2020-2021學(xué)年西安市閻良區(qū)高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2020-2021學(xué)年西安市閻良區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.若4={0,1,2},B={x\x=2a,aGA},則AUB=（）

A.[0,1,2}B.[0,l,2,3}C.{0,1,2,4}D.{1,2,4}

2.圓G：（%+1）2+8+4）2=16與圓Cz：（x—2產(chǎn)+（y+2）2=9的位置關(guān)系是（）.

A.相交B.外切C.內(nèi)切D.相離

3.過三棱柱任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有（）

A.18對B.24對C.30對D.36對

4.直線I過拋物線y2=%的焦點/，交拋物線于Z,B兩點，且點4在％軸上方，若直線[的傾斜角為0,

。號，則陷|的取值范圍是（）

A.箕)B.(式+芻C.(i)|lD,(1,1+f]

5.設(shè)/'(x)=-|x|,a=/(log-),b=/(log：),c=/(logi-^),則下述關(guān)系式正確的是()

7Tee7re"

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

（+1%v0

6.函數(shù)/（X）=的圖象大致為（）

小紅拿著一物體的三視圖（如圖所示）給小明看，并讓小明猜想這個物件

的形狀是（）

A.長方形俯沏圖

B.圓柱

C.立方體

D.圓錐

8.若/(x)=ax2—V2,Q為一個正常數(shù)，且f(/(&))=—V2,那么Q的值為()

A.立B.2-V2C.匕立D.”

222

9.已知ax—b>0的解集為{x|x>2},關(guān)于x的不等式三懸20的解集為()

A.[-2,-1)U(6,+oo)B.[-2,-6)U(1,+oo)

C.(-00,-1)u(6,+oo)D.(-oo,-2]U(6,4-oo)

10.若函數(shù)/(乃=7+6久+c的圖象的對稱軸為x=2,則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/(尤)的圖象不經(jīng)過

()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第三象限

11.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)R。是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個

感染者平均傳染的人數(shù).Ro一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程

中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)R。=3.8,平均感染周期為7天，那么感染人數(shù)

由1個初始感染者增加到1000人大約需要輪傳染？(初始感染者傳染R。個人為第一輪傳

染，這品個人每人再傳染R。個人為第二輪傳染……)()

A.4B.5C.6D.7

12.當(dāng)0<a<l時，方程logM=標(biāo)的實數(shù)解()

A.有且只有一個B.可能無解C.可能有3個D.一定有3個

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.關(guān)于久的不等式log2(3x-1)<1的解集為：.

14.如圖正方形ABCD的邊長為《，E、F分別是邊4B、BC的中點，沿DE、EF、FD^DDAE.DEBF、

DFCD折起來，使4、B、C三點重合于點S,則三棱錐S-DEF的外接球體積為一.

15.已知直線3x+2y-3=0與6x+niy+l=0相互平行，則它們之間的距離是

16,給出下列關(guān)于互不相同的直線加方」和平面《尸的四個命題:

①次uaJna=4點HgS則/與杯共面；

②〃是異面直線，Zaga：且〃丸則〃_a；

③若/匚久加匚/加加;點兒/旦加門則aJ3i

④若，azmp.a￡則7m.

其中真命題是(填序號)

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.22、己知圓C：x2+y2+2x-4y+3=0.

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；

(2)若為圓C上任意一點，求一^的最大值與最小值；

n?—1

(3)從圓C外一點P(x,y)向圓引切線PM,M為切點,。為坐標(biāo)原點，且有|PM|=|PO|,求當(dāng)|PM|

最小時的點P的坐標(biāo)

18.已知圓心在y軸上的圓C經(jīng)過點4(1,2)和點B(0,3).

(I)求圓C的方程；

(口)若直線，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且被圓C截得的弦長為我，求，的方程.

19.202.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

某種“籠具”由內(nèi)、外兩層組成，無下底面.內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和一個圓柱，其中圓

柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽

略不計.已知圓柱的底面周長為24?rcni,高為30cm；圓錐的母線長為20cm.

(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？

20.設(shè)集合A={叩+】Qg.20},集合B=[x\m<x<m+l}.

(1)若m=2,求4nB；

(2)若4UB=4求m的取值范圍.

21.三棱錐了一ABC中，VO1平面ABC,0GCD,VA=VB,AD=BD.證明：CD1AB且AC=BC.

22.已知二次函數(shù)/(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，且a*0),滿足對稱軸為直線工=1,且方程/'(x)=x

有兩個相等實根，

(1)求/(%)的解析式；

(2)是否存在實數(shù)m,n(m<n),使/'(x)的定義域為[m,n],值域為[3m,3n],若存在，求出m,n的

值，若不存在，說明理由.

