2023版 大一輪 數(shù)學(xué) 人教A版 新教材（京津瓊魯鄂渝湘閩粵冀浙）解析幾何熱點問題

教材?高考?審題答題

解析幾何熱點問題

二三年真題考情

核心熱點真題印證核心素養(yǎng)

2019?全國I卷，19;2018?全國I卷，

直線方程、定值問題數(shù)學(xué)運算、邏輯推理

19;2018?北京，19

2020?全國I卷，20;2020?全國III卷，

橢圓方程、定點問題20:2019?北京，19;2017?全國I卷，數(shù)學(xué)運算、邏輯推理

20

2020?北京，20：2019?全國H卷，19;

直線與橢圓數(shù)學(xué)運算、邏輯推理

2018?全國III卷，20

2020?全國n卷，19;2019?全國III卷，

直線與拋物線21;2019?北京,18;2018?全國H卷，數(shù)學(xué)運算、邏輯推理

19

件教材鏈接高考---------------------

求曲線方程及直線與圓錐曲線

［教材探究］(選擇性必修第一冊P115習(xí)題3.1復(fù)習(xí)鞏固4(1)(2))求適合下列條件的

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)過點P(—2啦,0),0(0,小)；

(2)長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點P(3,0).

［試題評析］1.問題涉及解析幾何中最重要的一類題目：求曲線的方程，解決的

方法都是利用曲線的幾何性質(zhì).

2.對于(1)給出的兩點并不是普通的兩點，而是長軸和短軸的端點，這就告訴我

們要仔細(xì)觀察、借助圖形求解問題，(2)中條件給出a,b的值，但要討論焦點的

位置才能寫出橢圓方程.

【教材拓展】設(shè)拋物線y2=2*S>0)的焦點為F,準(zhǔn)線為I,過拋物線上一點A

作/的垂線，垂足為8,設(shè)《%，0),AF與3C相交于點E,若|CF|=2|AF|,且

△ACE的面積為3巾,則p的值為.

答案,

解析

不妨設(shè)A在第一象限，易知拋物線的焦點尸的坐標(biāo)為（多0）,

7°

又|C同=2|A同且IC同=2^2=3p，

：.\AB\=\AF\=^p,

可得A（p,也p）.

易知.?.揣=盟=/

故SziACE=；SaACF=；X3pX的?X尹平p2=3隹

.“2=6,Vp>0,:.p=#.

探究提高1.解答本題的關(guān)鍵有兩個：（1）利用拋物線的定義求出點A的坐標(biāo)，

⑵根據(jù)△AEBs4FEC求出線段比，進而得到面積比并利用條件“SAACE=36”

求解.

2.對于解析幾何問題，除了利用曲線的定義、方程進行運算外，還應(yīng)恰當(dāng)?shù)乩?/p>

用平面幾何的知識，能起到簡化運算的作用.

【鏈接高考】（2020.天津卷）已知橢圓§+營=1（48>0）的一個頂點為40,-3）,

右焦點為F,且|0*=|。同，其中。為原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點C滿足3比=而，點3在橢圓上（B異于橢圓的頂點），直線A8與以C

為圓心的圓相切于點P,且P為線段的中點，求直線AB的方程.

解（1）由已知可得8=3.記半焦距為c,由QF|=|Q4|可得c=/?=3.

又由/=〃+，，可得/=]8.

??

所以橢圓的方程為a+9=1.

1O7

(2)因為直線A3與以C為圓心的圓相切于點P,所以ABLCP.

依題意，直線AB和直線CP的斜率均存在.

y=kx—3,

設(shè)直線A3的方程為＞=依一3.由方程組f,y2

[18+9=b

消去y,可得(2必+1)/—12日=0,

12k

解得x=0或％=者臺.

(12k6——31

依題意,可得點B的坐標(biāo)為(2W2^+1}

因為P為線段A8的中點，點A的坐標(biāo)為(0,-3),

所以點P的坐標(biāo)為

由3次?=而，得點。的坐標(biāo)為(1,0),

-3

2F+]一03

故直線CP的斜率為飛「=后而p

2幺+1

3

又因為所以k2解一6攵+]=—1'

整理得23—3%+1=0,解得攵=；或攵=1.

