2019中考數(shù)學(xué)壓軸題6

2019中考數(shù)學(xué)壓軸題

46.（2017新疆烏魯木齊市，第15題，4分）如圖，拋物線(xiàn)y二?、汝+c過(guò)點(diǎn)（-1,0）,且對(duì)稱(chēng)軸

為直線(xiàn)x=l,有下列結(jié)論：

①abcVO；②10a+3b+c>0；③拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,yl）與點(diǎn)（-3,y2）,則yl>y2；④無(wú)論a,b,c

取何值，拋物線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（。，0）;@anr+bm+a>0,其中所有正確的結(jié)論是

【答案】②④⑤.

【分析】由開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)位置可判斷①；由x=3時(shí)的函數(shù)值及a>0可判斷

C

②；由拋物線(xiàn)的增減性可判斷③；由當(dāng)x=一￡時(shí)，代入拋物線(xiàn)解析式，結(jié)合a-b+c=O可判斷④；由

x=l時(shí)函數(shù)y取得最小值及b=-2a可判斷⑤.

【解析】由圖象可知，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，則a>0,頂點(diǎn)在［?軸右側(cè)，則拋物線(xiàn)與J,軸交于負(fù)半軸，

貝iJc<0,.\abc>Q,故①錯(cuò)誤；

2

:拋物線(xiàn)y=必+bx+c過(guò)點(diǎn)（-1,0）,且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)...拋物線(xiàn)1y=/+bx+c過(guò)點(diǎn)（3,0）,

二當(dāng)x=3時(shí)，j=9a4-3ft+c=O,'：a>Q,.\10o+3i+c>0,故②正確；

...對(duì)稱(chēng)軸為戶(hù)1,且開(kāi)口向上，二?離對(duì)稱(chēng)軸水平距離越大，函數(shù)值越大，...?!<”，故③錯(cuò)誤；

c,c、2，/c、c2-be+acc（a-h+c）

y=a（――）+/?（――）+c-----------------

當(dāng)x=。時(shí)，aa=a=a..當(dāng)x=-l時(shí)，y=a-b+c=O,.,.當(dāng)

c.c、2,,c.c

--y=Q（—）+Dy—）+c--

x=a時(shí)，aa,即無(wú)論a,b,c取何值，拋物線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)（a,0）,故④

正確；

x=m對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為丁=班2+加i+c,x=l對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y=a+b+c,又?.7=1時(shí)函數(shù)取得最小值，二

222

am+bm+c^a+^+c,gpam+bm^a+b,vb=-2a,Aam+bm+a>0t故⑤正確；

故答案為：②④⑤.

點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)、=依2+法+。（awo）系數(shù)符號(hào)由拋物線(xiàn)開(kāi)

口方向、對(duì)稱(chēng)軸、拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)、拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定.

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；綜合題.

47.（2016吉林省長(zhǎng)春市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形0ABC的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，頂點(diǎn)C

的坐標(biāo)為（4,3）.D是拋物線(xiàn)'=一丁+6》上一點(diǎn)，且在x軸上方.則ABCD的最大值為.

【分析】設(shè)D（x,--+6工），根據(jù)勾股定理求得0C,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BC,然后根據(jù)三角形面積

—x5x（-x2+6x-3）-—（x-3）2+15

公式得出.?上△BCD=2=2,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值.

【解析】?.：是拋物線(xiàn)產(chǎn)—f+6x上一點(diǎn)，...設(shè)。（x,-X2+6X）,?.?頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,3）,

.,.0C=V4y+3I=5,?.?四邊形OABC是菱形，.?.BC=0C=5,BC〃x軸，

-X5X（-X2+6X-3）--（X-3）2+15--

.,.SABCD=2=2,2〈0,.?.sZSBCD有最大值，最大值為15,故答

案為：15.

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)；最值問(wèn)題.

48.（2016四川省內(nèi)江市）二次函數(shù)y=62+笈+。的圖象如圖所示，且P=|2a+b|+|3b-2c|,Q=|2a

-b|-|3b+2c|,則P,Q的大小關(guān)系是

【答案】P>Q.

【分析】由函數(shù)圖象可以得出aVO,b>0,c>0,當(dāng)x=l時(shí)，y=a+b+c>0,x=-l時(shí)，y=a-b+cVO,

由對(duì)稱(chēng)軸得出2a+b=0,通過(guò)確定絕對(duì)值中的數(shù)的符號(hào)后去掉絕對(duì)值再化簡(jiǎn)就可以求出P、Q的值.

bb

【解析】???拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，，aV0,2a>o,.\b>0,.,.2a-b<0,V2a=b.\b+2a=0,

x=-l時(shí)，y=a-b+c<0,2b-b+c〈O,.,.3b-2c>0,,拋物線(xiàn)與y軸的正半軸相交，/.c>0,

/.3b+2c>0,/.p-3b-2c,Q=b-2a-3b-2c=-2a-2b-2c,Q-P=-2a-2b-2c-3b+2c--2a-

5b=-4b<0,AP>Q,故答案為：P>Q.

