2023年甘肅武威市涼州區(qū)高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，拋物線上任意一點(diǎn)P,且尸軸交y軸于點(diǎn)Q,則而?討的最小值為（)

11

A.--B.--C.-1D.1

42

2.已知集合4={-2,-1,0,1,2},2={x，一x+2>0},則Ap|B=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

3.已知三棱錐D-ABC的外接球半徑為2,且球心為線段的中點(diǎn)，則三棱錐。-ABC的體積的最大值為（

24816

A.

333T

4.要得到函數(shù)y=gcosx的圖象，只需將函數(shù)y=；sin（2x+。］的圖象上所有點(diǎn)的（）

A.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的I不（縱坐標(biāo)不變），再向左平移jrg個(gè)單位長(zhǎng)度

1兀

B.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的萬(wàn)（縱坐標(biāo)不變），再向右平移己個(gè)單位長(zhǎng)度

C.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移自個(gè)單位長(zhǎng)度

D.橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移（個(gè)單位長(zhǎng)度

5.1777年，法國(guó)科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫(huà)著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客

人發(fā)許多等質(zhì)量的，長(zhǎng)度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針

落地后與直線相交的概率約為（）

1321

A.—B.-C.一D.一

2萬(wàn)717171

6.已知數(shù)列｛《,｝滿足q+4a2+7q+...+（3〃-2）q,=4〃，則a2a3+。3a4+…+。21a22=（）

5355

A.B.C.D.

8442

7.已知〃：|x+l|>2,q-.x>a,且力是r的充分不必要條件，則。的取值范圍是（

A.a<\B.a<-3C.a>-\D.a>\

8.在AA3C中，內(nèi)角A的平分線交8C邊于點(diǎn)O，AB=4,AC=8,BD=2,則AABD的面積是（）

A.1672B.715C.3D.8百

9.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB//C。，若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線

CE,石廠相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為相，n,則下列結(jié)論正確的是（）

D.〃2+〃<8

[x],x>0

10.已知函數(shù)/（x）=1（卜]表示不超過(guò)X的最大整數(shù)），若/（X）-這=0有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（

1L樹(shù)。中'BC=25D為BC的中點(diǎn),43（'31,則心（）

A.245B.272C.6-V5D.2

12.2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵儀式在天安門(mén)廣場(chǎng)隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我

國(guó)的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國(guó)的日新月異.今年的閱兵方陣有一個(gè)很搶眼，他們就是院校科研方陣.他們

是由軍事科學(xué)院、國(guó)防大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來(lái)自上述三所學(xué)校，學(xué)歷分別有學(xué)士、

碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學(xué)院的；②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士；③乙不是軍事科學(xué)院的；④乙不是

博士學(xué)位；⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生.則丙是來(lái)自哪個(gè)院校的，學(xué)位是什么（）

A.國(guó)防大學(xué)，研究生B.國(guó)防大學(xué)，博士

C.軍事科學(xué)院，學(xué)士D.國(guó)防科技大學(xué)，研究生

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在直三棱柱ABC-4AG內(nèi)有一個(gè)與其各面都相切的球°,同時(shí)在三棱柱ABC-A4G外有一個(gè)外接球。2?若

AB±BC,AB=3,8C=4,則球。2的表面積為

14.對(duì)任意正整數(shù)〃，M/(n)=2n3-7n2cosnn-^n-i,若“2)20,則X的取值范圍是；若不等式

/(〃)>0恒成立，則4的最大值為

15.點(diǎn)(2,1)到直線3x+4y=0的距離為

16.已知同=W=2,他+25)?(萬(wàn)—5)=-2,則a與5的夾角為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.(12分)已知函數(shù)〃x)=0,

(1)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

4元2

(2)當(dāng)0<機(jī)</時(shí)，判斷函數(shù)g(x)=一一機(jī)，(x>0)有幾個(gè)零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)函數(shù)A(x)=；x-1+/(x)-^x---f(x)-cx2,若函數(shù)〃(x)在(0,+8)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)c的取值

范圍.

