2019北京某中學初二（下）期末數學試卷含答案

2019北京H~一學校初二(下)期末

數學

一、填空題(共18小題，1-17題每小題3分，第18小題第一空2分，第二空3分，共56分，)

1.(gtan73°產9x(-2tanl7°)2019+-

2.在AABC中，7sinA-O.5+13tanB-31=0,則AABC是三角形.

3.如圖，已知AB〃￡F//CD,若=CD=b,EF=c,則o,b,c之間等量關系式為—

4.如圖，。。的半徑為H,則。。的內接正六邊形和其外切正六邊形的面積比S內接：S外切=

5.已知AABC的三個頂點的坐標分別為A(-l,3),B(-l,-3),C(3,-3)則A4BC外接圓半徑的長度為

2

6.已知tana=—,則sin2a+4sinacosa-2cos2a=.

3

7.若關于光的方程(加-1)爐+2痛+機+3=0有兩個不相等的實數根，則加的取值范圍是一

8.如圖，AB=5,AC=3,5。邊上的中線AD=2,則AABC的面積為.

9.關于x的方程f+2(a+l)x+2a+l=0有一個大于0而小于1的根，則。的取值范圍是.

10.如圖，O是矩形ABCD對角線瓦)的中點，AD=8,CD=6,石是4?邊上的一個點.若DE=OE,則

AE=

ED

B

11.已知：如圖，在AASC中，AB=AC,以他為直徑作圓交BC于D,交AC于E.若NA=84。，則AE的度數

為—,

12.如圖，AB,CD是OO的直徑，且AB_LCD,P為CD延長線上的一點，PE切于E.BE交CD于

F.若AB=6,DP=2,貝1]3尸=.

13.在A4BC中，已知AB=2,ZB=30°,AC=應.貝U5AAsc=-

14.已知cosor+cos2a=1,貝!J2sin。a+sin4a+sin，a+sin'a=.

15.在平面直角坐標系xOy中，二次函數M:y=ax2+6x+c(a*0)的圖象過點4-1,0),且頂點坐標為8(0,1)設點

/”,0)為x軸正半軸上一點，是M以尸為旋轉中心的對稱圖形，當AT與線段AB有公共點時，f的取值范圍

為—,

16.如圖，已知NACB=90。，ZZMB=120°,AB=4,AD=2,則CD的取值范圍是.

17.在四邊形ABCD中，AB=AD=5,BC=12,ZB=ZD=90°,點M在邊8C上，點N在四邊形ABCD內部且

到邊AB、AD的距離相等，若要使ACW是直角三角形且AAMN是等腰三角形，則MN=—.

18.(5分)如圖1,分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長3C為半徑畫弧AC,CB,BA,我們將這

三條弧所組成的封閉圖形稱為萊洛三角形,

y

(1)若AB=4,則萊洛三角形的面積(即封閉圖形面積)為一；

(2)如圖2,將一個萊洛三角形放置于直角坐標系x軸上方，其“底端”落在原點。處，一頂點及中心M在y軸正半

軸上，如使萊洛三角形沿x軸正向滾動前進，在滾動過程中萊洛三角形每時每刻都有一個“最高點”，其中心也在不

斷移動位置如果在萊洛三角形滾動一周的過程中，將其“最高點”和“中心點”所形成的軌跡圖形按上、下放置，應大

致為下列選項中—的形狀.

二、解答題(共6小題，要求寫出嚴格的推理、論證、演算過程，共44分)

19.(6分)當0。<(/<45。時，下列關系式有且僅有一個成立：

①應sin(a+45°)=sintz+1

②亞sin(?+45°)=A/2since+—

(3)&sin(a+45°)=72sina+cosa

(4)夜sin(6r+45°)=sina+cosa

(1)如圖，AABC中，AB=1,ZACB=45°,ZCAB=a,請利用這個圖形證明上述選項中你認為正確的結論.

(2)利用(1)結論，計算cos75。.

cB

20.(6分)如圖，已知反比例函數丁=一和一次函數y=2x-l,其中一次函數的圖象經過伍乃)，(Q+1,Z;+Q兩點,

2x

反比例函數和一次函數的圖象交于A、8兩點.

