2017年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

2017年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）

1.（3分）（2017?北京）如圖所示，點P到直線/的距離是（）

A.線段R4的長度B.線段總的長度C.線段PC的長度D.線段叨的長度

2.（3分）（2017?北京）若代數(shù)式上有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

x-4

A.x=0B.x=4C.xwOD.xw4

3.（3分）（2017?北京）如圖是某個幾何體的展開圖，該幾何體是（)

A.三棱柱B.圓錐C.四棱柱D.圓柱

4.（3分）（2017?北京）實數(shù)a,b,，，/在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的

結(jié)論是（）

,b

-5-4-3-2-1012345

A.a>-4B.bd>0C.\a\>\d\D.b+c>0

5.（3分）（2017?北京）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）

6.（3分）（2017?北京）若正多邊形的一個內(nèi)角是150。，則該正多邊形的邊數(shù)是（）

A.6B.12C.16D.18

4/

7.（3分）（2017?北京）如果〃+2“一1=0,那么代數(shù)式的值是（）

A.—3B.-1

8.（3分）（2017?北京）下面的統(tǒng)計圖反映了我國與“一帶一路”沿線部分地區(qū)的貿(mào)易情況.

2011-2016年我國與東南亞地區(qū)和東歐地區(qū)的貿(mào)易額統(tǒng)計圖

個貿(mào)易額億美元

4803.6

—東南亞地區(qū)

?…?東歐地區(qū)

30003632.5

2000「空.?蹙613682

10001440.11571013衣o1*

0201120122013201420152016匾分

（以上數(shù)據(jù)摘自《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2017）》）

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，下列推斷不合理的是（）

A.與2015年相比，2016年我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長

B.2011-2016年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額逐年增長

C.2011-2016年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值超過4200億美元

D.2016年我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多

9.（3分）（2017?北京）小蘇和小林在如圖1所示的跑道上進(jìn)行4x50米折返跑.在整個過

程中，跑步者距起跑線的距離），（單位：⑼與跑步時間f（單位：s）的對應(yīng)關(guān)系如圖2

所示.下列敘述正確的是（）

圖1

圖2

A.兩人從起跑線同時出發(fā)，同時到達(dá)終點

B.小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度

C.小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程

D.小林在跑最后100機的過程中，與小蘇相遇2次

①當(dāng)投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以“釘尖向上”的概率

是0.616；

②隨著試驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，

可以估計“釘尖向上”的概率是0.618；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率一定是0.620.

其中合理的是（)

A.①B.②C.①②D.①③

二、填空題（本題共18分，每題3分）

11.（3分）（2017?北京）寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：.

12.（3分）（2017?北京）某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了435元，其

中籃球的單價比足球的單價多3元，求籃球的單價和足球的單價.設(shè)籃球的單價為x元，

足球的單價為y元，依題意，可列方程組為.

13.（3分）（2017?北京）如圖，在AABC中，M.N分別為AC,8c的中點.若見??=1，

貝US四邊族UWM=-----

14.（3分）（2017?北京）如圖，AB為。的直徑，C、D為。上的點，AD=CD.若

ZCAB=40°,貝ACAD=.

15.（3分）（2017?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A4O8可以看作是

△OC。經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由

\OCD得到MOB的過程：

>'A

16.（3分）（2017?北京）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程

己知：RtAABC,NC=90。，求作RtAABC的外接圓.

作法：如圖2.

（1）分別以點A和點5為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于P,。兩點;

（2）作直線PQ,交回于點。：

（3）以。為圓心，OA為半徑作O.。即為所求作的圓.

請回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是.

圖1~圖2

三、解答題（本題共72分，第17題-26題，每小題5分，第27題7分，第28題7分，第

29題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（5分）（2017?北京）計算：4cos30°+（1-72）°-712+1-21.

2（x+l）>5x-7

18.（5分）（2017?北京）解不等式組：L+10

----->2x

3

19.（5分）（2017?北京）如圖，在AA8C中，AB=AC,乙4=36。，ZABCAC

于點O.

求證：AD=BC.

A

20.（5分）（2017?北京）數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對

角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖所示）”

這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證.

（以上材料來源于《古證復(fù)原的原理》、《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》

）

請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程.

證明：S矩形NFGD=S440c一（SWF+S”0c）,S矩形EBMF=^AAfiC-（----+------）,

易知，0c=s^BC?

