上海市八校2024年高考沖刺模擬數學試題含解析

上海市八校2024年高考沖刺模擬數學試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

2.如圖，在正四棱柱ABCD—A4G。中，AB=y[2AAl,E,b分別為AB的中點，異面直線人用與C/所

成角的余弦值為相，貝（1（）

A.直線4E與直線異面，且m=也B.直線4E與直線共面，且加=也

33

C.直線AE與直線異面，且m=3D.直線4E與直線GF共面，且機=走

33

3.設“2.71828…為自然對數的底數，函數/（九）=e'—二―1,若/⑷=1,貝ij/（—“）=（）

A.-1B.1C.3D.-3

4.若復數z滿足(1+謳=1+2"則|z|=()

V22「Vio

A.

222

5.已知定義在H上函數/(x)的圖象關于原點對稱，且/(l+x)+/(2—力=。，若=則

”1)+/⑵+〃3)++/(2020)=()

A.0B.1C.673D.674

51

6.函數/(%)=sin2x+—0<x<的值域為()

372

A.B.C.[0,1]D.

4』4°

7.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為尸，為該拋物線上一點，以“為圓心的圓與。的準線

相切于點A,ZAMF=120°,則拋物線方程為()

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

22

8.若雙曲線E：L—上=1(m〃>0)繞其對稱中心旋轉g后可得某一函數的圖象，則￡的離心率等于()

mn3

A.B.6C.2或3^D.2或6

33

9.設a,b,c為正數，貝！J"a+b>c"是>。2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不修要條件

l-r2

10.函數/(*)=一匚的圖象大致為()

11.函數/(x)=，*logjx|(0<a<l)的圖象的大致形狀是()

12.“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經濟合作關系，

共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019

年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統計圖，下列描述錯誤的是()

=的口目一運口由“■"出口增1￡一龍口埸9

A.這五年，出口總額之和比進口總額之和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在長方體ABCD—中，AD=DDI=T,AB=5E,F,G分別為的中點，點P在

平面A3C。內，若直線，尸//平面E尸G,則線段2P長度的最小值是.

14.袋中裝有兩個紅球、三個白球，四個黃球，從中任取四個球，則其中三種顏色的球均有的概率為.

15.在區(qū)間［-6,2］內任意取一個數5,則與恰好為非負數的概率是.

16.設/（九）為定義在R上的偶函數，當％<0時，"力=2、+加（加為常數），若"I）',則實數的值為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在長方體A3。一4月GA中，43=230=244=4,E為4。的中點，N為8C的中點，

〃為線段G2上一點，且滿足尸為加。的中點.

（1）求證：EF〃平面4。。；

（2）求二面角N—AC—E的余弦值.

18.（12分）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點尸（0，。），（。>0）關于直線l:x-y-2=0的對稱點為M,S.\FM\=372.

若點P為C的準線上的任意一點，過點尸作C的兩條切線K4,PB,其中48為切點.

（1）求拋物線。的方程；

（2）求證：直線恒過定點，并求鉆面積的最小值.

19.（12分）某機構組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習

慣的了解程度.在每一輪游戲中，主持人給出A,B,C,。四種食物，要求小孩根據自己的喜愛程度對其排序，然后

由家長猜測小孩的排序結果.設小孩對四種食物排除的序號依次為XAXBXCXD,家長猜測的序號依次為其中

XAXBXCXD和明叫:了。。都是1,2,3,4四個數字的一種排列.定義隨機變量X=（XA-JA）2+（切-股）2+（xc-jc）2+

（切-"）2,用X來衡量家長對小孩飲食習慣的了解程度.

（1）若參與游戲的家長對小孩的飲食習慣完全不了解.

(i)求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程)；

(2)若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結果都滿足XV4,請判斷這位家長對小孩飲食習慣是否了解，說

明理由.

20.(12分)已知函數/(x)=e*+sinx-ox2-2x.

(1)當。=0時，判斷/(x)在［0,+8)上的單調性并加以證明；

(2)若龍之0,/(%)>1,求。的取值范圍.

21.(12分)在一ABC中，角A,瓦。所對的邊分別為q,b,c,sin2A+sin2B+sinAsinB=2csinC,ABC的面積

S=abc?