(1)求反比例函數的解析式，和AAOB的面積；

(2)結合函數圖象，直接寫出不等式2x>—^+7的解集為—；

2x-6

(3)在反比例函數圖象上存在個點P,使得SAPAB=2SAOAB.

21.(6分)如圖，在OO內，弦AB//CD,交AC延長線于。，交3c于P,垂足為

(1)證明：Z.BOP=ZQCP.

(2)證明：OP.OQ=OA2.

22.(8分)已知關于無的方程2尤2-2(m+l)x+；+wi=0

(1)證明方程總有兩個實數根；

(2)設關于x的方程2x?-2(m+1)尤+g+m=0的兩根是%，<x2),關于x的方程2x?-2(〃7+l)x+：+m=l的

兩根是W，%(工3<%)，請直接寫出玉，X2,W，匕的大小關系;

(3)當1領k3時，代數式2f-2(m+1)*+3+根的值恒為正，求機的取值范圍.

23.(10分)如圖，過點A(O,1)作直線P。，交拋物線于尸，。兩點，點3是點A關于x軸的對稱點.

4一

(1)試判斷以點P為圓心，以為半徑的圓與直線/:y=-l的位置關系；

(2)證明：直線和直線3尸關于y軸對稱；

(3)過點P作y軸的平行線交直線/:y=-l于H點，連接AH交x軸于E,直線PE與拋物線y=:無?是否還有除

點尸之外別的交點？請說明理由.

24.(8分)如圖所示，在AABC中，44C=9O。，4￡>_LBC于。，NB的平分線分別與AD,AC交于E,F,

H為EF中點.

(1)求證：AH±EF；

(2)設ABH4、ABDE、廣的周長分別為八%、L,試證明必乜,，U.并求出當等號成立時空的值.

138BF

B

D

E

H

參考答案

一、填空題(共18小題，1-17題每小題3分，第18小題第一空2分，第二空3分，共56分，)

1?【分析】根據互余的兩個銳角的正切的乘積等于1以及負整數指數塞的公式計算即可.

【解答】解：gtan73°產9x(-2tanl7°)2019+§尸=[1tan73°x(-2tanl7°)]2019+2=(-1)2019+2=-l+2=l.

故答案為：1

【點評】此題主要考查了實數運算，正確化簡各數是解題關鍵.

2.【分析】直接利用非負數的性質得出sinA=0.5,tanB=l,再利用特殊角的三角函數值得出答案.

【解答】解：JsinA-0.5+|3tanB-3|=0,

/.sinA=0.5,3tanB=3,

解得：tanB=l,

故ZA=30°,ZB=45°,

,-.ZC=105°,

則AABC是鈍角三角形.

故答案為：鈍角.

【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶相關數據是解題關鍵.

3.【分析】證明ADEFSAZMB,根據相似三角形的性質得到變=2生同理可得先=變，計算即可.

ABDBCDBD

【解答】解：???45//EF,

:.ADEF^ADAB,

.EFDF

AB-

.CD//EF,

.?.ABEFSMCD,

.EFBF

…CD-BD'

EFEFBFDFA

ABCDBDDB

111日口111

------1------=-----，即—I—=一，

ABCDEFabc

故答案為：—+—.

abc

【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

4.【分析】連接。4、OB、04、OB',由正六邊形的性質得出R:AB=1:1；得出

R:A'B'=OB:OB'=sin60o=43:2；因此AB:AB=6：2,根據相似多邊形的面積比是相似比的平方，求得其面積

比即可.

【解答】解：連接OB、04、OB',如圖所示：

則R:AB=1:1；

:.R:A'B'=OB:OB'=sin600=y/3:7.；

AB:A'B'=^:2,

-.-GO的內接正六邊形s其外切正六邊形，

二OO的內接正六邊形和其外切正六邊形的面積比S內接：邑卜切=

E'

【點評】本題考查了正多邊形與圓、正六邊形的性質、等邊三角形的性質以及相似多邊形的性質；熟練掌握正六邊

形的性質是解題的關鍵.

