2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第2講用樣本估計(jì)總體創(chuàng)新教學(xué)案（含解析）新人教版

第2講用樣本估計(jì)總體

［考綱解讀］1.了解頻率分布直方圖的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布

直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，并體會(huì)它們各自的特點(diǎn).(重點(diǎn))

2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取

基本的數(shù)字特征，并作出合理的解釋.

3.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)

字特征.(難點(diǎn))

4.會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決實(shí)際問(wèn)題.

［考向預(yù)測(cè)］從近三年高考情況來(lái)看，本講是高考中的一個(gè)熱點(diǎn).預(yù)測(cè)2021年將

會(huì)考查用樣本估計(jì)總體，主要體現(xiàn)在利用頻率分布直方圖或莖葉圖估計(jì)總體，利

用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體.題型以客觀題呈現(xiàn)，試題難度不大，屬中、低檔題型.頻

率分布直方圖與莖葉圖也可能出現(xiàn)于解答題中，與概率等知識(shí)綜合命題.

基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)

1.作頻率分布直方圖的步驟

作

頻

率

分

布

有

方

圖

2.頻率分布折線圖和總體密度曲線

(1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的但生瓦，就得

到頻率分布折線圖.

(2)總體密度曲線：隨著02樣本容量的增加,作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，C3組距

減小，相應(yīng)的頻率折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.

3.莖葉圖

(1)莖葉圖的概念：統(tǒng)計(jì)中還有一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指

中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).

(2)莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)：一是所有的信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到；二是莖葉圖

便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況.

4.樣本的數(shù)字特征

(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

數(shù)字

樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)

特彳正

通常用于描述變量的值出現(xiàn)

出現(xiàn)次數(shù)即最多的取最高的小長(zhǎng)方形底次數(shù)最多的數(shù)，但顯然它對(duì)

眾數(shù)

數(shù)據(jù)邊C2中點(diǎn)的橫坐標(biāo)其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)

法客觀地反映總體特征

將數(shù)據(jù)按大小依次是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分

把頻率分布直方圖劃

排列，處在最03里線，它不受少數(shù)幾個(gè)極端值

中位分左右兩個(gè)面積嗎相

間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，這在某些情況下是

數(shù)笠的分界線與X軸交點(diǎn)

(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏

的橫坐標(biāo)

的平均數(shù))感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)

平均數(shù)和每一個(gè)數(shù)據(jù)有關(guān)，

每個(gè)小矩形的面積乘可以反映樣本數(shù)據(jù)全體的信

平均樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平

以小矩形底邊中點(diǎn)的息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端

數(shù)均數(shù)

橫坐標(biāo)之03和值的影響較大，使平均數(shù)在

估計(jì)總體時(shí)可靠性降低

(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差

方差：.V2=^[(xi—x)2+(X2-x)2H--------X)2],

標(biāo)準(zhǔn)差：

5=—X)2+(X2~X)2H---------F(x?—X)2].

(3)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平

均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越波動(dòng)；標(biāo)準(zhǔn)差、

方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.

O診斷自測(cè)

1.概念辨析

(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，那么中位數(shù)也具有相同的結(jié)論.()

(2)從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原

有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.()

(3)在頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間內(nèi)的

頻率越高.()

(4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?

相同的數(shù)據(jù)可以只記一次.()

答案⑴X(2"(3)V(4)X

2.小題熱身

(1)(2017.全國(guó)卷I)為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗(yàn)田.這〃

塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為XI,X2,…,X",下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估

這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是()

A.XI,X2,…，X"的平均數(shù)B.XI,X2,…，X"的標(biāo)準(zhǔn)差

C.Xi,X2,…，龍”的最大值D.XI,X2,…，X"的中位數(shù)

答案B

解析因?yàn)榭梢杂脴O差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評(píng)估

畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應(yīng)該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差.故選B.

(2)若某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)和平均數(shù)分別是()

9012346

A.91.5和91.5B.91.5和92

C.91和91.5D.92和92

答案A

解析由莖葉圖可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是：X(91+92)=9L5,平均數(shù)是1

X(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.

