2022-2023學(xué)年湖北省武漢市江岸區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市江岸區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗故選：C.2.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗從小到大排列數(shù)據(jù)為：；所以眾數(shù)為4，中位數(shù)為，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，.故選：C.3.已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為向量與的夾角為，且，，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：C4.某校200名學(xué)生參加環(huán)保知識競賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成組（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.006B.估計某校成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為50人C.估計這20名學(xué)生考試成績的眾數(shù)為80分D.估計這20名學(xué)生考試成績的第60百分位數(shù)為80分〖答案〗D〖解析〗由頻率分布直方圖，得：，解得，故A錯誤；總體中成績落在,內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故B正確．這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為75，故C錯誤；前三個矩形的面積和為，這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的第60百分?jǐn)?shù)為80，故D正確；故選：D5.已知是三條不同的直線，是三個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.，則B.與異面，，則不存，使得C.，則D.，則〖答案〗A〖解析〗對于A，因為，如下圖，若分別為面、面、面，且為，顯然面，則，故A正確；對于B，如下圖，為直線，為直線，為直線，取的中點，連接，所以四邊形為，存在，使得，故B錯誤；對于C，若，則相交、平行、異面，所以C錯誤；對于D，若，則，所以D錯誤.故選：A.6.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，是側(cè)面（包含邊界）上的一動點，若平面，則線段長度的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖所示，分別取棱，的中點、，連，，，，，分別為所在棱的中點，則，，，又平面，平面，平面.，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，平面平面.是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，點必在線段上.在中，.同理，在中，可得，為等腰三角形.當(dāng)點為中點時，，此時最短；點位于、處時，最長.，.線段長度的取值范圍是.故選：C.7.已知是邊上的點，且為的外心，則的值為（）A. B.10 C. D.9〖答案〗A〖解析〗因為，所以，因此，取、中點分別為、，則，，因此，，所以.故選：A8.已知正四棱錐的側(cè)面是邊長為6的正三角形，若其側(cè)棱上的八個三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如第一個圖所示，正四棱錐中，其側(cè)棱上的八個三等分點構(gòu)成正四棱臺，且正方形的邊長為2，正方形的邊長為4；正四棱臺中，設(shè)、分別是上、下底面對角線交點，即上、下底面中心，是正四棱臺的高．，，在直角梯形中，，由對稱性外接球球心在直線上，設(shè)球半徑為，連接，，，若在線段上（如第二個圖所示），由得，因為，，所以方程無實數(shù)解，因此在的延長線上（如第三個圖所示），即在平面下方，因此有，解得，所以球表面積為．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目條件.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）AB.C.若復(fù)數(shù)滿足，則或D.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線〖答案〗BD〖解析〗對于A，由于復(fù)數(shù)不能比較大小，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，所以，故B正確；對于C，設(shè)，若復(fù)數(shù)滿足，則，所以復(fù)數(shù)不只是或，故C錯誤；對于D，設(shè)，由于，所以，所以，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所構(gòu)成的軌跡為軸，是直線，故D正確；故選：BD.10.為了解學(xué)生每個月在圖書館借閱書籍的數(shù)量，圖書管理員甲抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為8：圖書管理員乙也抽取了一個容量為200的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為9，方差為11.若將兩個樣本合在一起組成一個容量為300的新樣本，則新樣本數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為7.5 B.平均數(shù)為8C.