21.（5分）（2017?北京）關(guān)于x的一元二次方程D-/+3）x+24+2=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一個根小于1,求k的取值范圍.

22.（5分）（2017?北京）如圖，在四邊形A8CZ）中，8。為一條對角線，AD//BC,AD=2BC,

ZABD=90°,E為4）的中點，連接8E.

（1）求證：四邊形BCOE為菱形；

（2）連接AC,若AC平分/BAD,BC=\,求AC的長.

A

b

23.(5分)(2017?北京)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=￡(x>0)的圖象與直線

x

y=工一2交于點A(3,，〃),

(1)求女、m的值；

(2)已知點P(〃，n)(n>0),過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x-2于點過點

P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=K(x>0)的圖象于點N.

X

①當(dāng)〃=1時，判斷線段「”與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若PN..PM,結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出〃的取值范圍.

24.(5分)(2017?北京)如圖，AB是。的一條弦，E是鉆的中點，過點E作￡C_LOA

于點C,過點5作。的切線交CE的延長線于點￡).

(1)求證：DB=DE；

(2)若AB=12,BD=5,求。的半徑.

25.（5分）（2017?北京）某工廠甲、乙兩個部門各有員工400人，為了解這兩個部門員工

的生產(chǎn)技能情況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補充完整.

收集數(shù)據(jù)

從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工，進(jìn)行了生產(chǎn)技能測試，測試成績（百分制）如下：

甲78867481757687707590757981707480866983

77

乙93738881728194837783808170817378828070

40

整理、描述數(shù)據(jù)

按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):

成績X4(M4950M596礴6970瓢7980舜899減100

人數(shù)

部門

甲0011171

乙——————

（說明：成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀，70--79分為生產(chǎn)技能良好，60--69分為生產(chǎn)

技能合格，60分以下為生產(chǎn)技能不合格）

分析數(shù)據(jù)

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:

部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲78.377.575

乙7880.581

得出結(jié)論：a.估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為；b.可以推斷出部門員

工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為.（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）

26.（5分）（2017?北京）如圖，P是A8所對弦A8上一動點，過點。作乃0交A8于

點M,連接M3,過點P作PN_LMB于點N.已知AB=6c〃?，設(shè)A、P兩點間的距離

為xcm,P、N兩點間的距離為yea.（當(dāng)點P與點A或點3重合時，y的值為0）

小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)），隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小東的探究過程，請補充完整：

（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：

x/cm0123456

ylem

02.02.32.1—0.90

（說明：補全表格時相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）

（2）建立平面直角坐標(biāo)系，描出已補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫出該函數(shù)的圖

象.

（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)AP4N為等腰三角形時，AP的長度約為

27.（7分）（2017?北京）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，拋物線y=--4*+3與x軸交于點A、

B（點A在點8的左側(cè)），與），軸交于點C.

（1）求直線8c的表達(dá)式；

（2）垂直于y軸的直線/與拋物線交于點尸（%，》）,Q（X2,當(dāng)），與直線8c交于點N（w，

%）,若結(jié)合函數(shù)的圖象，求占+%+鼻的取值范圍.

28.（7分）（2017?北京）在等腰直角AA8C中，乙4cB=90。，尸是線段8C上一動點（與

點、B、C不重合），連接AP,延長BC至點Q,使得CQ=CP,過點。作。HlAP于點

H,交于點

（1）若NPAC=a,求NAMQ的大小（用含c的式子表示）.

（2）用等式表示線段與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

29.（8分）（2017?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和圖形M,給出如下的定義：若

在圖形M上存在一點Q,使得尸、Q兩點間的距離小于或等于1,則稱尸為圖形M的

關(guān)聯(lián)點.

（1）當(dāng)。的半徑為2時，

①在點0）,￡（；,g）,舄［，0）中，。的關(guān)聯(lián)點是.

②點P在直線y=-x上，若P為。的關(guān)聯(lián)點，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.

（2）C的圓心在x軸上，半徑為2,直線y=-x+l與x軸、y軸交于點A、B.若線段

上的所有點都是C的關(guān)聯(lián)點，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.

2017年北京市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）

1.（3分）（2017?北京）如圖所示，點P到直線/的距離是（）

A.線段R4的長度B.線段尸3的長度C.線段PC的長度D.線段PD的長度

【考點】J5：點到直線的距離

【分析】根據(jù)點到直線的距離是垂線段的長度，可得答案.

