2023年遼寧省葫蘆島協(xié)作體高考仿真卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝,也｝滿足：設(shè)%=?,當(dāng)C3+C4最小時(shí)，的值為()

Ibn+i=a“+b”b?

14-

A.2B.yC.3D.4

2.若命題，：從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一；命題4：在邊長(zhǎng)

為4的正方形.43。)內(nèi)任取一點(diǎn)此則44MB>9。。的概率為8,則下列命題是真命題的是()

A.p/qB.(rp)人qC.P人(rq)D.rq

3.設(shè)S,是等差數(shù)列{4,}的前〃項(xiàng)和，且5'4=4+3,則。2=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.已知集合4={-2,-1,0,1},B={x|x2<?2,?eN*},若A=則。的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

5.已知函數(shù)/。)=；0?+/(。>0).若存在實(shí)數(shù)w(-i,o),且端力-；,使得/(x0)=/(_g),則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為()

221212

A.(-,5)B.(3,3)53,5)C.(y,6)D.(y,4)0(4,6)

6.若函數(shù)1-如2+2W/€/?)在》=1處有極值，則Ax)在區(qū)間[0,2]上的最大值為()

14

A.—B.2C.1D.3

27

7.若集合A=(x|三<o],8={x[—l<x<2},則Ap|B=()

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-1,2)

y<2

8.若變量-0滿足2x-3y<9,則f+y?的最大值為()

x>0

81

A.3B.2CD.10

13

9.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

△2萬(wàn)4+打

C.2d-----D.

33

10.過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)作直線交拋物線于AB兩點(diǎn),若線段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且|AB|=8,則

拋物線的方程是（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=10x

11.若a〉0,b〉0,則“a+0W4”是“MW4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

___sin（A?+a）cos（k^r+a）,、心心—八乩小人口，、

12.已知A=—-----+—--------4^eZ）,則A的值構(gòu)成的集合是（）

sinacosa

A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}C.{2,-2}D.{1,-1,0,2,-2}

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若x、N滿足約束條件卜+，22,則z=x+2y的最小值為.

x-3y<6

14.袋中裝有兩個(gè)紅球、三個(gè)白球，四個(gè)黃球，從中任取四個(gè)球，則其中三種顏色的球均有的概率為.

15.將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng)，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則

甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個(gè)組的概率為.

16.已知隨機(jī)變量,服從正態(tài)分布N（3,〃），若P信>6）=04,則P《<0）=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17.（12分）已知函數(shù)f（x）=「，

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

4r2

(2)當(dāng)0<，〃〈/時(shí)，判斷函數(shù)8(乃=亍-機(jī)，(x>0)有幾個(gè)零點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；

(3)設(shè)函數(shù)〃(x)=；x-1+/(x)-1JC-1-/(JC)-CX2,若函數(shù)/?(x)在(O,+8)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)C的取值

范圍.

18.(12分)某機(jī)構(gòu)組織的家庭教育活動(dòng)上有一個(gè)游戲，每次由一個(gè)小孩與其一位家長(zhǎng)參與，測(cè)試家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)

慣的了解程度.在每一輪游戲中，主持人給出4,B,C,。四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛(ài)程度對(duì)其排序，然后

由家長(zhǎng)猜測(cè)小孩的排序結(jié)果.設(shè)小孩對(duì)四種食物排除的序號(hào)依次為以XBXSD,家長(zhǎng)猜測(cè)的序號(hào)依次為％ysycyo,其中

XAXBXC'X"和都是1,2,3,4四個(gè)數(shù)字的一種排列.定義隨機(jī)變量X=(后-加)2+(XB-JB)2+(xc-jc)2+

(m-山,)2,用X來(lái)衡量家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣的了解程度.

(1)若參與游戲的家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解.