方差為12 D.方差為10〖答案〗BC〖解析〗新樣本平均數(shù)為，故A錯誤，B正確；所以合并一起后樣本的方差為，故選項C正確，D錯誤，故選：BC.11.已知，且，當(dāng)時，定義平面坐標(biāo)系為“-仿射”坐標(biāo)系，在“-仿射”坐標(biāo)系中，任意一點的斜坐標(biāo)這樣定義：分別為軸，軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（）A.設(shè)，則B.設(shè)，若，則C設(shè)，若，則D.設(shè)，若與的夾角為，則〖答案〗BD〖解析〗，對于A：即，故選項A錯誤；對于B：若，當(dāng)即時，顯然滿足：；當(dāng)即或時，則，使得，即則可得，消去得：，故選項B正確；對于C：∵，則，可得，若，則，故選項C錯誤；對于D：∵，由選項A可得：，，由選項C可得：，若與的夾角為，則，即，整理可得，，解得或（舍去），∵，則，故選項D正確；故選：BD．12.某組合體由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列說法正確的有（）A.多面體的體積為B.經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為C.異面直線與所成的角的余弦值為D.球離球托底面的最小距離為〖答案〗ACD〖解析〗因為托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，所以連接、和得幾何體，因此構(gòu)建一個底面邊長為2，高為的正三棱柱，取、和的中點分別為、和，則幾何體就是題意中的幾何體，如圖：這個兒何體的上底面是邊長為1的正三角形，下底面是邊長為2的正三角形，高為.因為銅球的體積為，所以由球的體積公式得銅球的半徑.對于A，因為由幾何體的構(gòu)成知：多面體的體積為三棱柱的體積減去3個三棱錐的體積，即，因此A正確；對于B，因為經(jīng)過三個頂點的球的截面圓就是正的外接圓，所以若邊長為1的正三角形的外接圓半徑為，則，解得.因此經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為，所以B不正確；對于C，取的中點，連接，則由幾何體的構(gòu)成知：且，因此四邊形是平行四邊形，所以，因此就是異面直線與所成的角.連接，在中，，，因此.即異面直線與所成的角的余弦值為，所以C正確；對于D，由B知：經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的半徑.所以銅球的球心到截面的距離為，因此球離球托底面的最小距離為，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是方程的一個根，則______.〖答案〗38；〖解析〗假設(shè)另外一個根為，是方程的一個根，則①由，可知是的共軛復(fù)數(shù)，所以②把②代入①可知所以故〖答案〗為：3814.在正四棱錐中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.〖答案〗〖解析〗連接交點為連接或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，結(jié)合題中條件，正四棱錐中，則四邊形為邊長為正方形，每個側(cè)面為邊長為的正三角形，則在正三角形中，為的中點,則,則，所以則故則異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：15.在中，它的內(nèi)角對應(yīng)邊分別為.若，則__________.〖答案〗〖解析〗由，可得，化簡得，又∵，∴，故〖答案〗：.16.甲?乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知點，直線與單位圓在第一象限的交點為.（1）求；（2）求.解：（1）.（2）設(shè)點坐標(biāo)為，由于三點共線，，，.18.已知直三棱柱面為的中點.（1）證明：平面；（2）若直三棱柱的體積為1，且，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接與交于點，則為中點，為中位線，，又面面平面（2）解：平面是在平面上射影是直線與平面所成的角，又，在中，.直線與平面所成角的正弦值為19.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.31010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)樣本平均數(shù)和，樣本方差分別為和.已知.（1）求；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）.解：（1）由題意得，解得，所以，所以，（2）由（1）中數(shù)據(jù)可得：而，因為所以成立所以認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.20.等腰直角中，為內(nèi)一點，.（1）若，求；（2）若，求.解：（1）中，，..在中，由余弦定理得（2）設(shè)，則，又，在中由正弦定理得即即.21.如圖，在三棱臺中，平面平面.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求二面角的大小的正切值.解：（1）如圖，過點作，交直線于點，連接.由得.由平面平面，且平面平面平面則平面，又平面，所以,由則為等腰直角三角形，又則,設(shè)則在中，由余弦定理得則,即又平面BDO，平面又平面又由三棱臺，得，與所成角的余弦值為.（2）過點B作，垂足為，由面面，得面.過作，垂足為，連接.面.又平面，為二面角的平面角，設(shè)，則，在Rt中，,二面角大小的正切值為.22.小明對圓柱中的截面進(jìn)行一番探究.他發(fā)現(xiàn)用平行于底面的平面去截圓柱可得一圓面，用與水平面成一定夾角的平面去截可得一橢圓面，用過軸的平面去截可得一矩形面.