7.4認(rèn)識三角形(講+練)（解析版）

7.4認(rèn)識三角形三角形的定義由不在同一直線上的三條線段，首尾順次相接組成的圖形.三角形的符號：△三角形ABC記作：△ABC三角形的3個頂點：A、B、C三角形的3個內(nèi)角:∠A、∠B、∠C三角形的3條邊：∠A所對的邊記作邊BC（或邊a）∠B所對的邊記作邊AC（或邊b）∠C所對的邊記作邊AB（或邊c）三角形的分類按角分，可分為：（1）銳角三角形；（2）直角三角形；（3）鈍角三角形注：一個三角形中最多有一個直角或最多有一個鈍角。按邊分，可分為：（1）不等邊三角形（2）等腰三角形（等邊三角形是等腰三角形的一種特殊情況）三角形三邊關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊.符號語言為：△ABC三邊長分別為a，b，c，則有：a+b＞c；a+c＞b；b+c＞a.注：①三角形兩邊之差的絕對值小于第三邊②我們在判斷三個線段能否構(gòu)成三角形時，只要判斷較小的兩邊之和與最長邊的大小即可.三角形的中線三角形中線的定義：在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做三角形的中線.三角形中線的性質(zhì)：（1）三角形的中線是線段.（2）三角形的一條中線把三角形分成了面積相等的兩部分（等底等高）.（3）三角形有三條中線，且三條中線相交于三角形內(nèi)部一點，稱為“重心”.（4）三角形的三條中線把三角形分成了面積相等的六個部分.三角形的角平分線三角形角平分線的定義：在三角形中，一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫三角形的角平分線.三角形角平分線的性質(zhì)：（1）三角形的內(nèi)角平分線是線段；而單獨一個角的角平分線是射線.（2）三角形有三條角平分線，且三條角平分線相交于三角形內(nèi)部一點，稱為“內(nèi)心”.（3）三角形三條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等.三角形的高線三角形高線的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．三角形高線的性質(zhì)：（1）三角形的高是線段.（2）三角形有三條高。銳角三角形的三條高交于三角形內(nèi)部一點；直角三角形的三條高交于直角頂點；鈍角三角形的三條高不相交，但鈍角三角形三條高所在直線交于三角形外部一點.“等積法”求面積在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD為斜邊AB上的高，則有：S△ABC=AC·BC進而可得，AC·BC=AB·CD題型1：三角形的定義與認(rèn)識1．圖中共有三角形8個．【分析】觀察圖形先找出圖中基本的三角形△BDO，△ABO，△AOE，再找出復(fù)合組成的三角形即可．【解答】解：①△BDO，△ABO，△AOE，共3個；②△ABD，△ADC，2個；③△ABE，△BCE，2個；④△ABC，1個；綜上，圖中共有共8個三角形．故答案為：8．【變式1-1】如圖所示，（1）圖中共有個三角形，其中以線段BC為一邊的三角形是，以∠EAD為一內(nèi)角的三角形是．（2）在△ABD中，∠BAD的對邊是，在△ABE中，∠ABE的對邊是．（3）AB既是△中∠的對邊，又是△中∠的對邊，還是△中∠的對邊．【分析】（1）根據(jù)三角形的定義分別解答即可；（2）根據(jù)三角形角的對邊的定義解答；（3）根據(jù)以AB為邊的三角形確定出所對的角即可得解．【解答】解：（1）圖中有：△ABE、△ADE、△BCE、△CDE、△ABD、△BCD、△AEC、△ABC共8個；以BC為一邊的三角形有：△BCE、△BCD、△ABC，以∠EAD為一內(nèi)角的三角形是：△ADE、△AEC；（2）在△ABD中，∠BAD的對邊是BD，在△ABE中，∠ABE的對邊是AE；（3）AB既是△ABE中∠AEB的對邊，又是△ABD中∠ADB的對邊，還是△ABC中∠ACB的對邊．故答案為：（1）8，△BCE、△BCD、△ABC，△ADE、△AEC；（2）BD，AE；（3）ABE，AEB；ABD，ADB；ABC，ACB．【變式1-2】如圖，直線DE將△ABC分成等周長的兩部分，若AD+AE＝2，則△ABC的周長為4．【分析】根據(jù)直線DE將△ABC分成等周長的兩部分，得AD+AE＝BD+CE+BC＝2，進而解決此題．【解答】解：由題意得：AD+AE＝BD+CE+BC．∵AD+AE＝2，∴BD+CE+BC＝2．∴C△ABC＝AB+AC+BC＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）＝2+2＝4．故答案為：4．【變式1-3】觀察圖形規(guī)律：（1）圖①中一共有3個三角形，圖②中共有6個三角形，圖③中共有10個三角形．