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

49.（2016四川省南充市）已知拋物線(xiàn)丫:6、法+c開(kāi)口向上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,1）,雙曲線(xiàn)）”或經(jīng)過(guò)點(diǎn)

X"+(〃-1)Xd--=0

(a,be),給出下列結(jié)論：①bc>0；②b+c>0；③b,c是關(guān)于x的一元二次方程2a的

兩個(gè)實(shí)數(shù)根；④a-b-c23.其中正確結(jié)論是(填寫(xiě)序號(hào))

【答案】①③.

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)了=以2+公+。開(kāi)口向上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，1)，雙曲線(xiàn)"經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,be),可以得

到a>0,a、b、c的關(guān)系，然后對(duì)a、b、c進(jìn)行討論，從而可以判斷①②③④是否正確，本題得以解

決.

?！?

<。+〃+C=1

2,y=—=；

【解析】?.?拋物線(xiàn)、=公+汝+。開(kāi)口向上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),雙曲線(xiàn)2x經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,bc),；.12a,

??.bc>0,故①正確；

時(shí)，則b、c均小于0,此時(shí)b+eVO,當(dāng)a=l時(shí)，b+c=O,則與題意矛盾,當(dāng)OVaVl時(shí),則b、

c均大于0,此時(shí)b+c>0,故②錯(cuò)誤；

，x-+(a-l)x+五=°可以轉(zhuǎn)化為：￡+3+0口+從=0,得*而或*=(；,故③正確；

X2+(CI—1)XH----0

?；b,c是關(guān)于x的一元二次方程2a的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.?.a-b-c=a-(b+c)=a+(a-1)

=2a-1,當(dāng)a>l時(shí)，2a-l>3,當(dāng)OVaVl時(shí)，-lV2a-lV3,故④錯(cuò)誤；

故答案為：①③.

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；綜合題.

50.(2016山東省荷澤市)如圖，一段拋物線(xiàn)：y=-x(x-2)(0WxW2)記為C1,它與x軸交于兩

點(diǎn)0,A1；將C1繞A1旋轉(zhuǎn)180°得到C2,交x軸于A2；將C2繞A2旋轉(zhuǎn)180°得到C3,交x軸于A3；???

如此進(jìn)行下去，直至得到C6,若點(diǎn)P(11,m)在第6段拋物線(xiàn)C6上，則01=

琳

［答案］_］.

【分析】將這段拋物線(xiàn)C1通過(guò)配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以知道

C1與C2的頂點(diǎn)到x軸的距離相等，且OA1=A1A2,照此類(lèi)推可以推導(dǎo)知道點(diǎn)P(11,m)為拋物線(xiàn)C6

的頂點(diǎn)，從而得到結(jié)果.

【解析】Vy=-x(x-2)(0WxW2),.?.配方可得y=-(x-1)2+1(0WxW2),.?.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,

1),AA1坐標(biāo)為(2,0).

1C2由C旋轉(zhuǎn)得到，.?.OA1=A1A2,即C2頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-1),A2(4,0)；

照此類(lèi)推可得，C3頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,1),A3(6,0)；

C4頂點(diǎn)坐標(biāo)為(7,-1),A4(8,0)；

C5頂點(diǎn)坐標(biāo)為(9,1),A5(10,0)；

C6頂點(diǎn)坐標(biāo)為(11,-1),A6(12,0)；

/.m=-1.

故答案為：-L

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；規(guī)律型.

51.（2016廣東省梅州市）如圖，拋物線(xiàn)丁=—幺+2》+3與y軸交于點(diǎn)3點(diǎn)D（0,1）,點(diǎn)P是拋物線(xiàn)

上的動(dòng)點(diǎn).若4PCD是以CD為底的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】（1+夜，2）或（1-夜，2）.

【分析】當(dāng)4PCD是以CD為底的等腰三角形時(shí)，則P點(diǎn)在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)上，由C、D坐標(biāo)可求

得線(xiàn)段CD中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可知P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

【解析】

???△PCD是以CD為底的等腰三角形，.?.點(diǎn)P在線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)上，如圖，過(guò)P作PE，y軸于點(diǎn)

E,則E為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，?..拋物線(xiàn)y=—i+2x+3與y軸交于點(diǎn)c,"（0,3）,且D（0,1）,，E

點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,，P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,在y=r~2x+3中，令y=2,可得-犬+2%+3=2,解得x=l土血，

；.P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+夜，2）或（1-及，2）,故答案為：（1+夜，2）或（1-血，2）.

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；等腰三角形的判定；動(dòng)點(diǎn)型.