所以直線AB的方程為y=^x—3或y=x—3.

教你如何審題---------------------

圓錐曲線中的證明問題

【例題】(2019?北京卷)已知拋物線C：/二一2。)“〉。)經(jīng)過點(2,-1).

(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線I交拋物線C于兩點M,

N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點R求證：以AB為直徑的圓經(jīng)

過y軸上的兩個定點.

T拋物線方程I

求拋物利用點參數(shù)P

線方程(2.-1)的值

1T準(zhǔn)線方程I

證

一

圓

明

過

圓

定

過

點

定_

點

_

審題路線

［自主解答］

(1)解由拋物線C：f=-2py經(jīng)過點(2,—1)得p=2.

所以拋物線C的方程為/=-4y,其準(zhǔn)線方程為y=L

⑵證明拋物線C的焦點為尸(0,-1).

設(shè)直線/的方程為y=^—l(kW0).

\y=kx~1,

由，.得/+4日一4=0.

iy=-4)，

設(shè)M(xi,yi),N(X2,yi),貝UxiX2=—4.

直線OM的方程為y=崇.

令y=—l,得點A的橫坐標(biāo)后=一4

同理得8的橫坐標(biāo)尤8=弋

設(shè)點0(0,〃)，則方x=(一藍，—1一

歷=(一氤-1一小，

亦訪=梵+(〃+1)2

.卜(〃+1)2

~7^_+(?+1)2=-4+(〃+1)2.

X1X2

令方不訪=0,即-4+(〃+1)2=0,得〃=1或〃=—3.

綜上，以A8為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(0,1)和(0,-3).

探究提高1.解決本題的關(guān)鍵是直徑所對的圓周角為直角，要證明直線經(jīng)過)，軸

上定點。，只需滿足忌?訪=0,進而求解.

類似的還有角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，線段的長度比轉(zhuǎn)化為線段端點的坐

標(biāo)之比.

2.解決此類問題，一般方法是“設(shè)而不求”，通過“設(shè)參、用參、消參”的推

理及運算，借助幾何直觀，達到證明的目的.

【嘗試訓(xùn)練】(2021.重慶診斷)已知橢圓C5+最=l(a〉b>0)的離心率為當(dāng)右

焦點為F,以原點。為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x—y—6=

0相切.

(1)求橢圓。的方程；

(2)如圖，過定點P(2,0)的直線/交橢圓。于A,B兩點,連接AF并延長交。

于M,求證：ZPFM=ZPFB.

(1)解依題意可設(shè)圓。的方程為f+y2=〃,

?.?圓C與直線x-y+/=0相切，

.,,,逆匚.

.)一7^

...足一，=1,由(=乎，解得。=&,

9

橢圓。的方程為5+y2=i.

(2)證明依題意可知直線/斜率存在，設(shè)/的方程為>=%。-2),

代入日+y2=],整理得(1+2d)f—8Fx+8F-2=0,

與橢圓有兩個交點，，/>(),即2斤一1<0.

設(shè)A(xi,yi),3(x2,)2),直線AF,BE的斜率分別為Zi,ki,

nil上8F8——2

川X1+X2—1+2?*1X2—1+2必,

VF(1,0),

匕+依=號k（xi-2）k（X2-2）

X2~1xi—1X2~1

11____X1+X2-2

X2—1J-2"kgxL（Xl+x2）+1

8F

1+2攵2—24F—2

=2Lk飛S—28。=2k-1=。，

1+2—―1+2爐+1

/.ZPFM=ZPFB.

卷滿分答題示范---------------------

圓錐曲線中的定點、定值問題

【例題】(12分)已知拋物線C：V=2px經(jīng)過點P(l,2).過點Q(0,1)的直線/

與拋物線C有兩個不同的交點A,B,且直線亂交y軸于M,直線交y軸于

N.

(1)求直線/的斜率的取值范圍；

⑵設(shè)。為原點，QM=AQO,QN=fiQO,求證：J+"為定值.

［規(guī)范解答］

(1)解因為拋物線V=2px過點尸(1,2),

所以2P=4,即p=2.

故拋物線C的方程為V=4x2

由題意知，直線/的斜率存在且不為0.

設(shè)直線/的方程為y—kx+l(k^Q).