（2）由以上規(guī)律進行猜想，第n個圖形共有(n+1)(n+2)2【分析】（1）根據(jù)圖形直接數(shù)出三角形個數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）中所求得出數(shù)字變化規(guī)律，進而求出即可．【解答】解：（1）如圖所示：圖①中一共有3個三角形，圖②中共有6個三角形，圖③中共有10個三角形．故答案為：3，6，10；（2）∵1+2＝3，1+2+3＝6，1+2+3+4＝10，∴第n個圖形共有：1+2+3+…+（n+1）=(n+1)(n+2)故答案為：(n+1)(n+2)2題型2：三角形的分類2.根據(jù)下列三角形中角的特征，寫出三角形的名稱．【分析】第1個三角形中有一個角比90°大，滿足鈍角三角形的定義．第2個三角形中有兩條邊互相垂直，符合直角三角形的特征．第3個三角形中三個角都比90°小，滿足鈍銳角三角形的定義．【解答】解：如圖：故答案為：鈍角三角形；直角三角形；銳角三角形．【變式2-1】觀察圖中的三角形，把它們的標(biāo)號填入相應(yīng)橫線上．銳角三角形3，5，直角三角形1，4，6，鈍角三角形2，7．【分析】分別根據(jù)三角形的分類得出答案即可．【解答】解：銳角三角形3，5，直角三角形1，4，6，鈍角三角形2，7．故答案為：3，5；1，4，6；2，7．【變式2-2】下列說法中：①由三條線段圍成的圖形叫做三角形；②三角形的邊可以用兩個大寫字母表示，也可以用一個小寫字母表示；③鈍角三角形不可能是等腰三角形；④等邊三角形不可能是直角三角形；⑤三角形按邊的相等關(guān)系可以分為三邊都不相等的三角形、等腰三角形和等邊三角形三類，正確的有②④（填序號）．【分析】三條線段首尾順次連接圍成的封閉圖形叫做三角形；等邊三角形三個角都是60°；等邊三角形是等腰三角形的一種特殊情況．【解答】解：①由不在同一條直線上的三條線段按照首尾順次相接組成的圖形叫做三角形，故①錯誤；②三角形的邊可以用兩個大寫字母表示，也可以用一個小寫字母表示，故②正確；③鈍角三角形可能是等腰三角形，故③錯誤；④等邊三角形不可能是直角三角形，故④正確；⑤三角形按邊的相等關(guān)系可以分為三邊都不相等的三角形、等腰三角形兩類，故⑤錯誤．故答案為：②④．題型3：三角形的穩(wěn)定性3.港珠澳大橋是目前世界最長的跨海大橋，主橋為三座大跨度鋼結(jié)構(gòu)斜拉橋，斜拉式大橋采用三角形結(jié)構(gòu)，使其不易變形，這種做法的依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性．【分析】利用三角形的穩(wěn)定性求解即可．【解答】解：港珠澳大橋是目前世界最長的跨海大橋，主橋為三座大跨度鋼結(jié)構(gòu)斜拉橋，斜拉式大橋采用三角形結(jié)構(gòu)，使其不易變形，這種做法的依據(jù)是：三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【變式3-1】下列生產(chǎn)和生活實例：①用人字架來建筑房屋；②用窗鉤來固定窗扇；③在柵欄門上斜釘著一根木條；④商店的推拉活動防盜門等．其中，用到三角形的穩(wěn)定性的有①②③（填寫序號）．【分析】根據(jù)生活常識對各小題進行判斷即可得解．【解答】解：①用“人”字梁建筑屋頂，是利用三角形具有穩(wěn)定性，符合題意；②用窗鉤來固定窗扇，是利用三角形具有穩(wěn)定性，符合題意；③在柵欄門上斜釘著一根木條，是利用三角形具有穩(wěn)定性，符合題意；④商店的推拉防盜鐵門，是用四邊形的不穩(wěn)定性，不是用三角形具有穩(wěn)定性，不符合題意；綜上所述：用到三角形穩(wěn)定性的是①②③．故答案為：①②③．【變式3-2】如圖，要使六邊形木架（用6根木條釘成）不變形，至少要再釘3條木條．【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會改變．【解答】解：再釘上三根木條，就可以使六邊形分成四個三角形．故至少要再釘三根木條．題型4：三角形三邊關(guān)系4.現(xiàn)有四條線段，長度依次是2，3，4，5，從中任選三條，能組成不同三角形的個數(shù)為3．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來進行判定求解．【解答】解：因為有四條線段，長度依次是2，3，4，5，從中任選三條，它們是：2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5；其中2，3，5不能構(gòu)成三角形，所以能組成不同的三角形的個數(shù)是3．故答案為：3．【變式4-1】已知三角形的三邊長分別為2、a、5，那么a的取值范圍是3＜a＜7．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式即可求出a的取值范圍．【解答】解：∵三角形的三邊長分別為2、a、5，∴5﹣2＜a＜5+2，即3＜a＜7．故答案為：3＜a＜7．【變式4-2】已知三角形的三邊長分別為1，a﹣1，3，則化簡|a﹣3|+|a﹣5|的結(jié)果為2．