2023年黑龍江省哈爾濱十高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.+的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()

1X)

A.-60B.240C.-80D.180

2.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)—G：,若曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為y=2x,則實(shí)數(shù)。的取值為()

A.-2B.-1C.1D.2

(?\

3.函數(shù)y=sin1一3-ln|九|圖像可能是()

A.——\——~——?B.—?！?C.

J_____o.\yA\;

4.2021年某省將實(shí)行“3+1+2”的新高考模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三科必選，物理、歷史二選一，化學(xué)、生物、政

治、地理四選二，若甲同學(xué)選科沒(méi)有偏好，且不受其他因素影響則甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率為

111D.1

A.-B.-C.一

8462

5.已知命題%2>0,則力是()

2

A.VxeR,%<0B.3x0eR,x1<0.

2

C.3x0GR,>0D.Vx^R,x<0.

6.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是邊長(zhǎng)為4的正三角形，俯視圖是由邊長(zhǎng)為4的正三角形和一個(gè)半圓構(gòu)成,

則該幾何體的體積為（）

△△

正視圖州視國(guó)

他視用

Q4#）兀Q2△兀4瘋r.86乃

AA.8+-------B.8+-------C.4+-------D.4+-------

3333

7.已知整數(shù)X，〉'滿足x2+y2<］（）,記點(diǎn)用的坐標(biāo)為（x,y）,則點(diǎn)/滿足x+yN出的概率為（）

.965

A.—B.—C.—

353537

8.已知復(fù)數(shù)二滿足|z|=l,則|z+2M的最大值為（）

A.2+3B.1+V5c.2+V5D.6

9.下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是（）

A.正方體B.球體

C.圓錐D.長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體

10.如圖，在AABC中，點(diǎn)A/,N分別為C4,C8的中點(diǎn)，若AB=逐，CB=\,且滿足3而?荻=+國(guó)之，

則而等于（）

/-28

A.2B.J5C.-D.-

33

11.在四面體P—ABC中，AABC為正三角形，邊長(zhǎng)為6,PA=6,PB=S,PC=1O,則四面體P—ABC的體

積為（）

A.8而B(niǎo).8V1OC.24D.1673

（X—1）3X<1

12.已知函數(shù),f（x）="一，若則下列不等關(guān)系正確的是（）

Inx,x>1

11

A.―：——<-：—B.ifa>>/b

tr+1b~+\

C.a2<abD.In.+1)>ln(02+1)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，，面ABCD,PA=AB=4,E,F,H分別是棱PB,BC,PD的

中點(diǎn)，過(guò)瓦E"的平面交棱CD于點(diǎn)G,則四邊形跳6〃面積為.

14.五聲音階是中國(guó)古樂(lè)基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”.中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果

把這五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)，可排成種不

同的音序.

15.如圖，在AA8C中，BC=2,AB=衣,NACB=——，點(diǎn)E在邊AB上,且NACE=NBCE,將射線CB

3

繞著C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)B，并在所得射線上取一點(diǎn)。，使得CD=g-1，連接。E，則ACDE的面積為.

16.函數(shù),/'(%)=%85》+5山》在》="處的切線方程是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.(12分)在直角坐標(biāo)系尤作中，曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+犬=1.以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立

4

極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為恁sin］。+?J=3百.

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若點(diǎn)p在曲線C上，點(diǎn)。在直線/上，求IPQI的最小值.

18.（12分）如圖，在四棱錐中，PA_L平面ABC。，ADLAB,AB//CD,AB=AD=AP=-CD=2,

2

E為PC的中點(diǎn).

p

（1）求證：BE1平面PCQ；

（2）求二面角A—依—C的余弦值.

19.（12分）如圖，在ZVLBC中，AB>BC,ZABC=\2Q（\AB=3,N/LBC的角平分線與AC交于點(diǎn)。，BD=1.

（I）求sinA；

（H）求A5CD的面積.

20.（12分）已知函數(shù)〃x）=e'（x—1）—a<0.