5.【分析】三角形的外心是三邊中垂線的交點，設AABC的外心為M；由A、B、C的坐標知：AB、3c的垂直

平分線正好經過(1,0),由此可得到M(l,0),由勾股定理即可求得GM的半徑長.

【解答】解：設AABC的外心為如圖：

A(-l,3),5(-1,-3),C(3,-3),

:.AB,3C的垂直平分線過(1,0),故M(l,0)；

就是0M的半徑長，

由勾股定理得：M4=，2?+栗=而,

即AABC的外接圓半徑為屈.

故答案為：A/13.

【點評】本題考查了三角形外心的定義和性質.能夠根據三角形外心的性質來判斷出AABC外心的位置是解答此題

的關鍵.

6.【分析】根據同角三角函數的關系化簡原式得到sin%+4sinecosa-2cos2。=—+fan”2,把^11c=2代

tana+13

入即可得到結論.

sin2a+4sinacosa—2cos2a

【解答】解：sin。a+4sinacosa-2cos2a=°+勿*。_--------嚴sa-------="""+；tan°2

sina+cos1asina+cos2atana+1

cos2a

2

?「tan。二一，

3

...原式差|2+4x|~210

13

+1

故答案為：t

【點評】本題考查了同角的三角函數的關系，熟練掌握同角三角函數的關系是解題的關鍵.

7?【分析】根據一元二次方程的定義和根的判別式4〉。時，方程有兩個不相等的實數根，建立關于根的不等式,

然后求出租的取值范圍;

【解答】解：???a=m—l,b=2m,c=m+3,

而方程有兩個不相等的實數根,

/.△=/-4ac=4m2-4(m-l)(m+3)>0,且加一lwO，

2

3

故答案為：加〈一且7〃W1.

2

【點評】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△XJo方程有兩個不相等的實

數根；（2）△nOo方程有兩個相等的實數；（3）△<0o方程沒有實數根.

8.【分析】延長AD到E,使DE=AD,連接BE,如圖所示，由。為3c的中點，得到CD=3D,再由一對對頂

角相等，利用SAS得出三角形ACD與三角形EDB全等，由全等三角形的對應邊相等得到BE=OC=3,由

AE=2AD=4,AB=5,利用勾股定理的逆定理得到三角形ABE為直角三角形，即隹垂直于3E,利用垂直定義

得到一對直角相等，三角形ASC的面積等于三角形W與三角形ACD面積之和，求出即可.

【解答】解：延長45到E,使DE=AD,連接BE,

?。為3c的中點，

DC-BD，

?,在AWC與AEDB中，

AD=ED

<ZADC=ZEDB,

DC=BD

:.AADC=AEDB(SAS),

:.BE=AC=3,ACAD=AE,

又?.?AE=2AD=4,45=5,

:.AB2=AE2^BE2,

,\ZCAD=ZE=90°,

則“=—+5=3皿B￡+；QAC=gx2x3+gx2x3=6.

故答案為：6.

【點評】此題考查了勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定與性質，熟練掌握勾股定理的解本題的關鍵.

9?【分析】通過因式分解法解方程得到玉=-1,%2=-2a-l,利用題意得到然后解不等式即可.

【解答】解：解方程/+2(Q+1)X+2Q+1=0得玉=一1,x2=-2a-1,

,方程/+2(〃+1)X+2〃+1=0有一個大于0而小于1的根，

0v~■2a—1v1

解得

2

a的取值范圍是-1<。<-工.

2

故答案為T<a<-L

2

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數y=+fcr+c(a,b,c是常數，awO)與x軸的交

點坐標問題轉化為解關于尤的一元二次方程.也考查了解一元二次方程.

