2019-2020學年遼寧省沈陽市鐵西區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷 含解析

2019-2020學年九年級（上）期末數(shù)學試卷

一、選擇題

1.在比例尺為1:〃的某市地圖上，A,8兩地相距5cm,則48之間的實際距離為（）

,112

A.—ncirB?――cmC?5ncmD.25n2cm

525

2.如圖，是由四個完全相同的小正方形組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

3.有三張正面分別寫有數(shù)字1,2,-3的卡片，它們背面完全相同，現(xiàn)將這三張卡片背面

朝上洗勻后隨機抽取一張，記錄卡片上的數(shù)字，然后放回卡片，再將這三張卡片背面朝

上洗勻后隨機抽取一張，記錄卡片上的數(shù)字，則記錄的兩個數(shù)字乘積是正數(shù)的概率是

()

4.若菱形的一條邊長為5m，則這個菱形的周長為（）

A.2OC/77B.18c加C.16cmD.12cm

5.一元二次方程（/6）2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是妙6

=4,則另一個一元一次方程是（）

A.x-6=-4B.x-6=4C.A+6=4D.A+6=-4

6.如圖，在△48C中，點久石分別在48、4;邊上，OE與BC不平行,那么下列條件中,

不能判斷第的是（）

世=理坦=處

A.NADE=NCB.NAEXNBD.

ECBDACAB

7.公園有一塊正方形的空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（如圖），原空地

一邊減少了1〃，另一邊減少了2m,剩余空地的面積為18/,求原正方形空地的邊長.設

8.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形48c的頂點8分別在x軸，y軸的負半

軸上，N480=9。°,"_Lx軸，點C在函數(shù)y=K（xVO）的圖象上，若四=1,則%

x

的值為（）

A.1B.—1C.yfo.D.~\[2,

9.在一個不透明的袋子里裝有3個黑球和若干白球，它們除顏色外都相同.在不允許將球

倒出來數(shù)的前提下，小明為估計其中白球數(shù)，采用如下辦法：隨機從中摸出一球，記下

顏色后放回袋中，充分搖勻后，再隨機摸出一球，記下顏色，…不斷重復上述過程.小

明共摸100次，其中20次摸到黑球.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明估計口袋中白球大約有（）

A.10個B.12個C.15個D.18個

10.二次函數(shù)y=aV+6A+c（a,b,c是常數(shù)，且a=#0）的圖象如圖所示，圖象與x軸交點

都在點（-3,0）的右邊，下列結(jié)論：

①，>4ac,②abc>0,③2>6-c>0,④>加0<0,其中正確的是（）

A.①②B.①②④C.②③D.①②③④

二、填空題（每小題3分，共18分）

11.將二次函數(shù)y=f-4妙5化成y=a（x-力）?的形式為.

12.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，兩個三角形的頂點都在小正方形的頂點，且兩個

三角形是位似圖形，點0和點P也在小正方形的頂點，則這兩個三角形的位似中心是

點.

13.反比例函數(shù)y=K（k*0）的圖象上有一點?（2,〃），將點P向右平移1個單位，再

x

向下平移1個單位得到點0.若點。也在該函數(shù)的圖象上，則"=.

14.三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊的長是方程寸-6妙8=0的解，則此三角形的周

長是.

15.兩個相似多邊形的一組對應邊分別為3cm和4.5cm.如果它們的面積和為78<W,那么

較大多邊形的面積為cm.

16.如圖，在矩形4腦中，AB=3,民=5,點￡在47邊上且不與點力和點。重合，點0

是對角線曲的中點，當△圓是等腰三角形時，〃"的長為.

三、（17題6分，18題、19題各8分，共22分）

17.若亮=三求史上的值.

23x-y

18.解方程：4-5妙1=0.

19.如圖，點￡尸分別是銳角N4兩邊上的點，AE=AF,分別以點￡,尸為圓心，以〃■的

長為半徑畫弧，兩弧相交于點。，連接DE,DF.

(1)請你判斷所畫四邊形的形狀，并說明理由；

(2)連接切若/￡=8厘米，N4=60°,求線段的長.

四、(20、21題各8分，共16分)

20.從1,2,3,4四個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為a,c,請用樹狀圖或列表法

求：“關(guān)于x的一元二次方程af+4妙c=0有實數(shù)根的概率.

21.如圖，一次函數(shù)y=x-3的圖象與反比例函數(shù)/=&(〃學0)的圖象交于點/與點8(a,

x

-4).

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)一次函數(shù)y=x-3的圖象與x軸交于點明，連接必，求△謝的面積；

(3)若動點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(不與點力重合)，連接華，且過點P作y

軸的平行線交直線48于點C,連接。C,若△夕。C的面積為3,請直接寫出點戶的坐標.