18.(12分)如圖，在斜三棱柱ABC—A4G中，平面ABC_L平面4ACG，CC,=2,^ABC,△ACC-均為

正三角形，E為的中點(diǎn).

(I)證明：AC"/平面BCE

(D)求斜三棱柱ABC-4耳G截去三棱錐瓦-CBE后剩余部分的體積.

X=t,

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線/的參數(shù)方程為〈a為參數(shù))，圓。的方程為

y=4—\jr3t

x2+(y-l)2=l,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(1)求/和。的極坐標(biāo)方程;

(2)過(guò)。且傾斜角為a的直線與/交于點(diǎn)A,與。交于另一點(diǎn)3,若三￡a”,求朋的取值范圍.

612\OA\

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=l-七，g(x)=lnx,

(I)求曲線y=/(2x—1)在點(diǎn)(i,o)處的切線方程；

(H)求函數(shù)y=/(X)?g(x)在區(qū)間［-,e］上的取值范圍.

e

21.(12分)已知，(x)=|X-1|+1,F(x)=r；；.

'7［12-3x,x>3

(1)解不等式/(尤)42尤+3；

(2)若方程/(幻=。有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.(10分)如圖(1)五邊形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

NEDC=15O,將AE4￡>沿AO折到ARAZ)的位置，得到四棱錐P-ABCD,如圖(2),點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn),

且BA7_L平面PCD.

(1)求證：平面Q4Z>J_平面A8CD；

(2)若直線PCAB與所成角的正切值為,，求直線6M與平面PDB所成角的正弦值.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

設(shè)點(diǎn)P,則點(diǎn)Q(0,y),廠(1,0),利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得尸。?尸尸=上32-2)2-不，利用二次函

數(shù)的性質(zhì)可得最值.

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)P卷,y,則點(diǎn)Q(O,y),尸(1,0),

I4)

/2A(2\

-PQ=-％0，麗=1-j-y，

I4)I4)

(y2

:.PQPF=■，_y-yy=1一/2(y-*2)——i，

I4J164161'4

7

,—.—.1

當(dāng)>2=2時(shí)，PQ-PF取最小值，最小值為--.

4

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

先求出集合8,再與集合A求交集即可.

【詳解】

17

由已知，X2-X+2=(X--)2+->0,故3=/?,所以4口3={-2,—1,0,1,2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道容易題.

3.C

【解析】

由題可推斷出AABC和△88都是直角三角形，設(shè)球心為。，要使三棱錐O—A3C的體積最大，則需滿足〃=0。,

結(jié)合幾何關(guān)系和圖形即可求解

【詳解】

先畫(huà)出圖形，由球心到各點(diǎn)距離相等可得，Q4=QB=OC,故AA6c是直角三角形，設(shè)AB=x,AC=y,則有

x2+/=42>2xy,又5刖4=（孫，所以50蹂=（孫<4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2加時(shí)，取最大值4,要使三

11Q

棱錐體積最大，則需使高〃=0￡>=2,此時(shí)匕蹂"=550死/=§、4乂2=3，

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題

4.C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系，即可容易求得.

【詳解】

為得到y(tǒng)=|cosx=；sin（x+y1,

將y=gsin[2x+橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）,

故可得.丫=3$皿1%+?

2

再將），=gsin卜+?）向左平移煮個(gè)單位長(zhǎng)度，

?1.（乃乃）1.（萬(wàn)、1

故可得y=—sin|xd---1—=—sinxd---cosx.

-2I36）2I2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導(dǎo)公式的使用，屬基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計(jì)概率.

【詳解】

7041

-------X—

2212Tt

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【解析】

利用（3〃-2）4的前〃項(xiàng)和求出數(shù)列｛（3〃-2）q｝的通項(xiàng)公式，可計(jì)算出/,然后利用裂項(xiàng)法可求出

a2a3+a3a4---卜a21a22的值.

【詳解】

q+4a2+7/H----b（3〃-2）an=4n.