（1）求曲線y=/（x）在點(diǎn)（O,/（O））處的切線方程；

（2）求函數(shù)“X）的極小值；

⑶求函數(shù)/（力的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

21.（12分）為了解甲、乙兩個(gè)快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個(gè)公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公

司各隨機(jī)抽取一名快遞員，并從兩人某月（30天）的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機(jī)抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：

甲公司員工A：410,390,330,360,320,400,330,340,370,350

乙公司員工8：360,420,370,360,420,340,440,370,360,420

每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費(fèi)情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)（含350

件）的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.

（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫(xiě)出甲公司員工A在這10天投遞的快件個(gè)數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；

（2）為了解乙公司員工8每天所得勞務(wù)費(fèi)的情況，從這10天中隨機(jī)抽取1天，他所得的勞務(wù)費(fèi)記為自（單位：元）,

求J的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).

22

22.（10分）已知橢圓C：5+/=l（a>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)是E，F(xiàn)2,M（夜,1）在橢圓C上，且制+|叫|=4,

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與直線平行，且與橢圓交于A,3兩點(diǎn).連接M4、A的與x軸交于點(diǎn)。，E.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：|加可為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

6（9、6

求(/_])石+2I的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，可轉(zhuǎn)化為求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和4項(xiàng)，再求和即可得出答案.

X7X

【詳解】

由題意，（4+2］中常數(shù)項(xiàng)為c；

㈤=60,

IX）

4

240二,

項(xiàng)為=

￡

/八'6

所以(V—1)?+工I的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:

X3x240-^-1x60=180.

X

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過(guò)/（0）,求解即可;

【詳解】

f(x)的定義域?yàn)?-1,+00),

因?yàn)槭?X)=~---a,曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2x,

x+1

可得1-a=2,解得a=-1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計(jì)算能力.

3.D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)4G當(dāng)xf0一時(shí)，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】

(

?：y=sinx-yj-ln|x|=-cosxln|x|,

-cos(—%)In|—x|=—cosxIn|x|,

即函數(shù)為偶函數(shù)，

故排除選項(xiàng)A,C,

當(dāng)正數(shù)x越來(lái)越小，趨近于0時(shí)，-cosx<0,ln|x|<0,

所以函數(shù)丁=5祖［％—、)ln|x|>0,故排除選項(xiàng)8,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識(shí)別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

4.B

【解析】

甲同學(xué)所有的選擇方案共有C；C：=12種，甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一

31

科即可，共有熄=3種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，可得甲同學(xué)同時(shí)選擇歷史和化學(xué)的概率P=3=：，

124

故選B.

5.B

【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，得到結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，可得「pT/eR,x(；<0

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查含量詞的命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

由題意得到該幾何體是一個(gè)組合體，前半部分是一個(gè)高為2石底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的三棱錐，后半部分是一

個(gè)底面半徑為2的半個(gè)圓錐，體積為V=1XY3X42X2G+LX1》X4X2G=8+1Z

34233

故答案為A.

點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，

其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾

何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面

的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.

7.D

【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè)，滿足條件的有7個(gè)，相除得到概率.

【詳解】

因?yàn)椋?'是整數(shù)，所以所有滿足條件的點(diǎn)M(x,y)是位于圓/+y2=]0(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，滿足條件x2+/<10

的整數(shù)點(diǎn)有(0,0),(0,±1),(0,±2),(0,±3),(±1,0),

(±2,0),(±3,0),(±1,±1),(±2,±1),(±3,±1),(±1,±2),(±2,±2),(±1,±3)37個(gè)，

7

滿足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè)，則所求概率為萬(wàn).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了古典概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.

8.B

【解析】

22

設(shè)z=a+>i,a,》eR,\z+2-i\=^a+2)+(h-l)，利用復(fù)數(shù)幾何意義計(jì)算.