22.如圖，四邊形48曲中，/CLL被垂足為點￡點尸，"分別是48,6c的中點，剛平分N

ABE交AM于點、N,AB=AC=BD,連接AF.

(1)判斷線段腑與線段掰的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，說明理由;

(2)如果CD=5,求AF的長.

23.某商店購進一批成本為每件30元的商品，商店按單價不低于成本價，且不高于50元

銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量v(件)與銷售單價x(元)之間滿足一次函數(shù)

關(guān)系，其圖象如圖所示.

(1)求該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)銷售單價定為多少元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤，(元)最大？最大利

潤是多少？

(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤高于800元，請直接寫出每天的銷售量乂件)

的取值范圍.

七、(本題12分)

24.△48C中，AC=BC,N4曲二a,點〃是平面內(nèi)不與點力和點8重合的一點，連接圾

將線段外繞點〃順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段班連接點、BE、CD.

(1)如圖①，點。與點4在直線8c的兩側(cè)，a=60°時，毀的值是_______;直線

CD

與直線3相交所成的銳角的度數(shù)是度；

(2)如圖②，點〃與點/在直線8C兩側(cè)，a=90°時，求”的值及直線4E與直線微

相交所成的銳角N4/C的度數(shù);

(3)當a=90°,點。在直線48的上方，心禪=告題3，請直接寫出當點C、D、￡在同

一直線上時，巫的值.

八、(本題12分)

25.如圖，在平面直角坐標系中，點C是y軸正半軸上的一個動點，拋物線y=af-5a>e+4a

(a是常數(shù)，且a>0)過點C,與x軸交于點48,點4在點8的左邊.連接4C,以4c

為邊作等邊三角形4必，點。與點0在直線/C兩側(cè).

(1)求點4,6的坐標；

(2)當必〃x軸時，求拋物線的函數(shù)表達式；

(3)連接改當被最短時，請直接寫出拋物線的函數(shù)表達式.

參考答案

一、選擇題（下列各題的四個選項中，只有一個是正確的，請將正確答案涂在答題卡上，

每小題2分，共20分）

1.在比例尺為1:〃的某市地圖上，A,8兩地相距5cm,則48之間的實際距離為（）

112

A.—ncirB.――-ncm0.5ncmD.25n2cm

525

解：設/、8之間的實際距離為x,

則1:〃=5:x,

解得x=5n,

故選：C.

2.如圖，是由四個完全相同的小正方形組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

解：從上邊看第一層一個小正方形，第二層在第一層的正上方一個小正方形，右邊一個

小正方形，

故選：B.

3.有三張正面分別寫有數(shù)字1,2,-3的卡片，它們背面完全相同，現(xiàn)將這三張卡片背面

朝上洗勻后隨機抽取一張，記錄卡片上的數(shù)字，然后放回卡片，再將這三張卡片背面朝

上洗勻后隨機抽取一張，記錄卡片上的數(shù)字，則記錄的兩個數(shù)字乘積是正數(shù)的概率是

（）

解：根據(jù)題意畫圖如下:

開始

12-3

/4\/T\/T\

12.312-312-3

由樹狀圖知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩個數(shù)字乘積是正數(shù)的有5種，

則記錄的兩個數(shù)字乘積是正數(shù)的概率是言；

9

故選：D.

4.若菱形的一條邊長為5c叫則這個菱形的周長為（）

A.20cmB.18cmC.16cmD.12cm

解：?.?菱形的四條邊都相等，

,其邊長都為5cm,

二菱形的周長=4X5=20M.

故選：A.

5.一元二次方程（妙6）2=16可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，其中一個一元一次方程是妙6

=4,則另一個一元一次方程是（）

A.x-6=-4B.x-6=4C.A+6=4D.A+6=-4

解：（/6）2=16,

兩邊直接開平方得：A+6=±4,

貝I:A+6=4,/6=-4,

故選：D.

6.如圖，在中，點久￡分別在48、/C邊上，DE與BC不平行,那么下列條件中，

不能判斷△/曲的是（）

A.NADE=NCB.ZAED=ZBC.—=—D,例＞=幽

ECBDACAB

解：'：XA=zA,

，添加NADE=NC,AADEsAACB,故/正確；

:.添加NAED=NB,XADEsXACB,故8正確；

...添加石一^,AADEs&ACB,故〃正確;

ACAB

故選：c.