10?【分析】先求出BD,進而求出8=03=04,再判斷出△OOEsAADO,即可得出結論；

【解答】解：如圖b連接。4,

在矩形ASCD中，CD=AB^6,AD=BC=8,ZBAD=90°,

在RtAABD中，根據勾股定理得，BD=y/AB2+AD2=A/36+64=10,

是中點，

:.OD=OB=OA=5,

,\ZOAD=ZODA,

?.OE=DE,

.\ZEOD=ZODE,

ZEOD=ZODE=ZOAD,

:.NODEstsADO,

.ODDE

而一訪‘

/.DO2=DE.DA,

設=x，

DE-8—xf

25=8(8—%)

..x=—39

8

故答案為:39

T

【點評】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，證明AODESAADO是本題的關鍵.

11.【分析】取至的中點O,連接OE,由等腰AAOE中，OA^OE,可解答.

【解答】解：取他的中點O,連接OE,

?.?AB為直徑,

OA=OE,

:.ZA=ZAEO=84°f

.?.ZAO石=180?！?x84。=12。，

則AE的度數為12。,

故答案為：12。.

【點評】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結

合思想的應用.

12.【分析】連接OE,可求得NPEF=NPFE,可得PF=PE,在RtAOPE中由勾股定理可求得PE,在RtAOBF中

由勾股定理可求得

【解答】解：如圖，連接OE,

ZPEF=90°-Z.OEB=90°-Z.OBE=Z.OFB=ZEFP,

:.PF=PE,

■.■AB=6,AB,CD是OO的直徑,

:.OE=OD=OC=OB=OA=3,

?.?PE切。0于E，

:.APEO=9QP,

在RtAOPE中，DP=2,

OP=3+2=5,

由勾股定理可得。尸=PE2+OE2,

:.52=PE2+32,解得PE=4,

：.PF=PE=4,OF=OP-PF=5-4=1,

;AB_LCD,

.-.ZBOF=90°,

在RtAOBF中,由勾定理可得B尸=OB2+OF2,

即BF2=32+l2=10,

FB=>Jid.

故答案為：'/10.

【點評】本題主要考查切線的性質及勾股定理，證得莊=PF是解題的關鍵.

13?【分析】分AABC是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況進行討論，然后分別解直角AABD與直角AACD,求出

AD.BD、CD的長，再根據5AAsc=g代入數值計算即可.

【解答】解：當AABC是銳角三角形時，

過點A作ADLBC于點。，

■.■AB=2,ZB=30°,

AD=-AB=1,

2

，由勾股定理可知：BD=^AB2-AD2=>/22-12=>/3,

AC=yl2,

，由勾股定理可知：CD=dAC?-AD。=，2--=1,

BC=BD+DC=4i+\,

??-5MBC=|BC.AD=1x(^/3+l)xl=^tl;

當AABC是鈍角三角形時，

同理可得：BD=^>,CD=1,

BC=BD-DC=>f3-l,

???5AABC=|BC.AD=1X(73-1)X1=^1.

故答案為：@±1或且二1.

22

【點評】本題考查了解直角三角形、三角形的面積，利用數形結合與分類討論是解題的關鍵.

14.【分析】根據已知條件和同角的三角函數的關系siYaul-cos2a即可得到結論.

【解答】解：:cosa+cos2a=1,

/.cos26Z=1—coscr,1—cosa=cos2a,

,/sin2a=l—cos2a,

/.2sin2a+sin4a+sin6a+sin8a

=2(1-cos2cr)+(1-cos2a)2+(1-cos2a)3+(1-cos2cr)4

=2cosa+cos2a+cos3a+cos4a

=2cosa+1-cosa+cosa(l-cosa)+cos4a

=2cosa+1-cosa+cosa—cos2a+(1-cosa)2

=2cosa+\-cosa+cosa-cos2a+1-2cosa+cos2a

=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了同角的三角函數的關系，整式的化簡，熟練掌握同角的三角函數的關系是解題的關鍵.

15.【分析】先根據待定系數法，可得二次函數M的解析式；再根據旋轉的性質，可得拋物線“，的頂點與與玄關

于廠點對稱，根據中點公式，求出用的坐標；最后根據圖象過A,5點，可得點的坐標符合解析式，根據圖象，

可得答案.

