2022-2023學(xué)年湖北省荊州市部分校高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省荊州市部分校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，則.故選：D.3.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，由可得，.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，所以，，，所以.故選：B.4.已知兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榍?，可得，解得或，又因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所以，即，故“”是“”的充要條件．故選：C.5.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，所以，得.故選：D6.在正方形中，，分別為的中點(diǎn)，，則（）A.2 B.1 C.10 D.4〖答案〗A〖解析〗由題知，在正方形中，，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題可知，，，則，，所以.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以.因?yàn)椋?，即，則.故選：C.8.在中，為上的中線，為的中點(diǎn)，，分別為線段，上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B，C），且M，N，G三點(diǎn)共線，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意，設(shè)，，則，所以，，得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）.故選：D二、多選題9.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（）A.，，，有兩解B.，，，有兩解C.，，，只有一解D.，，，只有一解〖答案〗CD〖解析〗對于A，因?yàn)?，，則，由正弦定理，得，顯然有唯一結(jié)果，即只有一解，A錯(cuò)誤；對于B，，，，由正弦定理得，無解，B錯(cuò)誤；對于C，，，，有，則，由正弦定理得，有唯一解，C正確；對于D，，，，有，則，此時(shí)，有唯一解，D正確.故選：CD10.已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，且為復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)，則（）A.的虛部為B.為純虛數(shù)C.D.以為三邊長的三角形為鈍角三角形〖答案〗BCD〖解析〗對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以的虛部為，所以A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以為純虛?shù)，所以B正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，所以，所以C正確；對于D項(xiàng)，由已知可得，，，且，所以，，所以D正確.故選：BCD.11.在中，內(nèi)角對邊分別為，的角平分線交于，為的中點(diǎn)，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AD〖解析〗對于A項(xiàng)，由可得，，則，所以，.因?yàn)?，則，即，故A正確；對于B項(xiàng)，由A知，，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，由題可知，所以.因?yàn)?，所以，整理可得，所以，故C錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，由C可知，，故D項(xiàng)正確.故選：AD.12.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.在向量上的投影向量為C.若，則為的中點(diǎn)D.若在線段上，且，則的取值范圍為〖答案〗BD〖解析〗如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，整理得到，，，，設(shè)，對選項(xiàng)A：，，，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：，，，即投影向量為，正確；對選項(xiàng)C：，，，整理得到，即，與正八邊形有兩個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：，，，，，整理得到，，故，正確.故選：CD三、填空題13.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，則.故〖答案〗為：.14.若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．〖答案〗①.②.〖解析〗當(dāng)時(shí)，不等式對不恒成立，不符合題意（舍去）；當(dāng)時(shí)，要使得對恒成立，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.因?yàn)?，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為．故〖答案〗為：；.15.如圖，在平行四邊形中，，，，延長交于點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，即為的中點(diǎn)，所以.又，所以.故〖答案〗為：.16.廣州國際金融中心大樓，簡稱“廣州IFC”，又稱“廣州西塔”，位于廣東省廣州市，為地處天河中央商務(wù)區(qū)的一棟摩天大樓，東面珠江公園，南鄰珠江和廣州塔，西近廣州大道，北望天河體育中心與白云山.小勝為測量其高度，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，其中，，三點(diǎn)共線且與廣州國際金融中心大樓底部在同一水平高度，已知米，則廣州國際金融中心大樓的高度為______米.〖答案〗435〖解析〗如圖是塔底，顯然與垂直，，，，設(shè)，則，，，由余弦定理得，，因?yàn)?，，即，所以，即，解得．故〖答案〗為?35.四、解答題17.已知復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù).（1）判斷在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限，并說明理由；（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，解關(guān)于的一元二次方程.解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.（2）由（1）可得，，則方程為，即，所以，解得，故關(guān)于的方程的根為或.18.設(shè)，是不共線的兩個(gè)向量，若，，．（1）若，，且，求與的夾角；（2）若A，B，C三點(diǎn)共線，求m值．解：（1）依題意，時(shí)，，因?yàn)?，所以，又，所以，則，而，所以與的夾角為．（2）因?yàn)?，，且A，B，C三點(diǎn)共線，所以存在，使得，即，則，解得．19.已知函數(shù)，且，當(dāng)?shù)亩x域是時(shí)，此時(shí)值域也是.（1）求的值；（2）若，證明為奇函數(shù)，并求不等式的解集.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且.又在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且.又在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.綜上，，或，.（2）因?yàn)椋?，，則，定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以奇函?shù).則不等式，可化為.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以不等式的解集為.20.已知分別為內(nèi)角所對的邊，，且．（1）求；（2）求的取值范圍．解：（1），由及正弦定理，得，得，代入得，又因?yàn)?，所以．?）由（1）知，所以.所以，因?yàn)?所以，所以，所以，故的取值范圍是.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且圖中的.（1）求〖解析〗式；（2）判斷函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.解：（1）由圖可知，又圖象的一條對稱軸為直線，由，得，所以，因?yàn)椋?，得，又，所以，?（2）在上有個(gè)零點(diǎn).理由如下：在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于的圖象與直線在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，與，的函數(shù)圖象如下所示：由圖可知兩函數(shù)有且只有個(gè)交點(diǎn)，故在上有個(gè)零點(diǎn).22.