2022-2023學(xué)年遼寧省六校高二下學(xué)期期末練習(xí)C數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省六校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末練習(xí)C卷（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗，，∴，故選C.2．已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)（）A、B、C、D、〖答案〗B〖解析〗∵，，∴，∴，故選B.3．函數(shù)的部分圖像大致為（）A、 B、C、 D、〖答案〗D〖解析〗∵為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴是定義為的奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，又，排除B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，、，∴，排除A選項(xiàng)，故選D.4．年月日，全國(guó)第七次人口普查的結(jié)果正式公布，截止到年，全國(guó)人口總數(shù)約為億，下列各選項(xiàng)的數(shù)字與億最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，故選C.5．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)積為（）A、B、C、D、〖答案〗B〖解析〗由題意，，，解得，繼續(xù)解得，，，…，∴是周期為的循環(huán)數(shù)列，在一個(gè)周期內(nèi)的積為：，，前項(xiàng)之積為個(gè)周期之積，即，故選B.6．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列說法正確的是（）A、 B、C、的周期為 D、〖答案〗B〖解析〗的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，也關(guān)于對(duì)稱，且周期為，則B選項(xiàng)正確，對(duì)于D，令，則，與題意不符，故選B.7．已知函數(shù)（），將的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，點(diǎn)、、是與圖像的連續(xù)相鄰三個(gè)交點(diǎn)，若是鈍角三角形，則的取值范圍為（）A、 B、C、 D、〖答案〗B〖解析〗由題意得，，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示，、、為連續(xù)三交點(diǎn)，（不妨設(shè)在軸下方），為的中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知是以為頂角的等腰三角形，，由，整理得，解得，則，即，∴，∵為鈍角三角形，則，∴，解得，故選B.8．已知函數(shù)（），若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴，∵存在，使得，即，∴，設(shè)，，則，∴，令，解得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，∵、，∴，∴，故選C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．下列說法正確的有（）.A、命題“，”的否定是“，”B、若復(fù)數(shù)、滿足，則C、若平面向量、滿足，則D、在中，若，則為銳角三角形〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，命題“，”的否定是“，”，對(duì)，B選項(xiàng)，、，，但，，錯(cuò)，C選項(xiàng)，，則，對(duì)，D選項(xiàng)，由可得和同號(hào)，∴、均為銳角，又，∴，則也為銳角，對(duì)，故選ACD.10．已知不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)和，滿足，下列不等式正確的是（）.A、 B、C、 D、〖答案〗BD〖解析〗A選項(xiàng)，∵和為不相等的正實(shí)數(shù)，且，可令和，則，錯(cuò)，B選項(xiàng)，，對(duì)，C選項(xiàng)，，其中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)，D選項(xiàng)，，∵，∴，對(duì)，故選BD.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）.A、在上單調(diào)遞增B、直線是圖像的一條對(duì)稱軸C、方程在上有三個(gè)實(shí)根D、的最小值為〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，，，則，∴函數(shù)在上不是增函數(shù)，錯(cuò)，B選項(xiàng)，，∴直線是圖像的一條對(duì)稱軸，對(duì)，C選項(xiàng)，由可得，顯然，等式兩邊平方得，整理可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，則或，方程在時(shí)有兩解，方程在時(shí)只有一解，∴方程在上有三個(gè)實(shí)根，對(duì)，D選項(xiàng)，假設(shè)的最小值為，即，即，且存在，使得，此時(shí)，這與矛盾，假設(shè)不成立，錯(cuò)，故選BC.12．已知數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為，其前項(xiàng)積為，則下列說法正確的是（）.A、數(shù)列是遞增數(shù)列 B、數(shù)列的最大值與最小值的和為C、數(shù)列是遞增數(shù)列 D、數(shù)列是遞增數(shù)列〖答案〗BCD〖解析〗∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，∴數(shù)列先增后減，A選項(xiàng)錯(cuò)，∴當(dāng)時(shí)數(shù)列取得最大值為，又當(dāng)時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí)數(shù)列取得最小值為，∴數(shù)列的最小值與最小值的和為，B選項(xiàng)對(duì)，∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，∴數(shù)列是遞增數(shù)列，C選項(xiàng)對(duì)，∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，∴數(shù)列是遞增數(shù)列，D選項(xiàng)對(duì)，故選BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則.〖答案〗〖解析〗∵，∴的周期，∴，又∵是奇函數(shù)，∴.14．已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足：，則，.（本小題每個(gè)空2.5分）〖答案〗〖解析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，∴，，∴，.15．對(duì)于任意實(shí)數(shù)序列，，定義，已知數(shù)列、滿足、，若中前項(xiàng)的和恒成立，則整數(shù)的最小值為.〖答案〗〖解析〗依題意可知，∴，∴整數(shù)的最小值為.16．已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.