7.2探索平行線的性質(zhì)(講+練)（解析版）

7.2探索平行線的性質(zhì)平行線的性質(zhì)如圖，直線a∥直線b，直線a，b被直線c所截，則有：（1）兩直線平行，同位角相等.（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).拓展：在上圖中（1）每一組同位角的角平分線相互平行.（2）每一組內(nèi)錯(cuò)角的角平分線相互平行.（3）每一組同旁內(nèi)角的角平分線相互垂直.“豬蹄”模型（M型）如圖①，已知：AB∥CD，結(jié)論：∠APC=∠A+∠C.“鉛筆頭”模型如圖，已知：AB∥CD，結(jié)論：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.“拐角”模型如圖①，已知AB∥CD，結(jié)論：∠1=∠2+∠3.如圖②，AB∥CD，結(jié)論：∠2=∠1+∠3.折疊問(wèn)題如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿著對(duì)角線BD折疊，得到△C’BD，則∠CBD=∠ADB=∠C’BD，進(jìn)而可得△BED是等腰三角形。題型1：平行線的性質(zhì)1．如圖所示，AB∥CD，若∠2是∠1的2倍，則∠2等于（）A．60° B．90° C．120° D．150°【分析】因?yàn)槠叫校杂小?＝∠3，又∠3和∠2為鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，且∠2＝2∠1＝2∠3，所以可求出∠2．【解答】解：如圖所示，∵AC∥BD，∴∠3＝∠1，∵∠2是∠1的2倍，∴設(shè)∠1＝∠3＝x，則∠2＝2x，又∵∠3與∠2互補(bǔ)，∴∠3+∠2＝180°，即x+2x＝180°，∴x＝60°，即∠2＝2x＝2×60°＝120°．故選：C．【變式1-1】如圖，AC∥BD，AE∥BF，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠A＝∠B B．∠A+∠B＝180° C．∠B＝∠DPE D．∠A＝∠APB【分析】利用平行線的性質(zhì)逐一分析作出判斷即可．【解答】解：∵AC∥BD，∴∠A＝∠DPE，∠A＝∠APB，故D選項(xiàng)正確；∵AE∥BF，∠DPE＝∠B，∠B+∠BPE＝180°，故C選項(xiàng)正確；∴∠A＝∠B，故A選項(xiàng)正確；∴∠A+∠BPE＝180°，∴∠A+∠B≠180°，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【變式1-2】如圖，直線a∥b，點(diǎn)B在直線b上，且AB⊥BC，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（）A．60° B．50° C．40° D．30°【分析】根據(jù)由兩直線平行，同位角相等分析即可．【解答】解：由兩直線平行，同位角相等，可知，∠2＝∠3，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，由圖可知，∠1+∠ABC+∠3＝180°，∴∠1+90°+∠3＝180°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝40°．故選：C．題型2：“豬蹄”模型2.如圖，AB∥CD，則圖中∠1、∠2、∠3關(guān)系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，繼而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故選：D．【變式2-1】如圖，直線a∥b，將一個(gè)直角三角尺按如圖所示的位置擺放，若∠1＝58°，則∠2的度數(shù)為（）A．58° B．42° C．32° D．30°【分析】先利用平行線的性質(zhì)得出∠3，進(jìn)而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行線的性質(zhì)即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AB∥b，∴∠3＝∠1＝58°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠4＝90°﹣∠3＝32°，∵a∥b，AB∥b，∴AB∥a，∴∠2＝∠4＝32°，故選：C．【變式2-2】如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【分析】此題可以構(gòu)造輔助線，利用三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系．【解答】解：延長(zhǎng)DC交AB與G，延長(zhǎng)CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故選：C．【變式2-3】如圖，直線CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，則∠1+∠2＝（）A．30° B．35° C．36° D．40°【分析】過(guò)點(diǎn)A作l1的平行線，過(guò)點(diǎn)B作l2的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作l1的平行線AC，過(guò)點(diǎn)B作l2的平行線BD，則∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故選：A．題型3：“鉛筆頭”模型3.如圖，AB∥ED，∠B＝115°，∠D＝120°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．125° B．135° C．115° D．105°【分析】過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，∵AB∥ED，∴CM∥AB∥ED，∴∠B+∠BCM＝180°，∠D+∠DCM＝180°，∵∠B＝115°，∠D＝120°，∴∠BCM＝65°，∠DCM＝60°，∴∠BCD＝∠BCM+∠DCM＝125°，故選：A．