52.（2016湖北省十堰市）已知關(guān)于x的二次函數(shù)丁=〃2+加+0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2,乂），（-1,%）,

（1,0）,且凡〈?！幢兀瑢?duì)于以下結(jié)論：①abc>0；②a+3b+2cW0；③對(duì)于自變量x的任意一個(gè)取值,

a、ba+b

-X2+X2---X）=-----

都有b4a；④在-2VxV-1中存在一個(gè)實(shí)數(shù)無(wú)，使得。，其中結(jié)論錯(cuò)誤的是

（只填寫(xiě)序號(hào)）.

【答案】②.

【分析】①正確.畫(huà)出函數(shù)圖象即可判斷.

②錯(cuò)誤.因?yàn)閍+b+c=0,所以a+3b+2c=a+3b-2a-2b=b-a,又a-b+c>0,所以b-a<c,故b-a

可以是正數(shù)，由此可以周長(zhǎng)判斷.

葭+x@（X+_L）2__L

③正確.利用函數(shù)y'=b=b2a4a,根據(jù)函數(shù)的最值問(wèn)題即可解決.

?-a-ba+b

Xjxl=------------

④令y=0則or+云-a=0,設(shè)它的兩個(gè)根為花，1,則a=a,求出xl即可解決問(wèn)

題.

【解析】由題意二次函數(shù)圖象如圖所示，...MO.b<Q,c>0,：.abc>Q,故①正確.

'.'Kb+c=O,.'.c=-a-匕，「.0+3計(jì)方-2a-25=b-a,又時(shí)，y>0,，a-i+c>0,匕一o<c,

?.%>0,.,.方-a可以是正數(shù)，.?.d^HZcWO,故②錯(cuò)誤.

故答案為：②.

?.?函數(shù)W=g/+x=?（x+?尸―鄉(xiāng)，.??函數(shù)/有最小值—金，.?.gc2+x2-二，故

bb2a4ab4ab4a

③正確.

...y=a?+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,0）,...a+b+c=O,，c=-a-b,令y=0則辦:+Zzx-a-8=0,設(shè)它

?-a-ba+ba+b

%|x1=-----------------

xx

的兩個(gè)根為玉，1,貝IJa=a,*=a,-2<'<^,.,.在-2VxV-1中存

a+b

在一個(gè)實(shí)數(shù)X。，使得a,故④正確.

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

53.(2016福建省廈門(mén)市)已知點(diǎn)P(m,n)在拋物線(xiàn)y二利?一芯一口上，當(dāng)m2-1時(shí)，總有nWl成

立，則a的取值范圍是

【答案】2^a<0.

【分析】依照題意畫(huà)出圖形，結(jié)合函數(shù)圖形以及已知條件可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解不等

式組即可得出a的取值范圍.

【解析】根據(jù)已知條件，畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示.

a<Q

---<-1

2a_1_j_

由己知得：［。+1一""1,解得：2<a<o.故答案為：2<a<o.

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

54.(2015南通)關(guān)于x的一元二次方程以2-3x-1=°的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都在-1和o之間(不

包括-1和0),則a的取值范圍是

9

——<a<-2

【答案】4

【解析】

試題分析：：關(guān)于X的一元二次方程?2-3x-l=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，..?△=(-3)2-4ax(-l)>0,

o

解得：a>—,設(shè)“x)=函-3x7,?.?實(shí)數(shù)根都在-1和。之間，.?.當(dāng)心>0時(shí),如圖①

4

>0,/(0)>0,/(0)=ax()2-3x0-l=-l<0,.?.此種情況不存在；

當(dāng)W0時(shí)，如圖②，/(一1)<0,/(0)<0,即"-1)=ax(-l)2-3(-l)-l<0,/(0)=-1<0,解

9Q

得：1>：.——va<—2,故答案為：一—<a<—2.

55.(2015宿遷)當(dāng)尤=機(jī)或X=〃(機(jī)#〃)時(shí)，代數(shù)式--21+3的值相等，則+八時(shí)，代數(shù)式

x、2x+3的值為.

【答案】3.

【解析】

試題分析：設(shè)y=d—2x+3,...當(dāng)x=利或％=〃(加彳〃)時(shí)，代數(shù)式Y(jié)—2X+3的值相等，

m+n_-2

22x1,，m+n=2,...當(dāng)％=，"+〃時(shí)，即x=2時(shí)，%2-2x+3=22-2x2+3=3,故答案為：3.

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2.條件求值；3.綜合題.

56.（2015賀州）已知二次函數(shù)丁=〃2+加+0的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①abc>0,②a-b+cV

0,③2a=b,④4a+2b+c>0,⑤若點(diǎn)（-2,X）和（3,%）在該圖象上，則其中正確的

結(jié)論是（填入正確結(jié)論的序號(hào)）.

