的所有頂點(diǎn)都在表面積為647r的球面上，且￡4,平面

27r

S4=4，Z.BAC=—,48=28，M是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，則直線SM與平面

O

AB。所成的最大角的正切值為()

A.3B.弊C.瓜D.I

32

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABOD-ABiGDi中，點(diǎn)尸滿足力？=也罰+“力2，

AG[0,1],[0,1],則以下說法正確的是()

A.當(dāng)入=〃時(shí)，〃平面CbiOi

17T

當(dāng)〃時(shí)，存在唯一點(diǎn)使得與直線。的夾角為可

B.2PDP81o

C.當(dāng)入+〃=1時(shí)，CP長(zhǎng)度的最小值為更

2

D.當(dāng)入+〃=1時(shí)，CP與平面BCGBi所成的角不可能為]

0

10.已知正三棱柱ABC-的棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)D是棱上（不含端點(diǎn)）的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是（）

A.棱4G上總存在點(diǎn)E，使得直線BiE〃平面4OG；

B.△ADG的周長(zhǎng)有最小值，但無最大值；

C.三棱錐A—DGC外接球的表面積的取值范圍是等,等）；

D.當(dāng)點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)時(shí)，二面角A-DGi-C的正切值為

11.下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.若寸〃丁,由小則正〃N

B.若言.丁=/?/，且H#0,則丁=/

C.已知=6,|同=3,N?7=12，則正在了上的投影向量是*b

D.三個(gè)不共線的向量五能滿足

.AS.m/或屈、

7VL?鬲+向=?畫+南;

9嚼+爵=0,則。是△ABC的外心

12.如圖，在△4BC中，AB=2,AC=3,

Z.BAC=60°-DS=2AS>在=2萬X.設(shè)池在

前上的投影向量為小前，則下列命題正確的是（）

A.4的值為。B.4的值為\C.|兩=噂D.強(qiáng)|=攣

ZJ93

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知圓心角為60°的扇形40B的半徑為1，。是4B

弧上一點(diǎn)，作矩形CDEF,如圖所示,這個(gè)矩形的面

積最大值為.

O

第4頁，共27頁

14.蜜蜂的蜂巢構(gòu)造非常精巧、適用而且節(jié)省材料，蜂巢由無數(shù)個(gè)大小相同的正六邊形

房孔組成?由于受到了蜂巢結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，現(xiàn)在的航天飛機(jī)、人造衛(wèi)星、宇宙飛船的

內(nèi)部以及衛(wèi)星外殼都大量采用蜂巢結(jié)構(gòu)，統(tǒng)稱為“蜂窩式航天器”.2022年五一節(jié)

假日前夕，我國的神舟十三號(hào)飛行乘組平穩(wěn)落地，3名航天員先后出艙，在短暫的

拍照留念后，3名航天員被轉(zhuǎn)移至專業(yè)的恢復(fù)療養(yǎng)場(chǎng)所進(jìn)行身體康復(fù)訓(xùn)練?他們所

乘的返回艙外表面覆蓋著蜂窩狀防熱材料?現(xiàn)取其表面中一個(gè)正六邊形ABC0EF，

它的的邊長(zhǎng)為2,若點(diǎn)尸是正六邊形的邊上一點(diǎn)，則為.A不的取值范圍是.

15.在△ABC中，角兒瓦。的對(duì)邊分別為若b(tan>l+tanB)=2ctanB,且

G是△ABC的重心，荏,前=2,則|混|的最小值為.

16.費(fèi)馬點(diǎn)是指到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí),

費(fèi)馬點(diǎn)在三角形內(nèi)，且費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該

點(diǎn)對(duì)三角形三邊的張角相等，均為120°.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°，尸為

△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且P4+PB+PC=3,則△ABC面積的最大值為.

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知△4BC的內(nèi)角4,8,。的對(duì)邊分別為b,c,滿足

sinAfesinB

sinB+sin(7dsinA+csinB

(i)求角G

(2)CD是乙4。8的角平分線，若CD=壁,△ABC的面積為24，求c的值.

3

18.如圖，四棱錐尸一ABCD中，「'，底面人二。。，AD//BC,

AB^AD=AC^3,PA=BC=4：,M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD,N

為尸。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面P48；

(2)求直線AN與平面PMH所成角的正弦值.