【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；即可求a的取值范圍，進而得到化簡結(jié)果．【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得3﹣1＜a﹣1＜3+1，即3＜a＜5．∴|a﹣3|+|a﹣5|＝a﹣3+5﹣a＝2．故答案為：2．【變式4-3】若a，b，c是△ABC的三邊，則化簡|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣2|c﹣a﹣b|＝2c﹣2b．【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系結(jié)合絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：∵a，b，c分別為△ABC的三邊，∴a+b＞c，a+c＞b，a+b＞c，∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣2|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）+2（c﹣a﹣b）＝a+b﹣c﹣b+c+a+2c﹣2a﹣2b＝2c﹣2b．故答案為：2c﹣2b．【變式4-4】如圖，P為△ABC內(nèi)任意一點，求證：AB+AC＞PB+PC．【分析】首先延長BP交AC于點D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把兩個不等式相加整理后可得結(jié)論．【解答】證明：延長BP交AC于點D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．題型5：三角形的中線、高、角平分線5.現(xiàn)如圖，在△ABC中，BD＝CD，∠ABE＝∠CBE，BE交AD于點F．（1）BE是△ABC的角平分線；（2）DE是△BCE的中線；（3）BF是△ABD的角平分線．【分析】根據(jù)三角形的角平分線，中線的定義分別填空即可．【解答】解：（1）BE是△ABC的角平分線；（2）DE是△BCE的中線；（3）BF是△ABD的角平分線．故答案為：BE，DE，BF．【變式5-1】如圖，（1）若AM是△ABC的中線BC＝12cm，則BM＝CM＝6cm；（2）若AD是△ABC的角平分線，則∠BAD＝∠DAC＝12∠BAC；若∠BAC＝106°，則∠DAC＝53°（3）若AH是△ABC的高，則△ABH是直角三角形．【分析】（1）根據(jù)中線的定義即可求得；（2）根據(jù)角平分線的定義即可求得；（3）根據(jù)三角形的高的定義得出∠AHB＝90°，然后根據(jù)直角三角形的定義即可判斷．【解答】解：（1）∵AM是△ABC的中線，BC＝12cm，∴BM＝CM=12BC＝6（2）∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠DAC=12∠∵∠BAC＝106°，∴∠DAC＝53°；（3）∵AH是△ABC的高，∴∠AHB＝90°，∴△ABH是直角三角形．故答案為：6；12∠BAC，53【變式5-2】BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周長的差是2．【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得AD＝CD，再求出△ABD和△BCD的周長的差＝AB﹣BC．【解答】解：∵BD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∴△ABD和△BCD的周長的差＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，∵AB＝5，BC＝3，∴△ABD和△BCD的周長的差＝5﹣3＝2．故答案為：2．【變式5-3】如圖，在直角△ABC中，BC邊上有E，D，F(xiàn)三點，BD＝CD，∠BAE＝∠DAE，AF⊥BC，垂足為F．以AD為中線的三角形是△ABC；以AE為角平分線的三角形是△ABD；以AF為高線的三角形有10個．【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷即可．【解答】解：∵BD＝CD，∴以AD為中線的三角形是△ABC；∵∠BAE＝∠DAE，∴以AE為角平分線的三角形是△ABD；∵AF⊥BC，∴以AF為高線的三角形有△ABE、△ABD、△ABF、△ABC、△AED、△AEF、△AEC、△ADF、△ADC、△AFC，共10個，故答案為：△ABC；△ABD；10．【變式5-4】已知：如圖所示，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為1cm2．【分析】易得△ABD，△ACD為△ABC面積的一半，同理可得△BEC的面積等于△ABC面積的一半，那么陰影部分的面積等于△BEC的面積的一半．