【答案】②④.

1解析】

試題分析：...二次函數(shù)開(kāi)口向下，目與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，.:對(duì)稱(chēng)軸為戶(hù)1,二-2=1,

2a

.,.b=-2a>Q,.".abc<0,故①、③都不正確；

...當(dāng)尸-1時(shí)，y<0,.'a-HcVO,故②正確；

由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線(xiàn)與x軸的另一交點(diǎn)在2和3之間，.?.當(dāng)產(chǎn)2時(shí)，y>0,「.4K2匕+c>0,故④正

確｝

...拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為產(chǎn)1,...當(dāng)x<i時(shí)，）,隨x的增大而增大，V-2<-^,：.y\<y2,故⑤不

正確；

綜上可知正確的為②④，故答案為：②④.

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

57.（2015雅安）為美化小區(qū)環(huán)境，決定對(duì)小區(qū)的一塊空地實(shí)施綠化，現(xiàn)有一長(zhǎng)為20m的柵欄，要圍

成一扇形綠化區(qū)域，則該扇形區(qū)域的面積的最大值為

【答案】25m2.

【解析】

試題分析：設(shè)扇形區(qū)域的半徑為皿則扇形的弧長(zhǎng)為（20-2x）cm,該扇形區(qū)域的面積為聲加，則

），€式20-2冷=-幺+10》=-（》-5）?+25,...該扇形區(qū)域的面積的最大值為25加.故答案為：25注.

考點(diǎn)：L扇形面積的計(jì)算；2.最值問(wèn)題；3.二次函數(shù)的最值.

三、解答題

X2-（m+l）x+—（/??2+1）=0

58.（2017天門(mén)，第23題，10分）已知關(guān)于x的一元二次方程2有實(shí)數(shù)根.

（1）求m的值；

y=f-（m+l）x+—（m2+1）

（2）先作2的圖象關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形，然后將所作圖形向左平移3個(gè)單位

長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，寫(xiě)出變化后圖象的解析式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)直線(xiàn)y=2x+n(n2m)與變化后的圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求/一布的最大值和最

小值.

2

【答案】(1)1；(2)y=-x-4x-2.(3)最大值為21,最小值為-4.

【分析】(1)由題意△》()，列出不等式，解不等式即可；

(2)畫(huà)出翻折.平移后的圖象，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可寫(xiě)出函數(shù)的解析式；

(3)首先確定n的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

X2-(m+l)x+—(m2+1)=0

【解析】(1)對(duì)于一元二次方程2,△=(m+1)2-2(m2+l)=-m2+2m-1=

-(m-1)2,?.?方程有實(shí)數(shù)根，-(m-1)2^0,.*.m=l.

(2)由⑴可知y=f-2X+1=(X—1)2,圖象如圖所示：

平移后的解析式為y=—(x+2『+2,即k一爐-以-2.

y=2x+n

<

(3)由〔》=一爐一以一2消去丫得到X2+6X+“+2=0,由題意△》()，.?.36-4n-820,.…忘？，二'

Wm,m=l,，lWnW7,令y/=n2-4n=(n-2)2-4,/.n=2時(shí),yz的值最小，最小值為-4,n=7

時(shí)，y'的值最大，最大值為21,.?.I-4〃的最大值為21,最小值為-4.

點(diǎn)睛：本題考查拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法、翻折變換、平移變換、二次函數(shù)的最值問(wèn)題等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型.

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；根的判別式；二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的最值；最值問(wèn)題.

59.(2017云南省，第21題，8分)已知二次函數(shù)曠=-2/+瓜+c圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為小，8)>該二

次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為A,M是這個(gè)二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，0是原點(diǎn).

(1)不等式b+2c+820是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)設(shè)S是△AM0的面積，求滿(mǎn)足S=9的所有點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)成立；(2)M的坐標(biāo)為(2,6)或(4,6)或(3+6，-6)或C-幣,-6).

【分析】(1)由題意可知拋物線(xiàn)的解析式為y=-2(x-3)2+8,由此求出b、c即可解決問(wèn)題.

]_

(2)設(shè)M(m,n),由題意，?3|n|=9,可得n=±6,分兩種情形列出方程求出m的值即可；

【解析】(1)由題意拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(3,8),.?.拋物線(xiàn)的解析式為y=-2(x-3)2+8=-2x2+12x

-10,/.b=12,c=-10,/.b+2c+8=12-20+8=0,不等式b+2c+820成立.

(2)設(shè)M(m,n),由題意2?3|n|=9,，n=±6.

①當(dāng)n=6時(shí)，6=-2m2+12m-10,解得m=2或4；

②當(dāng)n=-6時(shí)，-6=-2m2+12m-10,解得m二3±S；

綜上所述：滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,6)或(4,6)或(3+萬(wàn)，-6)或X,,6).