19.對(duì)于函數(shù)y=/(H),xe(0,+oo),任意叫b,cCR且a》o,0,c>0,

都有，(a)，/S),f?是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)？=,(3)為(0,+8)上

的“完美三角形函數(shù)”.

⑴設(shè)/=(Vasina:#cos4)，=(2A:cosx,2cosx)>若函數(shù)

g3)=/—左+1是[0,￡上的“完美三角形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)在滿足(1)且人〉0的條件下，令函數(shù)副⑼二向^工一筆2或11(H+/+罌，

若對(duì)任意的①i€[0,g,總存在出€[0,§,使得

世的)》力(d)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

20.在△ABC中，角4瓦。的對(duì)邊分別為a,4c,且10(而1今色)=7-cos2A.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若匕=2,c=1,

①NB4C的角平分線交BC于M,求線段AM■的長(zhǎng)；

②若。是線段BC上的點(diǎn)，E是線段84上的點(diǎn)，滿足囪=43瓦

BS=AB1.

求同?遜的取值范圍.

21.已知點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)/(劣)=asinz+&cosz,稱向量0時(shí)=(a,b)為函

數(shù)『(，)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)〃工)為向量方而的相伴函數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)g(z)=8in(x+粵)_sin(即-X),試求g(z)的相伴特征向量前；

02

⑵記向量時(shí)=(1,㈣的相伴函數(shù)為了⑶，當(dāng)/3)=，，且ce(—看》時(shí)，求

S加%的值；

(3)已知點(diǎn)4(一2,3)、8(2,6),厲=(一\/軟,1)為人(工)=瓶$加(多一》的相伴特

征向量，。(0=九《一9,請(qǐng)問在1/=8(切的圖象上是否存在一點(diǎn)P,使得

五不_1_亙3?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

第6頁，共27頁

22.已知函數(shù)f［x)=4cos2(3-7+-7T)sinx+(sinx+cos力(sina:—cosz)+l.

7T7T

(1)常數(shù)3>0,若函數(shù)V=/(3H)在區(qū)間［一$,:;］上是增函數(shù)，求3的取值范圍；

0Z

⑵若函數(shù)g(z)=4/3)-a/(x)+a解一工)-a］-1在［一看勺上的最大值為2,

求實(shí)數(shù)a的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系，考查線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)定理，注

意定理的條件是解題的關(guān)鍵.

利用空間直線和平面的位置關(guān)系，即線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)定理，線面平行

和線線平行的判斷和性質(zhì)對(duì)每一選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：已知俏，n是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，

對(duì)于A,若mJ,ri,mea,nU萬，則a、夕的關(guān)系是垂直、相交或平行，則A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若皿〃心nC"則m、夕的關(guān)系是平行或僅在平面0內(nèi)，則8錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若nzJLa，m//n,n//0,則加〃3或??1在夕平面內(nèi)，因?yàn)閚zJLa，所以a、

0的關(guān)系是垂直，則C正確；

對(duì)于D,若mua,nca,m//p,n//0,則a、0的關(guān)系是垂直、相交或平行，則

。錯(cuò)誤.

故選：C.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查的是復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

先求出復(fù)數(shù)z,再逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】

解：因?yàn)閦=絲澆二0=社生=一4+2心

Z的虛部為2,所以A錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，所以B錯(cuò)誤；

第8頁，共27頁

W——4—2i,所以C錯(cuò)誤;

\z\=y(-4)2+22=2A/5-所以。正確.

故選。.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查向量數(shù)量積，屬于較難題.

【解答】

如

解：以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，尸(4C0S^,4sin0)(。w陋寸)

設(shè)E(&O)(tC[0,2]),又舊尸|=2,所以|0尸|=，4一律,可得尸(0,，4一件),

尸?=(t-4cos0,—4sin8),~PP=(—4cos仇s/4—t2—4sin0)，

所以

P€?=-4tcos0+16cos20—4—t2sin0+16sin20=16—4(土cos0+\/4—t2sin9)

=16—8sin(夕+0,其中cos(p=7**,sin=—>

22

TT

又te[o,2],所以cosw,sin8C[0,1],所以夕丘位引，⑴+叱位同，

8in(W+8)€[0,1],-sin(y>+0)€[-1,0],所以雇.罰e[8,16]，

屈.聲演的最小值為8.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題難度較大，題目涉及到向量、三角函數(shù)的有界性、還用到了換元和解不等式等知識(shí),

體現(xiàn)了化歸的思想方法.