【解答】解：由題意，得

點P到直線/的距離是線段PB的長度，

故選：B.

【點評】本題考查了點到直線的距離，利用點到直線的距離是解題關(guān)鍵.

2.（3分）（2017?北京）若代數(shù)式上有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

x-4

A.x=0B.x=4C.xwOD.xw4

【考點】62：分式有意義的條件

【分析】根據(jù)分式有意義的條件即可求出x的范圍；

【解答】解：由代數(shù)式有意義可知：X-4H0,

XH4,

故選：D.

【點評】本題考查分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是正確理解分式有意義的條件，本題屬于

基礎(chǔ)題型.

3.（3分）（2017?北京）如圖是某個幾何體的展開圖，該幾何體是（)

A.三棱柱B.圓錐C.四棱柱D.圓柱

【考點】/6：兒何體的展開圖

【分析】側(cè)面為三個長方形，底邊為三角形，故原幾何體為三棱柱.

【解答】解：觀察圖形可知，這個幾何體是三棱柱.

故選：A.

【點評】本題考查的是三棱柱的展開圖，考法較新穎，需要對三棱柱有充分的理解.

4.（3分）（2017?北京）實數(shù)a,b,c,d在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則正確的

結(jié)論是（）

IgI?ig：?，|今

-5-4-3-2-1012345

A.a>-4B.bd>0C.|a|>|</|D.b+c>0

【考點】29：實數(shù)與數(shù)軸

【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置關(guān)系，可得a,匕，c,d的大小，根據(jù)有理數(shù)的運算，絕對

值的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：由數(shù)軸上點的位置，得

?<-4</?<0<c<1<<:/.

A>a<-4,故A不符合題意；

B、bd<0,故8不符合題意；

C、|a|>4=|d|,故C符合題意；

D、h+c<0,故。不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)軸上點的位置關(guān)系得出a,b,c,?的大小是解

題關(guān)鍵.

5.（3分）（2017?北京）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）

c.D.

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：A、是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項正確；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D,是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，

圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

6.（3分）（2017?北京）若正多邊形的一個內(nèi)角是150。，則該正多邊形的邊數(shù)是（）

A.6B.12C.16D.18

【考點】Z.3：多邊形內(nèi)角與外角

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案.

【解答】解：設(shè)多邊形為〃邊形，由題意，得

（n-2）180°=150n,

解得〃=12,

故選：B.

【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，利用內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵.

7.（3分）（2017?北京）如果/+2。一1=0,那么代數(shù)式（a,）上的值是（）

aa-2

A.-3B.-1C.1D.3

【考點】6Q：分式的化簡求值

【分析】根據(jù)分式的減法和乘法可以化簡題目中的式子，然后對6+2a_l=0變形即可解

答本題.

【解答】解：（a-3）工

aa-2

a2-4a2

a-2

(a+2)(a—2)cr

aa-2

=a(a+2)

=a2+2a,

a2+2a—1=0,

a2+2a=l,

二.原式=1,

故選：C.

【點評】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法.

8.（3分）（2017?北京）下面的統(tǒng)計圖反映了我國與“一帶一路”沿線部分地區(qū)的貿(mào)易情況.

2011-2016年我國與東南亞地區(qū)和東歐地區(qū)的貿(mào)易額統(tǒng)計圖

個貿(mào)易額億美元

5000

一?一東南亞地區(qū)

4000…..….東歐地區(qū)

3000

20001523.61660.6

136

100014*40,11<57,1101,33,2—.0?

0201120122013201420152016

年份

（以上數(shù)據(jù)摘自《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報告（2017）》）

根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，下列推斷不合理的是（）

A.與2015年相比，2016年我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長

B.2011-2016年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額逐年增長

C.2011-2016年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值超過4200億美元

D.2016年我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多

【考點】V。：折線統(tǒng)計圖

【分析】利用折線統(tǒng)計圖結(jié)合相應(yīng)數(shù)據(jù)，分別分析得出符合題意的答案.