（1）圖1中，圓柱底面半徑為，高為2，軸截面為，設(shè)為底面（包括邊界）上一動點，滿足到的距離等于到直線的距離，求三棱錐體積的最大值；（2）如圖2，過圓柱側(cè)面上某一定點的水平面與側(cè)面交成為圓，過點與水平面成角的平面與側(cè)面交成為橢圓，小明沿著過的母線剪開，把圓柱側(cè)面展到一個平面上，發(fā)現(xiàn)圓展開后得到線段，橢圓展開后得到一正弦曲線（如圖3），設(shè)為橢圓上任意一點，他很想知道原因，于是他以為原點，為軸建立了平面直角坐標(biāo)系，且設(shè)（圖3）.試說明為什么橢圓展開后是正弦曲線，并寫出其函數(shù)〖解析〗式.解：（1）過作，垂足為，過作，底面，底面，則，平面，于是平面平面，則，，因此平面，∵平面，∴是到的距離,∵,,且,∴,∴平分,在△和△中，設(shè)點到直線的距離為，由三角形面積公式得∵，，∴,又∵,,∴∴∵,,∴,∴,∴,∴點的軌跡是過與垂直的垂線段上（圓內(nèi)部分），當(dāng)三棱錐體積最大時，三棱錐的高最大，此時點在圓周上，此時在△中，由△∽△可得，∴，（2）設(shè)傾斜平面與水平面交線為.過作水平面，垂足為，過作，連接，則是傾斜平面與水平面的夾角，設(shè)，，，則，∴，在△中，，∴，即展開后的曲線是正弦曲線.湖北省武漢市江岸區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗故選：C.2.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，則為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗從小到大排列數(shù)據(jù)為：；所以眾數(shù)為4，中位數(shù)為，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是眾數(shù)的倍，.故選：C.3.已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為向量與的夾角為，且，，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：C4.某校200名學(xué)生參加環(huán)保知識競賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成組（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（）A.頻率分布直方圖中a的值為0.006B.估計某校成績落在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為50人C.估計這20名學(xué)生考試成績的眾數(shù)為80分D.估計這20名學(xué)生考試成績的第60百分位數(shù)為80分〖答案〗D〖解析〗由頻率分布直方圖，得：，解得，故A錯誤；總體中成績落在,內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，故B正確．這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)為75，故C錯誤；前三個矩形的面積和為，這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的第60百分?jǐn)?shù)為80，故D正確；故選：D5.已知是三條不同的直線，是三個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.，則B.與異面，，則不存，使得C.，則D.，則〖答案〗A〖解析〗對于A，因為，如下圖，若分別為面、面、面，且為，顯然面，則，故A正確；對于B，如下圖，為直線，為直線，為直線，取的中點，連接，所以四邊形為，存在，使得，故B錯誤；對于C，若，則相交、平行、異面，所以C錯誤；對于D，若，則，所以D錯誤.故選：A.6.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，是側(cè)面（包含邊界）上的一動點，若平面，則線段長度的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖所示，分別取棱，的中點、，連，，，，，分別為所在棱的中點，則，，，又平面，平面，平面.，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面，又，平面平面.是側(cè)面內(nèi)一點，且平面，點必在線段上.在中，.同理，在中，可得，為等腰三角形.當(dāng)點為中點時，，此時最短；點位于、處時，最長.，.線段長度的取值范圍是.故選：C.7.已知是邊上的點，且為的外心，則的值為（）A. B.10 C. D.9〖答案〗A〖解析〗因為，所以，因此，取、中點分別為、，則，，因此，，所以.故選：A8.已知正四棱錐的側(cè)面是邊長為6的正三角形，若其側(cè)棱上的八個三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如第一個圖所示，正四棱錐中，其側(cè)棱上的八個三等分點構(gòu)成正四棱臺，且正方形的邊長為2，正方形的邊長為4；正四棱臺中，設(shè)、分別是上、下底面對角線交點，即上、下底面中心，是正四棱臺的高．，，在直角梯形中，，由對稱性外接球球心在直線上，設(shè)球半徑為，連接，，，若在線段上（如第二個圖所示），由得，因為，，所以方程無實數(shù)解，因此在的延長線上（如第三個圖所示），即在平面下方，因此有，解得，所以球表面積為．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目條件.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是（）AB.C.若復(fù)數(shù)滿足，則或D.