(3)港珠澳大橋于2018年10月2日正式通車，它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、

珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長(zhǎng)55千米.橋面為雙向六車道高速公路，大橋通

行限速100km/h,現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫(huà)出

頻率分布直方圖(如圖)，根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90)的

車輛數(shù)和行駛速度超過(guò)90km/h的頻率分別為（）

A.3000.25B.3000.35

C.600.25D.600.35

答案B

解析由頻率分布直方圖，得在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的頻率為

0.06X5=0.3,...在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的車輛數(shù)為0.3X1000=

300,行駛速度超過(guò)90km/h的頻率為（0.05+0.02）X5=0.35.故選B.

（4）（2019?江蘇高考）已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是.

答案1

解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8,故方差為s2=1x[(6—8>+(7—8產(chǎn)+(8—8產(chǎn)+

(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=|.

經(jīng)典題型沖關(guān)

題型一樣本數(shù)字特征的計(jì)算及應(yīng)用

I【舉例說(shuō)明】

1.（2019?全國(guó)卷II）演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定

該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效

評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是（）

A.中位數(shù)B.平均數(shù)

C.方差D.極差

答案A

解析中位數(shù)是將9個(gè)數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數(shù)

據(jù)，因而去掉1個(gè)最高分和1個(gè)最低分，不變的是中位數(shù)，平均數(shù)、方差、極差

均受影響.故選A.

2.(2019.長(zhǎng)沙二模)高鐵、掃碼支付、共享單車、網(wǎng)購(gòu)并稱中國(guó)“新四大發(fā)明”，

近日對(duì)全國(guó)100個(gè)城市的共享單車和掃碼支付的使用人數(shù)進(jìn)行大數(shù)據(jù)分析，其中

共享單車使用的人數(shù)分別為幻，X2,X3,…，初)0,它們的平均數(shù)為三，方差為己

其中掃碼支付使用的人數(shù)分別為3的+2,3*2+2,3用+2,…，3xioo+2,它們的平均

數(shù)為,方差為s'2,則7,/2分別為()

A.3X+2,352+2B.3l,3s2

C.3x+2,9?D.3x+2,9?+2

答案C

解析根據(jù)題意，數(shù)據(jù)幻，龍2,…XIOO的平均數(shù)為三，方差為/；則三=焉(如

2

+x2+x3-\---------Pxioo),52=J^[(XI—x)2+(X2-x)2++(%100-X)],若3XI+2,3X2

+2,3x3+2,…，3xioo+2的平均數(shù)為x',則=-j^[(3xi+2)+(3X2+2)+

22

+(3xioo+2)]=3x+2,方差s'—J^Q[(3XI+2—3x—2)+(3%2+2—3x—2>+…

+(3xioo+2—3x—2)2]=9$2.

2

3.一組數(shù)據(jù)1,10,5,2,x,2,且2vx<5,若該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位數(shù)的，倍，則該

數(shù)據(jù)的方差為.

答案9

解析根據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2,則中位數(shù)是242=3,把這組數(shù)據(jù)

2—Y_

從小到大排列為1,2,2,x,5,10,則丁=3,解得x=4,所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為三

=1x(l+2+2+4+5+10)=4,方差為.V2=|X[(1-4)2+(2-4)2X2+(4-4)2+(5

-4)2+(10-4)2]=9.

【據(jù)例說(shuō)法】

眾數(shù)'中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論

(1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述，它們所

反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差

和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小.

(2)方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：s2=%(x，+XH---F懸)一〃X2]或?qū)懗蒘2=/(X+M

+…+京)一三2,即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.

(3)平均數(shù)、方差的公式推廣

①若數(shù)據(jù)xi,X2,…，X”的平均數(shù)為x,那么mxi+a,mx?,+a,…，

mxn+a的平均數(shù)是mx+a.見(jiàn)舉例說(shuō)明2.