參考答案及解析

1.答案：c

解析：

本題考查并集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意并集性質(zhì)的合理運(yùn)用.

根據(jù)A求出B,由此利用并集的定義能求出4UB.

解：=

B={x\x=2a,a€4}={1,2,4},

則AUB={0,1,2,4)，

故選：C.

2.答案：A

解析：試題分析：根據(jù)題意，兩個圓的方程分別是圓6：(彳+1)2+3+4)2=16與圓。2：。一2)2+

(y+2)2=9,圓心為(-1,4),(2,-2),半徑分別是4,和3,那么根據(jù)圓心距和半徑的關(guān)系可知

礴=j啜帶燎==0底，誦導(dǎo)嗎=需闖-遂(Til那么可知RY就式斡可知相交，故選A.

考點：兩個圓的位置關(guān)系

點評：本題考查兩個圓的位置關(guān)系，一般利用圓心距與半徑和與差的關(guān)系判斷，不要利用解方程組

的方法，不易判斷內(nèi)切與外切，相離與內(nèi)含.

3.答案：D

解析:解:三棱柱的底面三角形的一條邊與側(cè)面之間的線段有3條異面直線，這樣3條底邊一共有9對，

上下底面共有18對.

上下兩個底邊三角形就有6對；側(cè)面之間的一條側(cè)棱有6對，側(cè)面面對角線之間有6對.加在一起就是

36對.

(其中棱對應(yīng)的兩條是體對角線和對面的面與其不平行的另一條對角線).

故選。.

直接解答，看下底面上的一條邊的異面直線的條數(shù)，類推到上底面的邊；再求側(cè)面上的異面直線的

對數(shù)；即可.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，異面直線的判斷，排列組合的實際應(yīng)用，是難題.

4.答案：D

解析：

本題考查的是拋物線的性質(zhì)，由拋物線的性質(zhì)我們可知，|凡4|等于4點到拋物線準(zhǔn)線的距離，由拋物

線方程y2=無，知準(zhǔn)線方程為％=則當(dāng)8=?時，|R4|有最大值，當(dāng)。趨近兀時，|R4|有一個下界.

重視定義在解題中的應(yīng)用，靈活地進(jìn)行拋物線上的點到焦點的距離到準(zhǔn)線距離的等價轉(zhuǎn)化，是解決

拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑.

解：由拋物線方程y2=x,知準(zhǔn)線方程為％=

設(shè)4點到準(zhǔn)線》=—；的距離為d

則d=\FA\\

當(dāng)。=9時，d有最大值，此時d=l+立

當(dāng)。一兀時，不妨令4與。重合，此時d=；

4

故de(l，l+爭

即|F4|C(；,1+爭

故選：D.

5.答案：D

解析:解：???/(X)=—氏|,

???Q=/O°ge")=~\lo9e~\=Toge7re(一2,-1),

1i

b=/(logre；)=~\logn-\=-log?ee(-1,0),

2

C=/(log橐=-\logi^\=-logen=-2logen6(-2,-4),

eneH

-?b>a>c,

故選：D.

a=/(loge^)=Toge兀€(-2,-1).b-f(\ogn--log^eG(-1,0),c=/(log=-2logene

(—2,—4).由此能求出結(jié)果.

本題考查三個數(shù)的大小的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則和對數(shù)函

數(shù)單調(diào)性的合理運(yùn)用.

6.答案：A

解析：解：由題意，為<0時，函數(shù)單調(diào)遞增，X20時，函數(shù)單調(diào)遞減，

故選A.

由題意，x<0時，函數(shù)單調(diào)遞增，X20時，函數(shù)單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論.

本題考查函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

7.答案：B

解析：解：根據(jù)該幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為矩形，

可得該幾何體為一柱體，

又???俯視圖為一個圓，

故該幾何體為圓柱，

故選：B.

根據(jù)該幾何體的正視圖和側(cè)視圖可得該幾何體為一柱體，進(jìn)而根據(jù)俯視圖可得柱體形狀，得到結(jié)論.

本題考查三視圖復(fù)原幾何體形狀的判斷，考查空間想象能力.

8.答案：A

解析：解：由題意得，/(x)=ax2—>/2>則/■(近)=2a—魚，

所以/'(/(夜))=a(2a-V2)2-V2=-V2,

即a(2a-2)2=0,又a為一個正常數(shù)，

所以a=立，

2

故選:A.