【解答】解：由拋物線"的頂點坐標為仇0,1)可設拋物線的解析式為＞=a?+i,

將A(-l,0)代入解析式，得〃x(-+1=0,

解得a=-1,

.,.二次函數M的解析式為y=-x2+l,

設旋轉后拋物線M'的頂點為與，

由旋轉的性質，得：及與3(0,1)關于E(r,O)對稱，

B](2Z,—1)；

?.?拋物線AT的二次項系數為1,

二.拋物線M'的解析式為y=(x-2/)2一1?>0),

.?.當拋物線經過4-1,0)時有(T-2f)2-1=0,解得?2=0；

當拋物線M'經過2(0,1)時有(-2/)2-1=1,解得t=±—；

2

當拋物線M'與線段AB有公共點時，f的取值范圍0

2

故答案為：0<"注.

2

【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用圖象過A,B點得出點的坐標符合解析式是解題關鍵.

16,【分析】如圖，取的中點￡,連接CE,DE,過點作AT_LD石于T,連接CD.求出DE,EC,根據

DE-EC^tDDE+CE求解即可.

【解答】解：如圖，取回的中點￡,連接CE,DE,過點作AT，。石于T,連接CD.

D

B

?/AB=4,AD=2，AE=EB,

AD=AE=2,

???AT_LDE,ZDAE=120°,

:.ZDAT=ZEAT^60°,

DE=20T=2AE.sin60°=2上,

?.?NACB=90。，AE=EB,AB=4,

:.CE=-AB=2,

2

■.■DE-EC^iJDDE+CE,

2A/3-2^IJC￡>2道+2.

故答案為2A-2麴JC￡>273+2.

【點評】本題考查直角三角形斜邊中線的性質，等腰三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學

會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題.

17?【分析】首先證明點N在線段AC上，分兩種情形分別求解即可.

【解答】解：如圖，連接AC.?.?/8=90。，AB=5,BC=12,

AC=752+122=13,

■.■ZD=90°,AD^5,AC=13,

:.CD=7132-52=12,

:.AB^AD,BC=CD,

■.■AC=AC,

，AABC=AADC(SSS),

:.ZCAB^ZCAD,

?.?點N在四邊形ABCD內部且到邊M、AD的距離相等，

.,.點N在線段AC上，

①如圖1中，當AN=MN,M0_L3C時，設AN=MN=x.

圖1

NM//AB,

MNCN

~AB~~CA

x_13-x

5-13

②如圖2中，當AN=MN,MN_LAC時，沒AN=MN=y,

A/

D

圖2

\ZMCN=ZACB,ZMNC=ZB=90°,

..ACMN^ACAB,

MN_CN

3J3-y

5-12

綜上所述，滿足條件的"N的長為巴或巴.

1817

故答案為國或竺.

1817

【點評】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，相似三角形的判定和性質，平行線

分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題.

18.【分析】(1)圖中三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成，其面積=三塊扇形的面積相加，再減去兩個等

邊三角形的面積，分別求出即可.

(2)由題意，最高點到無軸的距離是不變的，中心點/到x軸的距離開始是增加然后減小，再增加，又減小，不

斷循環(huán)，由此即可判斷.

【解答】解：(1)過A作于。，

圖1

?.?AABC是等邊三角形，

：.AB=AC=BC=4,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

:AD_LBC,

:.BD=CD=2,AD=￡BD=26,

AABC的面積為工BC.AD=473,

2

60?%d_8

扇形BAC-一通一—^萬，

萊洛三角形的面積S=3x§萬-2乂46=8萬-8追，

3

故答案為8萬-86.

(2)由題意，最高點到x軸的距離是不變的，中心點Af到x軸的距離開始是增加然后減小，再增加，又減小，不

斷循環(huán)，

故圖象選3.

故選3.

【點評】本題考查了等邊三角形的性質和扇形的面積計算，點的運動軌跡等知識，能根據圖形得出萊洛三角形的

面積=三塊扇形的面積相加、再減去兩個等邊三角形的面積是解此題的關鍵.