【詳解】

設(shè)2=4+例,4力€??,由已知，a2+b2=1?所以點(diǎn)(。,6)在單位圓上，

而|z+2—i|=|(a+2)+S-l)i|=,/(?+2)2+0-1)2，J(a+2)2+(b-1舊表示點(diǎn)3b)

到(-2,1)的距離，i*ift|z+2-z|<7(-2)2+l2+1=1+V5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查求復(fù)數(shù)模的最大值，其實(shí)本題可以利用不等式|z+2-i國(guó)z|+12-i］來(lái)解決.

9.C

【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.

【詳解】

正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形，球的三個(gè)三視圖都是相等的圓，圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓，另外兩個(gè)是

全等的等腰三角形，長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.

10.D

【解析】

選取麗，前為基底，其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算.

【詳解】

由題意G是AABC的重心，

3AGMB=3x^AN(-^BM)=-2(BN-BA)~(BC+^A)=(BA-^BCy(BC+BA)

---212111

=BA——BC+-BABC=5——+-BABC

2222

CA+CB=(BA-BC)2+l=BA"-IBA-'BC+BC2+l=^5-2BABC+l+\，

a1-------------------------------------------------

:.—I—BA，BC-7—2BA，BC,BA,BC-1，

22

2--------21----———21----)3----——22138

：.AG.AC=-ANAC=-(-BC-BA)-(BC-BA)=-(-BC'--BCBA+BA)=-(---+5)=-,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運(yùn)算，這樣做目標(biāo)明

確，易于操作.

11.A

【解析】

推導(dǎo)出P8_L8C,分別取BC,PC的中點(diǎn)。,E,連結(jié)AO,AE,OE,則A。，BC,AE_LPC,OE_L8C,推導(dǎo)出

AELDE，從而讓J_平面尸BC,進(jìn)而四面體P—ABC的體積為/_"c=%TBc=g-S“Bc-AE，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

解：???在四面體P-ABC中，AABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為6,

B4=6,PB=8,PC=10,

PB1+BC2=PC2,

：.PBA.BC,

分別取BC,PC的中點(diǎn)RE,連結(jié)ARAE,DE,

則AD±BC,AE±PC,DELBC,

且4。=^^=3百，DE=4,4七=，36-25=而，

AE2+DE2=AD2>

:.AE±DE,

-■PCp\DE^E,PCu平面P8C,DEu平面P8C,

???AKI平面P3C,

四面體尸―ABC的體積為：

^P-ABC=匕-P8C=2,S、PBC'AE

=-xlxPBxBCxAE=-xlx8x6xVH=8Vn.

3232

故答案為：8日.

【點(diǎn)睛】

本題考查四面體體積的求法，考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.

12.B

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到a力的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

???/(X)在R上單調(diào)遞增，且八

Tab的符號(hào)無(wú)法判斷，故/與/與‘方的大小不確定，

對(duì)A,當(dāng)時(shí)，-y1—=-^,故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)a=l,b=-l時(shí)，/=l,ab=-l,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)a=l力=-1時(shí)，ln(?2+l)=ln(^2+l),故D錯(cuò)誤；

對(duì)B,對(duì)a＞。，貝!)媯〉孤，故5正確.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.476

【解析】

設(shè)G是CD中點(diǎn)，由于E,F,H分別是棱PB,BC,PD的中點(diǎn)，所以EF//PC,EF=-PC,HG//PC,HG=-PC,

22

所以EF//HG,EF="G,所以四邊形EFGH是平行四邊形.由于PA_L平面ABCD，所以Q4，,而B(niǎo)O_LAC,

PAAAC=A,所以3。J_平面PAC,所以BOJ_PC.由于EG//BO,所以BG_LPC,也即EG_LEV,所以四

邊形AFG”是矩形.

而EF==PC=2區(qū)FG=LBD=2&

22

從而SEFGH=2^3x2V2=4底.

故答案為：4\/6.

H

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間平面圖形面積的計(jì)算，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

14.1

【解析】

按照“角”的位置分類(lèi)，分“角”在兩端,在中間，以及在第二個(gè)或第四個(gè)位置上，即可求出.