【變式3-1】如圖，l1∥l2，∠1＝105°，∠2＝140°，則∠α等于（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】首先過(guò)點(diǎn)A作AB∥l1，由l1∥l2，即可得AB∥l1∥l2，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠3與∠4的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得∠α的度數(shù)．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l1∥l2，∴∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°，∵∠1＝105°，∠2＝140°，∴∠4＝75°，∠3＝40°，∵∠α+∠3+∠4＝180°，∴∠α＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．故選：B．【變式3-2】如圖，已知AB∥CD，∠PAQ＝2∠BAQ，∠PCD＝3∠QCD，∠P＝75°，則∠AQC＝95°．【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，由∠APC＝75°求出∠PAB+∠PCD＝285°，根據(jù)∠PAQ＝2∠BAQ可得∠PAB＝3∠BAQ，由∠PCD＝3∠QCD可得∠BAQ+∠QCD＝95°，最后證∠AQC＝∠BAQ+∠QCD即可得出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥AB，如圖：∵AB∥CD，QF∥AB，∴AB∥QF∥CD，∴∠BAQ＝∠AQF，∠QCD＝∠CQF，∴∠BAQ+∠QCD＝∠AQF+∠CQF，即∠BAQ+∠QCD＝∠AQC，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，∴∠APE+∠CPE+∠PAB+∠PCD＝360°，即∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°，∵∠APC＝75°，∴∠PAB+∠PCD＝285°，∵∠PAQ＝2∠BAQ，∴∠PAB＝3∠BAQ，∵∠PCD＝3∠QCD，∴3∠BAQ+3∠QCD＝285°，∴∠BAQ+∠QCD＝95°，∴∠AQC＝95°．故答案為：95°．題型4：“拐角”模型4.如圖，AB∥CD，∠A+∠E＝80°，則∠C為（）A．60° B．65° C．80° D．75°【分析】由三角形外角的性質(zhì)，可求得∠1的度數(shù)，又由平行線的性質(zhì)，即可求得∠C的度數(shù)．【解答】解：∵∠A+∠E＝80°，∴∠1＝∠A+∠E＝80°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝80°．故選：C．【變式4-1】如圖，直線FD∥BE，∠1＝110°，∠A＝40°，則∠2的度數(shù)是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】根據(jù)外角的性質(zhì)先求出∠AFC，進(jìn)一步根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠CFB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠2．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠AFC，∠1＝110°，∠A＝40°，∴∠AFC＝70°，∴∠CFB＝180°﹣70°＝110°，∵FD∥BE，∴∠CFB＝∠2＝110°．故選：B．【變式4-2】如圖AB∥CD，BC∥DE，∠A＝30°，∠BCD＝110°，則∠AED的度數(shù)為（）A．90° B．108° C．100° D．80°【分析】延長(zhǎng)DE交AB于F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFE＝∠B，∠B+∠C＝180°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)DE交AB于F，∵AB∥CD，BC∥DE，∴∠AFE＝∠B，∠B+∠C＝180°，∴∠AFE＝∠B＝70°，又∵∠A＝30°，∴∠AED＝∠A+∠AFE＝100°，故選：C．【變式4-3】如圖，AB∥CD，∠ABK的角平分線BE的反向延長(zhǎng)線和∠DCK的角平分線CF的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，∠K﹣∠H＝27°，則∠K＝（）A．76° B．78° C．80° D．82°【分析】分別過(guò)K、H作AB的平行線MN和RS，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用∠ABK和∠DCK分別表示出∠H和∠K，從而可找到∠H和∠K的關(guān)系，結(jié)合條件可求得∠K．【解答】解：如圖，分別過(guò)K、H作AB的平行線MN和RS，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥RS∥MN，∴∠RHB＝∠ABE=12∠ABK，∠SHC＝∠DCF=12∠DCK，∠NKB+∠ABK＝∠MKC+∠∴∠BHC＝180°﹣∠RHB﹣∠SHC＝180°-12（∠ABK+∠∠BKC＝180°﹣∠NKB﹣∠MKC＝180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）＝∠ABK+∠DCK﹣180°，∴∠BKC＝360°﹣2∠BHC﹣180°＝180°﹣2∠BHC，又∠BKC﹣∠BHC＝27°，∴∠BHC＝∠BKC﹣27°，∴∠BKC＝180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC＝78°，故選：B．題型5：折疊問(wèn)題5.如圖，把一張長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠BGD'＝x°，則∠1的度數(shù)為（）A．（90﹣x）° B．