利用胃=27，得到*加的關(guān)系，然后用三角函數(shù)的有界性求解△的比值.

【解答】

解：由Z=（入+2,2一（^靜。），b=（m,—+sina）,/=27，可得:

￡t

A+2=2m

A2—cos2a=m+2sina

設(shè)a=如代入方程組可得＜km+2=2m

—cos2a=m+2sina

消去WI化簡(jiǎn)得(黃。)2—cc/a=a與+2sina,

再化簡(jiǎn)得(2+4)2-cos2a+2-2sina=0,

K-ZK-Z

再令37、=t,代入上式得(sina-l)2+(lGt2+18t+2)=0,

可得一(16#+18i+2)W[0,4],

解不等式得te[-1,一'

O

因而-1Wz---zW—3解得—6《兒W1.

?—28

故選：A.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查利用等體積法求多面體的體積，考查空間想象能力，屬于中檔題.

連接49，AE,AF,OE,OF,EF,結(jié)合等積法說明四面體。一4EF的體積是

與z,沙無關(guān)的定值.

第10頁，共27頁

【解答】

解：如圖，連接A。，AE，AF,OE,OF,EF,

-;BB/AA\,AAic平面AArCjC,

AB以平面A小。iC，

耳〃平面44Q1C，

/.E到平面441GC的距離為定值，

?.?49〃AiG，r.F到直線A。的距離為定值，

.?.△AOF的面積為定值.

Vo-AEF=VE-AOF，

二.四面體O—4E尸的體積是與工，？無關(guān)的定值.

故選：B.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了線面平行的判定、面面垂直的判定、考查了學(xué)生的空間想象能力和推理能力,

屬于較難題.

根據(jù)折疊前后線段、角的變化情況，用線面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行

判定.

【解答】

解：在圖2中取4。的中點(diǎn)為O,取3E的中點(diǎn)為M,連結(jié)MO,

所以O(shè)MHDEQM=]-DE,

又AF//DE,AF=\DE,

所以O(shè)MHAF,OM=AF,

所以四邊形40MF為平行四邊形，即AC〃艮

因?yàn)镕MU平面BE尸，4CC平面EE尸,

.?.AC〃平面3E尸，故A正確;

若3,C,E,尸四點(diǎn)共面，

因?yàn)锽C〃4D,8CC平面ADEF，4。（：平面40后產(chǎn)，

所以BC〃平面力DEF,

又BCU平面BCE尸，平面BCEFD平面ADEF=EF,

所以可推出BC//EP,

又BCHAD,所以AO〃EF,矛盾，

：.B,C、E、尸四點(diǎn)不可能共面，故8正確；

在梯形ADEF中，可通過勾股定理逆定理證明：EF±FD,

又EFLCF,FDnCF=F,FD,CFU平面。。尸，

...EF_L平面0D尸，

又CDU平面。。尸，即有CD_LEF,

又COJ.4D,EF與4D是平面ADEF內(nèi)的兩條相交直線，

.?.。0_1平面4。舊干，

又。。U平面4BC0,

則平面ADEF_L平面ABCD,故C正確；

延長(zhǎng)A尸至G使得”=FG,連結(jié)BG、EG,

易得平面BCEJ■平面48尸，且平面BCEC平面ABF=BG，

過P作尸N_LBG于N,則FN_L平面30E.

若平面BCE_L平面BE尸，則過F作直線與平面3CE垂直，其垂足在BE上，矛盾,

第12頁，共27頁

故。錯(cuò)誤,

故選。.

7.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性的綜合應(yīng)用.

由已知得“⑼的周期為4,則煨=-燧,由已知得/(1)=0,/(2)=-6,即可求

出函數(shù)的解析式，即可得解.

【解答】

解：因?yàn)?(工+1)為奇函數(shù)，

所以/(一工+1)=—/3+1),

所以『3)的圖象關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱，則*i)=o,

因?yàn)閒(a+2)為偶函數(shù)，

所以f(—w+2)=f(:c+2),

所以〃》)的圖象關(guān)于直線①=2軸對(duì)稱.