(I)求角c；

(2)求ABC周長的取值范圍.

冗

22.(10分)已知函數/(x)=sin2元+sinxcos(九---).

6

(1)求函數大力的最小正周期；

(2)求在0,-上的最大值和最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

首先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可利用排除法解得；

【詳解】

sin(-x)+(-x)2cos(-x)sinxX1cosx

解：依題意，f(—X)=-----+=/(%),故函數/(X)為偶函數，圖象關于y軸

—X20X20

對稱，排除G

jrTT

而/(〃)=—太<0,排除B；y(2^-)=y>0,排除D.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數圖象的識別，函數的奇偶性的應用，屬于基礎題.

2、B

【解析】

連接防，AG，G。，DF,由正四棱柱的特征可知防尸4G，再由平面的基本性質可知，直線4E與直線GP共

面.，同理易得A與CQ,由異面直線所成的角的定義可知，異面直線A4與GE所成角為/DGE，然后再利用

余弦定理求解.

【詳解】

如圖所示:

AEB

連接EE,AG，C[D,DF,由正方體的特征得跖P4G，

所以直線AE與直線G歹共面.

由正四棱柱的特征得AgC}D,

所以異面直線A片與qp所成角為/DGF.

設A4,=拒，貝！IAB=應⑨=2,則DF=6，C1F=6Cp=&,

由余弦定理，得〃？=cosN￡>C/="二一5

故選：B

【點睛】

本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質，還考查了推理論證和運算求解的能力，屬于中檔題.

3、D

【解析】

利用/(a)與/(—。)的關系，求得了(—。)的值.

【詳解】

依題意/(a)=—1=1,e"—〃=2,

所以/(-a)=-e"-]=-(e"-e-")-1=—2—1=—3

故選：D

【點睛】

本小題主要考查函數值的計算，屬于基礎題.

4、C

【解析】

1313

化簡得到彳=-彳+7，，z=----z,再計算復數模得到答案.

2222

【詳解】

故彳=產(l+2z)(l+z)—1+3，13.

(l+i)z=l+2i,----=--1—I

l+i(i+O(i-O222

故選：C.

【點睛】

本題考查了復數的化簡，共朝復數，復數模，意在考查學生的計算能力.

5、B

【解析】

由題知“X)為奇函數，且/(l+x)+/(2-x)=O可得函數/(%)的周期為3,分別求出

/(O)=O,/(1)=L/(2)=-1,知函數在一個周期內的和是0,利用函數周期性對所求式子進行化簡可得.

【詳解】

因為〃龍)為奇函數，故"0)=0；

因為/(l+x)+/(2—X)=0,故/(l+x)=—y(2—%)=/(%—2),

可知函數/(%)的周期為3；

在/(l+x)+/(2—%)=。中,令％=1,故〃2)=—〃1)=-L,

故函數f(x)在一個周期內的函數值和為0,

故/(1)+/(2)+/(3)++/(2020)=/(I)=1.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用

奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.

6、A

【解析】

由xe計算出2x+工的取值范圍，利用正弦函數的基本性質可求得函數y=/(x)的值域.

【詳解】

八5萬]石1.(?1

L12j3L36J2I3)

因此,函數/(x)=sin[2x+m1[o<xw/|的值域為-j-,1.

故選：A.

【點睛】

本題考查正弦型函數在區(qū)間上的值域的求解，解答的關鍵就是求出對象角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎題.

7、C

【解析】

根據拋物線方程求得"點的坐標，根據MA//X軸、/4MF=120。列方程，解方程求得夕的值.

【詳解】

不妨設M在第一象限，由于〃在拋物線上，所以由于以〃為圓心的圓與C的準線相切于點A,根據

拋物線的定義可知，|肱4|=|凹、MA//x軸，且產已0；由于N/M=120。，所以直線板的傾斜角e為120,

所以％=tanl20=田)=一百，解得。=3,或p=g(由于g"<0,p>l,故舍去).所以拋物線的方程

為/=6%.

故選：c

【點睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.

8、C

【解析】

由雙曲線的幾何性質與函數的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60，所以2=石或走，由離心率公式

a3

I胃丫

e=1+-即可算出結果.