（90-12x）° C．（120﹣x）° D．（120-【分析】利用平行線的性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1，由翻折可知，∠DEF＝∠D'EF，∵∠EGF＝∠BGD'＝x°，∴x°+∠1+∠1＝180°，∴∠1＝（90-12故選：B．【變式5-1】如圖，有一足夠長(zhǎng)的長(zhǎng)方形紙片，E、F分別為AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，沿EF折疊后，F(xiàn)M與AE的所夾的銳角為30°，則∠α的度數(shù)為（）A．75° B．60° C．15°或75° D．30°或75°【分析】根據(jù)AD∥BC，所以∠MFB＝∠EMF＝30°，∠MFC＝180°﹣∠MFB＝150°．由折疊性質(zhì)即可求∠α的值．【解答】解：∵AD∥BC．∴∠MFB＝∠EMF＝30°．∴∠MFC＝180°﹣∠MFB＝150°．由折疊可知；∠EFC=∴∠α＝∠EFC＝75°．所以A選項(xiàng)正確，故選：A．【變式5-2】如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別在M，N的位置上，EM與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)G．若∠EFG＝62°，則∠2＝130°．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠3，再根據(jù)翻折的性質(zhì)以及平角等于180°，求出∠1，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵長(zhǎng)方形紙片ABCD的邊AD∥BC，∴∠3＝∠EFG＝62°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得∠1＝180°﹣2∠3＝180°﹣2×62°＝56°，又∵AD∥BC，∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣56°＝124°．故答案為：124°．【變式5-3】如圖，圖1是長(zhǎng)方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖2，再沿BF折疊成圖3．若圖3中∠CFE＝120°，則圖1中的∠DEF的度數(shù)是（）A．30° B．20° C．40° D．15°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，設(shè)∠DEF＝∠EFB＝α，圖2中根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)得出∠AEF的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠GFC，圖3中根據(jù)∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得α的值．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，設(shè)∠DEF＝∠EFB＝α，圖2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠EFG＝180°﹣2α，圖3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝120．解得α＝20．即∠DEF＝20°，故選：B．題型6：平行線判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用6.如圖，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求證：EF∥AD．證明：∵AD∥BC（已知），∴∠DAC+∠ACB＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠DAC＝120°（已知），∴∠ACB＝180°﹣120°＝60°（等式的性質(zhì)）．又∵∠ACF＝20°（已知），∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，∴EF∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．∵AD∥BC（已知），∴EF∥AD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．【分析】利用平行線的性質(zhì)和平行線的判定解答即可．【解答】證明：∵AD//BC（已知），∴∠DAC+∠ACB＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵∠DAC＝120°（已知），∴∠ACB＝180°﹣120°＝60°（等式的性質(zhì)）．又∵∠ACF＝20°（已知），∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，∴EF//BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．∵AD∥BC（已知），∴EF//AD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．故答案為：已知；∠ACB；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；120°；已知；∠ACB；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；已知；如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．【變式6-1】如圖，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．