點(diǎn)睛：本題考查拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二

次函數(shù)的三種形式，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；探究型；分類(lèi)討論.

60.(2017北京市，第27題，7分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)曠=石一以+3與*軸交于點(diǎn)A、

B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求直線(xiàn)BC的表達(dá)式；

(2)垂直于y軸的直線(xiàn)1與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P(xl,yl),Q(x2,y2),與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)N(x3,y3),

若xlVx2Vx3,結(jié)合函數(shù)的圖象，求xl+x2+x3的取值范圍.

【答案】(1)y=-x+3；(2)7<xl+x2+x3<8.

【分析】(1)利用拋物線(xiàn)解析式求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)BC的表達(dá)式即可；

(2)由拋物線(xiàn)解析式得到對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖形解答.

【解析】(1)由y=f—4x+3得至於丫=(x-3)(x-1),C(0,3).

b=3k=—1

<<

所以A(l,0),B(3,0),設(shè)直線(xiàn)BC的表達(dá)式為：y=kx+b(kWO),則：⑶+》=0,解得：位=3,

所以直線(xiàn)BC的表達(dá)式為y=-x+3；

(2)由尸幺一以+3得到：y=(x-2『-l,所以?huà)佄锞€(xiàn)V=公-4x+3的對(duì)稱(chēng)軸是*=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(2,-1).

Vyl=y2,.,.xl+x2=4.

令y=-l,y=-x+3,x=4.

".,xl<x2<x3,.*.3<x3<4>即7<xl+x2+x3<8.

點(diǎn)睛：本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn).解答(2)題時(shí)，利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，降低了

解題的難度.

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn).

4

y—x—

61.(2017四川省自貢市，第24題，10分)［探究函數(shù).》的圖象與性質(zhì)］

4

y=x+—

(1)函數(shù)x的自變量x的取值范圍是

4

y=x—

(3)對(duì)于函數(shù)％,求當(dāng)x>0時(shí)，y的取值范圍.

請(qǐng)將下列的求解過(guò)程補(bǔ)充完整.

解：Vx>0

y=x+—(V^)2+^~7=^2(?—聲)？

/.x=7x=，尤+

［拓展運(yùn)用］

X2-5X+9

y~

(4)若函數(shù)*，則y的取值范圍

【答案】(1)xWO；(2)C；(3)4,4；(4)y21.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.

4

y=x+—

【解析】(1)函數(shù)》的自變量x的取值范圍是xWO；

4

y=x+—

(2)函數(shù)x的圖象大致是C；

y=x+—(A/^)2+(—r=)2(G---7=)2

(3)解：Vx>0,x=7x=+4

(G—-j=:

：Vx20,.?.y24.

y=XL2_(&)2+(名2-5?壬+1

X+5

(4)X=X—'X—X

故答案為：xWO,C,4,4,y2l.

點(diǎn)睛：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)；閱讀型；探究型；綜合題.

62.（2017南京，第26題，8分）已知函數(shù)丁=一1+（加一1）"+"（m為常數(shù)）.

（1）該函數(shù)的圖象與x軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

A.0B.1C.2D.1或2

（2）求證：不論□為何值，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)都在函數(shù)y=a+i）?的圖象上.

（3）當(dāng)-2WmW3時(shí)，求該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】（1）D；（2）證明見(jiàn)解析；（3）0WzW4.

【分析】（1）表示出根的判別式，判斷其正負(fù)即可得到結(jié)果；

（2）將二次函數(shù)解析式配方變形后，判斷其頂點(diǎn)坐標(biāo)是否在已知函數(shù)圖象即可；

（3）根據(jù)m的范圍確定出頂點(diǎn)縱坐標(biāo)范圍即可.

【解析】（1）?.?函數(shù)'=—￡+（”一l）x+"（m為常數(shù)），...△=（m-1）2+4m=（m+1）220,則該函數(shù)

圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1或2,故選D；

G?！?以m-\,

（2）y=+（加—l）x+機(jī)二C2J4,把*=〒代入y=（"+l）一得：

'm-\（m+iy

y-----F1=------

l2J4，則不論m為何值，該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)都在函數(shù)y=（x+1）2的圖象上；

（加+1）-

（3）設(shè)函數(shù)z=4，當(dāng)m=-1時(shí)，z有最小值為0；

當(dāng)mV-1時(shí)，z隨m的增大而減?。?/p>

￡

當(dāng)m>-l時(shí)，z隨m的增大而增大，當(dāng)m=-2時(shí)，z=7；當(dāng)m=30寸，z=4,則當(dāng)-2WmW3時(shí)，該函

數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)的取值范圍是0WzW4.

點(diǎn)睛：此題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解

本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；最值問(wèn)題.

y=-x-2x

63.（2017江蘇省南通市，第25題，9分）某學(xué)習(xí)小組在研究函數(shù).6的圖象與性質(zhì)時(shí)，已

列表、描點(diǎn)并畫(huà)出了圖象的一部分.