【解答】解：A、由折線統(tǒng)計圖可得：

與2015年相比，2016年我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長，正確，不合題意；

B、由折線統(tǒng)計圖可得：2011-2014年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額2014年后有所下降,

故逐年增長錯誤，故此選項錯誤，符合題意；

C、2011—2016年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值為：

（3632.5+4003.0+4436.5+4803.6+4718.7+4554.4）-6~4358,

故超過4200億美元，正確，不合題意，

D、4554.4.4-1368.2?3.33,

2016年我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多，

故選：B.

【點評】此題主要考查了折線統(tǒng)計圖，利用折線統(tǒng)計圖獲取正確信息是解題關(guān)鍵.

9.（3分）（2017?北京）小蘇和小林在如圖I所示的跑道上進(jìn)行4x50米折返跑.在整個過

程中，跑步者距起跑線的距離/（單位：加）與跑步時間r（單位：s）的對應(yīng)關(guān)系如圖2

所示.下列敘述正確的是（）

圖1

圖2

A.兩人從起跑線同時出發(fā)，同時到達(dá)終點

B.小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度

C.小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程

D.小林在跑最后100〃?的過程中，與小蘇相遇2次

【考點】￡6：函數(shù)的圖象

【分析】通過函數(shù)圖象可得，兩人從起跑線同時出發(fā)，小林先到達(dá)終點，小蘇后到達(dá)終點,

小蘇用的時間多，而路程相同，根據(jù)速度=鬻，根據(jù)行程問題的數(shù)量關(guān)系可以求出甲、

時間

乙的速度，所以小蘇跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根據(jù)圖象小蘇前15s

跑過的路程小于小林前15s跑過的路程，兩人相遇時，即實線與虛線相交的地方有兩次,

即可解答.

【解答】解：由函數(shù)圖象可知：兩人從起跑線同時出發(fā)，先后到達(dá)終點，小林先到達(dá)終點,

故A錯誤；

根據(jù)圖象兩人從起跑線同時出發(fā)，小林先到達(dá)終點，小蘇后到達(dá)終點，小蘇用的時間多，而

路程相同，根據(jù)速度=鬻，所以小蘇跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，

時間

故B錯誤；

根據(jù)圖象小蘇前15s跑過的路程小于小林前15s跑過的路程，故C錯誤；

小林在跑最后100m的過程中，兩人相遇時，即實線與虛線相交的地方，由圖象可知2次，

故。正確；

故選：D.

【點評】本題主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力，要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分

析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論.

①當(dāng)投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以“釘尖向上”的概率

是0.616；

②隨著試驗次數(shù)的增加，''釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，

可以估計“釘尖向上”的概率是0.618；

③若再次用計算機模擬此實驗，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率一定是0.620.

其中合理的是（）

A.①B.②C.①②D.①③

【考點】X8：利用頻率估計概率

【分析】根據(jù)圖形和各個小題的說法可以判斷是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：當(dāng)投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以此時“釘

尖向上”的頻率是：308^500=0.616,但“釘尖向上”的概率不一定是0.616,故①錯

誤，

隨著實驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可

以估計“釘尖向上”的概率是0.618.故②正確，

若再次用計算機模擬實驗，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的概率可能是0.620,但

不一定是0.620,故③錯誤，

故選：B.

【點評】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關(guān)鍵是明確概率的定義，利用數(shù)形結(jié)合的

思想解答.

二、填空題（本題共18分，每題3分）

11.（3分）（2017?北京）寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：_兀

【考點】26：無理數(shù)

【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義即可.

【解答】解：寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)：萬，

故答案為：n.

【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)

小數(shù)為無理數(shù).如不，瓜,0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式.

12.（3分）（2017?北京）某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了435元，其

中籃球的單價比足球的單價多3元，求籃球的單價和足球的單價.設(shè)籃球的單價為x元，

足球的單價為y元，依題意，可列方程組為.

【考點】99：由實際問題抽象出二元一次方程組

【分析】根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①4個籃球的花費+5個足球的花費=435元，②籃球的單

價-足球的單價=3元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可.

【解答】解：設(shè)籃球的單價為X元，足球的單價為y元，由題意得:

[x-y=3

[4x+5y=435'

x-y=3

故答案為:

4x+5y=435

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題

目中的等量關(guān)系.