（1）求證：FG∥BC；（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B及∠2的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)、等量代換推知內(nèi)錯(cuò)角∠2＝∠BCF，則易證得結(jié)論；（2）在△AFG中，由三角形內(nèi)角和是180度求得∠AFG＝50°；然后根據(jù)（1）中的FG∥BC推知同位角∠B＝∠AFG＝50°；由CF⊥AB，DE∥FC得ED⊥AB，再結(jié)合∠1＝∠即可求出∠2＝40°．【解答】解：（1）證明：∵DE∥FC，∴∠1＝∠BCF．又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCF，∴FG∥BC；（2）∵在△AFG中，∠A＝60°，∠AGF＝70°，∴∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGF＝50°．又由（1）知，F(xiàn)G∥BC，∴∠B＝∠AFG＝50°，∵CF⊥AB，DE∥FC，∴ED⊥AB，∴∠1＝90°﹣∠B＝40°∴∠2＝40°．【變式6-2】如圖，AB∥CD，連結(jié)CA并延長(zhǎng)至點(diǎn)H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°．（1）求證AG∥CE；（2）若∠GAF＝120°，求∠AFC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AFC＝∠DCF，根據(jù)角平分線的定義可得∠ACF＝∠DCF，進(jìn)而得出∠AFC＝∠ACF，再根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠ECH＝∠GAH，從而得出AG∥CE；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ECD＝∠GAF，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝40°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠AFC＝∠DCF，∵CF平分∠ACD，∴∠AFC＝∠ACF，∴∠AFC＝∠ACF，又∵CE⊥CF，∠GAH+∠AFC＝90°，∴∠ECH＝∠GAH，∴AG∥CE；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠GAF＝120°，又∵CE⊥CF，∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝120°﹣90°＝30°，∴∠AFC＝∠DCF＝30°．【變式6-3】如圖，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求證：DE∥BC；（2）若∠C＝74°，∠AED＝2∠3，則∠CEF的度數(shù)為69°．【分析】（1）由已知條件可證得AB∥EF，從而有∠B＝∠EFC，則得∠3＝∠EFC，得證DE∥BC；（2）由（1）得DE∥BC，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可求解．【解答】（1）證明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，∴AB∥EF，∴∠B＝∠EFC，∵∠B＝∠3，∴∠3＝∠EFC，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠C＝74°，∴∠C+∠DEC＝180°，∠AED＝∠C＝74°，∵∠AED＝2∠3，∴∠3＝37°∵∠DEC＝180°﹣∠C＝106°，∴∠CEF＝∠DEC﹣∠3＝106°﹣37°＝69°，故答案為：69°．一．選擇題（共6小題）1．如圖，直線a，b被c所截，a∥b，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可以判斷∠2＝∠1，即可求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2＝∠1＝40°，故B正確．故選：B．2．如圖，直線AB∥CD，∠M＝90°，∠MPA＝36°，則∠MEC的度數(shù)是（）A．54° B．126° C．136° D．144°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可求得∠BFE的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解．【解答】解：∵∠M＝90°，∠MPA＝36°，∴∠BFE＝∠M+∠MPA＝90°+36°＝126°，∵AB∥CD，∴∠MEC＝∠BFE＝126°．故選：B．3．如圖所示，∠ACB＝∠DCE＝90°．則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②∠2+∠BCE＝180°；③若AB∥CE，則∠2＝∠E；④若∠2＝∠B，則∠4＝∠E．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】利用余角的定義，平行線的性質(zhì)對(duì)各結(jié)論進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠1+∠2＝∠3+∠2，即∠1＝∠3，故①結(jié)論正確；∵∠ACB+∠DCE＝180°，∴∠ACB+∠2+∠3＝180°，即∠BCE+∠2＝180°，故②結(jié)論正確；∵AB∥CE，∴∠4＝∠E，故③結(jié)論錯(cuò)誤；∵∠2＝∠B，∠B+∠A＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠3＝∠A，∴AB∥CE，∴∠4＝∠E，故④結(jié)論正確．故正確的結(jié)論有3個(gè)．故選：C．4．有一條直的寬紙帶，按如圖所示的方式折疊，折疊后，∠DEF＝30°，則∠α的度數(shù)等于（）A．50° B．60° C．105° D．85°【分析】根據(jù)∠α﹣∠CBF與∠α組成一個(gè)平角，構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠DEF＝30°．∵AB為折痕，∴2∠α﹣∠CBF＝180°，即2∠α﹣30°＝180°，解得∠α＝105°．