(i)求他們?cè)谝惠営螒蛑?，?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率；

(ii)求X的分布列(簡(jiǎn)要說(shuō)明方法，不用寫出詳細(xì)計(jì)算過(guò)程)；

(2)若有一組小孩和家長(zhǎng)進(jìn)行來(lái)三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足XV4,請(qǐng)判斷這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣是否了解，說(shuō)

明理由.

19.(12分)在AA3C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且》(a2+c2-b2)=a2ccosC+ac2cosA.

(1)求角8的大??；

(2)若△A8c外接圓的半徑為氈，求AABC面積的最大值.

3

20.(12分)已知函數(shù)分㈤=k+a|+|x-1.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式〃x)Nx+8的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)w|x-5|的解集包含[0,2],求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCZ)中，B4_L平面ABC。，AD±AB,AB//CD,AB=AD=AP^-CD=2,

2

E為PC的中點(diǎn).

p

(1)求證：BE1平面PC。；

(2)求二面角A—C的余弦值.

22.（10分）如圖AABC中，。為8C的中點(diǎn)，A3=2jF，AC=4,AO=3.

(1)求邊8c的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)E在邊AB上，若CE是NBC4的角平分線，求ABCE的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

aQ

a+]=a+10/?—=1H------99

由[，得％1,即叫=1+一所以得。3+。4=。3+1+-7,利用基本不等式求出最

[%=4+勿7+1c?+lc3+l

小值，得到。3=2,再由遞推公式求出c$.

【詳解】

r—+10

義—=4+1地“。,用_4+10"_〃_]9

田、借----------------------n------

、〃用=%+仇b“*ia?+bn%+]%+]

b“匕,

,9,

.1.c3+c4=c3+l+-_->6,當(dāng)且僅當(dāng)C3=2時(shí)取得最小值,

J+1

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了數(shù)列中的最值問(wèn)題，遞推公式的應(yīng)用，基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

2.B

11

P=——=-

\$6

【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為好,即命題〃是錯(cuò)誤，

1

二x兀x4

2n

P=--------=一

則》是正確的；在邊長(zhǎng)為4的正方形」BCQ內(nèi)任取一點(diǎn)M,若44MB>90。的概率為24x48,即命題，/是

正確的，故由符合命題的真假的判定規(guī)則可得答案「切/。是正確的，應(yīng)選答案B。

點(diǎn)睛：本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假（含或、且、非等連接詞）的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真

假的判定有機(jī)地整合在一起，旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計(jì)算公式的運(yùn)用、幾何概型的特征與計(jì)算

公式的運(yùn)用等知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用，以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。

3.C

【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件，求得生的值.

【詳解】

由于等差數(shù)列｛q｝滿足S4=包+3,所以6+/+%+%=%+3,4+%+%=3,3%=3,。2=1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

解出x2<分別代入選項(xiàng)中a的值進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】

解：：了2?。2,...-。4為《。.當(dāng)“=1時(shí),8={-1,0,1},此時(shí)A=8不成立.

當(dāng)。=2時(shí),8={-2,—1,0,1,2},此時(shí)AaB成立，符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.

5.D

【解析】

首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)分析函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，根據(jù)題意，列出參數(shù)所滿足的不等關(guān)系，求得結(jié)

果.

【詳解】

f'（x）-ax2+2x,令/'（x）=0,得可=0,x-——.

2a

其單調(diào)性及極值情況如下：

(2)_2[-2,0)

X-00,——0（。,+8）

1CIJa\a)

+0-0+

極小

/（X）/極大值

值

4總。）,使得

若存在與

_2<_X

a2

2312

貝u<—>—1（如圖1）或一二V一一V一一（如圖2）.

aala

(圖2)

于是可得ae(T，4］u(4,6),

故選：D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)根據(jù)函數(shù)值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,

畫出圖象數(shù)形結(jié)合，屬于較難題目.

6.B

【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出機(jī)的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計(jì)算即可.

【詳解】

解：由已知得/'0)=3/一2m％+2,.?./'(1)=3-2加+2=0,.?〃”=■!，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.

/./(x)=X3+2x，f(x)=3x2-5x+2.