由/(-?+1)=-f(x+1),得f[-x+2)=-f(x),

所以+2)=-JQ),

則f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即/(工)的周期為4,

所以/標(biāo)煨=-鴻)，

又因?yàn)椤?)=—/(2),/(3)=/(1)=0,/(0)+/(3)=6,

所以"1)一[2)=6,則〃2)=—6,

因?yàn)楫?dāng)ZG[1,2]時(shí)，f(x)=a^+b,

(/(I)=a+6=0

\/(2)=4a+6=—6解得

所以,當(dāng)a6[1,2]時(shí)，f(x)=-2X2+2,

所以鏢)=_噌)=_(一2,\+2)=號(hào).

故選￡>.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查線面角的正切值的最大值的求法，以及空間兒何體外接球的性質(zhì)，屬于中檔題.

易求外接球半徑r=4,從而可求△48。外接圓半徑冗=2打，從而可求B0=6,

7T

。=&,又SM與平面ABO內(nèi)的射影最短時(shí)，直線SM■與平面4B。所成的最大，求

0

得的最小值，可求直線SM與平面43。所成的最大角的正切值.

【解答】

解：根據(jù)題意：設(shè)外接球的半徑為r,則4仃2=64元，，r=4.

設(shè)外接球的球心為。，則0在平面ABC內(nèi)的投影0'為三角形A3。的外心,

SAL平面AB。，SA=4,

所以。$2=22+022,從而40,=2，，,

BCAB

所以,2五=4g;

sinZ.BACsinC

127r

解得sin。=5，BC=6,又乙847=9,

幺o

-7T_7T

B=

?1'C=6''-6

M是邊3。上一動(dòng)點(diǎn)，SM與平面AB。內(nèi)的射影最短時(shí)，直線SM■與平面AB。所成

的最大,

此時(shí)4Af_LBC,易求AM■長(zhǎng)的最小值為

所以直線SM與平面48。所成的最大角的正切值為J=竽

故答案選：B.

9.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查共線向量基本定理的應(yīng)用，考查空間想象能力與

思維能力，考查推理論證能力，是中檔題.

第14頁，共27頁

當(dāng)入=〃時(shí)，P的軌跡為線段。證明BP〃平面CBiZh即可判斷A；當(dāng)〃=《時(shí)，

點(diǎn)P的軌跡為線段EF,可得當(dāng)P與E重合時(shí)，DP與直線所成角最大，求出最

大角判斷B；當(dāng)入+〃=1時(shí)，P點(diǎn)軌跡為線段。14,分別求出CP長(zhǎng)度的最小值與CP

與平面BCCiBi所成的角正切值的最大值判斷。與D.

【解答】

解：當(dāng)入=〃時(shí)，如圖（1）,P的軌跡為線段。Ai，

由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可知平面CBi0i〃平面4田。,

而BPU平面小BO,

.?.8「〃平面。81。1，故4正確；

當(dāng)〃=看時(shí)，如圖（1）,點(diǎn)P的軌跡為線段EF,直線

CBi〃直線。小，

當(dāng)P與E重合時(shí)，OP與直線。4所成角最大，即。尸與直線。Bi所成角最大，最大

7T

故B錯(cuò)誤;

當(dāng)A+〃=1時(shí)，如圖（2）,P點(diǎn)軌跡為線段口力，當(dāng)P

為。出的中點(diǎn)時(shí)，

CP長(zhǎng)度最小，

此時(shí)CP=jl2+（苧）2=苧,故C正確；

當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P在平面BBiGC上的射(?)

影在GB上，

產(chǎn)到平面B耳GC的距離為定值為1,

當(dāng)尸為。14的中點(diǎn)時(shí)，CP的射影最短，

則0P與平面BCCiBi所成的角的正切值最大，

~~=="^2V^3

其正切值為避,

~2~

7T

??.CP與平面ECQB所成的角不可能為故。正確.

0

故選：ACD.

10.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查立體兒何中的動(dòng)點(diǎn)問題，屬于難題.