〖答案〗〖解析〗∵，∴中，由可得，設(shè)，，則與互為反函數(shù)，∴轉(zhuǎn)化為，則只需的圖像在上，的圖像在下，∴，即，令（），則只需，∴，令，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴為的極小值也是最小值，∴，即，又，∴.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.在①；②；③三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并對(duì)其求解，如果多寫按第一個(gè)計(jì)分.（1）證明：由題意可知，由兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，1分即當(dāng)時(shí)，，又，∴，∴，3分∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，∴，∴；5分（2）解：選①：由（1）可得：，7分∴.10分選②：由（1）可得：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，7分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，9分∴.10分選③：，6分∴.10分18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，角為銳角，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.解：（1），3分∵，∴，即，5分在中，，又為銳角，∴，解得；6分（2）由余弦定理得：，解得，則，9分則.12分19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：（）.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明：當(dāng)時(shí)，，∴，1分由題意可知當(dāng)時(shí)，，，則，即，3分則，則，即，即，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；5分（2）解：∵，則，∴，∴，6分設(shè)，則，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴數(shù)列的最大值為，9分若不等式對(duì)任意恒成立，則只需，即，即，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.12分20．（本小題滿分12分）如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，，當(dāng)?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個(gè)旅游景點(diǎn)，擬在中間挖一個(gè)人工湖，其中、都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場(chǎng)，為安全起見，需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng).（1）當(dāng)時(shí)，求防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度；（2）為節(jié)省資金投入，人工湖的面積要盡可能小，設(shè)，問：當(dāng)多大時(shí)的面積最?。孔钚∶娣e是多少？解：（1）在中，、、，∴，1分在中，、，∴由余弦定理得，即，∴，即，3分∴，∴為正三角形，其周長(zhǎng)為，∴防護(hù)網(wǎng)的總長(zhǎng)度為；4分（2）由題意得，在中，，即（或），6分在中，，即，8分∴（或），10分又∵，即，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取最小值為.12分21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（1）證明：；（2）若數(shù)列滿足，，證明：，.證明：（1）先證，即證，令，，即證，∵，∴在上單調(diào)遞減，∴，3分再證，即證，即證，令，，即證，∵，∴在上單調(diào)遞增，∴；6分（2）由（1）得：（），則，7分∴當(dāng)時(shí)，，成立，8分當(dāng)時(shí)，，即，∴，11分∴，.12分22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，?分當(dāng)時(shí)，∵且，∴，∴，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，2分當(dāng)時(shí)，∵且，∴，∴，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，3分∴當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；4分（2）恒成立等價(jià)于恒成立，令，定義域?yàn)椋瑒t，5分=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，符合題意，6分②當(dāng)時(shí)，，令，，即在上單調(diào)遞增，，，則存在，使得，此時(shí)，即，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，∴，令，得，∵，∴，11分綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.12分遼寧省六校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末練習(xí)C卷（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，，則（）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗，，∴，故選C.2．已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)（）A、B、C、D、〖答案〗B〖解析〗∵，，∴，∴，故選B.3．函數(shù)的部分圖像大致為（）A、 B、C、 D、〖答案〗D〖解析〗∵為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴是定義為的奇函數(shù)，排除C選項(xiàng)，又，排除B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，、，∴，排除A選項(xiàng)，故選D.4．年月日，全國(guó)第七次人口普查的結(jié)果正式公布，截止到年，全國(guó)人口總數(shù)約為億，下列各選項(xiàng)的數(shù)字與億最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，故選C.5．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)積為（）A、B、C、D、〖答案〗B〖解析〗由題意，，，解得，繼續(xù)解得，，，…，∴是周期為的循環(huán)數(shù)列，在一個(gè)周期內(nèi)的積為：，，前項(xiàng)之積為個(gè)周期之積，即，故選B.6．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則下列說法正確的是（）A、 B、C、的周期為 D、〖答案〗B〖解析〗的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性，也關(guān)于對(duì)稱，且周期為，則B選項(xiàng)正確，對(duì)于D，令，則，與題意不符，故選B.7．