7.公園有一塊正方形的空地，后來從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（如圖），原空地

一邊減少了1加，另一邊減少了2加，剩余空地的面積為18方，求原正方形空地的邊長.設

原正方形的空地的邊長為xm,則可列方程為（）

8.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形48c的頂點4,8分別在x軸，y軸的負半

軸上，ZABC=9Q°,G4_Lx軸，點C在函數(shù)y=K（xVO）的圖象上，若45=1,則〃

A.1B.一1C.D.—>^2

解：???等腰直角三角形48c的頂點48分別在x軸、v軸的負半軸上，NABC=90。,

G4_Lx軸，AB=\,

：.ZBAC=ZBAO=A5°,

：.OA=OB=華,AC=y[2,

.?.點C的坐標為（-理，-五）,

?點C在函數(shù)y=x（xVO）的圖象上，

X

■x（-V2）=1,

故選：A.

9.在一個不透明的袋子里裝有3個黑球和若干白球，它們除顏色外都相同.在不允許將球

倒出來數(shù)的前提下，小明為估計其中白球數(shù)，采用如下辦法：隨機從中摸出一球，記下

顏色后放回袋中，充分搖勻后，再隨機摸出一球，記下顏色，…不斷重復上述過程.小

明共摸100次，其中20次摸到黑球.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明估計口袋中白球大約有（）

A.10個B.12個C.15個D.18個

解：?.?小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，

...有80次摸到白球，

二摸到黑球與摸到白球的次數(shù)之比為1:4,

口袋中黑球和白球個數(shù)之比為1:4,

34--=12（個）.

4

故選：B.

10.二次函數(shù)y=a》+b#~c（a,b,。是常數(shù)，且a=#0）的圖象如圖所示，圖象與x軸交點

都在點（-3,0）的右邊，下列結(jié)論：

①，>4ac,②abc>0,③2>6-c>0,④>加。<0,其中正確的是（）

A.①②B.①②④C.②③D.①②③④

解：①由圖可知，拋物線與x軸有兩個交點，則/Z-4ac>0,貝4〃>4ac,故符合題意；

②由圖可知，拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，則a、6同號，即a6>0.又拋物線與y軸交于

正半軸，則c>0,所以a6c>0,故符合題意；

③由圖可知，對稱軸x=-±-=-1,則6=2a.

2a

:.2a^b-c=4i-c,

Va<0,4a<0,

c>0,-c<0,

".2a^b-c=4a-c<0,

故不符合題意；

④；對稱軸為直線x=-1,拋物線與x軸一個交點-3V*V-2,

.?.拋物線與x軸另一個交點0<用<1,

當x=\時，y=^-/H-c<0,

故符合題意；

綜上所述，正確的結(jié)論是：①②④.

故選：B.

二、填空題(每小題3分，共18分)

11.將二次函數(shù)y=f-4/5化成尸a(x-h)2+k的形式為y=(x-2),+1.

解：y=x-4A+5=X-4A+4+1=(x-2)2+1,

所以，y=(x-2)2+1.

故答案為：y=(x-2)2+1.

12.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，兩個三角形的頂點都在小正方形的頂點，且兩個

三角形是位似圖形，點。和點?也在小正方形的頂點，則這兩個三角形的位似中心是點

P.

解：如圖所示：這兩個三角形的位似中心是點2

故答案為：P.

13.反比例函數(shù)尸K（〃豐0）的圖象上有一點?（2,〃），將點戶向右平移1個單位，再

x

向下平移1個單位得到點0.若點。也在該函數(shù)的圖象上，則〃=3.

解：?.?點P的坐標為（2,〃），將點夕向右平移1個單位，再向下平移1個單位得到點

Q.

.?.點。的坐標為（3,〃-1）,

依題意得：k=2n=3（/?-1）,

解得：n=3,

故答案為：3.

14.三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊的長是方程6妙8=0的解，則此三角形的周

長是13.

解：x-6JT+8=0,

（x-2）（x-4）=0,

x-2=0,x-4=0,

x、=2,M=4,

當x=2時，2+3V6,不符合三角形的三邊關(guān)系定理，所以％=2舍去，

當x=4時，符合三角形的三邊關(guān)系定理，三角形的周長是3+6+4=13,

故答案為：13.

15.兩個相似多邊形的一組對應邊分別為3c〃和4.5cm.如果它們的面積和為78力，那么

較大多邊形的面積為54cM.

解：設較大多邊形的面積為xc/,則較小多邊形的面積為：（78-x）cm,

,兩個相似多邊形的一組對應邊長分別為3c/w和4.5cm,

.?.X：（78-x）=4.52:32,

解得x=54.