X-4-3.5-3-2-101233.54

y_8738110H_8_378

~3~4823~6-3~2483

（1）請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)圖象；

一丁—2,x=—2

（2）方程6實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為

（3）觀(guān)察圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的兩條性質(zhì).

VA

【分析】(1)用光滑的曲線(xiàn)連接即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)函數(shù).-6和直線(xiàn)y=-2的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可得出結(jié)論;

(3)根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.

【解析】(1)補(bǔ)全函數(shù)圖象如圖所示：

(2)如圖1,作出直線(xiàn)y=-2的圖象，由圖象知，函數(shù)的圖象和直線(xiàn)y=2有三個(gè)交點(diǎn),

圖1

(3)由圖象知，1.此函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，2.此函數(shù)在x<-2和x>2,

y隨x的增大而增大，3.此函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，4.此函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

點(diǎn)睛：此題主要考查了函數(shù)圖象的畫(huà)法，利用函數(shù)圖象確定方程解的個(gè)數(shù)的方法，解本題的關(guān)鍵是補(bǔ)

全函數(shù)圖象.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象；圖象法求一元二次方程的近似根.

2

64.（2017江西省，第22題，9分）已知拋物線(xiàn)G：y=^-4ar-5（a＞0）.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸；

（2）①試說(shuō)明無(wú)論a為何值，拋物線(xiàn)G一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，并求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；

②將拋物線(xiàn)G沿這兩個(gè)定點(diǎn)所在直線(xiàn)翻折，得到拋物線(xiàn)G,直接寫(xiě)出G的表達(dá)式；

（3）若（2）中拋物線(xiàn)G的頂點(diǎn)到x軸的距離為2,求a的值.

【答案】（1）拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）或（5,0）,對(duì)稱(chēng)軸為x=2；（2）①定點(diǎn)為（0,

73

-5）,（4,-5）；@y=-^2+4ax-5.⑶@=了或了.

【分析】（1）將a=l代入解析式，即可求得拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)；

（2）①化簡(jiǎn)拋物線(xiàn)解析式，即可求得兩個(gè)點(diǎn)定點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可解題;

②根據(jù)拋物線(xiàn)翻折理論即可解題；

（3）根據(jù)（2）中拋物線(xiàn)C2解析式，分類(lèi)討論y=2或-2,即可解題；

【解析】⑴當(dāng)0=1時(shí)，拋物線(xiàn)解析式為尸＞4x-5=（x-2）2-9,.,.對(duì)稱(chēng)軸為

二當(dāng)）=0時(shí)，x-2=3或-3,即x=T或5,

.?拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）或（5,0）；

（2）①拋物線(xiàn)Ci解析式為：＞=ox2-4ox-5,整理得：x=ax（x-4）-5；

...當(dāng)ax（x-4）=0時(shí)，y恒定為-5j

..?拋物線(xiàn)G一定經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)（0,-5）,（4,-5）j

②這兩個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)為尸-5:

將拋物線(xiàn)G沿產(chǎn)-5翻折，得到拋物線(xiàn)6,開(kāi)口方向變了，但是對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)變;

..?拋物線(xiàn)U解析式為：y=-ax1+4ax-5；

(3)拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)到x軸的距離為2,則x=2時(shí)，y=2或者-2；

7

當(dāng)y=2時(shí)，2=-4a+8a-5,解得，a=4；

3_

當(dāng)y=-2時(shí)，-2=-4a+8a-5,解得，a=4；

73_

?,.a=7或了；

點(diǎn)睛：本題考查了代入法求拋物線(xiàn)解析式的方法，考查了拋物線(xiàn)翻折后對(duì)稱(chēng)軸不變的原理，考查了拋

物線(xiàn)頂點(diǎn)的求解.

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象與幾何變換；定值問(wèn)題；分類(lèi)討論.

65.(2017湖北省荊州市，第23題，10分)已知關(guān)于x的一元二次方程/+("5)x+l4=°,其中

k為常數(shù).

(1)求證：無(wú)論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；

(2)已知函數(shù)y=丁+(女-5口+1-女的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，求k的取值范圍；

(3)若原方程的一個(gè)根大于3,另一個(gè)根小于3,求k的最大整數(shù)值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)kWl；(3)2.

【分析】(1)求出方程的判別式△的值，利用配方法得出△>(),根據(jù)判別式的意義即可證明；

(2)由于二次函數(shù)'=/+(左一5)x+l的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，又△:(k-5)2-4(1-k)=(k

-3)2+12>0,所以?huà)佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)在x軸的下方經(jīng)過(guò)一、二、四象限，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)知道拋物線(xiàn)開(kāi)

口向上，由此可以得出關(guān)于k的不等式組，解不等式組即可求解；

(3)設(shè)方程的兩個(gè)根分別是xl,x2,根據(jù)題意得(xl-3)(x2-3)<0,根據(jù)一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系求得k的取值范圍，再進(jìn)一步求出k的最大整數(shù)值.