【解答】解：∵D為BC中點，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴S△ABD＝S△ACD=12S△ABC=12×4＝同理S△BDE＝S△CDE=12S△BCE=12×2＝∴S△BCE＝2（cm2），∵F為EC中點，∴S△BEF=12S△BCE=12×2＝故答案為1．【變式5-5】如圖，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC邊上中線BD把△ABC的周長分成30和20兩部分，求AB和BC的長．【分析】設(shè)AC＝x，根據(jù)題意用x表示出AB，根據(jù)中點的性質(zhì)得到AD＝DC=12【解答】解：設(shè)AC＝x，則AB＝2x，∵BD是中線，∴AD＝DC=12由題意得，2x+12x＝解得，x＝12，則AC＝12，AB＝24，∴BC＝20-12×12答：AB＝24，BC＝14．題型6：三角形的面積6.如圖，AD、BF是△ABC的高，AD＝8，AC＝10，BF＝12，則BC＝15．【分析】根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：∵AD、BF是△ABC的高，∴12BC?AD=12AC∴BC=AC?BF∵AD＝8，AC＝10，BF＝12，∴BC＝15，故答案為：15．【變式6-1】如圖，小方格的邊長是1，求△ABC的面積13．【分析】用△ABC的面積＝矩形的面積﹣三個直角三角形的面積，求出△ABC的面積．【解答】解：由題意得：△ABC的面積＝8×4-12×8×1-12×3＝32﹣4﹣3﹣12＝13，故答案為：13．【變式6-2】如圖，AD、CE、BF是△ABC的高，AB＝5，BC＝4，AD＝3，則CE＝125【分析】根據(jù)三角形的面積公式列出CE的方程進行解答便可．【解答】解：∵S△ABC∴CE=BC?AD故答案為：125【變式6-3】如圖，已知直線a∥b，點B是線段AE的中點，S△ABD＝3，則S△ACE＝6．【分析】利用兩個三角形高相等，底是2倍關(guān)系即可得出答案．【解答】解：假設(shè)兩平行線間的距離為d，則S△ABD=12?AB?d，S△ACE=12?又∵B是線段AE的中點，∴AE＝2AB，∴S△ACE=12?AE?d=12?2AB?d＝2∵S△ABD＝3，∴S△ACE＝6．故答案為：6．一．選擇題（共8小題）1．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的中線，若△ABD的面積為5，則△ABC的面積為（）A．14 B．12 C．10 D．8【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，△ABD的面積為5，∴△ABC的面積＝2×5＝10．故選：C．2．如圖，在三角形ABC中，線段AB+AC＞BC，其理由是（）A．兩點確定一條直線 B．兩點之間線段最短 C．垂線段最短 D．同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線垂直于已知直線【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：在三角形ABC中，線段AB+AC＞BC，其理由是兩點之間線段最短，故選：B．3．有三根小棒，它們長度分別如下，以下列各組小棒的長度為邊，能構(gòu)成三角形的是（）A．10cm，10cm，8cm B．5cm，6cm，14cm C．4cm，8cm，12cm D．3cm，9cm，5cm【分析】三角形兩邊之和大于第三邊，在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．【解答】解：A、8+10＞10，則能構(gòu)成三角形，符合題意；B、5+6＜14，則不能構(gòu)成三角形，不符合題意；C、4+8＝12，則不能構(gòu)成三角形，不符合題意；D、3+5＜9，則不能構(gòu)成三角形，不符合題意；故選：A．4．如圖，D、E、F分別為BC、AD、BE的中點，若△BFD的面積為6，則△ABC的面積等于（）A．36 B．18 C．48 D．24【分析】根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求得S△BDE＝2S△BDF，S△BDA＝2S△BDE，S△ABC＝2S△BDA即可解答．【解答】解：∵F是BE的中點，△BFD的面積是6，∴S△BDE＝2S△BDF＝12，同理：S△BDA＝2S△BDE＝24，S△ABC＝2S△BDA＝48．故選：C．5．已知三角形的三邊長分別是4，8，a+1，則a的取值可能是（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列式確定a的取值范圍即可．【解答】解：根據(jù)題意得：8﹣4＜a+1＜8+4，解得3＜a＜11，只有10適合，故選：A．6．如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，CE=14AC，△ABCA．