22

由尸(x)<0得一<x<l；由/'(x)>()得x(一或x>l.

33

21「2一

所以函數(shù)f(x)在0,-上遞增，在-,1上遞減，在［1,2］上遞增.

/(2)=2,

由于/(2)〉/(x)極大值，所以/(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值為2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問(wèn)題的基本思路，屬于中檔題.

7.C

【解析】

求出集合A，然后與集合B取交集即可.

【詳解】

由題意，A=k|^1<（）U{x|-2<x<l},8={x[T<x<2},則AflB={幻—1<x<1},故答案為C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.

【詳解】

'x+y<2

解：畫出滿足條件（2%-3丁49的平面區(qū)域，如圖示：

x>0

如圖點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0,—3）,3（3,T）,C（0,2）,

目標(biāo)函數(shù)￡+y2的幾何意義為，可行域內(nèi)點(diǎn)（x,y）與坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0）的距離的平方，由圖可知3（3,-1）到原點(diǎn)的距離

最大，故（一+/）儂、=32+（-1）2=10.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

9.A

【解析】

觀察可知，這個(gè)幾何體由兩部分構(gòu)成，：一個(gè)半圓柱體，底面圓的半徑為1,高為2；一個(gè)半球體，半徑為1,按公式計(jì)

算可得體積。

【詳解】

設(shè)半圓柱體體積為匕，半球體體積為匕，由題得幾何體體積為

V=V+V,=.^X1?x2x—+—x^-xl'x—,故選A。

22323

【點(diǎn)睛】

本題通過(guò)三視圖考察空間識(shí)圖的能力，屬于基礎(chǔ)題。

10.B

【解析】

利用拋物線的定義可得,1AB\=\AF\+\BF\^X,+^+X2+-^，把線段相中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,1|=8代入可得p值，

然后可得出拋物線的方程.

【詳解】

設(shè)拋物線y2-2px(p>0)的焦點(diǎn)為正，設(shè)點(diǎn)4&,%),3(孫必)，

由拋物線的定義可知IA81=1AF\+\BF\=x}+-^+x2+^=(xl+x2)+p,

線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又|AB|=8,，8=6+p,可得〃=2,

所以拋物線方程為.寸=4乩

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.

11.A

【解析】

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過(guò)特取的值，推出矛盾，確定必要

性不成立.題目有一定難度，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

【詳解】

當(dāng)a>O,b>。時(shí)，a+b>2y[ab，則當(dāng)a+Z?W4時(shí)，有2病4。+。44,解得曲W4,充分性成立；當(dāng)。=1,人=4

時(shí)，滿足曲W4,但此時(shí)a+/?=5>4,必要性不成立，綜上所述，“a+bW4”是“而〈4”的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】

易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過(guò)特取。力的值，從

假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

12.C

【解析】

對(duì)人分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.

【詳解】

攵為偶數(shù)時(shí)，4=1@+竺@=2；左為奇數(shù)時(shí)，4=一七一也汽=-2,則A的值構(gòu)成的集合為{2,-2}.

sin。cosasinecosa

【點(diǎn)睛】

本題考查三角式的化簡(jiǎn)，誘導(dǎo)公式，分類討論，屬于基本題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標(biāo)函數(shù)z=x+2)，取得最小時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)

函數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】

y?3

作出不等式組x+yN2所表示的可行域如下圖所示:

x-3y<6

平移直線z=x+2y,當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)A(3,-l)時(shí)，該直線在x軸上的截距最小，此時(shí)z取最小值,

即Zmin=3+2x(-l)=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4

14.-

7

【解析】

基本事件總數(shù)〃=C；=126,其中三種顏色的球都有包含的基本事件個(gè)數(shù)，〃=C\C\C；+C\ClC\+=72,由此

能求出其中三種顏色的球都有的概率.