【解析】(1)證明:"/△=(k-5)2-4(1-k)=k2-6k+21=(k-3)2+12>0,無(wú)論k為何值，

方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；

(2)解：?.?二次函數(shù)伏-5)x+l-4的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，二次項(xiàng)系數(shù)a=l,.?.拋物線(xiàn)開(kāi)

口方向向上，???△=(k-3)2+12>0,.,.拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

分別為xl,x2,.\xl+x2=5-k>0,xlx2=l-k20,解得kWl,即k的取值范圍是k〈l；

(3)解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別是xl,x2,根據(jù)題意，得(xl-3)(x2-3)<0,即xlx2-3(xl+x2)

5_

+9<0,又xl+x2=5-k,xlx2=l-k,代入得，1-k-3(5-k)+9<0,解得kV^.則k的最大整數(shù)

值為2.

點(diǎn)睛：本題考查了拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，

根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度適中.

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)；根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì).

k

,y=~

66.(2017湖南省株洲市，第24題，8分)如圖所示，RtZ\PAB的直角頂點(diǎn)P(3,4)在函數(shù)》(x

y=-

>0)的圖象上，頂點(diǎn)A、B在函數(shù)》(x>0,0<t<k)的圖象上，PA〃x軸，連接OP,0A,記4

OPA的面積為SAOPA,APAB的面積為SAPAB,設(shè)w=SAOPA-SAPAB.

①求k的值以及w關(guān)于t的表達(dá)式；

②若用wmax和wmin分別表示函數(shù)w的最大值和最小值，令T=wmax+a2-a,其中a為實(shí)數(shù)，求Tmin.

-上產(chǎn)+L2

【答案】①k=12,w=245；②"

1LLL

【分析】（1）由點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而得SaPAB=5?PA?PB=，（4-3）（3-4）,

再根據(jù)反比例系數(shù)k的幾何意義知SAOPA=SAOPC-SA0AC=6-由w=SAOPA-SAPAB可得答案;

3

（2）將（1）中所得解析式配方求得wmax=5,代入T=wmax+a2-a配方即可得出答案.

y=—t—t—t

【解析】(1)?.,點(diǎn)P(3,4),，k=3X4=12,在.x中，當(dāng)x=3時(shí)，y=3,即點(diǎn)A(3,3),當(dāng)y=4

tt1\tt

時(shí)，x=4,即點(diǎn)B(1,4),則SaPAB=彳?PA?PB=5(4-§)(3-了)，如圖，延長(zhǎng)PA交x軸于點(diǎn)C,

j_LLLL

貝|JPCJ_X軸，XSA0PA=SA0PC-SA0AC=2X3X4-2t=6-2t,.-.w=6-2t-2(4-3)(3-4)

24a+3(a.*

wmax=2,貝T=wmax+a2-a=2=24,.?.當(dāng)

2時(shí),Tmin=4.

點(diǎn)睛：本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例系數(shù)k的幾何

意義及配方法求二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的最值；最值問(wèn)題.

67.(2016四川省攀枝花市)如圖，拋物線(xiàn)，=公+板+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),

與y軸交于點(diǎn)C(0,-3)

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)位于第四象限的部分上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊

形ABPC的最大面積.

(3)直線(xiàn)1經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)位于y軸左側(cè)的部分上運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)Q,是

否存在直線(xiàn)m,使得直線(xiàn)1、m與x軸圍成的三角形和直線(xiàn)1、m與y軸圍成的三角形相似？若存在，

求出直線(xiàn)m的解析式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2_15

【答案】(1)'=(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(7,一W)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為

8；(3)存在，.3

【分析】(1)由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線(xiàn)的解析式；

(2)連接BC,則AABC的面積是不變的，過(guò)P作PM〃y軸，交BC于點(diǎn)M,設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出

PM的長(zhǎng)，可知當(dāng)PM取最大值時(shí)APBC的面積最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)及四邊形

ABPC的最大面積；

(3)設(shè)直線(xiàn)m與y軸交于點(diǎn)N,交直線(xiàn)1于點(diǎn)G,由于NAGP=NGNC+NGCN,所以當(dāng)4AGB和ANGC相

似時(shí)，必有/AGB=NCGB=90°,則可證得△A0CgZ\N0B,可求得ON的長(zhǎng)，可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，利用B、

N兩的點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線(xiàn)m的解析式.

【解析】

9+3〃+c=0|7?=-2

<<

(1)把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式可得：〔，=一3，解得：3,...拋物線(xiàn)解析式為

y=x2—2x—3.

