2023年甘肅武威市涼州區(qū)高考壓軸卷數學試卷含解析

2023年高考數學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知拋物線V=4x的焦點為尸，拋物線上任意一點P,且尸軸交y軸于點Q,則而?討的最小值為（)

11

A.--B.--C.-1D.1

42

2.已知集合4={-2,-1,0,1,2},2={x，一x+2>0},則Ap|B=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

3.已知三棱錐D-ABC的外接球半徑為2,且球心為線段的中點，則三棱錐。-ABC的體積的最大值為（

24816

A.

333T

4.要得到函數y=gcosx的圖象，只需將函數y=；sin（2x+。］的圖象上所有點的（）

A.橫坐標縮短到原來的I不（縱坐標不變），再向左平移jrg個單位長度

1兀

B.橫坐標縮短到原來的萬（縱坐標不變），再向右平移己個單位長度

C.橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移自個單位長度

D.橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移（個單位長度

5.1777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客

人發(fā)許多等質量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統計,

發(fā)現共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據這次統計數據，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針

落地后與直線相交的概率約為（）

1321

A.—B.-C.一D.一

2萬717171

6.已知數列｛《,｝滿足q+4a2+7q+...+（3〃-2）q,=4〃，則a2a3+。3a4+…+。21a22=（）

5355

A.B.C.D.

8442

7.已知〃：|x+l|>2,q-.x>a,且力是r的充分不必要條件，則。的取值范圍是（

A.a<\B.a<-3C.a>-\D.a>\

8.在AA3C中，內角A的平分線交8C邊于點O，AB=4,AC=8,BD=2,則AABD的面積是（）

A.1672B.715C.3D.8百

9.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB//C。，若正方體的六個面所在的平面與直線

CE,石廠相交的平面?zhèn)€數分別記為相，n,則下列結論正確的是（）

D.〃2+〃<8

[x],x>0

10.已知函數/（x）=1（卜]表示不超過X的最大整數），若/（X）-這=0有且僅有3個零點，則實數a

的取值范圍是（

1L樹。中'BC=25D為BC的中點,43（'31,則心（）

A.245B.272C.6-V5D.2

12.2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我

國的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個很搶眼，他們就是院校科研方陣.他們

是由軍事科學院、國防大學、國防科技大學聯合組建.若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學校，學歷分別有學士、

碩士、博士學位.現知道：①甲不是軍事科學院的；②來自軍事科學院的不是博士；③乙不是軍事科學院的；④乙不是

博士學位；⑤國防科技大學的是研究生.則丙是來自哪個院校的，學位是什么（）

A.國防大學，研究生B.國防大學，博士

C.軍事科學院，學士D.國防科技大學，研究生

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在直三棱柱ABC-4AG內有一個與其各面都相切的球°,同時在三棱柱ABC-A4G外有一個外接球。2?若

AB±BC,AB=3,8C=4,則球。2的表面積為

14.對任意正整數〃，M/(n)=2n3-7n2cosnn-^n-i,若“2)20,則X的取值范圍是；若不等式

/(〃)>0恒成立，則4的最大值為

15.點(2,1)到直線3x+4y=0的距離為

16.已知同=W=2,他+25)?(萬—5)=-2,則a與5的夾角為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.(12分)已知函數〃x)=0,

(1)求函數“X)的單調區(qū)間；

4元2

(2)當0<機</時，判斷函數g(x)=一一機，(x>0)有幾個零點，并證明你的結論；

(3)設函數A(x)=；x-1+/(x)-^x---f(x)-cx2,若函數〃(x)在(0,+8)為增函數，求實數c的取值

范圍.

18.(12分)如圖，在斜三棱柱ABC—A4G中，平面ABC_L平面4ACG，CC,=2,^ABC,△ACC-均為

正三角形，E為的中點.

(I)證明：AC"/平面BCE

(D)求斜三棱柱ABC-4耳G截去三棱錐瓦-CBE后剩余部分的體積.