二、解答題(共6小題，要求寫出嚴格的推理、論證、演算過程，共44分)

19.【分析】(1)如圖，過A作AT>_L3C,交CB的延長線于D,過3作鹿_LAC于E.由三角函數定義得出

BE=AB?sin/FAB=sintz,AE=AB-cosZ.EAB=cosa.CE=BE=since,BC=\[2BE=A/2sina.在RtAABD中，

ZADB=90°,ZABD=ZCAB+ZC=a+45°,AB=\,得出AD=AB?sinNABD=sin(&+45。).由三角形面積得出

BC-AD=AC*BE,得出近sina.sin(tz+45。)=(sina+costz).sina,即可得出結論；

(2)由(1)得：72sin(30°+45°)=sin30°+cos30°=1,得出sin75°=(；+g)x*=,再由

sin275°+cos275°=1,即可得出答案.

【解答】解：(1)如圖，過A作A￡>_L8C,交CB的延長線于。，過3作AC于E.

?.?在RtAABE中，ZAEB=90°,ZEAB=a,AB^l,

BE=AB^sinZEAB=sina,AE=AB?cosZ.EAB=cosa.

???在RtABCE中，NCEB=90。,NC=45。，

CE-BE=sina,BC=y[2BE=5/2sina.

???在RtAABD中，ZADB=90°,ZABD=ZCAB+ZC=a+45°,AB=l,

AD=AB.sinZABD=sin(a+45°).

■.S^^BC.AD^AC.BE,

二.BC?AD=AC?BE,

v2sina?sin(a+45°)=(sina+cosa)?sina,

?「sinaw0,

y/2sin(a+45°)=sin1+cosa,④正確；

(2)由(1)得：A/2sin(30°+45°)=sin30°+cos30°=1+^,

.”。A艮176+72

?.sin75o=(/+5-)x^==----------,

?.?sin275°+cos275°=1,

cos275。=1一阻也丫=函一行了

416

.4-oA/6—\/2

..cos75=-----------?

4

【點評】本題考查了解直角三角形、特殊銳角的三角函數值、同一銳角的三角函數關系等知識；通過解直角三角形

得出正確結論是解題的關鍵.

20.【分析】(1)把3份、(〃+11+6兩點代入一次函數解析式可得3易得反比例函數的解析式，聯立方程，解

方程組求得A,5的坐標，即可求得AAO5的面積；

(2)利用函數圖象交點坐標和平移的規(guī)律，即可得出不等式2尤〉上+7的解集；

x+6

(3)根據同底不同高的三角形面積即可求得.

(2〃_1—A

【解答】解：(1)把(。向，3+1,6+Q兩點代入一次函數解析式y(tǒng)=2%-1可得：?-177

[2(〃+I)-l=b+k

解得：k=2.

故反比例函數的解析式為：y=-；

11

V=得%=1-x=——

解-x或《2，

y=i

y=2x-l。=一2

/.A(l,l),B(--,-2),

2

由一次函數解析式y(tǒng)=2%-l可知與y軸的交點為(0,-1),

c1一1113

?,'MOB=-xlxl+-xlx-=-；

(2)由平移的規(guī)律可知，反比例函數y=2和一次函數y=2x—1向右平移3個單位得至Uy=—和y=2x—7,

2x2x—6

?反比例函數y=&和一次函數y=2x-l的交點為,-2),

2x2

...不等式2x>—L_+7的解集為9c<3或x>4

2x-62

故答案為9Vx<3或x>4；

2

(3)有4個點尸，使得5“鉆=2￡。.，如圖：

過。點作O￡)_LAB于￡),延長DO到使ZM/=28,過M點作他的平行線/交雙曲線兩個尸點，則

SAFAS=2sAe1AB'

作直線/關于直線AB對稱直線交雙曲線又有兩個P點,

故有四個點尸，使得SAW=2sA加，

故答案為4.

【點評】本題主要考查了待定系數法求解析式以及求反比例函數與一次函數的交點坐標，一次函數、反比例圖象與

幾何變換.

21.【分析】(1)由垂徑定理可得AM=N/0,由等腰三角形的性質和圓周角定理可得/BOM=NACB,可得

NBOP=NQCP；

(2)通過證明AAOPSAQOA,可得結論.