13.（3分）（2017?北京）如圖，在AA8C中，M.N分別為AC,8c的中點.若&CMN=1，

四邊彩

貝USA1mM=—3

【考點】KX：三角形中位線定理；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)

【分析】證明MN是AABC的中位線，得出MN//48,且MV=左，證出ACMNsACAB,

2

根據(jù)面積比等于相似比平方求出XCMN與XCAB的面積比，繼而可得出ACMN的面積與

四邊形48NM的面積比.最后求出結(jié)論.

【解答】解：M,N分別是邊AC,8C的中點，

MN是AABC的中位線，

:.MN//AB,且

2

kCMNs^CAB,

.S&CMM_（MNy_1

,?二一萬一"

.,.S^CMN一一1,

S叫進(jìn)彩ABNM3

一S四邊形ABM"=3s"?MN=3x1=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線

定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.

14.（3分）（2017?北京）如圖，43為O的直徑，C、D為。上的點，AD=CD.若

ZCAB=40°,則ZCAD=_25°

【考點】M5：圓周角定理

【分析】先求出NABC=50。，進(jìn)而判斷出48。=/。?。=25,最后用同弧所對的圓周角

相等即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接8C,BD,

AB為。的直徑，

:.ZACB=90°,

ZCAB=40°,

ZAfiC=50°,

AD=CD,

ZABD=NCBD=-ZABC=25°,

2

NCAD=NCBD=25°.

故答案為：25°.

【點評】本題考查的是圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角,直角三角形的性質(zhì)，解本題

的關(guān)鍵是作出輔助線.

15.（3分）（2017?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，AA08可以看作是

△OC。經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由

△OC。得到\AOB的過程：AOCD繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90。，并向左平移2

【考點】P6：坐標(biāo)與圖形變化-對稱；03：坐標(biāo)與圖形變化-平移；R7：坐

標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)即可得到由得到A4O8的過程.

【解答】解：A。。。繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90。，并向左平移2個單位得到AA05（答

案不唯一）.

故答案為：AOCO繞C點順時針旋轉(zhuǎn)90。，并向左平移2個單位得到AA08.

【點評】考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，平移，對稱，解題時需要注意：平移的

距離等于對應(yīng)點連線的長度，對稱軸為對應(yīng)點連線的垂直平分線，旋轉(zhuǎn)角為

對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角的大小.

16.（3分）（2017?北京）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程

已知：RtAABC,ZC=90°,求作RtAABC的外接圓.

作法：如圖2.

（1）分別以點A和點5為圓心，大于（48的長為半徑作弧，兩弧相交于P,。兩點；

（2）作直線PQ,交43于點。；

（3）以。為圓心，OA為半徑作O.。即為所求作的圓.

請回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上;

兩點確定一條直線；90。的圓周角所對的弦是直徑；圓的定義等.

【考點】MA：三角形的外接圓與外心；N3：作圖-復(fù)雜作圖

【專題】13：作圖題

【分析】由于90。的圓周角所對的弦是直徑，所以RtAABC的外接圓的圓心為的中點，

然后作AB的中垂線得到圓心后即可得到RtAABC的外接圓.

【解答】解:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上;

90°的圓周角所對的弦是直徑.

故答案為到線段兩端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一直線；90°

的圓周角所對的弦是直徑：圓的定義.

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般

是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的

性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

三、解答題（本題共72分，第17題-26題，每小題5分，第27題7分，第28題7分，第

29題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（5分）（2017?北京）計算：4cos30°+（1->/2）0-712+1-21.

【考點】2C：實數(shù)的運算；6E：零指數(shù)累；T5：特殊角的三角函數(shù)值

【分析】首先利用二次根式的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答

案.

【解答】解：原式=4，1+1-2/+2

2

=273-273+3

=3.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

2（x+l）>5x-7

18.（5分）（2017?北京）解不等式組：L+10

----->2x

3

【考點】C8：解一元一次不等式組

【分析】利用不等式的性質(zhì)，先求出兩個不等式的解集，再求其公共解.

2（x+l）>5x-70

【解答】解：<x+10c—'

----->2x?

3

由①式得x<3；

由②式得x<2,

所以不等式組的解為x<2.

【點評】此題考查解不等式組；求不等式組的解集，要遵循以下原則：同大取較大，同小取

較小，小大大小中間找，大大小小解不了.

19.（5分）（2017?北京）如圖，在A48C中，AB=AC,44=36。，8。平分NABC交4c

于點D.

求證：AD=BC.

