北師大版選擇性343第1課時(shí)空間中的角課件（27張）

第1課時(shí)空間中的角第三章內(nèi)容索引0102自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、兩條直線的夾角1.兩條直線的夾角(1)當(dāng)兩條直線a與b相交時(shí),我們把兩條直線交角中范圍在

內(nèi)的角叫作兩條直線的夾角,如圖3-4-8①所示;當(dāng)兩條直線平行時(shí),規(guī)定它們的夾角為0.①當(dāng)兩條直線a與b是異面直線時(shí),在空間任取一點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線a'和b',使得a'∥a,b'∥b,把a(bǔ)',b'的夾角叫作異面直線a與b的夾角,如圖3-4-8②所示.空間直線由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向確定,所以空間兩條直線的夾角由它們的方向向量的夾角確定.②圖3-4-82.若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°,則異面直線l1與l2的夾角等于(

).A.30° B.150° C.30°或150° D.以上均錯(cuò)解析:l1與l2的夾角與其方向向量的夾角相等或互補(bǔ),且異面直線的夾角的范圍是(0,].故選A.答案:A二、直線與平面的夾角1.直線與平面的夾角和直線與平面的垂線的夾角互余.設(shè)向量l為直線l的一個(gè)方向向量,n是平面α的一個(gè)法向量,則直線l與平面α的夾角θ∈

,且θ=-<l,n>(如圖3-4-9①)或θ=<l,n>-(如圖3-4-9②),故sinθ=|cos<l,n>|.①

②

圖3-4-92.已知直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角為135°,則直線l與平面α的夾角為(

).A.135° B.45°C.75° D.以上均錯(cuò)解析:直線l與平面α的夾角θ∈[0,90°],且θ=135°-90°=45°,故選B.答案:B三、平面與平面的夾角1.一般地,已知n1,n2分別為平面α,β的法向量,則二面角α-l-β的平面角與兩法向量所成角<n1,n2>相等(如圖3-4-10①)或互補(bǔ)(如圖3-4-10②).①

②

圖3-4-102.平面α與平面β相交,形成四個(gè)二面角,我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面α與平面β的夾角.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ,則3.若二面角的兩個(gè)半平面的法向量分別為(4,2,0)和(3,-6,5),則這個(gè)二面角的余弦值是(

).解析:4×3+2×(-6)+0×5=0,則二面角的兩個(gè)半平面的法向量互相垂直.故這個(gè)二面角的余弦值是0.答案:A合作探究釋疑解惑探究一求異面直線所成的角【例1】

如圖3-4-11,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,AB⊥AD,且PA=AB=BC=AD=1,求PB與CD的夾角.圖3-4-11解法二:建立如答圖3-4-9的空間直角坐標(biāo)系,答圖3-4-9兩條異面直線的夾角θ的求法(1)傳統(tǒng)幾何法:通過(guò)直線平移構(gòu)造三角形求解.(2)向量求法:設(shè)直線a,b的方向向量分別為a,b,則有cos

θ=|cos<a,b>|=.用向量法求異面直線的夾角時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn):①若求出的兩向量的夾角為鈍角,則異面直線的夾角應(yīng)為兩向量夾角的補(bǔ)角,即cos

θ=|cos<a,b>|;②若具備建系條件,常建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩直線方向向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解,否則利用空間向量數(shù)量積的定義式求解.探究二求直線與平面的夾角【例2】

如圖3-4-12,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)求證:MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN夾角的正弦值.圖3-4-12(1)證明:由已知得AM=AD=2.如答圖3-4-10,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN.因?yàn)镹為PC的中點(diǎn),所以TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TN

AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形,于是MN∥AT.因?yàn)锳T?平面PAB,MN?平面PAB,所以MN∥平面PAB.答圖3-4-10用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量.利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求直線的方向向量

;(3)求平面的法向量n;探究三求平面與平面的夾角【例3】

如圖3-4-13,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)求證:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求平面B1OC1與平面BDD1B1夾角的余弦值.(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD.又CC1∥DD1∥OO1,所以O(shè)O1⊥AC,OO1⊥BD.因?yàn)锳C∩BD=O,所以O(shè)1O⊥底面ABCD.圖3-4-13(2)解:因?yàn)樗睦庵乃欣忾L(zhǎng)都相等,所以四邊形ABCD為菱形,從而AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,所以O(shè)B,OC,OO1兩兩垂直.如如答圖3-4-11,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)四棱柱的棱長(zhǎng)為2,因?yàn)椤螩BA=60°,所以O(shè)B=,OC=1,所以O(shè)(0,0,0),B1(,0,2),C1(0,1,2)