10.1 兩角和與差的三角函數(shù)（七大題型）-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步學(xué)與練（蘇教版）（解析版）

第第頁10．1兩角和與差的三角函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）了解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的推導(dǎo)過程.（1）理解兩角和與差的余弦、正弦、正切公式間的關(guān)系，熟記兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的形式及符號特征，并能利用公式進行化簡求值．知識點01兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：知識點詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）和差角的余弦公式不能按分配律展開，即；（3）公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時候，逆用更能簡捷地處理問題．（4）記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反．【即學(xué)即練1】（2024·高一課時練習(xí)）cos255°的值是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為.故選：C.知識點02兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)在公式中用代替，就得到：兩角差的正弦函數(shù)知識點詮釋：（1）公式中的都是任意角；（2）與和差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立，即；（3）和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例．如當(dāng)或中有一個角是的整數(shù)倍時，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；（4）使用公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡時，不要將和展開，而應(yīng)采用整體思想，進行如下變形：這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則．（5）記憶時要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的余弦公式的等號右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反；兩角和與差的正弦公式的等號右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相同．【即學(xué)即練2】（2024·全國·高一課堂例題）求75°，15°角的正弦值．【解析】．．知識點03兩角和與差的正切函數(shù)知識點詮釋：（1）公式成立的條件是：，或，其中；（2）公式的變形：（3）兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如就可以解決諸如的求值問題．所以在處理問題時要注意觀察式子的特點，巧妙運用公式或其變形，使變換過程簡單明了．（4）公式對分配律不成立，即．【即學(xué)即練3】（2024·全國·高一專題練習(xí)）的值為．【答案】/【解析】.故答案為：.知識點04理解并運用和角公式、差角公式需注意的幾個問題1、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）掌握好表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線索，能幫助學(xué)生理解和記憶公式，是學(xué)好本部分的關(guān)鍵．（2）誘導(dǎo)公式是兩角和、差的三角函數(shù)公式的特殊情況．，中若有為的整數(shù)倍的角時，使用誘導(dǎo)公式更靈活、簡便，不需要再用兩角和、差公式展開．2、重視角的變換三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現(xiàn)，必須引起足夠的重視．常見的角的變換有：；；；等，常見的三角變換有：切化弦、等．【即學(xué)即練4】（2024·重慶·高一統(tǒng)考期末）已知滿足，則．【答案】【解析】因為，所以，又因為，所以，所以.故答案為：.題型一：兩角和與差的余弦公式【例1】（2024·全國·高一課堂例題）求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式．【變式1-1】（2024·高一課時練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）原式.（2）原式.【變式1-2】（2024·全國·高一專題練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【變式1-3】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.【方法技巧與總結(jié)】已知，的某種三角函數(shù)值，求的余弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出、的另一種三角函數(shù)值．求解過程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的三角函數(shù)公式中求值．題型二：兩角和與差的正弦公式【例2】（2024·全國·高一課堂例題）求下列各式的值：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式．【變式2-1】（2024·甘肅蘭州·高一校考期末）化簡：(1)；(2)．【解析】（1）由題意，由兩角和的正弦公式逆用可得.（2）由題意，由兩角和的正弦公式、切弦互化商數(shù)關(guān)系可得.【變式2-2】（2024·高一課時練習(xí)）化簡求值：(1)；(2).【解析】（1）（2）【方法技巧與總結(jié)】已知，的某種三角函數(shù)值，求的正弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出、的另一種三角函數(shù)值．求解過程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函數(shù)值的符號，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的三角函數(shù)公式中求值．題型三：兩角和與差的正切公式【例3】（2024·廣東肇慶·高一?？计谀┯嬎悖海?【答案】【解析】由題意．故答案為：．【變式3-1】（2024·天津河西·高一天津市第四十二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，那么．【答案】【解析】，，所以.故答案為：【變式3-2】（2024·全國·高一假期作業(yè)）若，則．【答案】【解析】由，得，即．．．答案：【變式3-3】（2024·高一課時練習(xí)）已知都是銳角，且，則.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】公式的變形應(yīng)予以靈活運用．題型四：給角求值【例4】（2024·北京密云·高一統(tǒng)考期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.故選：A.【變式4-1】（2024·重慶·高一西南大學(xué)附中?？计谀?/p>