故選：C．5．如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)在AD邊上，點(diǎn)G，H在BC邊上，分別沿EG，F(xiàn)H折疊，使點(diǎn)D和點(diǎn)A都落在點(diǎn)M處，若α+β＝119°，則∠EMF的度數(shù)為（）A．57° B．58° C．59° D．60°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEG+∠AFH＝119°，由折疊得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，從而得到∠DEM與∠AFH的和．利用兩個(gè)平角求出∠FEM與∠EFM的和，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°即可求出答案．【解答】解：∵長(zhǎng)方形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝119°，由折疊得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，∴∠DEM+∠AFM＝2×119°＝238°，∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣238°＝122°，在△EFM中，∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣122°＝58°，故選：B．6．如圖，已知射線OP∥AE，∠A＝α，依次作出∠AOP的角平分線OB，∠BOP的角平分線OB1，∠B1OP的角平分線OB2，…，∠Bn﹣1OP的角平分線OBn，其中點(diǎn)B，B1，B2，…，Bn都在射線AE上，則∠ABnO的度數(shù)為（）A．180°-α2n B．C．180°-α2n+1 D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到規(guī)律，即可求得∠ABnO的度數(shù)．【解答】解：由圖形可知，∠ABO=12（180°﹣α），∠AB1O=12（180°﹣∠OBB1）=12∠ABO=14（180°﹣α），∠AB則∠ABnO=180°-α故選：C．二．填空題（共8小題）7．如圖，AB∥CD，∠1+∠2＝110°，則∠GEF+∠GFE＝70°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BEF+∠DFE＝180°，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵∠1+∠2＝110°，∴∠GEF+∠GFE＝180°﹣110°＝70°．故答案為：70°．8．如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，若∠ABD＝55°，則∠DFE＝70°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，可以求出∠EDF的度數(shù)，再根據(jù)∠E＝90°和三角形內(nèi)角和，即可求得∠DFE的度數(shù)．【解答】解：∵∠ABD＝55°，AD∥BC，∴∠ABD＝∠BDC＝55°，∵∠BDC＝∠EDB，∴∠EDC＝2∠BDC＝110°，∵∠ADC＝90°，∴∠EDF＝∠EDC﹣∠ADC＝20°，∵∠E＝90°，∴∠DFE＝180°﹣∠E﹣∠EDF＝70°，故答案為：70°．9．如圖，直線a∥b，直線l與直線a相交于點(diǎn)P，直線l與直線b相交于點(diǎn)Q，PM⊥l于點(diǎn)P，若∠1＝55°，則∠2＝35°．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得∠3＝∠1，根據(jù)PM⊥l于點(diǎn)P，則∠MPQ＝90°，即可求解．【解答】解：∵直線a∥b，∴∠3＝∠1＝55°，又∵PM⊥l于點(diǎn)P，∴∠MPQ＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣55°＝35°．故答案是：35．10．如圖，已知AB∥CD，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，∠EFD＝60°，∠AEC＝2∠CEF，若6°＜∠BAE＜12°，∠C的度數(shù)為整數(shù)，則∠C的度數(shù)為37°．【分析】先過(guò)E作EG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEF＝∠BAE+∠DFE，再設(shè)∠CEF＝x，則∠AEC＝2x，根據(jù)6°＜∠BAE＜12°，即可得到6°＜3x﹣60°＜12°，解得22°＜x＜24°，進(jìn)而得到∠C的度數(shù)．【解答】解：如圖，過(guò)E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE＝∠AEG，∠DFE＝∠GEF，∴∠AEF＝∠BAE+∠DFE，設(shè)∠CEF＝x，則∠AEC＝2x，∴x+2x＝∠BAE+60°，∴∠BAE＝3x﹣60°，又∵6°＜∠BAE＜12°，∴6°＜3x﹣60°＜12°，解得22°＜x＜24°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度數(shù)為整數(shù)，∴∠C＝60°﹣23°＝37°．故答案為：37°．11．如圖所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠ECD＝40°，則∠BEC＝100°．【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，可得∠BEF+∠ABE＝180°，從而得到∠BEF＝60°，再由AB∥CD，可得∠FEC＝∠DCE，從而得到∠FEC＝40°，即可求解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵EF∥AB，∴∠BEF+∠ABE＝180°，∵∠ABE＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣120°＝60°，∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠DCE，∵∠DCE＝40°，∴∠FEC＝40°，∴∠BEC＝∠BEF+∠FEC＝60°+40°＝100°．