X=t,

19.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知直線/的參數方程為〈a為參數)，圓。的方程為

y=4—\jr3t

x2+(y-l)2=l,以坐標原點。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求/和。的極坐標方程;

(2)過。且傾斜角為a的直線與/交于點A,與。交于另一點3,若三￡a”,求朋的取值范圍.

612\OA\

20.(12分)設函數/(x)=l-七，g(x)=lnx,

(I)求曲線y=/(2x—1)在點(i,o)處的切線方程；

(H)求函數y=/(X)?g(x)在區(qū)間［-,e］上的取值范圍.

e

21.(12分)已知，(x)=|X-1|+1,F(x)=r；；.

'7［12-3x,x>3

(1)解不等式/(尤)42尤+3；

(2)若方程/(幻=。有三個解，求實數。的取值范圍.

22.(10分)如圖(1)五邊形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

NEDC=15O,將AE4￡>沿AO折到ARAZ)的位置，得到四棱錐P-ABCD,如圖(2),點M為線段PC的中點,

且BA7_L平面PCD.

(1)求證：平面Q4Z>J_平面A8CD；

(2)若直線PCAB與所成角的正切值為,，求直線6M與平面PDB所成角的正弦值.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

設點P,則點Q(0,y),廠(1,0),利用向量數量積的坐標運算可得尸。?尸尸=上32-2)2-不，利用二次函

數的性質可得最值.

【詳解】

解：設點P卷,y,則點Q(O,y),尸(1,0),

I4)

/2A(2\

-PQ=-％0，麗=1-j-y，

I4)I4)

(y2

:.PQPF=■，_y-yy=1一/2(y-*2)——i，

I4J164161'4

7

,—.—.1

當>2=2時，PQ-PF取最小值，最小值為--.

4

故選：A.

【點睛】

本題考查拋物線背景下的向量的坐標運算，考查學生的計算能力，是基礎題.

2.D

【解析】

先求出集合8,再與集合A求交集即可.

【詳解】

17

由已知，X2-X+2=(X--)2+->0,故3=/?,所以4口3={-2,—1,0,1,2}.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合的交集運算，考查學生的基本運算能力，是一道容易題.

3.C

【解析】

由題可推斷出AABC和△88都是直角三角形，設球心為。，要使三棱錐O—A3C的體積最大，則需滿足〃=0。,

結合幾何關系和圖形即可求解

【詳解】

先畫出圖形，由球心到各點距離相等可得，Q4=QB=OC,故AA6c是直角三角形，設AB=x,AC=y,則有

x2+/=42>2xy,又5刖4=（孫，所以50蹂=（孫<4,當且僅當x=y=2加時，取最大值4,要使三

11Q

棱錐體積最大，則需使高〃=0￡>=2,此時匕蹂"=550死/=§、4乂2=3，

故選：c

【點睛】

本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎題

4.C

【解析】

根據三角函數圖像的變換與參數之間的關系，即可容易求得.

【詳解】

為得到y=|cosx=；sin（x+y1,

將y=gsin[2x+橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）,

故可得.丫=3$皿1%+?

2

再將），=gsin卜+?）向左平移煮個單位長度，

?1.（乃乃）1.（萬、1

故可得y=—sin|xd---1—=—sinxd---cosx.

-2I36）2I2

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.

5.D

【解析】

根據統計數據，求出頻率，用以估計概率.

【詳解】

7041

-------X—

2212Tt

故選:D.

【點睛】

本題以數學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎題.

6.C

【解析】

利用（3〃-2）4的前〃項和求出數列｛（3〃-2）q｝的通項公式，可計算出/,然后利用裂項法可求出

a2a3+a3a4---卜a21a22的值.

【詳解】

q+4a2+7/H----b（3〃-2）an=4n.

當〃=1時，q=4；

當〃22時，由4+4%+7%+???+(3〃-2)々〃=4〃,

可得4+4劣+7q+,?,+(3〃-=4(〃—1),

兩式相減，可得(3〃-2)q=4,故%=’—，

3〃-2

4

因為4=4也適合上式，所以為=^-

3〃一2

1616f11)

依題意，4+1。〃+2==T丁17-&；，

(3〃+1)(3〃+4)3\3n+l3n+4J

16M_j_J__J_11y_16(l1]5

故(7?+%%+--Ha2ia22-+-+-+

23yl4771010136164J3(464J4

故選：C.