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】.故選：A.【變式4-2】（2024·全國·高一隨堂練習(xí)）若，則的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以.故選：D【變式4-3】（2024·天津紅橋·高一統(tǒng)考期末）．【答案】/【解析】.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】在利用公式解含有非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題時，要先把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差（或同一個非特殊角與特殊角的差），利用公式直接化簡求值，在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造出兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，正確地順用公式或逆用公式求值．題型五：給值求值【例5】（2024·河北邯鄲·高一?？计谀┤?，則＝．【答案】0【解析】因為，所以，可得，可得即，則.故答案為：0．【變式5-1】（2024·內(nèi)蒙古·高一校聯(lián)考期末）若，則.【答案】【解析】.故答案為：.【變式5-2】（2024·上?！じ咭患倨谧鳂I(yè)）求值：已知為銳角，且,，則的值為，的值為.【答案】【解析】因為都是銳角，且,，所以,，，所以，，故答案為：，【變式5-3】（2024·新疆烏魯木齊·高一新疆實驗校考期末）已知，是方程的兩根，則.【答案】【解析】由解得，所以，.故答案為：【變式5-4】（2024·浙江嘉興·高一海寧市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，，，則．【答案】【解析】，，，由，，得，所以.故答案為：【變式5-5】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，，則.【答案】/【解析】因為且，則，又，所以，且，所以，則，，所以.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】給值求值的解題策略（1）已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關(guān)系，適當(dāng)?shù)夭鸾桥c湊角．（2）由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據(jù)需要靈活地進行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①；②；③；④．題型六：給值求角【例6】（2024·全國·高一課堂例題）已知，，且和均為鈍角，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】D【解析】∵和均為鈍角，∴，．∴．由和均為鈍角，得，∴．故選：D【變式6-1】（2024·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，而，從而或，當(dāng)時，只有B符合；當(dāng)時，四個選項均不符合.故答案為：B．【變式6-2】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，，且，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，，又，.故選：B.【變式6-3】（2024·陜西西安·高一西安中學(xué)?？计谀┤簦瑒t角的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，，由，，得，，若，則，與矛盾，故舍去，若，則，又，.故選：A.【變式6-4】（2024·江蘇南京·高一金陵中學(xué)?？计谀┮阎?，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以或；若，則，此時（舍）；若，則，此時（符合題意），所以，即；因為且，所以且，解得，，則，所以.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】解決三角函數(shù)給值求角問題的方法步驟（1）給值求角問題的步驟．①求所求角的某個三角函數(shù)值．②確定所求角的范圍（范圍討論得過大或過小，會使求出的角不合題意或漏解），根據(jù)范圍找出角．（2）選取函數(shù)的原則．①已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．②已知正余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正弦或余弦函數(shù)均可；若角的范圍是，選余弦較好；若角的范圍是，選正弦較好．題型七：兩角和與差的正切公式的綜合應(yīng)用【例7】（2024·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【解析】因為，整理得，則，所以，即.故答案為：【變式7-1】（2024·安徽滁州·高一安徽省滁州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，若，則．【答案】【解析】因為，所以設(shè)，則解得，即，由題意可知，所以，則.故答案為：【變式7-2】（2024·高一課時練習(xí)）可以驗證；不論取何值，；請推廣到一般的結(jié)論：．【答案】【解析】，，所以，，所以，可推廣到一般結(jié)論：.【變式7-3】（2024·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)?？计谀┗啠海敬鸢浮?【解析】因為，故，所以故答案為：【變式7-4】（2024·高一課時練習(xí)）觀察下列幾個三角恒等式：①；②；③；④；一般地，若、、都有意義，你從這四個恒等式中猜想得到的一個結(jié)論為.【答案】當(dāng)時，【解析】對于①式，；對于②式，；對于③式，；對于④式，.觀察①②③④中等式的結(jié)構(gòu)，可得出以下結(jié)論：當(dāng)時，.理由如下：①當(dāng)且時，若、、都有意義時，由兩角和的正切公式可得，所以，，，因此，；②若且時，則，可得，此時，.綜上所述，當(dāng)且、、都有意義，則.故答案為：當(dāng)時，.【方法技巧與總結(jié)】當(dāng)化簡的式子中出現(xiàn)“”與“”形式時，要把它們看成兩個整體，這兩個整體一是與兩角和與差的正切公式有關(guān)，通過公式能相互轉(zhuǎn)換，二是這兩個整體還與根與系數(shù)的關(guān)系相似，在應(yīng)用時要注意隱含的條件，能縮小角的范圍．一、單選題1．（2024·廣東·高一校聯(lián)考期末）（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【解析】.故選：C2．（2024·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知點在角的終邊上，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由已知，.故選：A.3．（2024·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學(xué)校考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.4．（2024·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】，故選：A5．（2024·全國·高一專題練習(xí)）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故選：D6．（2024·全國·高一期末）已知,,則=()A． B． C． D．【答案】C【解析】因為,所以.又,所以,則，故選：C.7．（2024·云南昆明·高一云南師大附中校考期末）已知，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，，，..故選：A.8．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以．因為，所以，因為，所以，，所以．由，得，即，所以，所以．又，所以．故選：C二、多選題9．（2024·貴州黔西·高一校考階段練習(xí)）下列化簡結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】，所以A正確；，所以B正確；，所以C錯誤；，所以D錯誤．故選：AB．10．（2024·高一課時練習(xí)）（多選）下列四個選項，化簡正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對于A項，，故A項錯誤；對于B項，，故B項正確；對于C項，，故C項正確；對于D項，，故D項正確.故選：BCD.11．（2024·遼寧朝陽·高一朝陽市第一高級中學(xué)?？计谀┫铝兴膫€式子中，計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：，故D正確；故選：BCD12．（2024·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由，得，即，A選項正確，C選項錯誤；，兩邊同時平方，得，即，化簡得，由，則，，所以，B選項正確，D選項錯誤.故選：AB三、填空題13．（2024·上?！じ咭患倨谧鳂I(yè)）已知角?角的頂點均為坐標(biāo)原點，始邊均與軸的非負半軸重合，角的終邊在第四象限，角的終邊繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后與重合，，則【答案】【解析】因為繞原點順時針旋轉(zhuǎn)后與重合，所以可令，因為且的終邊在第四象限，所以為第一象限角，所以，所以.故答案為：.14．（2024·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)校考期末）已知為銳角，，則.【答案】/【解析】因為為銳角，所以，所以，所以，又因為，所以，所以.故答案為：15．（2024·上?！じ咭患倨谧鳂I(yè)）