故答案為：100°12．如圖，AB∥EG，CD∥EF，BC∥DE，若x＝50°，y＝30°，則z度數(shù)為20°．【分析】延長(zhǎng)AB交DE于H，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，進(jìn)而得到x﹣z＝y(tǒng)．【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)AB交DE于H，∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠AHE＝x，∵CD∥EF，AB∥EG，∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y，∴∠ABC＝∠DEG，即x＝z+y，∴z＝x﹣y＝50°﹣30°＝20°．故答案為：20°．13．如圖，已知直線AB∥CD，點(diǎn)M、N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)E為AB、CD之間一點(diǎn)，且點(diǎn)E在MN的右側(cè)，∠MEN＝128°．若∠BME與∠DNE的平分線相交于點(diǎn)E1，∠BME1與∠DNE1的平分線相交于點(diǎn)E2，∠BME2與∠DNE2的平分線相交于點(diǎn)E3，……，依此類推，若∠MEnN＝8°，則n的值是4．【分析】過(guò)E作EH∥AB，E1G∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線定義得出∠ME1N=12∠MEN，進(jìn)而得到∠MEnN=12n∠MEN，然后解方程12n∠MEN=1【解答】解：過(guò)E作EH∥AB，E1G∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，E1G∥CD，∴∠BME＝∠MEH，∠DNE＝∠NEH，∴∠BME+∠DNE＝∠MEH+∠NEH＝∠MEN＝128°，同理∠ME1N＝∠BME1+∠DNE1，∵M(jìn)E1平分∠BME，NE1平分∠DNE，∴∠BME1+∠DNE1=12（∠BME+∠DNE）=1∴∠ME1N=12∠同理，∠ME2N=12∠ME1N=1∠ME3N=12∠ME2N=1???，∴∠MEnN=12∠MEn﹣1N=1若∠MEnN＝8°，則12n∠MEN=12∴n＝4．故答案為：4．14．如圖，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n的度數(shù)為180°（n﹣1）．【分析】分別求出有3個(gè)角，4個(gè)角時(shí)相應(yīng)的值，從而可推導(dǎo)出∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n的度數(shù)．【解答】解：當(dāng)求∠1+∠2+∠3的度數(shù)時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠1+∠GEF＝180°，∠3+∠HEF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠GEF+∠HEF+∠3＝360°＝2×180°；當(dāng)求∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥MN∥CD，∴∠1+∠GEF＝180°，∠MEF+∠NME＝180°，∠4+∠HMN＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝∠1+∠GEF+∠MEF+∠NME+∠HMN+∠4＝540°＝3×180°；...，同理可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），故答案為：180°（n﹣1）．三．解答題（共5小題）15．已知直線AB∥CD，點(diǎn)P，Q分別在直線AB，CD上．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB，CD之間時(shí)，連接PE，QE．探究∠PEQ與∠BPE+∠DQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖②，在①的條件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交點(diǎn)為F．求∠PFQ與∠BPE+∠DQE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB，CD的下方時(shí)，連接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延長(zhǎng)線交PF于點(diǎn)F．若∠E＝40°時(shí)，求∠F的度數(shù)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，則∠BPE＝∠PEM，EM∥CD，進(jìn)而得出∠DQE＝∠QEM，即可得出結(jié)論；（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF＝∠PFQ，根據(jù)角平分線的定義得出∠BPF=（3）過(guò)點(diǎn)E作EN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CQE＝220°﹣∠BPE，同（1）∠F=【解答】解：（1）∠PEQ＝∠BPE+∠DQE，理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，∴∠BPE＝∠PEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠DQE＝∠QEM，∴∠PEQ＝∠PEM+∠QEM＝∠BPE+∠DQE，即∠PEQ＝∠BPE+∠DQE；（2）∠PFQ=理由如下：∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，∴∠BPF=由（1）可知∠PEQ＝∠BPE+∠DQE，同理可得∠BPF+∠DQF＝∠PFQ，∴∠PFQ=即∠PFQ=（3）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN∥AB，∴∠PEN＝∠BPE，∵PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，∴∠BPF=12∵∠FQD=∵AB∥CD，AB∥EN，∴CD∥EN，∠PEQ＝40°，∴∠CQE＝180°﹣∠NEQ＝180°﹣（∠PEN﹣∠PEQ）＝180°﹣∠BPE+40°＝220°﹣∠BPE，由（1）可得∠F=∠16．