根據(jù)解析式先表示出/(夜)，再由/(/(魚))=-2，列出方程根據(jù)a的范圍求出a的值.

本題考查了多層函數(shù)求值問題，一般根據(jù)從內(nèi)到外原則逐層求解，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案:A

解析：

本題考查了分式不等式和高次不等式的解法.

先根據(jù)ax-b>0的解集為{久|x>2},求出《的值，然后將不等式湍320轉(zhuǎn)化為(x+2)(x-

6)(%+1)>0且％H-1且x豐6,再解出不等式即可.

解：???ax-b>0的解集為>2},a>0,且(=2.

ax+b、n

,b

X4?-x+2

A____2__=>0,

(x-6)(x+l)(x-6)(x+l)-

???(%+2)(%-6)(%4-1)>0且工=一1且%H6,

由穿根法可得一2<x<-1或%>6,

二不等式的解集為｛x|-2Sx<-1或x>6｝.

故選：A.

10.答案：B

解析：解：f(x)的對稱軸是％=2,故8=-4,

故/(x)=x2—4x+c,f'(x)=2x—4,

故直線(。)不過第二象限，

故選：B.

根據(jù)函數(shù)的對稱軸求出b的值，求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)直線方程判斷即可.

本題考查了直線方程問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

11.答案：C

解析：解：設(shè)第n輪感染人數(shù)為an,則數(shù)列｛5｝為等邊數(shù)列，其中即=1,公比R。=3.8,

故經(jīng)過n輪后感染的人數(shù)為上三里人，

1-3.8

由題意可得，1-3,8，1>1000.且n6N*,

1-3.8

解得n26,且n€N*,

所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要6輪傳染.

故選：C.

設(shè)第71輪感染人數(shù)為即，則數(shù)列為等邊數(shù)列，其中的=1,公比R。=3.8,由題意列出關(guān)于71的不

等式，求解即可.

本題考查了等邊數(shù)列的實際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是弄懂題意，將問題轉(zhuǎn)化為求解不等式，考查了

邏輯推理能力與化筒運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.答案：C

解析：解：考慮函數(shù)曠=￡1。y=logaX兩個函數(shù)的公共點，可知8,D選項不對，

當(dāng)。=白時，可得函數(shù)y=(白尸，y=log白工兩圖像存在一個y=x直線上的公共點外還有兩個，

lolo1O

這兩個點為G3)和

故選：C.

當(dāng)。=白時，可得函數(shù)y=(白尸，y=log尚工兩圖像存在一個y=x直線上的公共點外還有兩個，即

lolo1O

可得答案.

本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：（0,1]

x

解析：W：log2（3-1）<1,

/.0<3X-1<2,

解得：0cxs1,

故不等式的解集是：（0,1],

故答案為：（0,1].

根據(jù)對數(shù)以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可.

本題考查了對數(shù)以及指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題.

14.答案：9a3.

解析：解：由題意圖形折疊為三棱錐，且由S出發(fā)的三條棱兩兩垂直，邊長分別為a,y，j，

可以SD,SE,SF為邊補(bǔ)成長方體，即有長方體的對角線即為球的直徑，

則27T竹,

r=g，體積V=±w燈=旦a3.故答案為：第31a?.

438o

15.答案：乂更

26

解析：解：直線3x+2y-3=0與6%+771、+1=0相互平行，所以巾=4,由平行線的距離公式可

知d=全工=—■

V32+2226

故答案為：源.

26

通過直線的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通過平行線的距離公式求出距離即可.

本題是基礎(chǔ)題，考查平行線的應(yīng)用，平行線的距離的求法，注意平行線的字母的系數(shù)必須相同是解

題的關(guān)鍵.

16.答案：①②③

解析：試題分析：由題意

①ntua,，na=4,Aim,則，與m不共面，此條件是異面直線的定義的符號表示，故正確；

②八m是異面直線，1〃a,m〃a,且nil,n1m,則nla,此條件下可以在a找到兩條相交線,

使得它們都與71垂直，故可得rila,此命題正確：

③若Zua,mca,lC\m-A,〃/￡,m//p,貝ija〃0,此命題是面面平行的判定定理的符號表示

式，故正確；

④若〃/a,m〃0,a〃0,貝〃〃山，在此條件下，［與m兩條直線平行、相交、異面都有可能，故此

命題是假命題.

故答案為①②③

考點：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.

17.答案：(1)圓C的切線在％軸和y軸上截距相等時，切線過原點或切線的斜率為-1；

I—霰一輯I忘r-

當(dāng)切線過原點時，設(shè)切線方程為：y=kx,相切則:出樸爐,=依,得敢=罷曼、府;

當(dāng)切線的斜率為』時，設(shè)切線方程為：y=-x+b,由相切得:

得b=-1或b=3;

故所求切線的方程為％+y+1=0或％+y—3=0或y=(2+述)％或y=(2—V6)x.