當(dāng)〃=1時(shí)，q=4；

當(dāng)〃22時(shí)，由4+4%+7%+???+(3〃-2)々〃=4〃,

可得4+4劣+7q+,?,+(3〃-=4(〃—1),

兩式相減，可得(3〃-2)q=4,故%=’—，

3〃-2

4

因?yàn)?=4也適合上式，所以為=^-

3〃一2

1616f11)

依題意，4+1?！?2==T丁17-&；，

(3〃+1)(3〃+4)3\3n+l3n+4J

16M_j_J__J_11y_16(l1]5

故(7?+%%+--Ha2ia22-+-+-+

23yl4771010136164J3(464J4

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用S“求a,,同時(shí)也考查了裂項(xiàng)求和法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

7.D

【解析】

r是r的充分不必要條件”等價(jià)于“4是”的充分不必要條件”，即q中變量取值的集合是P中變量取值集合的真子

集.

【詳解】

由題意知：，：|x+l|>2可化簡(jiǎn)為｛x[x<-3或x>l｝,q'.x>a,

所以q中變量取值的集合是p中變量取值集合的真子集，所以“21.

【點(diǎn)睛】

利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性，對(duì)力是r的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，使問(wèn)題易于求解.

8.B

【解析】

利用正弦定理求出CO,可得出BC,然后利用余弦定理求出cos8,進(jìn)而求出sin8,然后利用三角形的面積公式可

計(jì)算出的面積.

【詳解】

為44C的角平分線，則N84O=NC4Z>.

■.?ZADB+ZADC=7r,則NADC=;r—NADB,

sinZADC=sin（乃-ZADB^=sinZADB,

..’-AprABBD42

在AA8D中，由正弦定理得---------=----------,即Dn---------------------,①

sinZADBsinZ.BADsinZADBsinZBAD

ArCD2rri

在AACD中，由正弦定理得——--=―-——，即——--=―-——，②

sin/.ADCsinZADCsinZADCsin/CAD

2]

①十②得一=一,解得CD=4,;.BC=BD+CD=6,

CD2

222

+八共占用.nAB+BC-AC1,cr-------r-V15

由余弦定理得cosB=----------------------=——，；.sm8=-cos-B=------，

2ABBC44

因此，的面積為SgB。BDsinB=后.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

9.A

【解析】

根據(jù)題意，畫(huà)出幾何位置圖形，由圖形的位置關(guān)系分別求得〃?，〃的值，即可比較各選項(xiàng).

【詳解】

如下圖所示，CEu平面A8PQ,從而CE//平面48出Q-

易知CE與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，

/.m=4,

?；EE//平面BPP&I，砂//平面AQQ|A，且族與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交，

??,2=4,

...結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知，只有加="正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于中檔題.

10.A

【解析】

根據(jù)［X］的定義先作出函數(shù)f(x)的圖象，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為f(X)與g(x)=ax有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用

數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)O?x<l時(shí)，［%］=0,

當(dāng)l?x<2時(shí)，［%］=1,

當(dāng)2?x<3時(shí)，［可=2,

當(dāng)3<x<4時(shí)，3=3,

若/(x)-or=0有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

則等價(jià)為/(%)=以有且僅有3個(gè)根，

即“X)與g(x)="有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

作出函數(shù)/(x)和g(x)的圖象如圖，

當(dāng)a=l時(shí)，8(同=、與/(外有無(wú)數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)直線g(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,D時(shí)，即g(2)=2a=l,a=g時(shí)，/(x)與g(x)有兩個(gè)交點(diǎn)，

2

當(dāng)直線g(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,2)時(shí)，即g⑶=3a=2,〃=§時(shí)，〃x)與g(x)有三個(gè)交點(diǎn),

I2

要使/(X)與g(x)=av有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則直線g(x)處在過(guò)y=/x和y=§x之間，

由1〃2

即一VaW—,

【點(diǎn)睛】

利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法

⑴直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)

分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

11.D

【解析】

在中，由正弦定理得sin8=?；進(jìn)而得cosNAOC=cos(工+8]=好，在A4DC中，由余弦定理可得

10UJ5

AC.