【點睛】

本題考查利用S“求a,,同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.

7.D

【解析】

r是r的充分不必要條件”等價于“4是”的充分不必要條件”，即q中變量取值的集合是P中變量取值集合的真子

集.

【詳解】

由題意知：，：|x+l|>2可化簡為｛x[x<-3或x>l｝,q'.x>a,

所以q中變量取值的集合是p中變量取值集合的真子集，所以“21.

【點睛】

利用原命題與其逆否命題的等價性，對力是r的充分不必要條件進行命題轉換，使問題易于求解.

8.B

【解析】

利用正弦定理求出CO,可得出BC,然后利用余弦定理求出cos8,進而求出sin8,然后利用三角形的面積公式可

計算出的面積.

【詳解】

為44C的角平分線，則N84O=NC4Z>.

■.?ZADB+ZADC=7r,則NADC=;r—NADB,

sinZADC=sin（乃-ZADB^=sinZADB,

..’-AprABBD42

在AA8D中，由正弦定理得---------=----------,即Dn---------------------,①

sinZADBsinZ.BADsinZADBsinZBAD

ArCD2rri

在AACD中，由正弦定理得——--=―-——，即——--=―-——，②

sin/.ADCsinZADCsinZADCsin/CAD

2]

①十②得一=一,解得CD=4,;.BC=BD+CD=6,

CD2

222

+八共占用.nAB+BC-AC1,cr-------r-V15

由余弦定理得cosB=----------------------=——，；.sm8=-cos-B=------，

2ABBC44

因此，的面積為SgB。BDsinB=后.

故選：B.

【點睛】

本題考查三角形面積的計算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應用，考查計算能力，屬于中等題.

9.A

【解析】

根據題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關系分別求得〃?，〃的值，即可比較各選項.

【詳解】

如下圖所示，CEu平面A8PQ,從而CE//平面48出Q-

易知CE與正方體的其余四個面所在平面均相交，

/.m=4,

?；EE//平面BPP&I，砂//平面AQQ|A，且族與正方體的其余四個面所在平面均相交，

??,2=4,

...結合四個選項可知，只有加="正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.

10.A

【解析】

根據［X］的定義先作出函數f(x)的圖象，利用函數與方程的關系轉化為f(X)與g(x)=ax有三個不同的交點，利用

數形結合進行求解即可.

【詳解】

當O?x<l時，［%］=0,

當l?x<2時，［%］=1,

當2?x<3時，［可=2,

當3<x<4時，3=3,

若/(x)-or=0有且僅有3個零點，

則等價為/(%)=以有且僅有3個根，

即“X)與g(x)="有三個不同的交點，

作出函數/(x)和g(x)的圖象如圖，

當a=l時，8(同=、與/(外有無數多個交點，

當直線g(x)經過點A(2,D時，即g(2)=2a=l,a=g時，/(x)與g(x)有兩個交點，

2

當直線g(x)經過點B(3,2)時，即g⑶=3a=2,〃=§時，〃x)與g(x)有三個交點,

I2

要使/(X)與g(x)=av有三個不同的交點，則直線g(x)處在過y=/x和y=§x之間，

由1〃2

即一VaW—,

【點睛】

利用函數零點的情況求參數值或取值范圍的方法

⑴直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數的范圍；(2)分離參數法：先將參數

分離，轉化成求函數的值域(最值)問題加以解決；

(3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解.

11.D

【解析】

在中，由正弦定理得sin8=?；進而得cosNAOC=cos(工+8]=好，在A4DC中，由余弦定理可得

10UJ5

AC.

【詳解】

AD_BDr—r—

在AABD中，由正弦定理得嬴萬=.兀,得sinB=業(yè)>又BD>AD，所以8為銳角，所以cosB=N°，

1010

/.cosZADC=cosL+3=克

-5'

在AADC中，由余弦定理可得AC2=AD2+DC2-2ADDCcosZADC=4，

..AC=2.