故答案為：54

16.如圖，在矩形4比步中，AB=3,仇=5,點￡在川邊上且不與點4和點。重合，點0

是對角線做的中點，當△的是等腰三角形時，〃■的長為空型二強!_

-102-

解：當時，當△陽?是等腰三角形，如圖1,連接。1,在矩形力玩步中，CD=AB

=3,AD=BC=5,ZBAD=90°,

在被中，根據(jù)勾股定理得，BD=y[34,

???0是劭中點,

：.OD=OB=OA=^^-

2

:?NOAD=NODA,

,:OE=DE,

:.NEOD=NODE,

：.ZEOD=ZODE=ZOAD,

:ZDEsAADO,

嚼=需?.?〃”DA，

???設AE=x,

:?DE=5-x,

V34

)2=5(5-x),

2

.33

??x=----,

10

即:3親

如圖2,當DE=OD=.時，當△的是等腰三角形,

2

..45手

當OD=OE=^^-.時，當E與點4重合，不合題意舍去,

2

綜上所述，當△的是等腰三角形時，/￡的長為金冬或5-H;

102

故答案為縊或5-亭.

三、(17題6分，18題、19題各8分，共22分)

17.若三=工，求出的值.

23x-y

解：x=2kfy=3k,

勺

-x-+--y-_-2--k-+--3-k--_--□；

x-y2k-3k

故答案為：-5.

18.解方程：x-5A+1=0.

解：Va=1,b=-5,c=1,A=b2-4ac=25-4=21,

.Y-5±-./21

"2'

.y-5-*V21y5-V21

22

19.如圖，點￡,尸分別是銳角N/兩邊上的點，AE=AF,分別以點￡尸為圓心，以〃■的

長為半徑畫弧，兩弧相交于點。，連接DE,DF.

(1)請你判斷所畫四邊形的形狀，并說明理由；

(2)連接優(yōu)若/￡=8厘米，N/=60°,求線段的長.

解：(1)菱形.

理由：：根據(jù)題意得：AE=AF=ED=DF,

二四邊形4￡Z7「是菱形；

(2)連接優(yōu)

'：AE=AF,NZ=60°,

.?.△E4尸是等邊三角形,

.?.￡F=/4f=8厘米.

四、(20、21題各8分，共16分)

20.從1,2,3,4四個數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，分別記為a,c,請用樹狀圖或列表法

求：“關(guān)于x的一元二次方程a，+4妙c=0有實數(shù)根的概率.

解：畫樹狀圖為：

/N/1\/1\/T\

234134124123

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中滿足△=16-4ac20的結(jié)果數(shù)有6,

則關(guān)于x的一元二次方程SX+4A+C=0有實數(shù)根的概率

21.如圖，一次函數(shù)y=x-3的圖象與反比例函數(shù)y=—(〃手0)的圖象交于點4與點8(a,

x

-4).

(1)求反比例函數(shù)的表達式；

(2)一次函數(shù)y=x-3的圖象與x軸交于點M連接困求△渤的面積；

(3)若動點P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(不與點4重合)，連接OP,且過點夕作v

軸的平行線交直線48于點C,連接0C,若△勿C的面積為3,請直接寫出點"的坐標.

解：(1)將B(a,-4)代入一次函數(shù)y=x-3中得：a=-1

：.B(-1,-4)

將8(-1,-4)代入反比例函數(shù)廣上(〃學0)中得：k=4

x

A

...反比例函數(shù)的表達式為y=—;

x

(2)由一次函數(shù)y=x-3可知：M(3,0),

???8(-1,-4),

二△胸的面積：/x3X4=6'

y=x-3/_

1x=4

(3)解＜4得"一或

y=-[y=-4V=l'

：.A(4,1)

如圖：

設點。的坐標為(加，—)(加＞0),則C(m,m-3)

m

：.PC=\—~(加-3)點0到直線%的距離為加

m

1.A,

的面積=±TZX|M-(加-3)I=3

2m

解得：〃?=5或-2或1或2

???點?不與點4重合，且4(4,1)

???加手4

又.??加〉0

:?m=5或1或2

...點"的坐標為(5,凈或(1,4)或(2,2).

五、(本題0分)

22.如圖，四邊形48曲中，/CJ■被垂足為點￡,點尸，"分別是48,%的中點，剛平分N

ABE交AM于熱N,AB=AC=BD,連接臟

(1)判斷線段腑與線段陰的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，說明理由；

(2)如果CD=5,求AF的長.