【解答】證明：(1)-.-QOLAB,

ZAOB=1ZBOM=1ZAOM,S.ZAOB=2ZACB,

:.ZBOM=ZACB,

:.ZBOP=ZQCP,

(2)■.■MQLAB,AM=BM,

:.AO=BO,AP=BP,S.OP=OP,

:.AAOP^ABOP(SSS)

;.ZPAO=NPBO,

ZBPO=ZCPQ,ZBOP=ZQCP

:.ZPBO=ZQ

ZQ=ZPAO,J3.ZAOP=ZAOQ,

.AAQPsAQQA

OAOP

一~OQ~~OA

OP.OQ=OA2.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，圓的有關知識，證明AAOPSAQCM是

本題的關鍵.

22?【分析】(1)利用判別式△>?即可求解；

(2)將方程的根看作函數y=2x2-2(〃2+l)x+g+〃z,當y=0,y=1時分另U與x軸和y=1的交點，即可求解；

(3)將代數式2/-2(m+l)x+1+m的值恒為正問題轉化為函數y=2/一2(m+l)x+；+加在給定范圍內最小值大

于0,即可求解.

133

【解答】確軍：(1)證明：,/△=4(m+1)2-4x2(—+m)=4m2+6m+3=4(m+—)2+—>0,

/.方程總有兩個實數根；

(2)j=2x2—2(m+l)x+g+a=2>0

y=0時，表示二次函數與x軸的交點；

y=l時，表示二次函數與y=l的交點，

故九3々<%4；

(3)令y=2x2—2(m+T)x+g+m，

則函數的對稱軸為尤="f,

2

當啜心里3時，啜加5,y有最小值為-工療，

22

--m2>0,不符合題意；

2

當3口<］時，y有最小值g一根，

--m>0,則機<工，

22

1

2

當1>3,m>5,>有最小值以一9根，

22

QIO

-----9m>0,則機<—(舍去)；

22

綜上所述，m<-時代數式2/-2(m+l)x+-+m的值恒為正.

22

【點評】本題考查一元二次方程，一元二次函數問題；能夠將代數式轉化為一元二次函數問題是解題的關鍵.

23?【分析】(1)根據兩點之間距離公式和點到直線的距離可得：PA=-m2+l,點尸到直線=的距離為

4

d^-ne+l,由切線的判定定理，可知以點尸為圓心，出為半徑的圓與直線/:y=-l相切；

4

(2)先證明AE4AfsAQ4N,再證明ABMPsABNQ,即可得/尸3"=NQBN,即直線2。和直線關于y軸對

稱；

(3)待定系數法先求直線AH解析式，令y=0可求得石的坐標，再利用待定系數法求直線尸石解析式，根據一元

二次方程根的判別式即可判斷拋物線與直線PE的交點情況.

【解答】解：(1)以點。為圓心，為半徑的圓與直線/:y=-l的位置關系為相切.

設點P(m,—m2),點尸到直線/:y=-1的距離為d=—m2+1,則PA=.(m-0)2+(—m2-I)2=—m2+1,

44V44

d=—m2—(-1)=—m2+],

44

PA=d

以點。為圓心，P4為半徑的圓與直線/:y=-l相切；

(2)如圖，過點尸作尸"，直線/于"，作軸于M,過點。作QG，/于G,QNLy軸于N,

則：ZQGB=ZQNA=ZQNB=ZGBN=ZHBM=ZPMA=ZPHB=90°

一.四邊形BGgN、BHPM均為矩形,

:.BN=QG,BM=PH

由(1)知：PA=PH,QA=QG

:.QA=BN,PA=BM

ZPAM=ZQAN

:.\PAM^\QAN

PMQN

…~PX~~QX

.PMQN

BM~BN

?；/BMP=/BNQ=90。

ABMP^ABNQ

:.ZPBM=ZQBN

/.直線BQ和直線BP關于y軸對稱；

(3)除點尸之外無別的交點.

P(/77,-m2),,A(O,1)

設直線AH解析式為〉=左々+〃，貝”[;m[k';+/?'=—1，解得k'=—

7

/.直線AH解析式為y=--x+l,令y=O,=—

m