【解答】

解：對(duì)于4選項(xiàng)，過場(chǎng)做交441于過M做ME平行AG，交4G于

E，易得平面BME〃平面ADGi，故棱4G上總存在點(diǎn)E,使得直線耳后〃平面

對(duì)于B選項(xiàng)，不妨設(shè)80=2：,則三角形4DG周長(zhǎng)

=，22+工2+、22+(2—.)2+2e，其中ce(o,2),求得范圍:

[2v際+20,2+4〃)，故有最小值，無最大值.

對(duì)于。選項(xiàng)，三棱錐A-DGC外接球的表面積即為三棱錐D-4CG的外接球,

〃平面4CG，.?.￡＞到底面距離始終為逐.當(dāng)。為中點(diǎn)時(shí)，表面積最小，為繆,

當(dāng)。運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)處，此時(shí)外接球表面積最大，為等.因?yàn)镈點(diǎn)無法運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)處，故

O

257r

取值范圍為:

對(duì)于D選項(xiàng)，過A做交B0于F，易知4F_L平面FDG，

所以當(dāng)點(diǎn)。是棱8場(chǎng)的中點(diǎn)時(shí)，二面角A—DGi-C的余弦值=沁巳=坐，所以

O^ADCh4

正切值為4.

第16頁，共27頁

11.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，向量平行的性質(zhì)，向量的投影等概念，屬于中檔偏

難題.

【解答】

解：對(duì)于A,若向量了'為零向量，則結(jié)論不成立;對(duì)于B,若過.7=/./=0，且

則于不一定與表相等，B項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于。，N在丁上的投影向量是

N.丁丁4寸引起9

可?同=/。項(xiàng)正確；對(duì)于D,向量畫，畫,曲等都是單位向量,由

向量襦,需為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形，01?（需-番）=0,

可得04在NB力。的平分線上,

同理可得OB平分N4BC，OC平分乙4CB,

.?.O是△ABC的內(nèi)心，。項(xiàng)錯(cuò)誤.

12.【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查投影向量，利用向量數(shù)量積求向量的模長(zhǎng)，屬于綜合題.

【解答】

解：NX在而上的投影向量為磊?屣IcosNB4c=2、#前=冠，.C].

9=黃+加=|^+1配=押+3（前一隔=抑+：他

|灰『=無2=1（Jg+前）2=黜+2A§?前+9）=:（13+2x2x3x4）=學(xué)，

yy9zy

二謁=爭(zhēng)

13.【答案】遺

6

【解析】

【分析】

本題考查解三角在平面幾何的應(yīng)用，屬于難題.

【解答】

解：設(shè)4704=0，扇形A0B的半徑為1,圓心角為60°，所以CF=sin0，

匏夕,

cos。-?sin.0=^sin20+-^cos20—

S=

3/266

解得，s*

14.【答案】[一1,0]

【解析】

【分析】

本題考查平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，屬于難題.

【解答】

解：因?yàn)檎呅蜨BCDEF是對(duì)稱的平面圖形，所以建系如圖,

則為?功的取值范圍

設(shè)4(2,0),B(l,㈣，G(0,V3).

第18頁，共27頁

當(dāng)尸點(diǎn)在AB上時(shí),

PA=XBA=(X,-V3X),P^=P2+A^=(X,-V3X)+(-4,0)=(A-4,-712,

A€[0,1],所以句.囪=A(入-4)+3*=4*—4入€[-1,0].

當(dāng)P在BG上，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，D，me[0,1],則有益=,

PA=(2—m,—A/3)>PA-Pl5=m2—1G[—1,0].

綜上取值范圍為[-1,0].

15.【答案】里3

3

【解析】

【分析】

本題考查向量模的求解，向量數(shù)量積的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，綜合性大，屬于難題.

【解答】

(sinAsinB\_sinB

解：由6(tanA+tanB)=2ctanB,得sinB2shic?

\cos4cosB/cosB

整理得sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,

即sin(-A+B)=2sinCcosA,

又sin(A+B)=sinCf

所以cosA=：,

由?4d=2,得A6?A(^=bccosA=2,所以be=4,

又渴=+硝,

22

所以=1\/&4-C+2X2

國=#物+硝2

V

》，2bc+4=y/122y/3

J33

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立,

所以I褐I的最小值為竽.