②數(shù)據(jù)XI,X2,…，龍"的方差為一.

a.數(shù)據(jù)xi+a,xi+a,…，x”+a的方差也為s2；

b.數(shù)據(jù)axi,ax2,,,,,ox”的方差為a2s2.見(jiàn)舉例說(shuō)明2.

【鞏固遷移】

1.(2019?六安模擬)某樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其中4個(gè)值分別為0,1,2,3,第5

個(gè)值丟失，但該樣本的平均值為1,則樣本方差為()

A.2B.?

C.V2D率

答案A

解析設(shè)第5個(gè)值為x,則由題意，得,X(0+l+2+3+無(wú))=1,解得x=—1,

所以樣本方差s2=]x[(0—1)2+(1-1>+(2—1)2+(3—1)2+(—1-1)2]=2.

2.(2019?全國(guó)卷II)我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高

鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個(gè)

車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為

答案0.98

_10X0.97+20X0.98+10X0.99

解析*=--------10司+歷--------=698.

則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.98.

題型二扇形圖、折線圖

I【舉例說(shuō)明】

1.（2020.株洲市高三摸底）某市2019年12個(gè)月的PM2.5的平均濃度指數(shù)如圖

所示.由圖判斷，四個(gè)季度中PM2.5的平均濃度指數(shù)方差最小的是（）

80

60

40

20

^

(0

MO

C0

@

40

0

20

A.第一季度B.第二季度

C.第三季度D.第四季度

答案B

解析根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，知第一季度的數(shù)據(jù)是72.15,43.96,93.13；第二季度的數(shù)

據(jù)是66.5,55.25,58.67；第三季度的數(shù)據(jù)是59.16,38.67,51.6；第四季度的數(shù)據(jù)是

82.09,104.6,168.05；觀察得出第二季度的數(shù)據(jù)波動(dòng)性最小，所以第二季度的PM2.5

的平均濃度指數(shù)方差最小.故選B.

2.（2018.全國(guó)卷I）某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一

倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新

農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:

建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

答案A

解析設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M,則新農(nóng)村

建設(shè)前種植收入為0.6M,而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M,所以種植收入增

加了，所以A不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入為0.04M,新農(nóng)村建設(shè)后其他收入

為0.1M,故增加了一倍以上，所以B正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M,新

農(nóng)村建設(shè)后為0.6M,增加了一倍，所以C正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三

產(chǎn)業(yè)收入的總和占經(jīng)濟(jì)收入的30%+28%=58%>50%,所以超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一

半，所以D正確.故選A.

【據(jù)例說(shuō)法】

（1）通過(guò)扇形統(tǒng)計(jì)圖可以很清楚的表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系.

（2）折線圖可以顯示隨時(shí)間（根據(jù)常用比例放置）而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適

用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì).

I【鞏固遷移】

（2019?東北三省四市教研聯(lián)合體模擬）”科技引領(lǐng)，布局未來(lái)”，科技研發(fā)是

企業(yè)發(fā)展的驅(qū)動(dòng)力量.2007年至2018年，某企業(yè)連續(xù)12年累計(jì)研發(fā)投入達(dá)4100

億元.我們將研發(fā)投入與經(jīng)營(yíng)收入的比值記為研發(fā)投入占營(yíng)收比.這12年間的研

發(fā)投入（單位：十億元）用如圖中的條形圖表示，研發(fā)投入占營(yíng)收比用如圖中的折線

圖表示.根據(jù)折線圖和條形圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

jnn

A.2012年至2013年研發(fā)投入占營(yíng)收比增量相比2017年至2018年增量大

B.2013年至2014年研發(fā)投入數(shù)量相比2015年至2016年增量小

C.該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入逐年增加

D.該企業(yè)連續(xù)12年研發(fā)投入占營(yíng)收比逐年增加

答案D

解析由題圖可知，該企業(yè)在2008年至2009年、2013年至2014年和2016

年至2017年研發(fā)投入占營(yíng)收比是下降的，所以D錯(cuò)誤.故選D.

