江蘇省無(wú)錫市港下中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析_第1頁(yè)
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江蘇省無(wú)錫市港下中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.的周期為()A. B. C. D.2.若平面向量,滿(mǎn)足,,且,則等于()A. B. C.2 D.83.已知角滿(mǎn)足,,且,,則的值為()A. B. C. D.4.直線(xiàn)的傾斜角是()A. B. C. D.5.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位6.對(duì)于函數(shù),在使成立的所有常數(shù)中,我們把的最大值稱(chēng)為函數(shù)的“下確界”.若函數(shù),的“下確界”為,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.直線(xiàn)(,)過(guò)點(diǎn)(-1,-1),則的最小值為()A.9 B.1 C.4 D.108.直線(xiàn)l:與圓C:交于A(yíng),B兩點(diǎn),則當(dāng)弦AB最短時(shí)直線(xiàn)l的方程為A. B.C. D.9.兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則滿(mǎn)足,恒成立的取值范圍()A. B. C. D.10.設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為,則到直線(xiàn)的距離最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知三棱錐的底面是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,側(cè)棱長(zhǎng)都等于,則其外接球的體積為_(kāi)_____.12.設(shè)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則__________.13.在中,,,,則的面積是__________.14.將函數(shù)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半,縱坐標(biāo)不變;再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象,則_________.15.已知一組數(shù)據(jù),,,的方差為,則這組數(shù)據(jù),,,的方差為_(kāi)_____.16.方程的解集是______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.在中,角,,所對(duì)的邊為,,,向量與向量共線(xiàn).(1)若,求的值;(2)若為邊上的一點(diǎn),且,若為的角平分線(xiàn),求的取值范圍.18.已知(1)求的值;(2)求的最小值以及取得最小值時(shí)的值19.如圖,在三棱柱中,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).(1)證明:平面.(2)若三棱錐的體積為4,求點(diǎn)到平面的距離.20.在中,,求角A的值。21.我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家,某市為了制定合理的節(jié)水方案,對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查,通過(guò)抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量單位:噸,將數(shù)據(jù)按照,,分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)設(shè)該市有30萬(wàn)居民,估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)說(shuō)明理由;(2)估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù).

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的結(jié)論即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的最小正周期故選:【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的求解問(wèn)題,關(guān)鍵是明確正弦型函數(shù)的最小正周期.2、B【解析】

由,可得,再結(jié)合,展開(kāi)可求出答案.【詳解】由,可知,展開(kāi)可得,所以,又,,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,注意向量的平方等于模的平方,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)角度范圍先計(jì)算和,再通過(guò)展開(kāi)得到答案.【詳解】,,故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)恒等變換,將是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】

先求斜率,即傾斜角的正切值,易得.【詳解】,可知,即,故選B【點(diǎn)睛】一般直線(xiàn)方程求傾斜角將直線(xiàn)轉(zhuǎn)換為斜截式直線(xiàn)方程易得斜率,然后再根據(jù)直線(xiàn)的斜率等于傾斜角的正切值易得傾斜角,屬于簡(jiǎn)單題目.5、D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由下確界定義,,的最小值是,由余弦函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】由題意,的最小值是,又,由,得,,,時(shí),,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查新定義,由新定義明確本題中的下確界就是函數(shù)的最小值.可通過(guò)解不等式確定參數(shù)的范圍.7、A【解析】

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程:,再利用乘1法求最值【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程:,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)【點(diǎn)睛】已知和為定值,求倒數(shù)和的最小值,利用乘1法求最值。8、A【解析】

先求出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn),再求出弦AB最短時(shí)直線(xiàn)l的方程.【詳解】由題得,所以直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P.當(dāng)CP⊥l時(shí),弦AB最短.由題得,所以.所以直線(xiàn)l的方程為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,考查直線(xiàn)方程的求法,考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解析】

由基本不等式和“1”的代換,可得的最小值,再由不等式恒成立思想可得小于等于的最小值,解不等式即得m的范圍?!驹斀狻坑?,,可得,當(dāng)且僅當(dāng)上式取得等號(hào),若恒成立,則有,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求恒成立問(wèn)題中的參數(shù)取值范圍,是??碱}型。10、A【解析】

先求出的坐標(biāo),再求出直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn),則所求距離的最大值就是的長(zhǎng)度.【詳解】由可以得到,故,直線(xiàn)的方程可整理為:,故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故,故選A.【點(diǎn)睛】一般地,若直線(xiàn)和直線(xiàn)相交,那么動(dòng)直線(xiàn)()必過(guò)定點(diǎn)(該定點(diǎn)為的交點(diǎn)).二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】