【考點】KJ：等腰三角形的判定與性質(zhì)

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NABC=C=72。，根據(jù)角平分線的定義得到

NABO=NOBC=36。，ZBDC=12°,根據(jù)等腰三角形的判定即可得到結(jié)論.

【解答】證明：A8=AC,ZA=36°,

ZABC=ZC=72°,

BQ平分ZABC交AC于點￡）,

:.ZABD=ZDBC=36°,

：.ZA^ZABD,

：.AD=BD,

AC=12°,

NBDC=72°,

/.ZC=NBDC，

BC=BD,

AD—BC.

【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和判定，掌握等邊對等角是解題的關(guān)鍵，注意三角

形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.

20.（5分）（2017?北京）數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對

角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖所示）”

這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證.

（以上材料來源于《古證復(fù)原的原理》、《吳文俊與中國數(shù)學(xué)》和《古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽》

)

請根據(jù)該圖完成這個推論的證明過程.

矩影)S矩形EBMF=—(-----^AAEF—+

證明：SNFGD=Sg0c—(S1MNF+S"GC,).

易知'SfMX=

可得S矩形=S矩形EBMF.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì):矩形的對角線把矩形分成面積相等的兩部分，由此即可證明結(jié)論.

【解答】證明：S頰NFGD=一(S&ANF+^SFGC),=~(^MEF+^AFC,W),

易知，S1Mx=SMUC>S1MF=S1tAeF>S“GC=S&FMC，

可得S矩形NFCD=S矩形E8MF?

r

故答案分力！J為S4A，S.CM,SgNF'5DA0'^AFGC,,

【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用矩形的對角線把矩形分成面積相等的

兩部分這個性質(zhì)，屬于中考常考題型.

21.（5分）（2017?北京）關(guān)于x的一元二次方程/一（&+3?+2k+2=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一個根小于1,求k的取值范圍.

【考點】A4：根的判別式

【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得△=（〃-1）2..0,由此可證出方程總有

兩個實數(shù)根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出內(nèi)=2、x2=k+\,根據(jù)方程有一根小于1,

即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍.

【解答】（1）證明：在方程x2-（k+3-）x+2k+2=0中，△

=[-（Z+3）『一4xlx（2Z+2）=%2_2Z+l=（A：_l）2..O,

.??方程總有兩個實數(shù)根.

（2）解：/一（左+3）*+2左+2=（*-2）。一左一1）=0,

二.玉=2,x2=k+\.

方程有一根小于1,

A:+1<1,解得：k<0,

的取值范圍為k<0.

【點評】本題考查了根的判別式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解題

的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△..（）時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）利用因式分解法解一元二

次方程結(jié)合方程一根小于1,找出關(guān)于k的一元一次不等式.

22.（5分）（2017?北京）如圖，在四邊形A8C。中，3。為一條對角線，AD//BC,AD=2BC,

NAB/）=90。，E為4）的中點，連接BE.

(1)求證：四邊形8cOE為菱形；

(2)連接AC,若AC平分NMD,BC=\,求4c的長.

【考點】KP：直角三角形斜邊上的中線；M：菱形的判定與性質(zhì)

【分析】(1)由。E=BC,DEIIBC,推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明3E=DE

即可解決問題；

(2)在RtAACD中只要證明NA￡)C=60。，4D=2即可解決問題；

【解答】(1)證明：AD=2BC,E為4)的中點，

DE=BC,

AD//BC,

四邊形BCDE是平行四邊形,

ZABD=90°,AE=DE,

BE=DE,

四邊形8C0E是菱形.

(2)解：連接AC.

AD//BCfAC平分NE4D,

ZBAC=ZDAC=ZBCA,

/.AB=BC=lt

40=28。=2,

sinZADB=—,

2

NADB=30°,

???ZDAC=30°,ZADC=60°,

在RtAACD中，AD=2f

CD=1,AC=6

【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，屬于中考?？碱}型.

23.（5分）（2017?北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=K*>0）的圖象與直線

X

y=1一2交于點A（3,/w）.

（1）求出、機的值；

（2）已知點P（〃，n）（n>0）,過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x-2于點過點

P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=V（x>0）的圖象于點N.

X

①當(dāng)〃=1時，判斷線段與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若PN..PM,結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出〃的取值范圍.

【考點】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【分析】（1）將A點代入y=x-2中即可求出機的值，然后將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中

即可求出k的值.