【詳解】

AD_BDr—r—

在AABD中，由正弦定理得嬴萬(wàn)=.兀,得sinB=業(yè)>又BD>AD，所以8為銳角，所以cosB=N°，

1010

/.cosZADC=cosL+3=克

-5'

在AADC中，由余弦定理可得AC2=AD2+DC2-2ADDCcosZADC=4，

..AC=2.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

12.C

【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.

【詳解】

由題意①甲不是軍事科學(xué)院的，③乙不是軍事科學(xué)院的；

則丙來(lái)自軍事科學(xué)院；

由②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士，則丙不是博士；

由⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生，可知丙不是研究生，

故丙為學(xué)士.

綜上可知，丙來(lái)自軍事科學(xué)院，學(xué)位是學(xué)士.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了合情推理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.29〃

【解析】

先求出球。I的半徑，再求出球。2的半徑，即得球。2的表面積.

【詳解】

解：\'AB±BC,AB=3,BC=4

AC2=AB2+BC2,

AC=5)

設(shè)球。i的半徑為廣，由題得,(3r+4r+5r)=！x3x4,：.r=\

22

所以棱柱的側(cè)棱為2r=2.

由題得棱柱外接球的直徑為歷&=揚(yáng)，所以外接球的半徑為;犧，

所以球。2的表面積為4萬(wàn)?(g回了=29萬(wàn).

故答案為：29?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題，考查球的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬

于中檔題.

(13113

14.-oo,---------

(2J2

【解析】

將〃=2代入求解即可；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),cosnjv=-1，則轉(zhuǎn)化/(")=2/+7"一即—12o為幾《2"+7〃一,,設(shè)

n

g(〃)=24+7〃-L由單調(diào)性求得g(〃)的最小值；同理，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),cos〃兀=1,則轉(zhuǎn)化

n

/(〃)=2/-7"_而_120為幾W2/—7〃—工,設(shè)人。)=2/—7x—,(x22),利用導(dǎo)函數(shù)求得h(x)的最小值,

nx

進(jìn)而比較得到4的最大值.

【詳解】

13

由題,/(2)=16-28-2/1-120,解得/1W—].

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),cos〃》=-l,由f(n)=2/+7/_力7一120,得442n~+7〃一工，

n

而函數(shù)g(n)=2n2+7n--為單調(diào)遞增函數(shù)，所以雙〃)臉=<?⑴=8,所以4W8；

n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cos力4=1,由f5)=2/-7/_尤〃一120,得力《2rr-In--,

n

設(shè)h(x)=2x2-lx--(xe2),

x

Q2,h\x)=4x—7+2>0,；/(x)單調(diào)遞增，

X

1313

，〃(幻而11=〃(2)=-彳,所以4遼—5，

13

綜上可知，若不等式/(〃)>0恒成立，則2的最大值為一二.

2

故答案為:(1)(一8,一二；⑵一二

I2J2

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值，考查分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想.

15.2

【解析】

直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出。

【詳解】

|3x2+lx4|

依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)(2,1)到直線3x+4y=0的距離為=2。

732+42

【點(diǎn)睛】

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用o

16.60

【解析】

根據(jù)已知條件(G+2B)?(M)=一2,去括號(hào)得：同一十萬(wàn)?5—2忖=4+2x2xcos6_2x4=-2,

1O

=>cos8=耳,。=60

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)單調(diào)增區(qū)間(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(—8,0),(2,+8)；(2)有2個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；(3)。〈一止

【解析】

⑴對(duì)函數(shù)“X)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)f(x)的正負(fù)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)函數(shù)g(x)=工-〃?,(x20)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明;

ex

1丫21

⑶記函數(shù)F(x)=/(x)-(x—與='-x+>0,求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得F(l)-F(2)<0，由零點(diǎn)存在性定理及單

xexx

調(diào)性知存在唯一的小€(1,2),使4%)=(),求得〃(x)為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當(dāng)x>x°時(shí)，利用函數(shù)的單

調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2c<4(犬)而的問(wèn)題;②當(dāng)0<了<天時(shí)，當(dāng)C<0時(shí),〃(X)>0在(0,%)上恒成立，從而求得。的取

值范圍.