(y2=4x,

由f,得正嚴(yán)+(2攵-4)龍+1=04

,y=kx+1

依題意/=(2攵一4/一4XdX1＞0,

解得Ml,又因為ZW0,故攵＜0或0＜攵＜1.

又出，PB與y軸相交，故直線/不過點(1,-2).

從而ZW—3.

所以直線/斜率的取值范圍是(-8,-3)U(-3,0)U(0,1).

6'

⑵證明設(shè)A(xi,y\),5(x2,yi).

2k—41

=

由⑴知X\+X2K，XlX2~j^.

直線出的方程為y—2=皆（X一1）7

令尤=0,得點M的縱坐標(biāo)為

—yi+2,—Axi+1,

>"=XI-1+2=幻一1+28

同理得點%的縱坐標(biāo)為》=姜a+29

由西m=從而得

A=1—yM,〃=]一?.10，

斫以1+1_]_k1_加~~]X2-1

A〃1-yM1-yN（k—1）x\（攵-1）X2

22^-4

12X1X2—（Xl+x2）1心F

=FTi=2.

1?

所以:+,=2為定值.12，

/—高考狀元滿分心得

?得步驟分：抓住得分點的步驟，“步步為贏”，求得滿分.

如第（1）問中聯(lián)立直線方程和拋物線方程，對直線斜率取值的討論.

?得關(guān)鍵分：解題過程中不可忽視關(guān)鍵點，有則給分，無則沒分.如第（1）問中

求拋物線的方程，第（2）問中求點M和N的縱坐標(biāo).

?得計算分：解題過程中計算準(zhǔn)確是得滿分的根本保證.如第（2）中用?表

示九”，計算工+’的值.

AkI

構(gòu)建模板

史今……求圓錐曲線的方程

I

聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程

……應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系用參數(shù)表示點的坐標(biāo)

I

建逮……根據(jù)相關(guān)條件計算推證

……明確結(jié)論

【規(guī)范訓(xùn)練】(2020.全國I卷)已知A,8分別為橢圓E：\+產(chǎn)=1(。>1)的左、右

頂點，G為E的上頂點，AGGB=8,P為直線x=6上的動點，而與E的另一

交點為C,PB與E的另一交點為D.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線C。過定點.

(1)解由題設(shè)得4一m0),B(a,0),G(0,1).

則Ad=(a,1),GB=(a,—1).

由才"無=8,得/-1=8,

解得a=3或。=一3(舍去).

所以橢圓上的方程為5+V=l.

y

(2)證明設(shè)C(xi,yi),0(x2,*),P(6,

若，70,設(shè)直線CD的方程為x=my+〃，由題意可知一3<〃v3.

易知直線PA的方程為y=/x+3),

所以6=仙+3).

易知直線PB的方程為y=1(x—3),

所以y2=/x2—3).

可得3y\(x2-3)=yz(x\+3).①

上工處_L212(&+3)(X2-3)

由于亂+貨=1，故陵=---------9--------，②

由①②可得27yly2=—(xi+3)(x2+3),

結(jié)合x=my-\-n,

得(27+nr)yxyi+m(n+3)(y】+(/i+3)2=0.③

將x=my+n代入g+V=1,

得(汴+9)丁2+2w〃>+/—9=0.

2

所以V+L尚H—9

.2=正百

代入③式

得(27+m2)(n2—9)—2m(n+3)znn+(n+3)2(m2+9)=0.

*,，3

解得〃=—3(舍去)或

故直線co的方程為廣沖+1，

3

2O

若，=0,則直線CD的方程為y=0,過點(|,0).

綜上，直線CO過定點停，0).

爭熱點跟蹤訓(xùn)練---------------------

1.(2020.濟南模擬)已知橢圓C：，+y2=1與*軸正半軸交于點A,與y軸交于

B,C兩點.

(1)求過A,B,C三點的圓E的方程；

(2)若O為坐標(biāo)原點，直線/與橢圓C和(1)中的圓E分別相切于點P和點Q(P,

。不重合)，求直線OP與直線EQ的斜率之積.

解(1)由題意知點Ag,0),不妨設(shè)B(0,1),C(0,—1),點E(XE,0),貝I1

+娃=(也一XE)2,解得XE=乎，即圓E的方程為Q—乎)+/=|.