已知函數(shù)（），將的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，點(diǎn)、、是與圖像的連續(xù)相鄰三個(gè)交點(diǎn)，若是鈍角三角形，則的取值范圍為（）A、 B、C、 D、〖答案〗B〖解析〗由題意得，，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖所示，、、為連續(xù)三交點(diǎn)，（不妨設(shè)在軸下方），為的中點(diǎn)，由對(duì)稱性可知是以為頂角的等腰三角形，，由，整理得，解得，則，即，∴，∵為鈍角三角形，則，∴，解得，故選B.8．已知函數(shù)（），若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A、B、C、D、〖答案〗C〖解析〗∵，，∴，∴，∵存在，使得，即，∴，設(shè)，，則，∴，令，解得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，∵、，∴，∴，故選C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．下列說法正確的有（）.A、命題“，”的否定是“，”B、若復(fù)數(shù)、滿足，則C、若平面向量、滿足，則D、在中，若，則為銳角三角形〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，命題“，”的否定是“，”，對(duì)，B選項(xiàng)，、，，但，，錯(cuò)，C選項(xiàng)，，則，對(duì)，D選項(xiàng)，由可得和同號(hào)，∴、均為銳角，又，∴，則也為銳角，對(duì)，故選ACD.10．已知不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)和，滿足，下列不等式正確的是（）.A、 B、C、 D、〖答案〗BD〖解析〗A選項(xiàng)，∵和為不相等的正實(shí)數(shù)，且，可令和，則，錯(cuò)，B選項(xiàng)，，對(duì)，C選項(xiàng)，，其中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)，D選項(xiàng)，，∵，∴，對(duì)，故選BD.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）.A、在上單調(diào)遞增B、直線是圖像的一條對(duì)稱軸C、方程在上有三個(gè)實(shí)根D、的最小值為〖答案〗BC〖解析〗A選項(xiàng)，，，則，∴函數(shù)在上不是增函數(shù)，錯(cuò)，B選項(xiàng)，，∴直線是圖像的一條對(duì)稱軸，對(duì)，C選項(xiàng)，由可得，顯然，等式兩邊平方得，整理可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，則或，方程在時(shí)有兩解，方程在時(shí)只有一解，∴方程在上有三個(gè)實(shí)根，對(duì)，D選項(xiàng)，假設(shè)的最小值為，即，即，且存在，使得，此時(shí)，這與矛盾，假設(shè)不成立，錯(cuò)，故選BC.12．已知數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為，其前項(xiàng)積為，則下列說法正確的是（）.A、數(shù)列是遞增數(shù)列 B、數(shù)列的最大值與最小值的和為C、數(shù)列是遞增數(shù)列 D、數(shù)列是遞增數(shù)列〖答案〗BCD〖解析〗∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，∴數(shù)列先增后減，A選項(xiàng)錯(cuò)，∴當(dāng)時(shí)數(shù)列取得最大值為，又當(dāng)時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí)數(shù)列取得最小值為，∴數(shù)列的最小值與最小值的和為，B選項(xiàng)對(duì)，∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，∴數(shù)列是遞增數(shù)列，C選項(xiàng)對(duì)，∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，∴數(shù)列是遞增數(shù)列，D選項(xiàng)對(duì)，故選BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則.〖答案〗〖解析〗∵，∴的周期，∴，又∵是奇函數(shù)，∴.14．已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足：，則，.（本小題每個(gè)空2.5分）〖答案〗〖解析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，∴，，∴，.15．對(duì)于任意實(shí)數(shù)序列，，定義，已知數(shù)列、滿足、，若中前項(xiàng)的和恒成立，則整數(shù)的最小值為.〖答案〗〖解析〗依題意可知，∴，∴整數(shù)的最小值為.16．已知，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.〖答案〗〖解析〗∵，∴中，由可得，設(shè)，，則與互為反函數(shù)，∴轉(zhuǎn)化為，則只需的圖像在上，的圖像在下，∴，即，令（），則只需，∴，令，解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴為的極小值也是最小值，∴，即，又，∴.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.在①；②；③三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問中，并對(duì)其求解，如果多寫按第一個(gè)計(jì)分.（1）證明：由題意可知，由兩邊同時(shí)取倒數(shù)得，1分即當(dāng)時(shí)，，又，∴，∴，3分∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，∴，∴；5分（2）解：選①：由（1）可得：，7分∴.10分選②：由（1）可得：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，7分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，9分∴.10分選③：，6分∴.10分18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，角為銳角，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面積.解：（1），3分∵，∴，即，5分在中，，又為銳角，∴，解得；6分（2）由余弦定理得：，解得，則，9分則.12分19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足：（）.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明：當(dāng)時(shí)，，∴，1分由題意可知當(dāng)時(shí)，，，則，即，3分則，則，即，即，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；5分（2）解：∵，則，∴，∴，6分設(shè)，則，∴數(shù)列單調(diào)遞減，∴數(shù)列的最大值為，9分若不等式對(duì)任意恒成立，則只需，即，即，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.12分20．（本