故選：D

【點睛】

本題主要考查了正余弦定理的應用，考查了學生的運算求解能力.

12.C

【解析】

根據①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學位.

【詳解】

由題意①甲不是軍事科學院的，③乙不是軍事科學院的；

則丙來自軍事科學院；

由②來自軍事科學院的不是博士，則丙不是博士；

由⑤國防科技大學的是研究生，可知丙不是研究生，

故丙為學士.

綜上可知，丙來自軍事科學院，學位是學士.

故選：C.

【點睛】

本題考查了合情推理的簡單應用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.29〃

【解析】

先求出球。I的半徑，再求出球。2的半徑，即得球。2的表面積.

【詳解】

解：\'AB±BC,AB=3,BC=4

AC2=AB2+BC2,

AC=5)

設球。i的半徑為廣，由題得,(3r+4r+5r)=！x3x4,：.r=\

22

所以棱柱的側棱為2r=2.

由題得棱柱外接球的直徑為歷&=揚，所以外接球的半徑為;犧，

所以球。2的表面積為4萬?(g回了=29萬.

故答案為：29?

【點睛】

本題主要考查幾何體的內切球和外接球問題，考查球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬

于中檔題.

(13113

14.-oo,---------

(2J2

【解析】

將〃=2代入求解即可；當〃為奇數時,cosnjv=-1，則轉化/(")=2/+7"一即—12o為幾《2"+7〃一,,設

n

g(〃)=24+7〃-L由單調性求得g(〃)的最小值；同理，當〃為偶數時,cos〃兀=1,則轉化

n

/(〃)=2/-7"_而_120為幾W2/—7〃—工,設人。)=2/—7x—,(x22),利用導函數求得h(x)的最小值,

nx

進而比較得到4的最大值.

【詳解】

13

由題,/(2)=16-28-2/1-120,解得/1W—].

當〃為奇數時,cos〃》=-l,由f(n)=2/+7/_力7一120,得442n~+7〃一工，

n

而函數g(n)=2n2+7n--為單調遞增函數，所以雙〃)臉=<?⑴=8,所以4W8；

n

當n為偶數時,cos力4=1,由f5)=2/-7/_尤〃一120,得力《2rr-In--,

n

設h(x)=2x2-lx--(xe2),

x

Q2,h\x)=4x—7+2>0,；/(x)單調遞增，

X

1313

，〃(幻而11=〃(2)=-彳,所以4遼—5，

13

綜上可知，若不等式/(〃)>0恒成立，則2的最大值為一二.

2

故答案為:(1)(一8,一二；⑵一二

I2J2

【點睛】

本題考查利用導函數求最值，考查分類討論思想和轉化思想.

15.2

【解析】

直接根據點到直線的距離公式即可求出。

【詳解】

|3x2+lx4|

依據點到直線的距離公式，點(2,1)到直線3x+4y=0的距離為=2。

732+42

【點睛】

本題主要考查點到直線的距離公式的應用o

16.60

【解析】

根據已知條件(G+2B)?(M)=一2,去括號得：同一十萬?5—2忖=4+2x2xcos6_2x4=-2,

1O

=>cos8=耳,。=60

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)單調增區(qū)間(0,2),單調減區(qū)間為(—8,0),(2,+8)；(2)有2個零點，證明見解析；(3)?！匆恢?/p>

【解析】

⑴對函數“X)求導，利用導數f(x)的正負判斷函數/(x)的單調區(qū)間即可;

(2)函數g(x)=工-〃?,(x20)有2個零點.根據函數的零點存在性定理即可證明;

ex

1丫21

⑶記函數F(x)=/(x)-(x—與='-x+>0,求導后利用單調性求得F(l)-F(2)<0，由零點存在性定理及單

xexx

調性知存在唯一的小€(1,2),使4%)=(),求得〃(x)為分段函數,求導后分情況討論：①當x>x°時，利用函數的單

調性將問題轉化為2c<4(犬)而的問題;②當0<了<天時，當C<0時,〃(X)>0在(0,%)上恒成立，從而求得。的取

值范圍.

【詳解】

、?a-、2x,cx—,€Xx(2—x),...