【詳解】

解：袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黃球，從中任取4個(gè)球，

基本事件總數(shù)"=C；=126,

其中三種顏色的球都有，可能是2個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，1個(gè)白

球和2個(gè)黃球，

所以包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C\C\C；+C\CjC\+=72,

JTJ724

...其中三種顏色的球都有的概率是p=—

n1267

4

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

【解析】

先求出總的基本事件數(shù)，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型

求解.

【詳解】

6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動(dòng)，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有

n-Cl=20個(gè)，

甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個(gè)數(shù)有：m++個(gè)，

m9

所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為P=7=去.

9

故答案為：—

20

【點(diǎn)睛】

本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

16.0.4

【解析】

因?yàn)殡S機(jī)變量（服從正態(tài)分布N3,b?,利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性，即得解.

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量，服從正態(tài)分布N3,

所以正態(tài)曲線關(guān)于x=3對(duì)稱，

所P《<0）=P（S>6）=0.4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性在求概率中的應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)

題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（1）單調(diào)增區(qū)間（0,2）,單調(diào)減區(qū)間為（F,0）,（2,+8）;（2）有2個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析；（3）,〈一士

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)/（X）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)/'（X）的正負(fù)判斷函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)函數(shù)g(x)='-九(x20)有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理即可證明；

ex

(3)記函數(shù)尸。)=/3-(1-與=二-1+!》〉0,求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得21>22)v0,由零點(diǎn)存在性定理及單

xexx

調(diào)性知存在唯一的X。6(1,2),使/(%)=0,求得〃(X)為分段函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論：①當(dāng)x>x0時(shí)，利用函數(shù)的單

調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2c<u(x)n.n的問(wèn)題;②當(dāng)0<x<x°時(shí)，當(dāng)CW0時(shí),"(x)>0在(0,%)上恒成立，從而求得C的取

值范圍.

【詳解】

,.,?.2x,e'—x2?c'x(2,—x)...

(1)由題意知,/(x)=------------=——--,列表如下：

(ex)2ex

X(-00,0)0(0,2)2(2,+oo)

/'(X)—0+0—

/(X)極小值極大值

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2),單調(diào)減區(qū)間為(―,0),(2,+8).

X2

(2)函數(shù)g(x)=一—機(jī),(元20)有2個(gè)零點(diǎn).證明如下：

ex

44

因?yàn)?<冽<不時(shí)，所以g(2)==>0,

ee

因?yàn)間(X)=x(2：x)，所以g(x)>0在(0,2)恒成立,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,

由g⑵>0,g(0)=-相<0,且g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增且連續(xù)知，

函數(shù)g(x)在(0,2)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

由⑴可得xNO時(shí)J(x)"(2)=〃x)皿，

即與〈三<1,故X20時(shí)，爐>/,

m

由得e赤〉巴，平方得e赤>為，所以8(名)<0,

因?yàn)間(x)=W^D,所以8(力<0在(2,48)上恒成立，

44

所以函數(shù)g(x)在(2,+8)上單調(diào)遞減，因?yàn)?<〃?<7,所以7募>2,

由g(2)>0,g(1)<0,且g(x)在(2,+8)上單調(diào)遞減且連續(xù)得

g(x)在(2,長(zhǎng)。)上僅有一個(gè)零點(diǎn)，

X~2

綜上可知：函數(shù)g(x)=——"(x20)有2個(gè)零點(diǎn).

e'

2

1X1

(3)記函數(shù)尸(x)=/(x)—(x—2)=二一x+上,x>0,下面考察尸(x)的符號(hào).

xeAx

求導(dǎo)得?(幻=當(dāng)3-1一人戶>0.

ex

當(dāng)xN2時(shí)/(幻<。恒成立.