【詳解】

①若“角”在兩端，則宮、羽兩音階一定在角音階同側(cè)，此時(shí)有2x3x&x&=24種；

②若“角”在中間，則不可能出現(xiàn)宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同側(cè)；

③若“角”在第二個(gè)或第四個(gè)位置上，則有2A；#=8種；

綜上，共有24+8=32種.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用排列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，涉及分步計(jì)數(shù)乘法原理和分類(lèi)計(jì)數(shù)加法原理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生分類(lèi)討論

思想的應(yīng)用和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.3百-5

【解析】

由余弦定理求得AC=6—1,再結(jié)合正弦定理得sinNBAC=Y2,進(jìn)而得5m乙4后。=5出［&+巳］=逅業(yè)^,

2（34）4

得CE=4-26,則面積可求

【詳解】

由AB2=AC2+8C2-2AC8GCOSNACB,AC2+2AC-2=0,解得AC=>A-1.

,所以sinZBAC=正,71

因?yàn)椤?———ZBAC=-

sinZBACsinZACB24

71兀'V6+V2

所以sinNAEC=sin(ZAC￡+ABAC)-sin—+—

34；4

又因?yàn)楦呃?而聶’所以CE=4-26

因?yàn)镹ECD=NBCE+NBCD=三,所以52感=gcE-CD=36—5.

故答案為3百-5

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題

16.2x+y-7=0

【解析】

求出/(乃)和/'(乃)的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程.

【詳解】

(x)=xcosx+sinx,則/'(x)=2cosx-xsinx,.?./(〃)=一",/'(乃)=-2.

因此，函數(shù)/(x)=xcosx+sinj^x="處的切線方程是y+不=—2(x—萬(wàn)),

即2x+y—乃=0.

故答案為：2x+y-7r=Q.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)x+y-3行=0(2)V10

【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案

(2)設(shè)P(2cosa,sinc),公巫亞.乎一詢,根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.

V2

【詳解】

(1)因?yàn)镴lpsin。+?)=3不，所以psine+pcos6-3j^=0,

因?yàn)椤?八所以直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y-3后=0.

y=0sin，，

(2)由題意可設(shè)尸(2cosa,sine),

12cosa+sina-||\/5sin(a+°)-3加|

則點(diǎn)P到直線/的距離”

加

因?yàn)橐?領(lǐng)hin(a+。)1,所以JR瓶"2&5,

因?yàn)镮PQI.M,故IPQI的最小值為質(zhì).

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

18.(1)見(jiàn)解析；(2)-且

3

【解析】

(1)取尸。的中點(diǎn)尸，連接AF,EF，根據(jù)中位線的方法證明四邊形ABEF是平行四邊形.再證明AE_LP/D與CD，

從而證明AFJ_平面PCD,從而得到BE1平面PC。即可.

(2)以AD,AB,AP所在的直線為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再求得平面CPB的法向量與平面APB的法向量進(jìn)而

求得二面角A—依—C的余弦值即可.

【詳解】

(1)證明：如圖,取尸力的中點(diǎn)人連接AREE

又￡為PC的中點(diǎn)，則EF是APCD的中位線.所以//8且EF=；CZ).

又AB//CD且A8=L8,所以瓦'//A3且防=45.所以四邊形ABEF是平行四邊形.

2

所以BE//AE.因?yàn)锳D=AP,尸為PD的中點(diǎn)，所以

因?yàn)锳D_LAB,AB//C。,所以仞LCD.因?yàn)?4_L平面ABCD,所以B4_LCZ).

又ADcB4=4所以CD,平面Q4Z).所以C￡>J_AF.

又P0cCD=所以AF，平面PCD.又BE//AF，所以BE1平面PCD.

(2)易知AD,AB,AP兩兩互相垂直，所以分別以AD,AB,AP所在的直線為％Xz軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系：

因?yàn)锳B=A。=AP=，。=2，所以點(diǎn)A(0,0,0),8(0,2,0),P(0,0,2),C(2,4,0).

