梅涅勞斯定理

梅涅勞斯定理定理表達(dá)設(shè)X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，那么X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1注意：1定理的應(yīng)用有正反兩個(gè)方向。由共線推出比例式叫作逆定理。2三個(gè)分點(diǎn)可能有兩個(gè)在線段上，或者三個(gè)都不在線段上。最簡單的證明〔張景中院士說過“做足夠多的三角形可以解任何幾何題”。等價(jià)說法是“做足夠多的垂線可以解任何幾何題”〕證明：過ABC三點(diǎn)向三邊引垂線AA'BB'CC'，AD：DB=AA'：BB'BE：EC=BB'：CC'CF：FA=CC'：AA'所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1一應(yīng)用梅涅勞斯定理1.定理的條件已經(jīng)具備，正向或反向應(yīng)用定理。例：過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線，那么三垂足共線。〔此線常稱為西姆松線〕。分析：目標(biāo)明確，寫出比例式就行了。例:不等邊三角形的三條外角平分線與對邊延長線的交點(diǎn)共線。分析：此題同上。注意外角平分線分對邊成的比例與夾邊比例的關(guān)系，是和內(nèi)角平分線類似的。例：分析：直線假設(shè)平行于BC，那么命題顯然成立。假設(shè)不平行，那么作出直線與直線BC的交點(diǎn)是非常自然的。例：如圖在三角形三邊取相同比例的分點(diǎn)。中間黑色三角形面積等于白色面積，求邊上的分點(diǎn)比例。分析：沒啥好分析的?？偨Y(jié)：用定理要選取三角形和截線。目標(biāo)中共線的三個(gè)點(diǎn)所在的直線上，一般不會包含所選取的三角形的邊。2.幾個(gè)不適合用梅氏定理的例子。例：如圖銳角x的兩條邊上取A,B兩點(diǎn)。甲乙二人分別從A,B出發(fā)沿箭頭方向前進(jìn)。保持速度不變。證明兩人以及銳角頂點(diǎn)組成的三角形垂心在某直線上運(yùn)動(dòng)。分析：此題具備定理的根本圖形，并且目標(biāo)是證明共線。但此處不可使用梅氏定理。因?yàn)榇剐乃诘亩ㄖ本€一般是不過銳角頂點(diǎn)的。那么我們?nèi)讉€(gè)時(shí)刻的垂心呢？兩個(gè)就夠了。只要證明這兩個(gè)垂心連線的斜率只與兩人的速度比有關(guān)……總結(jié)：用數(shù)學(xué)定理要看定理中的條件局部，估計(jì)計(jì)算復(fù)雜程度。比方逆定理?xiàng)l件是共線，不共線那么不可使用逆定理。例：兩個(gè)線段上的點(diǎn)列如圖連線得到交點(diǎn)。證明三個(gè)交點(diǎn)共線。用梅氏定理的證明見初三仁華課本。這里繞個(gè)路證明此題。首先，下面這個(gè)事實(shí)有用。x,y,z,w等8個(gè)數(shù)看作所在點(diǎn)橫坐標(biāo)?！灿昧硕ū确贮c(diǎn)〕此時(shí)中間兩個(gè)線段分點(diǎn)比例可由a,b,c,d,p,q,m,n給出。請自行練習(xí)x,y,z,w等8個(gè)數(shù)看作所在點(diǎn)縱坐標(biāo)，此時(shí)中間兩個(gè)線段分點(diǎn)比例仍可由a,b,c,d,p,q,m,n給出，且與上面結(jié)果相同。這說明圖中里邊的線段分點(diǎn)比例只與外圍分點(diǎn)比例有關(guān)，與外圍線段長度，夾角無關(guān)。等價(jià)的，引理：如圖三點(diǎn)共線。那么保持圖中線段分點(diǎn)比例不變，旋轉(zhuǎn)，平移，均勻伸縮粉色線段，會使三個(gè)黑點(diǎn)仍然共線?？丛}中的圖，兩條直線交于O,根據(jù)梅氏定理，G,H,I分所在線段比例由OA:AB:BCOD:DE:EF確定。只要保持這兩個(gè)連比不變，G,H,I分所在線段比例不變。根據(jù)引理，G,H,I分所在線段比例不變情況下證明了三點(diǎn)共線，那么間接證明了原題。所以，令角AOD為直角，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。下略?？偨Y(jié)：不應(yīng)刻意追求代數(shù)流或純幾何，自然為上。3比擬該定理和賽瓦定理聯(lián)系：根本圖形接近。我們試圖用下列圖統(tǒng)一兩個(gè)定理。三角形ADO，截線BC,有梅氏定理。三角形ADC,截線OB，有梅氏定理。三角形ABC,點(diǎn)O,有塞瓦定理等等這個(gè)圖的補(bǔ)注：代數(shù)方法解幾何題綜合考慮兩點(diǎn)：1用盡量少的未知數(shù)標(biāo)識圖形。2為了保持對稱性和形式的簡潔，可以適當(dāng)增加未知數(shù)。這個(gè)圖形可以用五個(gè)未知數(shù)表示。三角形三邊，以及am,ak。我們用了9個(gè)，現(xiàn)在找一下多出來的4個(gè)。首先。x,y,z可以用其它6個(gè)字母表示，這樣找到多出來的3個(gè)。外圍我們用a/bb/cc/a表示乘積為1的三個(gè)正數(shù)，其實(shí)可以只用兩個(gè)字母。a，b，1/ab。為了簡潔和對稱，多用了一個(gè)。區(qū)別：描述的數(shù)學(xué)事實(shí)不同。三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)。二廣義的梅涅勞斯定理D,E,F三點(diǎn)共線，三角形DEF面積為零。下面這個(gè)定理說的是三角形DEF面積不為零的情況。