當(dāng)0<x<2時(shí)，因?yàn)閤(2——%2=［,

2

所以F'(x)="Q、,')__^<0.

exx1ex2xx2

：.F'(x)<0在(0,+8)上恒成立，故尸(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

143

VF(l)=->0,F(2)=-L-￡<0,/.F(l)-F(2)<0,又因?yàn)镕(x)在［1,2］上連續(xù),

ee22

所以由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得存在唯一的/e(1,2),使F(4)=0,

：.xe(O,xo),F(x)>0;xe(無(wú)o，+oo),F(x)<0,

X----------CT2,。<X<X。

因?yàn)椤?x)|=，所以/?(x)=<X

2

X.2

---CX,X>XQ

14—z—2cXfO<xW玉)

x~

Ahf(x)=<

x(2-x)

-----------2cx,x>x0

/、1r2

因?yàn)楹瘮?shù)h(x)在(0,+?>)上單調(diào)遞增,F(x0)=%---------=0,

%oe

所以“(x)NO在(0,x0),(*0,+8)上恒成立.

①當(dāng)XX。時(shí)，蟲二2—2CXN0在(*0，+00)上恒成立，即2cW與在(x0,+oo)上恒成立.

ee

記?(x)=-~-,x>x0,貝!]/(x)=-----,x>x<),

exex

當(dāng)x變化時(shí)，u'(x),M(x)變化情況如下表：

X(%,3)3(3,+oo)

u\x)—0十

u(x)J極小值

:."(X)min="(X)板"=?(3)=一小，

故2c<M(X)min=-/，即C4一^J?

②當(dāng)0<尤<九0時(shí)，〃'(X)=1+」7-2CX,當(dāng)cWO時(shí)，〃'0)>0在(0,%)上恒成立.

X

綜合(1)(2)知，實(shí)數(shù)C的取值范圍是CK-*.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)

的取值范圍;考查轉(zhuǎn)化與化歸能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力;通過(guò)構(gòu)造函數(shù)/(x),利用零點(diǎn)存在性定理判斷其零

點(diǎn),從而求出函數(shù)〃(x)的表達(dá)式是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.

3

18.(1)(i)=(ii)分布表見(jiàn)解析；(2)理由見(jiàn)解析

O

【解析】

(1)(i)若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，家長(zhǎng)的排序有8=24種等可

能結(jié)果，利用列舉法求出其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們?cè)谝惠営?/p>

戲中，對(duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率.

(ii)根據(jù)(i)的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列.

(2)假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，在一輪游戲中，P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=，，三輪游戲結(jié)果

都滿足“XV4”的概率為一匚＜上一,這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.

2161000

【詳解】

(1)(力若家長(zhǎng)對(duì)小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，

則家長(zhǎng)對(duì)小孩的排序是隨意猜測(cè)的，

先考慮小孩的排序?yàn)榧?，XB,xc,X”為1234的情況，家長(zhǎng)的排序有A：=24種等可能結(jié)果，

其中滿足“家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：

2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321,

93

家長(zhǎng)的排序與對(duì)應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P=—

248

基小孩對(duì)四種食物的排序是其他情況，

只需將角標(biāo)A,B,C,O按照小孩的順序調(diào)整即可，

假設(shè)小孩的排序XA,XB,xc,功為1423的情況，四種食物按1234的排列為AC0B,

再研究即cyo的情況即可，其實(shí)這樣處理后與第一種情況的計(jì)算結(jié)果是一致的，

,他們?cè)谝惠営螒蛑校瑢?duì)四種食物排出的序號(hào)完全不同的概率為9.

O

(H)根據(jù)⑴的分析，同樣只考慮小孩排序?yàn)?234的情況，家長(zhǎng)的排序一共有24種情況,

列出所有情況，分別計(jì)算每種情況下的x的值，

X的分布列如下表：

X02468101214161820

1121111]_1

P

24824612n12624824

(2)這位家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣比較了解.

理由如下：

假設(shè)家長(zhǎng)對(duì)小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，由(1)可知，在一輪游戲中,

P(XV4)=P(X=0)+P(X=2)=-,

6

三輪游戲結(jié)果都滿足“XV4”的概率為(9)3=」一〈旦，

62161000

這個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性很小,

.?.這位家長(zhǎng)對(duì)小孩飲食習(xí)慣比較了解.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.(1)B=-7t(2)

3

【解析】

(1)由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求COS3,進(jìn)而可求屈

(2)由已知結(jié)合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍，然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.