題型三莖葉圖及其應(yīng)用

【舉例說(shuō)明】

1.(2019?鄭州三模)某同學(xué)10次測(cè)評(píng)成績(jī)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，總體的中位

數(shù)為12.若要使該總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則4x+2y的值是()

02234

lz;y99

201

A.12B.14

C.16D.18

答案A

解析因?yàn)榭傮w的中位數(shù)為12,所以l0+xjl°+y=]2,即x+y=4,所以總

體的平均數(shù)為tx(2+2+3+4+10+x+10+y+19+19+20+21)=11.4.要使總

體的標(biāo)準(zhǔn)差最小，只要(10+x—11.4)2+(10+丫—114)2最小.因?yàn)?10+九一11.4)2

,/10+x—11.4+10+y—11.4,.

+(10+y-11.4)2?2X(-------------2------------)=0.72,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2

時(shí)等號(hào)成立，所以4x+2y=12.故選A.

2.某良種培育基地正在培育一小麥新品種A,將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B

進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：

品種A：

357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,

434,443,445,445,451,454.

品種8：

363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,

410,412,415,416,422,430.

(1)作出數(shù)據(jù)的莖葉圖；

(2)通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)品種A與8的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫(xiě)出統(tǒng)計(jì)

結(jié)論.

解（1）畫(huà)出莖葉圖如圖所示:

9735

87363

53714

838356

9239—2445

04136

5o0—

542410256

331422

400430

55344

4145

（2）通過(guò)觀察莖葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)平均數(shù)（或均值）比品種B高；

②品種A的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差（或方差）比品種8大，故品種A的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差.

【據(jù)例說(shuō)法】

1.莖葉圖的畫(huà)法步驟

第一步：將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖（高位）和葉（低位）兩部分；

第二步：將最小莖與最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫(xiě)在左（右）側(cè)；有

兩組數(shù)據(jù)時(shí)，寫(xiě)在中間；

第三步：將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉依次寫(xiě)在其莖的右（左）側(cè).

莖葉圖的繪制需注意：①“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)

字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；②重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”

的位置上的數(shù)據(jù).

2.莖葉圖的應(yīng)用

莖葉圖通常用來(lái)記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來(lái)分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來(lái)比

較兩組數(shù)據(jù).通過(guò)莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)

是否關(guān)于該莖對(duì)稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等.

I【鞏固遷移】

1.甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次比賽成績(jī)（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位

運(yùn)動(dòng)員平均成績(jī)相同，則成績(jī)較穩(wěn)定（方差較?。┑哪俏贿\(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為（）

甲乙

98897

0x19301

A.2B.4

C.6D.8

答案A

解析根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績(jī)相同，即[x(87+89

+90+91+93)=|x(88+89+90+91+90+x),解得x=2,所以平均數(shù)為1=90；

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績(jī)波動(dòng)性小，較為穩(wěn)定(方差較小)，所以甲成績(jī)

的方差為?=1x[(88-90)2+(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(92—90)2]=2.故

選A.

2.如圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各6名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:

分).已知甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為124,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，則尤,

y的值分別為()

甲組乙組

29II66

x412518

74134

A.4,5B.5,4

C.4,4D.5,5

答案A

解析由已知，甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是124,則尤=4,即甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為124.

所以tx(U6+116+125+120+y+128+134)=124,解得y=5.故選A.

題型四頻率分布直方圖多角探究

I【舉例說(shuō)明】

Q角度1求頻率或頻數(shù)

1.黨的十九大報(bào)告指出：“脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得決定性進(jìn)展，六千多萬(wàn)貧困人口

穩(wěn)定脫貧，貧困發(fā)生率從百分之十點(diǎn)二下降到百分之四以下2019年各地根據(jù)

實(shí)際進(jìn)行創(chuàng)新，精準(zhǔn)、高效地完成了脫貧任務(wù).某地區(qū)對(duì)當(dāng)?shù)?000戶家庭的2019

年所得年收入情況調(diào)查統(tǒng)計(jì)，年收入的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)(單位：千

元)的分組依次為[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],則年收入不超過(guò)6萬(wàn)的家庭

大約為()

頻率/組距

0.020...........................................