【詳解】

由雙曲線的幾何性質與函數的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60,又雙曲線的焦點既可在x軸，又可在y

軸上，所以：=6或g,.、=/+及；=2或用

故選：C

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，函數的概念，考查了分類討論的數學思想.

9、B

【解析】

根據不等式的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

解：a,b,c為正數，

，當a=2,b=2,c=3時，滿足a+b>c,但/+萬2>不成立，即充分性不成立,

221

若〃2+/>/,則(。+6)2>c,即(Q+Z?)2>C+2ab>c,

即"bf>后，即a+A>c,成立，即必要性成立，

則“a+"c”是+/>°2”的必要不充分條件，

故選：B.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合不等式的性質是解決本題的關鍵.

10、D

【解析】

根據函數為非偶函數可排除兩個選項，再根據特殊值/(2)可區(qū)分剩余兩個選項.

【詳解】

1-r2

因為/(-x)=L4#(x)知/(x)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B,C.

—X

1-43

又｛2)=一1=7<。?排除A,故選D.

ee~

【點睛】

本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數圖象，屬于中檔題.

11、C

【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.

【詳解】

x<-l,

logfl(-x),

[0g小1=10go—1<x<0,

log/,x>0.

故選C.

【點睛】

識圖常用的方法

⑴定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題;

⑵定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；

(3)函數模型法：由所提供的圖象特征，聯想相關函數模型，利用這一函數模型來分析解決問題.

12、D

【解析】

根據統計圖中數據的含義進行判斷即可.

【詳解】

對A項，由統計圖可得，2015年出口額和進口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進口額，則A正確;

對B項，由統計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；

對C項，由統計圖可得，2019年進口增速都超過其余年份，則C正確；

對D項，由統計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；

故選：D

【點睛】

本題主要考查了根據條形統計圖和折線統計圖解決實際問題，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、—

2

【解析】

如圖，連接2AAe證明平面AC，//平面E尸G.因為直線。尸//平面E尸G,所以點尸在直線AC上.當

2P，AC時.線段4P的長度最小，再求此時的2P得解.

【詳解】

如圖，連接2AAe

因為E,F,G分別為A3,BC,GA的中點,

所以AC//E尸，跖a平面AC2，

則EE//平面AC，.因為EGHAD,,

所以同理得EG//平面AC。1，又EFEG=E.

所以平面ACDJ/平面EFG.

因為直線。P//平面EFG,所以點尸在直線AC上.

在中，妝="心2,—(x0x

幣

故當。pJ.AC時.線段2P的長度最小，最小值為I2—=".

—x2之

2

故答案為：昱

2

【點睛】

本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

4

14、-

7

【解析】

基本事件總數n=C^=126,其中三種顏色的球都有包含的基本事件個數m=+C；C；C；+=72,由此

能求出其中三種顏色的球都有的概率.

【詳解】

解：袋中有2個紅球，3個白球和4個黃球，從中任取4個球，

基本事件總數"=C；=126,

其中三種顏色的球都有，可能是2個紅球，1個白球和1個黃球或1個紅球，2個白球和1個黃球或1個紅球，1個白

球和2個黃球，

所以包含的基本事件個數m=C\C\Cl+C\ClC\+ClC\C\=72,

vn724

...其中三種顏色的球都有的概率是P=—=k=—.

n1267

4

故答案為：y.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

1

15、-

4

【解析】

先分析非負數對應的區(qū)間長度，然后根據幾何概型中的長度模型，即可求解出“X。恰好為非負數”的概率.

【詳解】

當無。是非負數時，/e[0,2],區(qū)間長度是2—0=2,

又因為[-6,2]對應的區(qū)間長度是2-(-6)=8,

所以“X。恰好為非負數”的概率是P41

o4

故答案為：一.

4

【點睛】

本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關鍵是能判斷出目標事件對應的區(qū)間長度.

16、1

【解析】

根據/(九)為定義在R上的偶函數，得"1)=〃T),再根據當x<0時，/(x)=2v+m(加為常數)求解.