【詳解】

(1)因?yàn)榱?a2+c2-b2)=ca2cosC^-ac2cosA,

:.2abccosB=ac2cosC+ac2cosA，即IbcosB=acosC+ccosA

由正弦定理可得，2sbiBco$B=3EAcosC+si〃CcosA=3i〃(A+C)=sinB,

因?yàn)锽e(0,))，5出8>0所以以為6=!,

2

所以B=\n；

3

(2)由正弦定理可得，b=2Ks加8=2叵X2XM3=2,

32

由余弦定理可得，b2=a2+c2-laccosB,

即a2+c2-ac=4,因?yàn)閍2+c2>2ac,

22

所以4=a+c-ac>ac9當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，即ac的最大值4,

所以AABC面積S=，acsinB即面積的最大值百.

24

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.(1)xe(-oo,-3]U[7,+oo)(2)-4<a<0

【解析】

(1)按X21,-2<x<l,xv-2進(jìn)行分類，得到等價(jià)不等式組，分別解出解集，再取并集，得到答案；(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為/(x)=卜+4+卜一1區(qū)卜一5|在x€[0,2]時(shí)恒成立，按xe[0,1]和xe(1,2]分類討論，分別得到不等式恒成立

時(shí)對(duì)應(yīng)的。的范圍，再取交集，得到答案.

【詳解】

解：⑴當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=|x+2|+|x—l|2x+8等價(jià)于

x>lf-2<x<1fx<-2

或《或V

2x+121+83之x+8—2x—12x+8

解得1之7或不￡0或不<-3,

所以不等式的解集為：x?f,-3]U[7,4w).

⑵依題意即/(力=卜+。|+|x-1|《卜一5|在xw[0,2]時(shí)恒成立,

當(dāng)XE［0,1］時(shí)，|x+4+l—xW5-x,Bp|x+6f|<4,

所以—4—a對(duì)工￡[0,1]恒成立

-4-a<0

得-4<a<3；

1<4-a

當(dāng)xc(l,2］時(shí)，|x+4+x—1<5—x,

即|x+4<6—2x,2x-6<x+a<6-2x

6—ci

x<----_/i

所以J3對(duì)任意xe(1,2］恒成立，

xW6+。

2a

a<0

3得〈,.,--4<a<0,

a>-4

2<6+a

綜上，-4<a<Q.

【點(diǎn)睛】

本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式，分類討論研究不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.

21.(1)見(jiàn)解析；(2)

3

【解析】

(1)取PO的中點(diǎn)/，連接AF,EF，根據(jù)中位線的方法證明四邊形所是平行四邊形.再證明AELPD與CDLAF

從而證明AF，平面PCO,從而得到BE1平面PC。即可.

(2)以AD,AB,AP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再求得平面CPB的法向量與平面APB的法向量進(jìn)而

求得二面角A-PB-C的余弦值即可.

【詳解】

(1)證明：如圖，取PO的中點(diǎn)尸，連接ARM.

又E為PC的中點(diǎn)，則族是APCD的中位線.所以EF//CD且EF=；CD.

又AB//CD且AB=』CD,所以肝//A6且所=AB.所以四邊形ABEF是平行四邊形.

2

所以BE//AF.因?yàn)锳D=AP,b為PD的中點(diǎn)，所以ARJ_PZ).

因?yàn)?)_14反鉆//8,所以4)_1?！?gt;.因?yàn)?4，平面45。。,所以24_18.

又ADcQ4=A,所以C。，平面PA￡).所以8,AF.

又PDcCD=所以AF，平面PCD.又BE//AF，所以BE1平面PCD.

(2)易知AD,AB,AP兩兩互相垂直，所以分別以AD,AB,AP所