S1＝S2 B．S1＝2 C．S2＝0.5 D．S1﹣S2＝1【分析】設(shè)AD與BE相交于點O，連接OC，過點A作AF⊥BE，垂足為F，過點C作CG⊥BE，交BE的延長線于點G，設(shè)△BOD的面積為x，根據(jù)點D是邊BC的中點，可得△BOD的面積＝△COD的面積＝x，△ABD的面積＝△ACD的面積，從而利用等式的性質(zhì)可得△AOB的面積＝△AOC的面積，再根據(jù)已知可得CE=13AE，從而可得△AOE的面積＝3△COE的面積，進而可得AF＝3CG，然后利用三角形的面積可得△AOB的面積＝3△BOC的面積＝6x，從而可得△AOC的面積6x，進而可得△AOE的面積=92x，△COE的面積=32x，最后求出S1＝6x，S2=52x，再根據(jù)△ABC的面積是4，可得2（【解答】解：設(shè)AD與BE相交于點O，連接OC，過點A作AF⊥BE，垂足為F，過點C作CG⊥BE，交BE的延長線于點G，設(shè)△BOD的面積為x，∵點D是邊BC的中點，∴△BOD的面積＝△COD的面積＝x，△ABD的面積＝△ACD的面積，∴△AOD的面積﹣△BOD的面積＝△ADC的面積﹣△COD的面積，∴△AOB的面積＝△AOC的面積，∵CE=1∴CE=13∴△AOE的面積＝3△COE的面積，∴AF＝3CG，∴△AOB的面積＝3△BOC的面積＝3?2x＝6x，∴△AOC的面積＝△AOB的面積＝6x，∴△AOE的面積=34△AOC的面積=92x，△COE的面積=14∴S1＝△AOB的面積＝6x，S2＝△DOC的面積+△OEC的面積=52∴S1≠S2，故A不符合題意；∵△ABC的面積是4，∴2△ABD的面積＝4，∴2（△AOB的面積+△BOD的面積）＝4，∴2（x+6x）＝4，∴x=2∴S1＝6x=127，S2=5∴S1﹣S2=127故B，C都不符合題意；D符合題意；故選：D．7．如圖將邊長為a的大正方形與邊長為b的小正方形放在一起（a＞0，b＞0），則三角形AEG的面積（）A．與a、b大小都有關(guān) B．與a、b的大小都無關(guān) C．只與a的大小有關(guān) D．只與b的大小有關(guān)【分析】連接AC，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC∥GE，根據(jù)平行線之間的距離相等可得△AGE的面積＝△CGE的面積，求出△CGE的面積即可．【解答】解：連接AC，如圖所示：在正方形ABCD中，∠ACD＝45°，∠GEC＝45°，∴AC∥GE，∴△AGE的面積＝△CGE的面積，∵正方形CEFG的邊長為b，∴△CGE的面積=1∴△AGE的面積為12∴△AGE的面積只與b的大小有關(guān)，故選：D．8．如圖，在△ABC中，點E是AC的中點，點D是BC的中點，點F是BD的中點．連接AF，BE交于點G．已知S△ABC＝12，則S△AGE﹣S△BGF＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由點E是AC的中點，S△ABC＝12知S△ABE=12S△ABC＝6，由點D是BC的中點，點F是BD的中點知BF=14BC，據(jù)此得S△ABF=14S△ABC＝3，再根據(jù)S△AGE﹣S△BGF＝S△【解答】解：∵點E是AC的中點，S△ABC＝12，∴S△ABE=12S△ABC＝∵點D是BC的中點，點F是BD的中點，∴BF=14∴S△ABF=14S△ABC＝∴S△AGE﹣S△BGF＝S△ABE﹣S△ABF＝6﹣3＝3，故選：B．二．填空題（共9小題）9．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BE⊥AC于點E，且BE＝4，則AB邊上的高CD的長度為4．【分析】由S△ABC=12AB?CD=12AC?BE，BE＝【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴S△ABC=12AB?CD=12AC?BE，BE＝∴BE＝CD＝4，故答案為：4．10．已知三角形的兩邊長分別是2cm和5cm，第三邊長是奇數(shù)，則第三邊長是5cm．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍，再根據(jù)第三邊是奇數(shù)求得第三邊的長．【解答】解：設(shè)第三邊長xcm．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得3＜x＜7．又∵三角形的第三邊長是奇數(shù)，因而滿足條件的數(shù)是5cm．故答案為：5cm．11．已知a，b，c是△ABC的三邊長，a，b滿足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c為奇數(shù)，則c＝5．【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出c的取值范圍，再根據(jù)c是奇數(shù)求出c的值．