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線〖答案〗BD〖解析〗對于A，由于復(fù)數(shù)不能比較大小，故A錯誤；對于B，設(shè)，則，所以，故B正確；對于C，設(shè)，若復(fù)數(shù)滿足，則，所以復(fù)數(shù)不只是或，故C錯誤；對于D，設(shè)，由于，所以，所以，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所構(gòu)成的軌跡為軸，是直線，故D正確；故選：BD.10.為了解學(xué)生每個月在圖書館借閱書籍的數(shù)量，圖書管理員甲抽取了一個容量為100的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為8：圖書管理員乙也抽取了一個容量為200的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為9，方差為11.若將兩個樣本合在一起組成一個容量為300的新樣本，則新樣本數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為7.5 B.平均數(shù)為8C.方差為12 D.方差為10〖答案〗BC〖解析〗新樣本平均數(shù)為，故A錯誤，B正確；所以合并一起后樣本的方差為，故選項C正確，D錯誤，故選：BC.11.已知，且，當(dāng)時，定義平面坐標(biāo)系為“-仿射”坐標(biāo)系，在“-仿射”坐標(biāo)系中，任意一點的斜坐標(biāo)這樣定義：分別為軸，軸正方向上的單位向量，若，則記為，那么下列說法中正確的是（）A.設(shè)，則B.設(shè)，若，則C設(shè)，若，則D.設(shè)，若與的夾角為，則〖答案〗BD〖解析〗，對于A：即，故選項A錯誤；對于B：若，當(dāng)即時，顯然滿足：；當(dāng)即或時，則，使得，即則可得，消去得：，故選項B正確；對于C：∵，則，可得，若，則，故選項C錯誤；對于D：∵，由選項A可得：，，由選項C可得：，若與的夾角為，則，即，整理可得，，解得或（舍去），∵，則，故選項D正確；故選：BD．12.某組合體由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線向上折疊成直二面角而成，如圖②.則下列說法正確的有（）A.多面體的體積為B.經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為C.異面直線與所成的角的余弦值為D.球離球托底面的最小距離為〖答案〗ACD〖解析〗因為托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，所以連接、和得幾何體，因此構(gòu)建一個底面邊長為2，高為的正三棱柱，取、和的中點分別為、和，則幾何體就是題意中的幾何體，如圖：這個兒何體的上底面是邊長為1的正三角形，下底面是邊長為2的正三角形，高為.因為銅球的體積為，所以由球的體積公式得銅球的半徑.對于A，因為由幾何體的構(gòu)成知：多面體的體積為三棱柱的體積減去3個三棱錐的體積，即，因此A正確；對于B，因為經(jīng)過三個頂點的球的截面圓就是正的外接圓，所以若邊長為1的正三角形的外接圓半徑為，則，解得.因此經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的面積為，所以B不正確；對于C，取的中點，連接，則由幾何體的構(gòu)成知：且，因此四邊形是平行四邊形，所以，因此就是異面直線與所成的角.連接，在中，，，因此.即異面直線與所成的角的余弦值為，所以C正確；對于D，由B知：經(jīng)過三個頂點的球的截面圓的半徑.所以銅球的球心到截面的距離為，因此球離球托底面的最小距離為，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若是方程的一個根，則______.〖答案〗38；〖解析〗假設(shè)另外一個根為，是方程的一個根，則①由，可知是的共軛復(fù)數(shù)，所以②把②代入①可知所以故〖答案〗為：3814.在正四棱錐中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為__________.〖答案〗〖解析〗連接交點為連接或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，結(jié)合題中條件，正四棱錐中，則四邊形為邊長為正方形，每個側(cè)面為邊長為的正三角形，則在正三角形中，為的中點,則,則，所以則故則異面直線與所成角的余弦值為.故〖答案〗為：15.在中，它的內(nèi)角對應(yīng)邊分別為.若，則__________.〖答案〗〖解析〗由，可得，化簡得，又∵，∴，故〖答案〗：.16.甲?乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故〖答案〗為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知點，直線與單位圓在第一象限的交點為.（1）求；（2）求.解：（1）.（2）設(shè)點坐標(biāo)為，由于三點共線，，，.18.已知直三棱柱面為的中點.（1）證明：平面；（2）若直三棱柱的體積為1，且，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接與交于點，則為中點，為中位線，，又面面平面（2）解：平面是在平面上射影是直線與平面所成的角，又，在中，.直線與平面所成角的正弦值為19.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.31010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)樣本平均數(shù)和，樣本方差分別為和.已知.（1）求；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）