0.015......................................................

0.010................................

0.005.....................

020406080KX）年收入/千元

A.900戶B.600戶

C.300戶D.150戶

答案A

解析由頻率分布直方圖得：年收入不超過(guò)6萬(wàn)的家庭所占頻率為：（0.005+

0.010）X20=0.3,二年收入不超過(guò)6萬(wàn)的家庭大約為0.3X3000=900.

9角度2求數(shù)字特征

2.某市在對(duì)兩千多名出租車司機(jī)的年齡進(jìn)行的調(diào)查中，從兩千多名出租車司

機(jī)中隨機(jī)抽選100名司機(jī)，已知這100名司機(jī)的年齡都在20歲至50歲之間，且

根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出的年齡情況頻率分布直方圖如圖所示（部分圖表污損）.利用這個(gè)

殘缺的頻率分布直方圖，可估計(jì)該市出租車司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是（）

頻率/組距

)

)

f該

-0'l8

)n處

-)7

0/6

)I圖

))5

-()4表

)n)3

?污

)2

)力

)損

5。年齡/歲

A.31.4歲B.32.4歲

C.33.4歲D.36.4歲

答案A

解析由頻率分布直方圖可知[20,25）的頻率為0.1,[25,30）的頻率為0.3,[30,35）

的頻率為Q35,因?yàn)?.1+0.3<0.5<0.1+0.3+0.35,所以中位數(shù)［30,35）,由0.1

+0.3+（刈-30）X0.07=0.5,得xo^31.4.故選A.

3.（2019.全國(guó)卷川）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下

試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離

子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相

同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)

試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖:

頻率/組距

3O

o.

O.20

O.

15

O.6

10

05

01.52.53.54.55.56.57.5百分比

甲離子殘留百分比直方圖

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到

P(C)的估計(jì)值為0.70.

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中”，〃的值；

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值為代表).

解⑴由已知得0.70=a+0.20+0.15,

故a=0.35,/?=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

2X0.15+3X0.20+4X0.30+5X0.20+6X0.10+7X0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

3X0.05+4X0.10+5X0.15+6X0.35+7X0.20+8X0.15=6.00.

【據(jù)例說(shuō)法】

1.頻率分布直方圖的性質(zhì)

頻率

(1)小長(zhǎng)方形的面積=組距義靠=頻率.見(jiàn)舉例說(shuō)明1.

(2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1.

2.頻率分布直方圖中的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)

(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；

(2)平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是中

位數(shù);

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方

形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.見(jiàn)舉例說(shuō)明3.

I【鞏固遷移】

1.(2019?湘潭三模)統(tǒng)計(jì)某校〃名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)同步練習(xí)成績(jī)(滿分150分),

根據(jù)成績(jī)分?jǐn)?shù)分成如下6組:[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),

[140,150],并繪制頻率分布直方圖如圖所示，若已知不低于140分的人數(shù)為110,

則〃的值是()

A.800B.900

C.1200D.1000

答案D

解析由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得10X(0.031+0.020+0.016X2+〃?+0.006)

=1,解得〃2=0.011,；不低于140分的頻率為0.011X10=0.11,黑?=1000.

2.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,

由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：

質(zhì)量指標(biāo)

[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

值分組

頻數(shù)62638228

⑴作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

758595105115125質(zhì)量指標(biāo)值

(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點(diǎn)值作代表)；

(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)

值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定？

解(1)頻率分布直方圖如圖.

0.040

().038

0.036

0.Q34

0.032

0.030

0.028

0.026

0.024

0.022

0.020

0.018

0.016

0.014

0.012

0.010

0.008

0.006

0.004

0.002

0

(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為

x=80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=100.

質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為

?=(-20)2X0.06+(—1OpX0.26+0X0.38+1x0.22+202X0.08=104.

所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100,方差的估計(jì)值為104.

(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38+0.22+0.08=0.68.

由于該估計(jì)值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值

不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定.