【解答】解：∵a，b滿足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，解得a＝2，b＝5，∵5﹣2＝3，5+2＝7，∴3＜c＜7，又∵c為奇數(shù)，∴c＝5，故答案是：5．12．已知a，b，c是三角形的三邊長，則|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|＝2b．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，再去絕對值符號，合并同類項即可．【解答】解：∵a、b、c為三角形三邊的長，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴原式＝|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|+|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2b．故答案為：2b．13．如圖，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊BC，BD，CD的中點，且S△ABC＝6cm2，則S△AEF＝3cm2．【分析】由于D、E、F分別為BC、BD、CD的中點，可得BE＝DE＝DF＝CF，根據(jù)中線的性質(zhì)可知將相應(yīng)三角形分成面積相等的兩部分，得出S△ABE＝S△AED＝S△ADF＝S△ACF，再根據(jù)S△ABC＝6cm2得出答案即可．【解答】解：∵D、E、F分別為BC、BD、CD的中點，∴BE＝DE＝DF＝CF，S△ABE＝S△AED＝S△ADF＝S△ACF，∴S△AEF=12S△∵S△ABC＝6cm2，S△AEF=12S△ABC=12×6＝故答案為：3．14．如圖，在△ABC中，G是邊BC上任意一點，D、E、F分別是AG、BD、CE的中點，S△ABC＝40，則S△DEF＝5．【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形解答．【解答】解：連接CD，如圖所示：∵點D是AG的中點，∴S△ABD=1∴S△ABD∵S△ABC＝40，∴S△ABD+S△ACD＝20，∴S△BCD＝20，∵點E是BD的中點，∴S△CDE∵點F是CE的中點，∴S△DEF故答案為：5．15．已知，在△ABC中，a＝7，b＝3，c＝2x+2，其中c邊長是偶數(shù)，則x的值應(yīng)該是2或3．【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊應(yīng)大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，求得x的取值范圍；再根據(jù)邊c是偶數(shù)這一條件，求得c的值．【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得7﹣3＜2x+2＜7+3，解得4＜2x+2＜10，又∵2x+2是偶數(shù)，則2x+2的值為6、8，∴x＝2或3，故答案為：2或3．16．如圖，將△ABC沿著BC方向平移5cm得到△DEF，若AB⊥BC，AB＝10cm，DH＝4cm，則四邊形HCFD的面積為50cm2．【分析】連接AD，由平移得到四邊形ADFC是平行四邊形，AD＝6cm，∠ADH＝90°，然后求得平行四邊形ADFC的面積和△ADH的面積，最后求得四邊形HCFD的面積．【解答】解：如圖，連接AD，由平移得，四邊形ADFC是平行四邊形，CF＝5（cm），∠ADH＝90°，∴S平行四邊形ADFC＝AD?AB＝5×10＝60（cm2），S△ADH=12AD?DH=12×5×4＝∴S四邊形HCFD＝S平行四邊形ADFC﹣S△ADH＝60﹣10＝50（cm2），故答案為：50cm2．17．如圖，已知△ABC的面積為1，分別倍長（延長一倍）邊AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分別倍長邊A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2…按此規(guī)律，倍長2023次后得到的△A2023B2023C2023的面積為72023．【分析】根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，然后求出第一次倍長后△A1B1C1的面積是△ABC的面積的7倍，依此規(guī)律可得結(jié)論．【解答】解：連接AB1、BC1、CA1，根據(jù)等底等高的三角形面積相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面積都相等，所以，S△A1B1C1＝7S△ABC，同理S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝72S△ABC，依此類推，△A2023B2023C2023的面積為＝72023S△ABC，∵△ABC的面積為1，∴△A2023B2023C2023的面積＝72023．