(2)如圖1,連接BC,過(guò)Py軸的平行線(xiàn)，交BC于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)H,

在y=Y-2x-3中，令y=o可得0=/-2%-3,解得x=-1或x=3,...A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),/.AB=3

-(-1)=4,且OC=3,.\SAABC=2AB?OC=2X4X3=6,VB(3,0),C(0,-3),，直線(xiàn)BC解析

式為y=x-3,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,f-2X-3),則M點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x-3),點(diǎn)在第四限，

￡￡￡J_2

.?.PMk-3一(f—2x—3)=—f+3x,.?.s^PBC=5pM?0H+5PM?HB=5pM?(OH+HB)=，PM?0B=5pM,/.

當(dāng)PM有最大值時(shí)，APBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，?.?PM=r2+3x=24,

2222Z2_15

當(dāng)x=2時(shí),PMmax=4,則SAPBC=24=8,此時(shí)p點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,s四邊形

27753

ABPC=SAABC+SAPBC=6+8=8,即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（彳，4）時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大面

75

積為8；

(3)如圖2,設(shè)直線(xiàn)m交y軸于點(diǎn)N,交直線(xiàn)1于點(diǎn)G,則/AGP=/GNC+/GCN,當(dāng)AAGB和△NGC相

似時(shí)，必有NAGB=NCGB,XZAGB+ZCGB=180°,/.ZAGB=ZCGB=90°,ZAC0=Z0BN,在RSAON

和RtZSNOB中，VZA0C=ZN0B,OC=OB,ZAC0=ZNB0,ARtAAON^RtANOB(ASA),.\ON=OA=1,AN

k=L

3Z+d=0\3

<

點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),設(shè)直線(xiàn)m解析式為丫二1^+已把B、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得l"=T，解得：〔"=T,

11

y=_x_1y=-x—1

...直線(xiàn)m解析式為.3,即存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)m,其解析式為3.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；存在型；最值問(wèn)題；二次函數(shù)的最值；動(dòng)點(diǎn)型；壓軸題.

k

y=~

68.（2016四川省雅安市）已知直線(xiàn)11：y=x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,且與雙曲線(xiàn)》交

于點(diǎn)C（1,a）.

(1)試確定雙曲線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)將11沿y軸翻折后，得到12,畫(huà)出12的圖象，并求出12的函數(shù)表達(dá)式；

(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是線(xiàn)段AC上點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線(xiàn)，分別交12于

點(diǎn)M,交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)N,求SZSAMN的取值范圍.

必

6-

5-

4-

3-

2-

-------1-------1---->

-6-5-4-3-2-10123456x

-2

-3

-4

-5

-6

47_

y=~

【答案】(1)X；(2)y=-x+3；(3)C^SAAMN<4.

【分析】（1）令x=l代入一次函數(shù)y=x+3后求出C的坐標(biāo)，然后把C代入反比例函數(shù)解析式中即可求

出k的值；

（2）設(shè)直線(xiàn)12與x軸交于D,由題意知，A與D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以可以求出D的坐標(biāo)，再把B點(diǎn)

坐標(biāo)代入y=ax+b即可求出直線(xiàn)12的解析式；

44

（3）設(shè)M的縱坐標(biāo)為t,由題意可得M的坐標(biāo)為（3-t,t）,N的坐標(biāo)為（/,t）,進(jìn)而得MN=f+t

-3,又可知在AABM中，MN邊上的高為t,所以可以求出SZkAMN與t的關(guān)系式.

【解析】(D令x=l代入戶(hù)x+3>.,?產(chǎn)1+3=4,4"把C(l>4)代入)，=一中，，行工.二雙曲線(xiàn)

x

4

的解析式為：>=-5

X

(2)如圖所示，設(shè)直線(xiàn)上與x軸交于點(diǎn)由題意知：A與。關(guān)于丁軸對(duì)稱(chēng)，???。的坐標(biāo)為(3,0),設(shè)

直線(xiàn)〃的解析式為：產(chǎn)G+匕，把。與3的坐標(biāo)代入上式，得：〈八1???解得：.?.直線(xiàn)/2

0=3a+o0=3

(3)設(shè)M(3-t,t),?.?點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上移動(dòng)(不包括端點(diǎn))，...OCtV*...PN〃x軸，，N的縱坐

44y_―444

標(biāo)為t,把y=t代入%,.-.x=t,.-.N的坐標(biāo)為('，t),Z.MN=t-(3-t)=f+t-3,過(guò)點(diǎn)A

114123cl/3、27

————t—j+2—(,)H

作AELPN于點(diǎn)E,/.AE=t,.*.SAAMN=2AE?MN=2t(+t-3)=22=228.

23

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，S4AMN隨t的增大而減小，當(dāng)5<tW4時(shí)，S4A