16.【答案】也

4

【解析】

【分析】

本題在新定義下考查三角形面積公式，利用基本不等式求最值，屬于綜合題.

【解答】

解：

9=(PA+PB+PC)2=PA2+PB2+PC2+2(PA^PB+PAPC+PB-PC)》3(PA-PB+PA1

/.尸4?PB+PA?尸C+PB?PCW3./.SAABC=g(FAPB+PA-PC+PB?尸C)sin120°<苧

,當(dāng)且僅當(dāng)尸4=PB=P。時(shí)，等號(hào)成立.

sinAbsinB

17.【答案】解：(1)由正弦定理及1,知

sinB+sin.(76sinA+csinB

ab2

1

b+cab+bc

化簡(jiǎn)得，a24-62-c2=afc.

a2+fe2—c2_ab_1

由余弦定理知,cos(7

2ab2ab2

7T

因?yàn)镃e(o,；r),所以。=5.

(2)因?yàn)椤?BC的面積s=gabsin。=x=2，^，所以ab=8,

由角平分線定理知，筮=：，因?yàn)?,D,3三點(diǎn)共線，所以

所以帶=(#"(搐網(wǎng)》.譚嚴(yán)遺

16.曲、2/曲、2ca&-1163(而產(chǎn)3x64

即彳=(4)+E)+而可2彳七。

?T=(a+ft)2=(a+b)2

解得a+b=6,

所以a2+必=(a+-2ab=36-2x8=20,

由(1)知，c2=a2+b2-afe=20-8=12,所以

第20頁，共27頁

【解析】本題考查正、余弦定理、平面向量在平面兒何中的應(yīng)用，屬于綜合題.

18.【答案】(1)證明：如圖，取P8中點(diǎn)G,連接AG，NG，

?.?N為尸。的中點(diǎn)，

.-.NG//BC,且NG=/c,

O

又4M=3AD=2,BC=4,且ADUBC,

.-.AM//BC,且4M'=30，

則NG〃⑷Vf,且NG=AAf,

四邊形AMNG為平行四邊形，則NM〃4G,

?;4GU平面P4B，N"C平面P4B，

/.MN〃平面「48；

(2)解:取中點(diǎn)Q,連接AQ,已知4B=AC,則有HQ_L3C,且QC=4M=2,

QC//AM,

則四邊形AQCM為矩形，

即AMJ.MC，

?.?PA_L底面ABCD,P4U平面PAD，

二.平面ABCD_L平面PAD,

?.?平面ABCDn平面PAD=4D，CMU平面ABCD，

.?.CM_L平面PA。，又CAfU平面PNM,

則平面PNM_L平面PA。，

在平面PAD內(nèi)，過A作AF_LPM,交PM于F,連接NF,

則/ANF為直線AV與平面PMN所成角，

在成△尸AC中，由N是P。的中點(diǎn)，

得⑷V=*PC=^y/PAi+PC2=，

在加△PAM中，由P4.4M=PM*AF,

_PA-AM_4x2_4A/5

得

AF=PM=,42+22=丁

4A/5

...___AF__8x/5

??.smNAMF=--=

AN5=~25"

2

「.直線AN與平面尸”N所成角的正弦值為啦.

25

【解析】本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成角的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)

化思想方法，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)取中點(diǎn)G，連接AG，NG，由三角形的中位線定理可得NG〃BC,且

NG=,再由已知得AM//BC,5.AM=qBC,得到NG//AM，且NG=4M，

說明四邊形AMNG為平行四邊形，可得NM〃/1G,由線面平行的判定得到MN〃平

面「48；

⑵由勾股定理得CMLAD,進(jìn)一步得到平面PNMJ?平面PAD，在平面PAD內(nèi)，

過/作4FJ.PM，交PM于F，連接NF，則/ANF為直線AN與平面PMN所成

角.然后求解直角三角形可得直線？1N與平面PMN所成角的正弦值.

19.【答案】解：⑴因?yàn)檫^=(V3sinx,kcosx\,~^=(2A:cosx,2cosx),

所以g(x)=^'V—fc+l=2fcsin(2x+i)+1，

因?yàn)闉閃0,—,所以一可於出1(2/+》)1.