（2）①當(dāng)”=1時，分別求出V、N兩點的坐標(biāo)即可求出9與PN的關(guān)系；

②由題意可知：P的坐標(biāo)為(〃,〃)，由于尸N..PM,從而可知PN..2,根據(jù)圖象可求出〃的

范圍.

【解答】解：(1)將A(3,㈤代入y=x-2,

/.77Z=3—2=1,

?,.A(3,l),

將43,1)代入y=A,

X

..Z=3x1=3,

(2)①當(dāng)〃=1時，-(1,1),

令y=1,代入y=x-2,

x-2=1,

%-3,

:.PM=2,

令x=1代入y=—,

x

???y=3,

/.N(l,3),

??.PN=2

??.PM=PN,

②尸(外〃)，n>0

點P在直線y=%上，

過點P作平行于x軸的直線，交直線y=x-2于點

M(九+2,〃)，

：.PM=2,

PN..PM,

即PN..2,

3

PN=\--n\,

n

0〈幾，1或〃..3

6-

3456x

【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)與一次

函數(shù)的解析式，本題屬于基礎(chǔ)題型.

24.（5分）（2017?北京）如圖，A3是。的一條弦，E是的中點，過點E作EC，04

于點C,過點8作。的切線交CE的延長線于點。.

（1）求證：DB=DE；

（2）若AB=12,80=5,求。的半徑.

【考點】KQ：勾股定理；M2：垂徑定理；MC：切線的性質(zhì)

【分析】（1）欲證明。8=只要證明

（2）作3EL/于廣，連接0E.只要證明NAOE=NDEF,可得

Ap4

siA￡）EF=AAQE=—=-,由此求出AE即可解決問題.

AO5

【解答】（1）證明：AO=OBf

ZOAB=AOBA,

BD是切線,

0B上BD,

ZOBD=90°,

NOBE+NEBO=90。，

EC10Af

ZCAE+ZCEA=90°,

ZCEA=/DEB,

:.ZEBD=ZBED,

:.DB=DE.

（2）作于/，連接OE.

DB=DE,AE=EB=6,

：.EF=-BE=3,OE1AB

2f

在RtAEDF中，DE=BD=5,EF=3,

：.DF=』f-￥=4,

ZAOE+NA=90°,ZDEF+ZA=90°,

??.ZAOE=ZDEF,

Ap4

sinZDEF=sinZAOE=——=一，

AO5

AE=6,

【點評】本題考查切線的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？?/p>

題型.

25.（5分）（2017?北京）某工廠甲、乙兩個部門各有員工400人，為了解這兩個部門員工

的生產(chǎn)技能情況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補充完整.

收集數(shù)據(jù)

從甲、乙兩個部門各隨機抽取20名員工，進(jìn)行了生產(chǎn)技能測試，測試成績（百分制）如下:

甲78867481757687707590757981707480866983

77

乙93738881728194837783808170817378828070

40

整理、描述數(shù)據(jù)

按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):

成績X40軸4950效k5960融6970瓢7980躺k8990M100

人數(shù)

部門

甲0011171

乙]—————

（說明：成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀，70--79分為生產(chǎn)技能良好，60--69分為生產(chǎn)

技能合格，60分以下為生產(chǎn)技能不合格）

分析數(shù)據(jù)

兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示:

部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

甲78.377.575

乙7880.581

得出結(jié)論：a.估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為；b.可以推斷出部門員

工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為.（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）

【考點】V5：用樣本估計總體；VI；頻數(shù)（率）分布表；W2：加權(quán)平均數(shù)；W4：中位

數(shù)；W5：眾數(shù)

【分析】根據(jù)收集數(shù)據(jù)填寫表格即可求解；

用乙部門優(yōu)秀員工人數(shù)除以20乘以400即可得出答案，根據(jù)情況進(jìn)行討論分析，理由合理

即可.

【解答】解：填表如下：

成績X40領(lǐng)Jv4950觸596酸k6970勃k7980黜899魄/100

人數(shù)

部門

甲0011171

乙1007102

a—x400=240（A）.

20

故估計乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為240；

b.答案不唯一，理由合理即可.

可以推斷出甲部門員工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為：

①甲部門生產(chǎn)技能測試中，平均分較高，表示甲部門員工的生產(chǎn)技能