在某郁金香主題公園景區(qū)中，春的氣息熱烈而濃厚，放眼望去各色郁金香讓人心潮澎湃，黑色“夜皇后”低調(diào)而奢華；白色“塔克馬山”葉片疊層豐富，姿態(tài)雍容華貴；粉色“香奈兒”微微張開花瓣，自帶芬芳.園區(qū)計(jì)劃在如圖所示的區(qū)域內(nèi)種植櫻花和風(fēng)信子，讓游客在花的海洋里有不一樣的體驗(yàn)，其中區(qū)域種植櫻花，區(qū)域種植風(fēng)信子.為了滿足游客觀賞需要，現(xiàn)欲在射線上分別選一處，修建一條貫穿兩區(qū)域的直路與相交于點(diǎn)，其中每百米的修路費(fèi)用為萬元.已知，百米，設(shè).（1）試將修路總費(fèi)用表示為的函數(shù)；（2）求修路總費(fèi)用的最小值.解：（1）在中，，，，根據(jù)正弦定理得，則.在中，，所以，由正弦定理得，即，所以.所以，.（2）因?yàn)?令，因?yàn)椋?，所?又，所以.令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)，即時(shí)，，所以修路總費(fèi)用的最小值為6萬元.湖北省荊州市部分校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，則.故選：D.3.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知可得，，由可得，.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，所以，，，所以.故選：B.4.已知兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榍?，可得，解得或，又因?yàn)闉榉橇阆蛄浚?，即，故“”是“”的充要條件．故選：C.5.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，所以，得.故選：D6.在正方形中，，分別為的中點(diǎn)，，則（）A.2 B.1 C.10 D.4〖答案〗A〖解析〗由題知，在正方形中，，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題可知，，，則，，所以.故選：A.7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以.因?yàn)?，所以，即，則.故選：C.8.在中，為上的中線，為的中點(diǎn)，，分別為線段，上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，B，C），且M，N，G三點(diǎn)共線，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意，設(shè)，，則，所以，，得，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）.故選：D二、多選題9.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（）A.，，，有兩解B.，，，有兩解C.，，，只有一解D.，，，只有一解〖答案〗CD〖解析〗對于A，因?yàn)椋?，則，由正弦定理，得，顯然有唯一結(jié)果，即只有一解，A錯(cuò)誤；對于B，，，，由正弦定理得，無解，B錯(cuò)誤；對于C，，，，有，則，由正弦定理得，有唯一解，C正確；對于D，，，，有，則，此時(shí)，有唯一解，D正確.故選：CD10.已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，且為復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)，則（）A.的虛部為B.為純虛數(shù)C.D.以為三邊長的三角形為鈍角三角形〖答案〗BCD〖解析〗對于A項(xiàng)，因?yàn)?，所以的虛部為，所以A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，因?yàn)椋詾榧兲摂?shù)，所以B正確；對于C項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，所以，所以C正確；對于D項(xiàng)，由已知可得，，，且，所以，，所以D正確.故選：BCD.11.在中，內(nèi)角對邊分別為，的角平分線交于，為的中點(diǎn)，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗AD〖解析〗對于A項(xiàng)，由可得，，則，所以，.因?yàn)?，則，即，故A正確；對于B項(xiàng)，由A知，，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，由題可知，所以.因?yàn)椋?，整理可得，所以，故C錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，由C可知，，故D項(xiàng)正確.故選：AD.12.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.在向量上的投影向量為C.若，則為的中點(diǎn)D.若在線段上，且，則的取值范圍為〖答案〗BD〖解析〗如圖所示：以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，整理得到，，，，設(shè)，對選項(xiàng)A：，，，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：，，，即投影向量為，正確；對選項(xiàng)C：，，，整理得到，即，與正八邊形有兩個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：，，，，，整理得到，，故，正確.故選：CD三、填空題13.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋瑒t.故〖答案〗為：.14.若不等式對恒成立，則a的取值范圍是__________，的最小值為__________．〖答案〗①.②.〖解析〗當(dāng)時(shí)，不等式對不恒成立，不符合題意（舍去）；當(dāng)時(shí)，要使得對恒成立，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.因?yàn)?，可得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的最小值為．故〖答案〗為：；.15.如圖，在平行四邊形中，，，，延長交于點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗由已知可得，，所以，即為的中點(diǎn)，所以.又，所以.故〖答案〗為：.16.廣州國際金融中心大樓，簡稱“廣州IFC”，又稱“廣州西塔”，位于廣東省廣州市，為地處天河中央商務(wù)區(qū)的一棟摩天大樓，東面珠江公園，南鄰珠江和廣州塔，西近廣州大道，北望天河體育中心與白云山.小勝為測量其高度，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，其中，，三點(diǎn)共線且與廣州國際金融中心大樓底部在同一水平高度，已知米，則廣州國際金融中心大樓的高度為______米.〖答案〗435〖解析〗如圖是塔底，顯然與垂直，，，，設(shè)，則，，，由余弦定理得，，因?yàn)?，，即，所以，即，解得．故〖答案〗為?35.四、解答題17.已知復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù).（1）判斷在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限，并說明理由；（2）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，解關(guān)于的一元二次方程.解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)，所以，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.（2）由（1）可得，，則方程為，即，所以，解得，故關(guān)于的方程的根為或.18.設(shè)，是不共線的兩個(gè)向量，若，，．（1）若，，且，求與的夾角；（2）若A，B，C三點(diǎn)共線，求m值．解：（1）依題意，時(shí)，，因?yàn)?，所以，又，所以，則，而，所以與的夾角為．（2）因?yàn)?，，且A，B，C三點(diǎn)共線，所以存在，使得，即，則，解得．19.已知函數(shù)，且，當(dāng)?shù)亩x域是時(shí)，此時(shí)值域也是.（1）求的值；（2）若，證明為奇函數(shù)，并求不等式的解集.解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且.又在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，且.又在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.綜上，，或，.（2）因?yàn)?，所以，，則，定義域?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋云婧瘮?shù).則不等式，可化為.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，