(2)由題意，可設(shè)/的方程為y=履+m(ZW0),

與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y可得(1+2%2)/+4的優(yōu)+2〃?2—2=0,

設(shè)尸(M),yo),由判別式4=0可得加2=1+23.

解得x°=Y，刈=5

由圓￡與直線/相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即4啦切?=83—8加2+9.

[m2=1+2A2,1

因此由L6加=8必一8/+9可得’3=羽'

直線0P的斜率kop=一(，直線E。的斜率kEQ=一，

所以kop-kEQ=元=24.

2.已知橢圓C的兩個頂點分別為A(—2,0),3(2,0),焦點在x軸上，離心率

(1)求橢圓。的方程；

(2)點。為x軸上一點，過。作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過。

作AM的垂線交BN于點￡求證：ABDE與ABDN的面積之比為4:5.

⑴解設(shè)橢圓C的方程為，+/=l(a＞比＞0),

%=2,

由題意得｛c曲解得C=小，所以〃=屋一,2=1,

、/2，

所以橢圓C的方程為亍+y2=l.

(2)證明設(shè)MO，n),則￡)(%0),N(m,一〃)，

由題設(shè)知用#±2,且鹿W0.

?7

直線AM的斜率M河=:不

機十2

故直線DE的斜率kDE=_中,

+2

所以直線DE的方程為y=-—~一(九一根),

直線8N的方程為y==(x-2).

y=—組工Cx-m)

/n

聯(lián)立《

產(chǎn)券”)，

I7(4-nr)

解得點E的縱坐標(biāo)〃=—4—川+〃2.

4

由點M在橢圓C上，得4—"P=4〃2,所以

又S^BDE=^BD\-\yE\=^\BD\-\n\,

SABDN=^\BD\-\H\,

所以△出）￡：與△BEW的面積之比為4：5.

3.（2021?武漢模擬）已知E：^+歹:^^癡＞（））,直線/不過原點o且不平行于坐

標(biāo)軸，/與E有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.

（1）若〃?=2,點K在橢圓￡上，F(xiàn)i,仍分別為橢圓的兩個焦點，求霹11?萍2的取

值范圍.

⑵若/過點（加，3,射線OM與橢圓E交于點P,四邊形0AP3能否為平行四

邊形？若能，求此時直線/的斜率；若不能，說明理由.

解（1）若"2=2,則橢圓E：1+^=1，兩個焦點n（一小，0）,尸2（小，0）,

設(shè)K(x,y),則Ak=(x+小，y),F2K=(x—y/3,y),

KFi-KF2=F7K-Fik=(x+y/3,y>(x—小,y)=x2+y2~3=~3y2+1,

因為一IWyWl,

所以KFrKB的取值范圍是[-2,1].

（2）設(shè)A,8的坐標(biāo)分別為（xi,yi）,（X2,y2）,

x?+4y?=/w2,

則舟-2兩式相減，

得(加+龍2)(如-X2)+4(yi+y2)(yi-")=0,

1+4義痣M=。

即1+4%0必卜=0,故koM-ki=—%

設(shè)P(xp,”)，直線/：y=k(x—〃■(機W0,4W0),

IT]

即/：y=kx—km+^(m^O,ZWO),

14nrl^

從而OM：y=一充，代入橢圓方程得，而=4后+]，

將y=k(x-ni)以與y=一親聯(lián)立，得硼=美念華

若四邊形0AP8為平行四邊形，則M是OP的中點，所以2XM=XP,

即4(嘿聾)2=翟臺，整理得12F—16%+3=0,解得女=喈，經(jīng)檢驗滿

足題意.

所以當(dāng)直線/的斜率左=^^時，四邊形0AP5為平行四邊形.

2

4.(2021?石家莊綜合訓(xùn)練)已知橢圓G：，+1=1(。＞。＞0)和圓C2：x+/=?(r＞0),

Fi,人分別為橢圓G的左、右焦點，點8(0,5)在橢圓G上，當(dāng)直線與

圓C2相切時，「=￥.

⑴求橢圓Ci的方程；

(2)直線/：丫=依+機(Q0,機〉0)與九