(1)由題意知,/(%)=——-—5-----=——--，列表如下:

(eYex

X(-oo,0)0(0,2)2(2,+oo)

f\x)—0+0—

f(x)J極小值T極大值J

所以函數〃x)的單調增區(qū)間為(0,2),單調減區(qū)間為(一8,0),(2,+8).

X

(2)函數()=--m.(x20)有2個零點.證明如下：

Sxex

44

因為時，所以g(2)==—〃z>0,

e2e2

因為g(X)=乂2：犬)，所以g(x)>0在(o,2)恒成立,g(x)在(0,2)上單調遞增,

由g⑵>0,g(0)=一機<0,且g(x)在(0,2)上單調遞增且連續(xù)知，

函數g(x)在(0,2)上僅有一個零點，

由⑴可得xNO時J(x)"⑵=/(X)M，

尤24

即工二?<],故x?0時，er-

e*e2

m

由/得e^>g,平方得e赤>￡,所以g(-^)<0,

mm7m

因為g(X)=乂2了),所以g(x)<0在(2,”)上恒成立，

ex

/44

所以函數g(x)在(2,”)上單調遞減，因為0〈機</斯以赤>2,

由g⑵>0,g(9)<0,且g(x)在(2,—)上單調遞減且連續(xù)得

g(x)在(2,T8)上僅有一個零點，

綜上可知：函數g(x)=——m,(xN0)有2個零點.

ex

1Y21

(3)記函數/(尤)=/(x)—(x一乙)=二一元+±/>0,下面考察尸(幻的符號.

xexx

求導得「'*)=半⑹一1—二,%>0.

ex-

當xN2時尸'。)<0恒成立.

當0<x<2時，因為<(2_幻《「*+(2一刈『二］,

2

r，、x(2-x),1,1,1,,11

所以Z7(X)=--------1--7--7-1--^<1-17=---^<0.

ex-exxx

F'(x)<0在(0,+8)上恒成立，故尸(x)在(0,+8)上單調遞減.

143

VF(l)=->0,F(2)=——<0,/.F(l).F(2)<0,又因為尸(x)在［1,2］上連續(xù),

ee22

所以由函數的零點存在性定理得存在唯一的/e(1,2),使口(%)=0,

(O,xo),F(x)>0；X6(x0,+oo),F(x)<0,

12

x----,0<xW/

因為怛(x)|=—，所以〃(x)=<x

2

X2

——CX,x>x0

1H—--2cx,0<X</

:.hr(x)=<X

x(2-x)

--------2cx,x>xQ

因為函數〃(x)在(0,+<?)上單調遞胤/(X。)=%--=0，

所以"(x)?0在(0,%),(x0,+8)上恒成立.

①當x>x°時，“(2了)_2CXN0在(x。,+oo)上恒成立,即2c<W在(x°,+co)上恒成立.

ee

記M(X)=——,x>x0,貝!J/(x)=-^-,x>x0,

ee

當x變化時，〃'(x),M(X)變化情況如下表：

X(天,3)3(3,+8)

/(%)—0+

〃(尤)極小值T

,,“(X)min="(X)猱〃、="(3)=，

故2』(人"-:，即4一?

②當0<x</時，〃'(幻=1+二-25,當cWO時，力'(幻>0在(0,%)上恒成立.

X

綜合(1)(2)知，實數。的取值范圍是C4-。.

【點睛】

本題考查利用導數求函數的單調區(qū)間、極值、最值和利用零點存在性定理判斷函數零點個數、利用分離參數法求參數

的取值范圍;考查轉化與化歸能力、邏輯推理能力、運算求解能力;通過構造函數/(x),利用零點存在性定理判斷其零

點，從而求出函數〃(x)的表達式是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.

18.(I)見解析；(II)-

2

【解析】

(I)要證明線面平行，需先證明線線平行，所以連接BG，交B。于點M,連接ME,證明ME//AC；：

(II)由題意可知點到平面ABC的距離等于點G到平面A5C的距離，根據體積公式剩余部分的體積是

匕BC-AMG-VB「BCE?