先判斷球心在上,再利用勾股定理得到半徑,最后計(jì)算體積.【詳解】三棱錐的底面是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,側(cè)棱長(zhǎng)都等于為中點(diǎn),為外心,連接,平面球心在上設(shè)半徑為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的體積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.12、【解析】

設(shè)出數(shù)列的首項(xiàng)和公差,根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,代入條件化簡(jiǎn)得和的關(guān)系,再代入所求的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由,得,得,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ).13、【解析】

計(jì)算,等腰三角形計(jì)算面積,作底邊上的高,計(jì)算得到答案.【詳解】,過(guò)C作于D,則故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積計(jì)算,屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

由條件根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,,可得的解析式,從而求得的值.【詳解】將函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得的圖象;保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍可得的圖象,故,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù))的圖象變換規(guī)律,屬于中檔題.15、【解析】

利用方差的性質(zhì)直接求解.【詳解】一組數(shù)據(jù),,,的方差為5,這組數(shù)據(jù),,,的方差為:.【點(diǎn)睛】本題考查方差的性質(zhì)應(yīng)用。若的方差為,則的方差為。16、或【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】,如圖所示:則故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)值求解對(duì)應(yīng)自變量取值范圍,結(jié)合圖形求解能夠避免錯(cuò)解,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)32;(2)【解析】

由兩向量坐標(biāo)以及向量共線(xiàn),結(jié)合正弦定理,化簡(jiǎn)可得(1)由,,代入原式化簡(jiǎn),即可得到答案;(2)在和在中,利用正弦定理,化簡(jiǎn)可得,,代入原式,化簡(jiǎn)即可得到,利用三角形的內(nèi)角范圍結(jié)合三角函數(shù)的值域,即可求出的取值范圍.【詳解】向量與向量共線(xiàn)所以,由正弦定理得:.即,由于在中,,則,所以,由于,則.(1),.(2)因?yàn)?,為的角平分線(xiàn),所以,在中,,因?yàn)?,所以,所以在中,,因?yàn)?,所以,所以,則,因?yàn)?,所以,所以,即的取值范圍?【點(diǎn)睛】本題主要考查向量共線(xiàn)、正弦定理、二倍角公式、三角函數(shù)的值域等知識(shí),考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與求解能力,考查學(xué)生基本的計(jì)算能力,有一定綜合性.18、(1)(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值.【解析】

(1)將代入函數(shù)計(jì)算得到答案.(2)根據(jù)降次公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為,當(dāng)時(shí)取最小值.【詳解】(1)(2)由可得,故函數(shù)的最小值為,當(dāng)時(shí)取得最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的計(jì)算,三角函數(shù)的最小值,將三角函數(shù)化簡(jiǎn)為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.19、(1)見(jiàn)解析(2)6【解析】

(1)由平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行可判定平面;(2)由三棱錐的體積為4,可知四棱錐的體積,再由三棱錐的體積公式即可求得高.【詳解】(1)證明:連接,與交于點(diǎn),連接.因?yàn)閭?cè)面是平行四邊形,所以點(diǎn)是的中點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)是棱的中點(diǎn),所以.因?yàn)槠矫?,平面,所以平?(2)解:因?yàn)槿忮F的體積為4,所以三棱柱的體積為12,則四棱錐的體積為.因?yàn)閭?cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形,所以側(cè)面的面積為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,解得.故點(diǎn)到平面的距離為6.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)平行平面的判定和用三棱錐體積公式求點(diǎn)到平面的距離.20、或【解析】

根據(jù)的值可確定,進(jìn)而得到,利用兩角和差公式、二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)求值可求得,根據(jù)所處范圍可求得的值,進(jìn)而求得角.【詳解】且或或【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)求值的問(wèn)題,涉及到兩角和差的正弦公式、二倍角公式和輔助角公式的應(yīng)用、特殊角三角函數(shù)值的求解問(wèn)題;關(guān)鍵是能夠通過(guò)三角恒等變換公式,整理化簡(jiǎn)已知式子,得到與所求角有關(guān)的角的三角函數(shù)值.21、(1)3.6萬(wàn);(2)2.06.【解析】

(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì),求得,利用頻率分布直方圖求得月均用水量不低于3噸的頻率為,進(jìn)而得到樣本中月均用水量不低于3噸的戶(hù)數(shù);(2)根據(jù)頻率分布直方圖,

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