數(shù)學（人教版必修3）課件222用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

第二章統(tǒng)計2.2用樣本估計總體2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1．會求樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標準差．(重點)2．理解用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征的方法．(難點)3．會應用相關(guān)知識解決簡單的統(tǒng)計問題．(重點、易錯點)1．眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中________________的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于________位置的數(shù)．如果個數(shù)是偶數(shù)，那么取_______兩個的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的_______除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)．出現(xiàn)次數(shù)最多

中間

中間

和

(1)10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(

)A．a(chǎn)>b>c

B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a答案：D(2)有一組數(shù)據(jù)，其中10,12,13,15,16出現(xiàn)的頻率分別是0.15,0.2,0.3,0.2,0.15，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．解析：該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10×0.15＋12×0.2＋13×0.3＋15×0.2＋16×0.15＝13.2．答案：13.22．標準差與方差(1)標準差：標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示，通常用如下公式來計算標準差s＝___________________________________________．顯然，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。?2)方差：標準差s的平方s2，即s2＝__________________________________________．叫做這組數(shù)據(jù)的方差，同標準差一樣，方差也是用來測量樣本數(shù)據(jù)的分散程度的特征數(shù)．在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：9．4

8.4

9.4

9.9

9.6

9.4

9.7去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為(

)A．9.4,0.484 B．9.4,0.016C．9.5,0.04 D．9.5,0.016答案：D判斷下列說法是否正確，正確的在后面的括號內(nèi)打“√”，錯誤的打“×”．1．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個或幾個，也可以沒有．(

)2．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定存在且是唯一的．(

)3．樣本容量越小，樣本平均數(shù)越接近總體平均數(shù)．(

)4．標準差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小．(

)答案：1.√

2.√

3.×

4.√

據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡單應用(1)求該公司的職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)．(2)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司職工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．【思路點撥】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)概念求值，再進行評估說明．解：(1)平均數(shù)是＝1500＋(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20)÷33≈1500＋591＝2091(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(2)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司職工的工資水平．因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導致平均數(shù)與中位數(shù)、眾數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司職工的工資水平．2．中位數(shù)的求法(1)當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，中位數(shù)是按從小到大(或從大到小)的順序依次排列的中間那個數(shù)．(2)當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，中位數(shù)為按從小到大(或從大到小)的順序依次排列的最中間的兩個數(shù)的平均數(shù)．答案：A

甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差．(2)根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．標準差、方差的應用2．(2017·高考全國卷Ⅰ)為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn.下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)B．x1，x2，…，xn的標準差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)解析：因為可以用極差、方差或標準差來描述數(shù)據(jù)的離散程度，所以要評估畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度，應該用樣本數(shù)據(jù)的極差、方差或標準差.故選B．答案：B

某中學舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05．

數(shù)字特征的綜合運用求：(1)高一參賽學生的成績的眾數(shù)、中位數(shù)．(2)高一參賽學生的平均成績．【思路點撥】根據(jù)數(shù)字特征在直方圖中的求法求解．解：(1)由圖可知眾數(shù)為65．又∵第一個小長方形的面積為0.3，∴設中位數(shù)為60＋x，則0.3＋x×0.04＝0.5，解得x＝5．∴中位數(shù)為60＋5＝65．(2)依題意，平均成績?yōu)?5×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，∴平均成績約為67分．

1.利用頻率分布直方圖估計數(shù)字特征．(1)眾數(shù)是最高的小長方形的底邊的中點．(2)中位數(shù)左、右兩側(cè)直方圖的面積相等．(3)平均數(shù)等于每個小長方形的面積與小長方形底邊中點的橫坐標的乘積之和．2．利用直方圖求的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計值，與實際數(shù)據(jù)可能不一致．3．從高三抽出50名學生參加數(shù)學競賽，由成績得到如下的頻率分布直方圖．試利用頻率分布直方圖求：(1)這50名學生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；(2)這50名學生的平均成績．解：(1)由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中最高的小長方形底邊中點的橫坐標即為所求，所以眾數(shù)應為75．將頻率分布直方圖中所有小長方形的面積一分為二的直線所對應的成績即為中位數(shù)．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三個小長方形面積的和為0.3．而第四個小長方矩形面積為0.03×10＝0.3,0.3＋0.3＞0.5，∴中位數(shù)應位于第四個小長方形內(nèi)．設其底邊為x，由高為0.03，∴令0.03x＝0.2，得x≈6.7．故中位數(shù)應為70＋6.7＝76.7．(2)樣本平均值應是頻率分布直方圖的“重心”，取每個小長方形底邊的中點的橫坐標乘以每個小長方形的面積求和即可．平均成績?yōu)?5×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2(分)．學習本節(jié)內(nèi)容，需把握以下幾個方面：(1)平均數(shù)受個別極端數(shù)據(jù)(比其他數(shù)據(jù)大很多或小很多的數(shù)據(jù))影響大，因此若在數(shù)據(jù)中存在少量極端數(shù)據(jù)時，平均數(shù)對總體估計的可靠性較差，往往用眾數(shù)或中位數(shù)去估計總體．有時也采用剔除最大值與最小值后所得的平均數(shù)去估計總體．(2)用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似．實際應用