理由如下：?.=4C,點〃是8c的中點,

C.AMLBC,AM平分NBAC,

■:BN平分ZABE,

：.NEBN=NABN,

■:ACLBD,

：.ZAEB=90°,

；.NEA由NEBA=9Q°,

:.ZMNB=NNA由NABN=L

(NEA拼NEBA)=45°,且AMLBC,

2

:.NMBN=45°=ZMNB,

：.MN=BM\

(2)連接項

D

C

?點尸，"分別是48,SC的中點，

：.FM//AC,FM=^AC,

'：AC=BD,

：.FM=—BD,即里上

2BD2

由（1）知△網(wǎng)V是等腰直角三角形,

：.MN=BM=—BC,即典小，

2BC2

.FMMN

??麗荻，

,：AMS.BC,

：./NMPr/FMB=qQ°,

?:FM"AC,

：.ZACB=ZFMB,

?：ZCEB=90°,

:.NAC及NCBD=9Q°,

：.ZCBD^ZFMB=9Q°,

：.ZNMF=ZCBD,且更

BDBC

：.AMFN^4BDC,

.FNMN10a

??-=---=-,_EL6L/=O,

CDBC2

：.FN=—.

2

六、（本題10分）

23.某商店購進一批成本為每件30元的商品，商店按單價不低于成本價，且不高于50元

銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)

關(guān)系，其圖象如圖所示.

(1)求該商品每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)銷售單價定為多少元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤，(元)最大？最大利

潤是多少？

(3)若商店票使銷售該商品每天獲得的利潤高于800元，請直接寫出每天的銷售量乂件)

的取值范圍.

解：(1)設y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=k/b,

將點(30,100)、(45,70)代入一次函數(shù)表達式得：!llJl)-30k+

[70=45k+b

故函數(shù)的表達式為：y=-2A+160;

(2)由題意得：w=(x-30)(-2/160)=-2(x-55)2+1250,

V-2<0,故當xV55時，w隨x的增大而增大，而30W后50,

.?.當x=50時，w有最大值，此時，片1200,

故銷售單價定為50元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤1200元：

(3)由題意得：(x-30)(-2A+160)>800,

解得：40W后50,

每天的銷售量y=-2A+160>20,

...每天的銷售量最少應為20件.

七、(本題12分)

24.%中，AC=BC,a,點〃是平面內(nèi)不與點力和點8重合的一點，連接見

將線段外繞點〃順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段班連接點、BE、CD.

(1)如圖①，點。與點/在直線及?的兩側(cè)，a=60°時，處的值是1;直線〃'

CD

與直線必相交所成的銳角的度數(shù)是60度；

(2)如圖②，點。與點/在直線%兩側(cè)，a=90°時，求坦的值及直線與直線微

CD

相交所成的銳角N4后的度數(shù);

(3)當a=90°,點〃在直線45的上方，心胸=告必胸，請直接寫出當點C、D、￡■在同

備用圖

解：(1)如圖1,延長CD交于熱H,

?.?將線段如繞點。順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段DE,

：.DE=BD,ZBDE=60°,

???△切均是等邊三角形，

：.BD=BE,ZDBE=60°,

???△/仍是等邊三角形，

：.AB=BC,ZABC=ZDBE=60°,

:?NABE=NCBD,且BE=BD,AB=BC,

:.XABE9ACBD(SAS)

：.AE=CD,2DCB=NBAE,

??*AE~-~Ia

CD

TN%份N4fiff=120°,

:■NBARNC2NACB=,20Q,

:.NCA&NAC濟NBCD=,20。

:?NCA&ACH=,20°,

：.ZAHB=60°,

故答案為：1,60.

(2)'：AG=BC,N4田=90°,

：.AB=-/2BC,ZABC=45°,

?.?將線段比繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE,

：.DE=BD,NBDE=9Q°,

：.BE=^BD,NDBE=45°,

，2DBE=AABC,

???—儂且,3=罌

工AABESRCBD,

嚼喘=圾，2BAE=/BCD,

LUCD

■:N班/N4C3=135°=NACHNCAM^NBAE,

：.ZACB^-ZG4>ZBCD=ZCAM^AACM=135°,

???N4?=45°;

(3)若點。點力在直線86兩側(cè)，如圖3,分別取47,8c中點G,H,連接明

圖3

=

?*S^ABD~~S^ABC9

??點。在直線GH上,

:NACB=NBDE=9N,AC=BC,DE=BD,

ZCAB=ZCBA=45°,2DEB=NDBE=45°,BE=-^BD,

.?點G,點，分別是AC,阿的中點，

GH//AB,

,.ZDHB=NABG=45°,

.?點C、E、〃三點共線，

\NCDB=90°,且點〃是回中點，

DH=CH=BH,

：.ZHCD=ZHDG,且NHC訃NHDC=NBHD=45°,

：.ZHCD=ZHDC=22.5°,

VZBED=ZBCB-