22\o/

①當(dāng)k>0時(shí)，ff(x)€[-fc+l,2fc4-l],由題意得,2jfe+l'解得

0<fc<

2fc4-1>0

②當(dāng)k<0時(shí)，ff(0；)€[2fc+l,-fc+l],由題意得J2(21+1)>_入+1'解得

1,c

--<k<0

o

③當(dāng)6=0時(shí),g(M=l,滿足題目要求?

綜上可得

54

13y/2(TT\36913,、369

(2)h(x)=sin2x----------sin(x+—)4---=2sinrrcosx———(sinrr+cosa;)+—；

5\4y1005100

第22頁，共27頁

令sinx+cosx=t,則sinxcosre=#一1,tW[1,閻.

故片產(chǎn)一a需=《一算+1寸109]

前卜

7T

因?yàn)槿我獾膅wO〉,，總存在痣々60,—,使得g(±2))九(±D成立,

2

109991

所以2拈+1)提，即拈》端，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為端4％<*

【解析】本題主要考查三角恒等變換，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,

不等式的存在性問題，屬于較難題.

20.【答案】解：Q)10(sin^^)=7-cos2A,JUl|5(l+cosA)=8-2cos2A

17f

可得cosA=:，由A€(o,7T).,所以4=

2o

①法一：在△幺可■。與A4BM中，

由正弦定理得CM=4。B材=我

BinZCAM-ainZAMC^inZBAM-sinZ.AMB'

即需=卷=2,故病=2疑，

所以:^?=翅+挺,加2=黜2+怨+融彩=*

所以4人=也

3

7T

法二：在△ABC中，由AM■是NBAC的角平分線所以乙氏4M=ZW47=/

b

由SkABM+S^AMC=SAAB。知：

AB-AM-sin/BAM+：?AM-AC-sinZMAC=^-ABAC-sin/LBAC

Z/N

GP—,1,AM?sin^+—?21AM-sin1=—11?2?sinJ,解得AM=空6

20202o3

②由功=入在，得無方=立君+(1-X)Ad,(Ae[0,1])

又發(fā)=荏-前=(1-入)前-怒，

所以4￡汽7自=[XA^4-(1-X)的.[(I-入)輻一福=2X—3€[-3,-1].

A5■跡的取值范圍為[-3,-1]

②解法二：以AB所在直線為工軸，過點(diǎn)4垂直于AB的直線為？/軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，由b=2,c=l,、=不則4(0,0),B(l,0),C(l,V3).湘=(1,0),

□

前二(1,㈣

因?yàn)榍?入赤，誕=屯1,

所以初=前+/=(1,逐一代內(nèi)，Ci=B^-B^=(-A,-V3)-

所以初,靈=一小一6(逐一而入)=2》一3

由Ac[0J]，得加.在的取值范圍為[-3,7]

【解析】本題考查解三角形和平面向量的綜合應(yīng)用，屬于難題.

21.【答案】解：⑴g(a:)=sin3+k)-sin(亍一切

.5TT,.57r3

=sinxcos—+cosxam—+coax=遺sinx+-cosx，

6622

,\/33

故函數(shù)g(z)的伴隨特征向量初葉=(一為~，5

(2)因?yàn)橄蛄?=(1,遍)的相伴函數(shù)為/(x)

7T8

所以/(c)=sin++x/^cos*=2sin{x+—)=-,

3o

如4-

所以sin(c+』)=-,

Jo

_,/TV7T、7T7T?

因?yàn)閍:e(一市>),所以￡+QW(0,5),

o032

所以cos(①+】)=4/1—sin2(x+?，

3V35

￡>

-7-rT-r7-r

3cos3sin-33

1434-&

-X-X1-

2551

LO

(3)函數(shù)h(r)=msin(x-1)=7n(sinxcos^—sin^cosx)=—msinx-^rrtcoax,

66622

若加=(_，樂1)為九3)的伴隨向量，則妨=一2,

所以w(z)=h(1_/=-2s配嗎一9一看=一24嗚_》=2co?|>

設(shè)點(diǎn)PQ,2cos號(hào)，

又點(diǎn)4(一2,3)、B(2,6),

第24頁，共27頁

所以無)=(6+2,288^—3),=(x—2,2cos^-6),

因