【詳解】

(I)如圖，連接BC一交gC于點M,連接ME,則ME//AC-

因為AG(Z平面BCE,MEu平面BCE,所以ACJ/平面gCE.

(H)因為gG平面ABC,所以點，到平面A8C的距離等于點G到平面45c的距離.

如圖，設。是AC的中點，連接。G，OB.因為△ACG為正三角形，所以。G，AC,

又平面ABC_L平面AACG，平面A8CA平面4ACG=AC,所以。平面ABC.

所以點G到平面ABC的距離oc『6故三棱錐B「BCE的體積為

kcE=5BCE-°G=；x”CE.OG=；x；xlxGx^=；.

而斜三棱柱ABC-44G的體積為V=S.8LOG=；YB-CE-OG=1X2XV3XV3=3.

所以剩余部分的體積為3

A

【點睛】

本題考查證明線面平行，計算體積，意在考查推理證明，空間想象能力，計算能力，屬于中檔題型，一般證明線面平

行的方法1.證明線線平行，則線面平行，2.證明面面平行，則線面平行，關鍵是證明線線平行，一般構造平行四邊形,

則對邊平行，或是構造三角形中位線.

19.(1)>/3pcos6,+psin^-4=0；/7=2sin6(2)

【解析】

（1）直接利用轉換公式，把參數方程，直角坐標方程與極坐標方程進行轉化;

\0B\

（2）利用極坐標方程將匕舊轉化為三角函數求解即可.

\0A\

【詳解】

X=，，

（1）因為所以/的普通方程為6x+y-4=0，

又工=Q（：05。，y=psinO,x1+y2=p2,

l的極坐標方程為00cos6+psin^-4=0,

C的方程即為f+<_2）,=o,對應極坐標方程為。=2sin。.

4

(2)由己知設Ag,a),B(p,tz),貝(|夕]=亍--------------,p=2sin6z,

2\/3cosa+sina2

IOB\p1?(n\1rr-

所以，=—2=：x2sma，3cosa+sma=-V3sin2a-cos2a+1

7

\0A\px4'4L

=-|2sinf2a--l+l

4]I6；

71..5乃71,A式,2開

又一WaK—,—<2a——<——，

612663

當2YW即二=一n時，|號OB取|得最小值一1；

6\0A\2

、[/cTCTCQ—TC,I°BI曰i.3

當2a——=—,即a=g"時，?oqJ取得最大值—.

所以,舞的取值范圍為.

\OA\124J

【點睛】

本題主要考查了直角坐標方程，參數方程與極坐標方程的互化，三角函數的值域求解等知識，考查了學生的運算求解

能力.

20.(1)y=x-\(2)[0,Ve-l]

【解析】

分析：(1)先斷定(1,0)在曲線y=/(2x-l)上，從而需要求/'(2x-D,令x=l,求得結果，注意復合函數求導法則,

接著應用點斜式寫出直線的方程；

(2)先將函數解析式求出，之后借助于導數研究函數的單調性，從而求得函數在相應區(qū)間上的最值.

詳解：([)當x=l,y=/(2-l)=/(l)=0.y'=/'(2x-l)=1

(Zx—1)

當X=l,歹=尸(1)=1,所以切線方程為y=x-l.

令〃(力=石一1+^,〃(x)=1±1>0,則/i(x)在卜單調遞減，

因為〃(1)=0,所以>=/(x>g(x)在上增，在［1,e］單調遞增.

為血=/⑴乜(1)=。，％”=max.J(e).g(e)>=max<弧—1,1—爰

因為所以>=/(x>g(x)在區(qū)間j,e上的值域為[。,五一1].

點睛：該題考查的是有關應用導數研究函數的問題，涉及到的知識點有導數的幾何意義，曲線在某個點處的切線方程

的求法，復合函數求導，函數在給定區(qū)間上的最值等，在解題的過程中，需要對公式的正確使用.

21.(1)[—,+oo)；(2)(1,3).

3

【解析】

(1)對x分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結果；(2)

2-x,x<1

*x)=x,14x?3,?作出函數尸(x)的圖象，當直線>與函數y=E(x)的圖象有三個公共點時，方程

1