（1）已知：如圖1，AB∥CD，求證：∠B+∠D＝∠BED；（2）已知：如圖2，AB∥CD，試探求∠B、∠D與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．拓展提升：如圖3，已知AB∥DE，BF，EF分別平分∠ABC與∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠1＝∠B，∠2＝∠D，即可得出答案；（2）根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠CDE，即可得出答案；（3）過(guò)點(diǎn)C作CP∥AB，然后利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ABC+∠CED＝∠BCP+∠ECP＝∠BCE＝140°；同理過(guò)點(diǎn)F作FM∥DE，則∠BFM＝∠ABF，∠MFE＝∠DEF，結(jié)合角平分線的性質(zhì)就可求出∠BFE的度數(shù)．【解答】（1）證明：如圖1，過(guò)E點(diǎn)作EF∥AB，則∠1＝∠B，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠D＝∠1+∠2，即∠BED＝∠B+∠D．（2）解：∠B﹣∠D＝∠E，理由：如圖2，過(guò)E點(diǎn)作EF∥AB，則∠BEF＝∠B，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，又∵∠BEF﹣∠DEF＝∠BED，∴∠B﹣∠CDE＝∠BED；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CP∥AB，則∠BCP＝∠ABC，∠ECP＝∠CED，∴∠ABC+∠CED＝∠BCP+∠ECP＝∠BCE＝140°；又∵BF，EF分別平分∠ABC，∠CED，∴∠ABF=12∠ABC，∠DEF=1∴∠ABF+∠DEF=12（∠ABC+∠DEC）＝過(guò)點(diǎn)F作FM∥DE，則∠BFM＝∠ABF，∠MFE＝∠DEF，∴∠BFE＝∠BFM+∠MFE＝∠ABF+∠DEF＝70°．17．如圖，AB∥CD，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在AB與CD之間時(shí)，若∠A＝20°，∠C＝45°，則∠P＝65°；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右上方時(shí)，∠ABP、∠CDP、∠BPD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明；（不需要寫(xiě)出推理依據(jù)）（3）如圖③，EB平分∠PEG，F(xiàn)P平分∠GFD，若∠PFD＝40°，則∠G+∠P＝120°．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，利用平行線的性質(zhì)計(jì)算；（2）延長(zhǎng)AB交PD于點(diǎn)H，利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系計(jì)算；（3）延長(zhǎng)AB交PF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)G，作MN∥AB，利用平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系計(jì)算．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，又∵∠A＝20°，∠C＝45°，∴∠APM＝∠A＝20°，∠MPC＝∠C＝45°，∴∠P＝∠APM+∠MPC＝20°+45°＝65°；故答案為：65；（2）延長(zhǎng)AB交PD于點(diǎn)H，∴∠ABP是△PBH的一個(gè)外角，∵AH∥CD，∴∠CDP＝∠BHP，∴在△PBH，∠BPD+∠BHP＝∠ABP，∴∠ABP、∠CDP、∠BPD之間存在的數(shù)量關(guān)系為：∠ABP＝∠CDP+∠BPD；（3）延長(zhǎng)AB交PF于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)G，作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD，∴∠HEG＝EGM，∠EHF＝∠PFD，∠MGF＝∠GFD，∵EB平分∠PEG，F(xiàn)P平分∠GFD，若∠PFD＝40°，∴∠PEH＝∠HEG，∠PFD＝∠PFG＝40°，∠GFD＝80°，∴∠G＝∠EGM+∠MGF＝∠HEG+∠GFD＝∠PEH+80°，∠P+∠PEH＝∠EHF＝∠PFD＝40°，∴∠P＝40°﹣∠PEH，∴∠G+∠P＝∠PEH+80°+40°﹣∠PEH＝120°．故答案為：120．18．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB∥CD，連結(jié)BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠BEC＝∠B+∠C．請(qǐng)把下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整：證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（兩直線平行，