【詳解】

因為/(%)為定義在R上的偶函數，

所以〃1)=〃T),

又因為當尤<0時，f(x)=2x+m,

所以F(l)=/(T)=2T+m=￡,

所以實數力的值為L

故答案為：1

【點睛】

本題主要考查函數奇偶性的應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)—

35

【解析】

(1)解法一：作的中點〃，連接EH,EH.利用三角形的中位線證得利用梯形中位線證得

由此證得平面ADC〃平面EHF,進而證得Ef7/平面4DC.解法二：建立空間直角坐標系，通過證明直線政的方

向向量和平面ADC的法向量垂直，證得所〃平面ADC.

(2)利用平面4CN和平面4歹。法向量，計算出二面角N-4C-E的余弦值.

【詳解】

(1)法一：作OQ的中點〃，連接見，切.又￡為4。的中點，,即為例。2的中位線，二￡〃〃4。，又

斤為的中點，...為梯形D.DCM的中位線，,FH//CD，在平面4。。中，4。CD=D,在平面EHF

中，EH=.?.平面[DC〃平面E7/F,又EFu平面EHF,；?EF〃平面&DC.

另解：(法二)???在長方體A3CD-A4C。中，DA,DC,兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系。-孫z如

圖所示,

則。(0,0,0),A(2,0,0),5(2,4,0),

C(0,4,0),。(0,0,2),AQ,0,2),

4(2,4,2),￡(0,4,2),￡(1,0,2),

N(l,4,0),M(0,3,2),rfo,1,lj

(1)設平面4。。的一個法向量為加=(x,y,z),

fm-AD=0[(x,y,z)?(-2,0,-2)=0[x+z=0

則〈='='，

m?\C=0[(x,y,2)?(-2,4,-2)=0[x-2y+z=Q

令x=l,貝(lz=-1,y=。.???加=(1,0,-1),又E/=1—I,],—1,

?；EFm=0,EFl.m，又跖(Z平面￡尸〃平面

(2)設平面A0N的一個法向量為〃=(玉,％,馬),

]〃?AN=0f(x,y,z)-(-l,4,-2)=0x-4y+2z=0

111=＞《

人n-A^C=0(玉，％*])?(—2,4,—2)=0x-2y+z=0

令y=l,則z=2,x=O.Azz=(0,l,2).

同理可算得平面\FC的一個法向量為嗎=(3,2,1)

2^/70

35

又由圖可知二面角N-A.C-F的平面角為一個鈍角，

故二面角D-A.C-N的余弦值為一獨。.

35

【點睛】

本小題考查線面的位置關系，空間向量與線面角，二面角等基礎知識，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解

能力，數形結合思想，化歸與轉化思想.

18、(1)x2=4y(2)見解析，最小值為4

【解析】

(1)根據焦點尸到直線/的距離列方程，求得。的值，由此求得拋物線的方程.

(2)設出A,B,P的坐標,利用導數求得切線PA,PB的方程，由此判斷出直線AB恒過拋物線焦點F.求得三角形PAB

面積的表達式，進而求得面積的最小值.

【詳解】

(1)依題意一二21=羋,解得。=1(負根舍去)

A/22

...拋物線C的方程為好=4>

(2)設點A(項,弘),8(范,、2),尸由尤2=4y,

即得=

二拋物線C在點A處的切線的方程為y-%=](》-xj,

即■無+%一：尤;

1

???%=1x；,y=mXX-%點尸億—1)在切線PA±.，

-1=jr-%①，同理，-l=￡t-%②

綜合①、②得，點4(4%),5(9，%)的坐標都滿足方程-1=卞-%

即直線AB：y=gx+l恒過拋物線焦點/(0,1)

當t=0時，此時P(0,—l),可知：PF±AB

2

當twO,此時直線。戶直線的斜率為原尸=-：，得

于是S△即^-\PF\-\AB\,而IPF1=?—0)2+(—1—I)2〃+4

把直線y=”l代入爐=分中消去x得/一(2+/卜+1=0

222

AB=|y1+y2+2|=4+/,即：5=|(4+r)^477=|(4+r)^

當t=0時，S"B最小，且最小值為4

【點睛】

本小題主要考查點到直線的距離公式，考查拋物線方程的求法，考查拋物線的切線方程的求法，考查直線過定點問題，

考查拋物線中三角形面積的最值的求法，考查運算求解能力，屬于難題.