故答案為：72023．三．解答題（共6小題）18．在△ABC中，AB＝8，AC＝1．（1）若BC是整數(shù)，求BC的長；（2）已知AD是△ABC的中線，若△ACD的周長為10，求三角形ABD的周長．【分析】（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到BD＝CD，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：（1）由題意得：AB﹣AC＜BC＜AC+AB，∴7＜BC＜9，∵BC是整數(shù)，∴BC＝8；（2）∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD∵△ACD的周長為10，∴AC+AD+CD＝10，∵AC＝1，∴AD+CD＝9，∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+AD+CD＝8+9＝17．19．如圖，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成70和50兩部分，求AC和AB的長．【分析】先根據(jù)AC＝2BC和三角形的中線列出方程求解，分類討論①AC+CD＝70，②AC+CD＝50，注意答案是否滿足條件，即是否滿足題目給出的條件、是否滿足三角形三邊的關(guān)系．【解答】解：設(shè)BD＝CD＝x，則AC＝2BC＝4x，∵BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成70和50兩部分，AB＞BC，①當(dāng)AC+CD＝70，AB+BD＝50時，4x+x＝70，解得：x＝14，∴AC＝4x＝4×14＝56，BD＝CD＝14，∴AB＝50﹣BD＝50﹣14＝36，∴AB＝36＞BC＝28，滿足條件∵BC+AB＝36+28＝64＞AC＝56，滿足三邊關(guān)系，∴AC＝56，AB＝36；②當(dāng)AC+CD＝50，AB+BD＝70時，4x+x＝50，解得：x＝10，∴AC＝4x＝4×10＝40，∴BD＝CD＝10，AB＝70﹣BD＝70﹣10＝60，∵AC＝40＜AB＝60，不滿足AB＞BC這一條件，∴舍去，∴AC＝56，AB＝36．20．如圖，AD，AE，AF分別是△ABC的高線、角平分線和中線．（1）有下列結(jié)論：①BF＝AF；②∠BAE＝∠CAE；③S△ABF=1④∠C與∠CAD互余．其中正確的是②③④（填序號）．（2）若∠B＝30°，∠DAE＝16°，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)△的中線，高線，角平分線的定義依次進行判斷即可；（2）根據(jù)AD是△ABC的高線，可得∠ADE＝90°，進一步可得∠AED的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)AE是△ABC的角平分線，可得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠C的度數(shù)．【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中線，∴BF＝FC，故①選項不符合題意；∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAE＝∠CAE，故②選項符合題意；∵AF是△ABC的中線，∴S△ABF=12S△故③選項符合題意；∵AD是△ABC的高線，∴∠ADC＝90°，∴∠C與∠CAD互余，故④選項符合題意；故答案為：②③④；（2）∵AD是△ABC的高線，∴∠ADE＝90°，∵∠DAE＝16°，∴∠AED＝90°﹣16°＝74°，∵∠B＝30°，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝74°﹣30°＝44°，∵AE是△ABC的角平分線，∴∠BAC＝2∠BAE＝88°，∴∠C＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝62°．21．如圖①是1個直角三角形和2個小正方形，直角三角形的三條邊長分別是a、b、c其中a、b是直角邊．正方形的邊長分別是a、b．（1）將4個完全一樣的直角三角形和2個小正方形構(gòu)成一個大正方形（如圖②）．用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中的大正方形面積：方法一：a2+2ab+b2；方法二：（a+b）2；（2）觀察圖②，試寫出（a+b）2、a2、2ab、b2這四個代數(shù)式之間的等量關(guān)系a2+2ab+b2＝（a+b）2；（3）請利用（2）中等量關(guān)系解決問題：已知圖①中一個三角形面積是6，圖②的大