【詳解】

、?a-、2x,cx—,€Xx(2—x),...

(1)由題意知,/(%)=——-—5-----=——--，列表如下:

(eYex

X(-oo,0)0(0,2)2(2,+oo)

f\x)—0+0—

f(x)J極小值T極大值J

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(一8,0),(2,+8).

X

(2)函數(shù)()=--m.(x20)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下：

Sxex

44

因?yàn)闀r(shí)，所以g(2)==—〃z>0,

e2e2

因?yàn)間(X)=乂2：犬)，所以g(x)>0在(o,2)恒成立,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

由g⑵>0,g(0)=一機(jī)<0,且g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增且連續(xù)知，

函數(shù)g(x)在(0,2)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

由⑴可得xNO時(shí)J(x)"⑵=/(X)M，

尤24

即工二?<],故x?0時(shí)，er-

e*e2

m

由/得e^>g,平方得e赤>￡,所以g(-^)<0,

mm7m

因?yàn)間(X)=乂2了),所以g(x)<0在(2,”)上恒成立，

ex

/44

所以函數(shù)g(x)在(2,”)上單調(diào)遞減，因?yàn)?〈機(jī)</斯以赤>2,

由g⑵>0,g(9)<0,且g(x)在(2,—)上單調(diào)遞減且連續(xù)得

g(x)在(2,T8)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可知：函數(shù)g(x)=——m,(xN0)有2個(gè)零點(diǎn).

ex

1Y21

(3)記函數(shù)/(尤)=/(x)—(x一乙)=二一元+±/>0,下面考察尸(幻的符號(hào).

xexx

求導(dǎo)得「'*)=半⑹一1—二,%>0.

ex-

當(dāng)xN2時(shí)尸'。)<0恒成立.

當(dāng)0<x<2時(shí)，因?yàn)?lt;(2_幻《「*+(2一刈『二］,

2

r，、x(2-x),1,1,1,,11

所以Z7(X)=--------1--7--7-1--^<1-17=---^<0.

ex-exxx

F'(x)<0在(0,+8)上恒成立，故尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

143

VF(l)=->0,F(2)=——<0,/.F(l).F(2)<0,又因?yàn)槭?x)在［1,2］上連續(xù),

ee22

所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的/e(1,2),使口(%)=0,

(O,xo),F(x)>0；X6(x0,+oo),F(x)<0,

12

x----,0<xW/

因?yàn)殁?x)|=—，所以〃(x)=<x

2

X2

——CX,x>x0

1H—--2cx,0<X</

:.hr(x)=<X

x(2-x)

--------2cx,x>xQ

因?yàn)楹瘮?shù)〃(x)在(0,+<?)上單調(diào)遞胤/(X。)=%--=0，

所以"(x)?0在(0,%),(x0,+8)上恒成立.

①當(dāng)x>x°時(shí)，“(2了)_2CXN0在(x。,+oo)上恒成立,即2c<W在(x°,+co)上恒成立.

ee

記M(X)=——,x>x0,貝!J/(x)=-^-,x>x0,

ee

當(dāng)x變化時(shí)，〃'(x),M(X)變化情況如下表：

X(天,3)3(3,+8)

/(%)—0+

〃(尤)極小值T

,,“(X)min="(X)猱〃、="(3)=，

故2』(人"-:，即4一?

②當(dāng)0<x</時(shí)，〃'(幻=1+二-25,當(dāng)cWO時(shí)，力'(幻>0在(0,%)上恒成立.

X

綜合(1)(2)知，實(shí)數(shù)。的取值范圍是C4-。.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)

的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;通過(guò)構(gòu)造函數(shù)/(x),利用零點(diǎn)存在性定理判斷其零

點(diǎn)，從而求出函數(shù)〃(x)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.

18.(I)見(jiàn)解析；(II)-

2

【解析】

(I)要證明線面平行，需先證明線線平行，所以連接BG，交B。于點(diǎn)M,連接ME,證明ME//AC；：

(II)由題意可知點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)G到平面A5C的距離，根據(jù)體積公式剩余部分的體積是

匕BC-AMG-VB「BCE?