19、(l)(i)[(ii)分布表見解析；(2)理由見解析

O

【解析】

(1)(0若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，家長的排序有用=24種等可

能結果，利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應位置的數字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們在一輪游

戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率.

(ii)根據(i)的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列.

(2)假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，在一輪游戲中，P(X<4)=P(X=0)+P(X=2)=7,三輪游戲結果

都滿足“XV4”的概率為▲</一,這個結果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長對小孩飲食習慣比較了解.

2161000

【詳解】

(1)(i)若家長對小孩子的飲食習慣完全不了解，

則家長對小孩的排序是隨意猜測的，

先考慮小孩的排序為XB,XC,XD為1234的情況，家長的排序有『=24種等可能結果，

其中滿足“家長的排序與對應位置的數字完全不同”的情況有9種，分別為：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

二家長的排序與對應位置的數字完全不同的概率=-.

248

基小孩對四種食物的排序是其他情況，

只需將角標A,B,C,O按照小孩的順序調整即可，

假設小孩的排序XA,XB,XC,m為1423的情況，四種食物按1234的排列為ACZ>3,

再研究yAyBycyD的情況即可，其實這樣處理后與第一種情況的計算結果是一致的，

.??他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率為9.

O

(?)根據⑴的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況,

列出所有情況，分別計算每種情況下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1111111]_111

P

248246121212624824

(2)這位家長對小孩的飲食習慣比較了解.

理由如下：

假設家長對小孩的飲食習慣完全不了解，由(D可知，在一輪游戲中，

P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=-,

6

三輪游戲結果都滿足“X<4”的概率為(3)3=」<熹，

這個結果發(fā)生的可能性很小，

.?.這位家長對小孩飲食習慣比較了解.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

20、(1)/'(X)在［0,+8)為增函數；證明見解析(2)

【解析】

⑴令g(x)=/'(x)="+cosx-2,求出g'(x),可推得g(x)20,故/Xx)在［0,+8)為增函數；

(2)令g(x)=7'(x),貝!Jg'(x)=e'-sinx-2a,由此利用分類討論思想和導數性質求出實數。的取值范圍.

【詳解】

(1)當〃=0時，/"(x)=ex+cosx-2.

記g(x)=/'(%),貝！Ig'(%)=e"—sin%,

x

當x20時，e>19-l<sinx<l.

所以g'(x)=e、—sinxNO,所以g?)在［0,+s)單調遞增，所以g(x)2g(0)=0.

因為g(x)=/'(x)，所以/'(x)2。，所以f(x)在［0,+8)為增函數.

(2)由題意，W/'(x)=ex+cosx-2ax-2,記g(x)=/'(%),貝!)g'(%)=e"-sin%-2〃，

令/z(x)=g'(%),貝(Ihr(x)=ex-cosx,

當x20時，ex>1,所以〃(%)=e"-cos%20,

所以Mx)在［0,y)為增函數，即g［x)="-sinX-2a在［0,+<?)單調遞增，

所以g'(x)>g'(0)=e°-sin0-2a=1-2a.

①當1—2a?0,a<1,g'(x)?0恒成立，所以g(x)為增函數，即/'(x)在［0,+s)單調遞增,

又/'(0)=。，所以/'(x)20,所以/Xx)在［0,+8)為增函數，所以/(x)N/(0)=l

所以。三工滿足題意.

2

②當a〉g,g'(0)=1—2a<0,令M(X)=e"-x-l,x>Q,

因為％>0,所以/(x)=e<l>0,故為了)在(0,+8)單調遞增,

故a(x)>〃(0)=0,即e*>x+l.

故g'(2a)=e2fl-sin2?-2a>2a+1-sin2a-2a>0,

又g'(x)=e*-sinx-2a在(0,+°o)單調遞增，

由零點存在性定理知，存在唯一實數加6(0,+8),g'(m)=0,

當xe(0,m)時，g'(x)<0,g(九)單調遞減，即/'(X)單調遞減，

所以廣(九)<廣