--------------課時(shí)作業(yè)---------------

?組基礎(chǔ)關(guān)

1.一個(gè)頻數(shù)分布表(樣本容量為30)不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)

據(jù)在［20,60)上的頻率為0.8,則估計(jì)樣本在［40,60)內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為()

分組[10,20)120.30)[30.40)

頻數(shù)345/

A.14B.15

C.16D.17

答案B

4+5

解析由頻數(shù)分布表可知，樣本中數(shù)據(jù)在［20,40）上的頻率為寸=0.3,又因

為樣本數(shù)據(jù)在［20,60）上的頻率為0.8,所以樣本在［40,60）內(nèi)的頻率為0.8—0.3=0.5,

數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為30X0.5=15.

2.甲、乙、丙、丁四人參加國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔賽，四人的平均成績(jī)

和方差如表：

甲乙丙T

平均成績(jī)?nèi)?6898985

方差/2.13.52.15.6

從這四人中選擇一人參加國(guó)際奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽，最佳人選是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

答案C

解析丙平均成績(jī)高，方差一小（穩(wěn)定），故最佳人選是丙.

3.（2019?全國(guó)卷川）《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中

國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四

大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的

學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀

過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生

總數(shù)比值的估計(jì)值為（）

A.0.5B.0.6

C.0.7D.0.8

答案C

解析解法一：設(shè)調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為X,則

x+80—60=90,解得x=70,所以該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生

總數(shù)比值的估計(jì)值為7溫0=07故選C.

解法二：用Venn圖表示調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過(guò)《西游記》和《紅樓夢(mèng)》

的人數(shù)之間的關(guān)系如圖:

《西游記》，6G、《紅樓夢(mèng)》

90-80\)80-60

易知調(diào)查的100位學(xué)生中閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為70,所以該校閱讀

過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為備=0.7.故選C.

4.(2019?欽州模擬)某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取40個(gè)檢測(cè)，如

圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后零件的質(zhì)量(單位：克)繪制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分8

組，分別為[80,82),[82,84),[84,86),[86,88),[88,90),[90,92),[92,94),[94,96],

則樣本的中位數(shù)在()

A.第三組B.第四組

C.第五組D.第六組

答案B

解析由圖可得，前四組的頻率為(0.0375+0.0625+0.075+0.1)X2=0.55,則

其頻數(shù)為40X0.55=22,且第四組的頻數(shù)為40X0.1X2=8,故中位數(shù)落在第四組,

所以B正確.

5.如圖所示，樣本A和8分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別

為XA和XB,樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為SA和SB,則()

A..XA>XB，SA>SBB.XA<XB,SA>SB

C.XA>XB,SA<SBD.XA<XB，SA<SB

答案B

解析由圖可知A組的6個(gè)數(shù)為2.5,10,5,7.5,2.5,10,B組的6個(gè)數(shù)為

15,10,12.5,10,12.5,10,

2.5+10+5+7.5+2.5+10

所以xA=7=6.25,

_15+10+12.5+10+12.5+10

XB=7和11.67.顯然總又由圖形可知，B組的

數(shù)據(jù)分布比A均勻，變化幅度不大，故3組數(shù)據(jù)比較穩(wěn)定，方差較小，從而標(biāo)準(zhǔn)

差較小，所以SA>SB,故選B.

6.（2019.合肥一模）某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國(guó)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互

聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖和90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列

結(jié)論中不一定正確的是（）

后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布圖

術(shù)

技r90

L

運(yùn)

汴r

L

市117%39.6%

場(chǎng)r

L

設(shè)

計(jì)rZZI13.2%

90后80后L

職

56%\41%能rZZU2.3%

L

產(chǎn)19.8%

“r

L

其llrl

他r

L

汪：90后指1990年及以后出生，80后指1980?1989年之間出生，80前指

1979年及以前出生.