(2)設(shè)躲=%?，則%表示直線MA的斜率，其中4(1,一2)是定點；

喉T

因為M在圓C上，所以圓C與直線M4有公共點，

而直線M4方程為：y+2=^(x—1),則有：C點到直線MA的距離不大于圓C的半徑

|一既篆.一既_售|

即：--；也,解得：-串出賴工T，即k的最大值為一1,最小值為—7.

(3)由圓的切線長公式得|PM|2=\PC\2-R2=(x+1)2+(y-2)2-2;

由|PM|=|PO|得：(x+l)2+(y-2)2-2=x2+y2,即2x-4y+3=0,即x=2y一二

此時|PM|=仍。|=怖皿雇=如寺城=V=出-#喘

所以當(dāng)y=W，x=~—,即P(-VA)時，|PM最小.

J1U1U5

解析：(1)圓C的切線在久軸和y軸上截距相等時，切線過原點或切線的斜率為-1；

1

當(dāng)切線過原點時，設(shè)切線方程為：y=kx,相切則:J，也''取=置)、斥;

由相切得：匕甯=應(yīng),

當(dāng)切線的斜率為-工時，設(shè)切線方程為：y=-x+b,

得b=-1或b=3;

故所求切線的方程為x+y+l=0或x+y-3=0或y=(2+述)x或y=(2-V6)x.

(2)設(shè)法=受爐，則k表示直線MA的斜率，其中4(1,-2)是定點;

因為M在圓C上，所以圓C與直線M4有公共點，

而直線MZ方程為：丫+2=址。-1),則有：C點到直線MA的距離不大于圓C的半徑

既置一誓一匐公

即：'―入=咳、攙，解得：-1三聚WT，即卜的最大值為一1，最小值為一7.

(3)由圓的切線長公式得|PMr=\PC\2-R2=(x+I)2+(y-2)2-2;

學(xué)

由|PM|=|P0|得：(x+1)2+(y—2)2-2=/+y2,即2x—4y+3=o,即％=2y—二

s

此時IPMI=Miw=反率象3=收與彳=Mqy

3333

所以當(dāng)y=[,%=-—,即p(-。3)時，|PM|最小.

j1Uiu□

考點：1.直線的方程；2.直線的斜率；3.直線與圓的位置關(guān)系.

18.答案：解：(I)由己知，得線段4B的中點坐標(biāo)為G，|),

直線4B的斜率七8=咨=-1，

所以線段4B的垂直平分線的方程為y-m=x—點即x—y+2=0.

由題意，圓C的圓心C在直線x-y+2=0上，又在y軸上，所以C(0,2),

半徑r=|BC|=1,所以圓C的方程為M+(y-2)2=1.....(6分)

(H)由題意，直線不過原點，設(shè)方程為x+y-a=0,

?.?直線被圓C截得的弦長為迎，

???圓心到直線的距離為迎，

2

一2'

???a=1或3,

???所求直線方程為x+y-1=0或x+y-3=0,

直線過原點，設(shè)直線[的方程為y=kx..??品=爭

?,?k=土夕》，，所求直線方程為y=土木x.

綜上所述所求直線為％+y-1=0或％+y-3=0或y=±y/7x.

解析：(I)求出線段AB的垂直平分線的方程，結(jié)合圓C的圓心C在直線％-y+2=0上，又在y軸上，

求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可求圓C的方程；

(U)由題意，分類討論，設(shè)方程，利用直線被圓C截得的弦長為近，可得圓心到直線的距離為白，即

可求出直線的方程.

本題考查了圓的方程、直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知

識，屬于中檔題.

19.答案：略

解析：略

20.答案：解：由1+log；J》()，得bg產(chǎn)》一1,解得：0WxW2.

.4-{1|1+log12-20}=[0,2].

(1)當(dāng)m=2時，B=[2,3].

ACB=[0,2]n[2,3]={2}；

(2)由4UB=A,得BU4

解得："Mb

???山的取值范圍是[0,1].

解析：(1)求解對數(shù)不等式化簡集合4代入m的值求得集合B,然后直接利用交集運(yùn)算得答案；

(2)由4UB=4得BU4然后利用集合端點值間的關(guān)系求得m的取值范圍.

本題考查了交集與并集的運(yùn)算，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是基礎(chǔ)題.

21.答案：證明：VA