【詳解】

(I)如圖，連接BC一交gC于點(diǎn)M,連接ME,則ME//AC-

因?yàn)锳G(Z平面BCE,MEu平面BCE,所以ACJ/平面gCE.

(H)因?yàn)間G平面ABC,所以點(diǎn)，到平面A8C的距離等于點(diǎn)G到平面45c的距離.

如圖，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，連接。G，OB.因?yàn)椤鰽CG為正三角形，所以。G，AC,

又平面ABC_L平面AACG，平面A8CA平面4ACG=AC,所以。平面ABC.

所以點(diǎn)G到平面ABC的距離oc『6故三棱錐B「BCE的體積為

kcE=5BCE-°G=；x”CE.OG=；x；xlxGx^=；.

而斜三棱柱ABC-44G的體積為V=S.8LOG=；YB-CE-OG=1X2XV3XV3=3.

所以剩余部分的體積為3

A

【點(diǎn)睛】

本題考查證明線面平行，計(jì)算體積，意在考查推理證明，空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題型，一般證明線面平

行的方法1.證明線線平行，則線面平行，2.證明面面平行，則線面平行，關(guān)鍵是證明線線平行，一般構(gòu)造平行四邊形,

則對(duì)邊平行，或是構(gòu)造三角形中位線.

19.(1)>/3pcos6,+psin^-4=0；/7=2sin6(2)

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換公式，把參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化;

\0B\

（2）利用極坐標(biāo)方程將匕舊轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.

\0A\

【詳解】

X=，，

（1）因?yàn)樗?的普通方程為6x+y-4=0，

又工=Q（：05。，y=psinO,x1+y2=p2,

l的極坐標(biāo)方程為00cos6+psin^-4=0,

C的方程即為f+<_2）,=o,對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)方程為。=2sin。.

4

(2)由己知設(shè)Ag,a),B(p,tz),貝(|夕]=亍--------------,p=2sin6z,

2\/3cosa+sina2

IOB\p1?(n\1rr-

所以，=—2=：x2sma，3cosa+sma=-V3sin2a-cos2a+1

7

\0A\px4'4L

=-|2sinf2a--l+l

4]I6；

71..5乃71,A式,2開(kāi)

又一WaK—,—<2a——<——，

612663

當(dāng)2YW即二=一n時(shí)，|號(hào)OB取|得最小值一1；

6\0A\2

、[/cTCTCQ—TC,I°BI曰i.3

當(dāng)2a——=—,即a=g"時(shí)，?oqJ取得最大值—.

所以,舞的取值范圍為.

\OA\124J

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化，三角函數(shù)的值域求解等知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解

能力.

20.(1)y=x-\(2)[0,Ve-l]

【解析】

分析：(1)先斷定(1,0)在曲線y=/(2x-l)上，從而需要求/'(2x-D,令x=l,求得結(jié)果，注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,

接著應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線的方程；

(2)先將函數(shù)解析式求出，之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.

詳解：([)當(dāng)x=l,y=/(2-l)=/(l)=0.y'=/'(2x-l)=1

(Zx—1)

當(dāng)X=l,歹=尸(1)=1,所以切線方程為y=x-l.

令〃(力=石一1+^,〃(x)=1±1>0,則/i(x)在卜單調(diào)遞減，

因?yàn)椤?1)=0,所以>=/(x>g(x)在上增，在［1,e］單調(diào)遞增.

為血=/⑴乜(1)=。，％”=max.J(e).g(e)>=max<弧—1,1—爰

因?yàn)樗?gt;=/(x>g(x)在區(qū)間j,e上的值域?yàn)閇。,五一1].

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程

的求法，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)公式的正確使用.

21.(1)[—,+oo)；(2)(1,3).

3

【解析】

(1)對(duì)x分三種情況討論，分別去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果；(2)

2-x,x<1

*x)=x,14x?3,?作出函數(shù)尸(x)的圖象，當(dāng)直線>與函數(shù)y=E(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，方程

1