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%

C.90后從事運(yùn)營(yíng)崗位的人數(shù)比80前從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的人數(shù)多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)比80后從事技術(shù)崗位的人數(shù)多

答案D

解析對(duì)于A,由餅狀圖可知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占了56%,故A正

確.對(duì)于B,由條形圖可知互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例為

39.6%,故B正確.對(duì)于C,由兩圖數(shù)據(jù)可計(jì)算出整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從事運(yùn)營(yíng)崗位的

90后占56%X17%=9.52%,大于互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中的80前總?cè)藬?shù)，故C正確.對(duì)于

D,因?yàn)?0后從事技術(shù)崗位的人數(shù)所占比例不清楚，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)

崗位的90后人數(shù)不一定比80后的人數(shù)多，故D錯(cuò)誤.故選D.

7.（202。重慶名校聯(lián)盟調(diào)研）在樣本頻率分布直方圖中共有9個(gè)小矩形，若其

2

中1個(gè)小矩形的面積等于其他8個(gè)小矩形面積和的熱且樣本容量為210,則該組

的頻數(shù)為（）

A.28B.40

C.56D.60

答案D

解析設(shè)該小矩形的面積為x,9個(gè)小矩形的總面積為1,則其他8個(gè)小矩形的

面積和為|x,所以x+|x=l,所以x=],所以該組的頻數(shù)為,X210=60.

8.（2020.貴陽(yáng)模擬）某地的中小學(xué)辦學(xué)條件在政府的教育督導(dǎo)下，迅速得到改

善.教育督導(dǎo)一年后，分別隨機(jī)抽查了初中（用A表示）與小學(xué)（用8表示）各10所

學(xué)校，得到相關(guān)指標(biāo)的綜合評(píng)價(jià)得分（百分制）的莖葉圖如圖所示，則從莖葉圖可得

出正確的信息為（80分及以上為優(yōu)秀）（）

4B

52636

87442712236

328458

09

①初中得分與小學(xué)得分的優(yōu)秀率相同

②初中得分與小學(xué)得分的中位數(shù)相同

③初中得分的方差比小學(xué)得分的方差大

④初中得分與小學(xué)得分的平均值相同

A.①②B.①③

C.②④D.③④

答案B

3

解析從莖葉圖可知抽查的初中得分的優(yōu)秀率為aX100%=30%,小學(xué)得分

的優(yōu)秀率為得X100%=30%,故①正確；初中得分的中位數(shù)為75.5,小學(xué)得分的

中位數(shù)為72.5,故②不正確；從莖葉圖可知初中得分比小學(xué)得分分散，所以初中

得分的方差比小學(xué)得分的方差大，故③正確；初中得分的平均值為75.7,小學(xué)得

分的平均值為75,故④不正確.所以正確的信息為①③，故選B.

9.已知一組數(shù)據(jù)xi,光2,…，明的方差為2,若數(shù)據(jù)ori+Z?,axi+b,…，axn

+伏。＞0)的方差為8,則a的值為.

答案2

解析根據(jù)方差的性質(zhì)，知4X2=8,解得a=2.

10.某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們每周使用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得

到如下的頻率分布直方圖.若從每周使用時(shí)間在［15,20),［20,25),［25,30］三組內(nèi)的

學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在［20,25)內(nèi)的學(xué)生中

應(yīng)選取的人數(shù)為.

答案3

解析由頻率分布直方圖，知5X(0.01+0.02+。+0.04+0.04+0.06)=1,解

得a=0.03,即使用時(shí)間在［15,20),［20,25),［25,30］三組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為4：3:

1,則從每周使用時(shí)間在［15,20),［20,25),［25,30］三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方

3

法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在［20,25)內(nèi)的學(xué)生中應(yīng)選取的人數(shù)為［X8

=3.

$?組能力關(guān)

1.某校高二(1)班一次階段考試數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖可見(jiàn)部分

如圖，根據(jù)圖中的信息，可確定被抽測(cè)的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在［90,100］內(nèi)的人數(shù)分別為

()

A.20,2B.24,4

C.25,2D.25,4

答案C

解析由頻率分布直方圖可知，組距為10,所以［50,60）的頻率為0.008X10=

2

由莖葉圖可知［