2

則PB=(Q,2,-2),AP=(0,0,2),BC=(2,2,0).設(shè)平面CPB的法向量為〃=(x,y,z),

.\n-PB=(x,y,z)-(0,2,-2)=2y-2z=04a[z=y,

n-BC=(x,y,z)-(2,2,0)=2x+2^=0'[x=-y'

令V=1，得平面CPB的一個(gè)法向量為H=(-1,1,1)；顯然平面APB的一個(gè)法向量為m=(1,0,0)；

設(shè)二面角A-PB-C的大小為。，則cos0=2二-==一坐.

|m||n|1x^33

故二面角A-PB-C的余弦值是—-.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面垂直的證明以及建立空間直角坐標(biāo)系求解二面角的問(wèn)題，需要用到線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)換以

及法向量的求法等.屬于中檔題.

XKV2TZTTK3G

19.(IT)------;(11)------?

148

【解析】

試題分析：(I)在AABO中，由余弦定理得AO=S，由正弦定理得”=..匕，可得解；

sinAsmZABD

(II)由(I)可知cosA,進(jìn)而得sinC,在ABCD中，由正弦定理得3C,所以ABCD的面積

S=-xBDxBCxsinZCBD即可得解.

2

試題解析：

（I）在AA8Q中，由余弦定理得

AD2=AB2+BD2-2ABxBDxcosZABD=9+\-2x3x\x-^7,

2

所以仞坨，由正弦定理得黑=事g、..BDxsinZABDV3721

,所以rsmA=-------------=

AD2s—14

（II）由（I）可知cosA=Jl-sin2A=?不.

在中，sinC=sin（120°+A）=立義工工±==叵~

'722s22?7

在ABCD中，由正弦定理得等=差，所以ABxsiM3

smCsinAsinC2

所以AJBCZ）的面積S=—xZ?￡>xBCxsinZCSD=—xlx—x—=

22228

20.(1)y=-lt(2)極小值一1；(3)函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

【解析】

(1)求出了(())和r(o)的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值；

(3)由當(dāng)xWl時(shí)，/(x)<0以及〃2)>0,結(jié)合函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)性可得出函數(shù)y=/(x)的

零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)因?yàn)?(x)=e*(x-l)-ge"￡,所以/<x)=旄"—旄".

所以/(o)=-1,r(o)=o.

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線為y=-1；

(2)因?yàn)?'(x)=xe*-xe"=x(e'—e"),令/，(x)=0,得x=0或x=a(a<0).

列表如下:

X(-M)a(a,0)0(0,+oo)

f'M+0—0+

/(x)極大值極小值

所以，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,。)和(0,+紀(jì))，單調(diào)遞減區(qū)間為(。,0),

所以，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y=/(x)有極小值/(0)=-1；

(3)當(dāng)時(shí)，/(x)<0,且〃2)=e2_2e">e2_2>0.

由⑵可知，函數(shù)y=/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬

于中等題.

21.(1)平均數(shù)為360,眾數(shù)為330；(2)見(jiàn)詳解；(3)甲公司：7020(元)，乙公司：7281(元)

【解析】

(1)將圖中甲公司員工A的所有數(shù)據(jù)相加，再除以總的天數(shù)10,即可求出甲公司員工A投遞快遞件數(shù)的平均數(shù).從

中發(fā)現(xiàn)330出現(xiàn)的次數(shù)最多，故為眾數(shù)；

(2)由題意能求出自的可能取值為340,360,370,420,440,分別求出相對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出自的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

(3)利用(1)(2)的結(jié)果，可估算兩公司的每位員工在該月所得的勞務(wù)費(fèi).

【詳解】

解：(1)由題意知

甲公司員工A在這10天投遞的快遞件數(shù)的平均數(shù)為

-^(410+390+330+360+320+400+330+340+370+350)=360.

眾數(shù)為330.

(2)設(shè)乙公司員工81天的投遞件數(shù)為隨機(jī)變量X,則

當(dāng)X=340時(shí)，4=340x0.6=204,P(J=204)=丁

3

當(dāng)X=360時(shí),^=350x0.6+(360-350)x0.9=219,P?=219)=總

當(dāng)X=370時(shí)，J=350x0.6+(370-350)x0.9=228,P(J=228)=-