北京市2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

北京市2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如右圖所示的直觀圖，其表示的平面圖形是（A）正三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）直角三角形2．設(shè)a，b，c表示三條不同的直線，M表示平面，給出下列四個(gè)命題：其中正確命題的個(gè)數(shù)有（）①若a//M，b//M，則a//b；②若b?M，a//b，則a//M；③若a⊥c，b⊥c，則a//b；④若a//c，b//c，則a//b.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．某型號(hào)汽車使用年限與年維修費(fèi)（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，由最小二乘法求得回歸方程．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，推測(cè)該數(shù)據(jù)的值為（）使用年限維修費(fèi)A． B．C． D．4．某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別是500元/分鐘和200元/分鐘，假設(shè)甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司做的廣告能給公司帶來的收益分別為0.4萬元/分鐘和0.2萬元/分鐘，那么該公司合理分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，能使公司獲得最大的收益是（）萬元A．72 B．80 C．84 D．905．下列命題中正確的是（）A．相等的角終邊必相同 B．終邊相同的角必相等C．終邊落在第一象限的角必是銳角 D．不相等的角其終邊必不相同6．如果若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中“同簇函數(shù)”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④7．下列各命題中，假命題的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C．根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度D．不論是用角度制還是用弧度制度量角，它們都與圓的半徑長(zhǎng)短有關(guān)8．已知正方體的個(gè)頂點(diǎn)中，有個(gè)為一側(cè)面是等邊三角形的正三棱錐的頂點(diǎn)，則這個(gè)正三棱錐與正方體的全面積之比為（）A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)，則是()A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù)C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)10．下列命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為，則=.12．已知圓的圓心在直線上，半徑為，若圓上存在點(diǎn)，它到定點(diǎn)的距離與到原點(diǎn)的距離之比為，則圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是__________．13．方程的解為______．14．已知銳角的外接圓的半徑為1，，則的面積的取值范圍為_____．15．若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖像上，則函數(shù)的反函數(shù)=________.16．已知直線：與圓交于，兩點(diǎn)，過，分別作的垂線與軸交于，兩點(diǎn)，若，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個(gè)從生活垃圾中提煉生物柴油的項(xiàng)目．經(jīng)測(cè)算該項(xiàng)目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為：，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價(jià)值為元，若該項(xiàng)目不獲利，政府將給予補(bǔ)貼．（1）當(dāng)時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則政府每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？（2）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？18．中，角A，B，C所對(duì)邊分別是a、b、c，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．19．已知，與的夾角為.（1）若，求；（2）若與垂直，求.20．已知函數(shù)，，值域?yàn)椋蟪?shù)、的值；21．求經(jīng)過直線的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】略2、B【解析】

由空間直線的位置關(guān)系及空間直線與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可得解.【詳解】解：對(duì)于①，若a//M，b//M，則a//b或與相交或與異面，即①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若b?M，a//b，則a//M或a?M，即②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若a⊥c，b⊥c，則a//b或與相交或與異面，即③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若a//c，b//c，由空間直線平行的傳遞性可得a//b，即④正確，即正確命題的個(gè)數(shù)有1個(gè)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間直線的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】

設(shè)所求數(shù)據(jù)為，計(jì)算出和，然后將點(diǎn)代入回歸直線方程可求出的值.【詳解】設(shè)所求數(shù)據(jù)為，則，，由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，則有，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線計(jì)算原始數(shù)據(jù)，解題時(shí)要充分利用“回歸直線過樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘，總收益為元，根據(jù)題意得到約束條件，目標(biāo)函數(shù)，平行目標(biāo)函數(shù)圖象找到在縱軸上截距最大時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【詳解】設(shè)公司在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間分別為分鐘，總收益為元，則由題意可得可行解域：，目標(biāo)函數(shù)為可行解域化簡(jiǎn)得，，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，如下圖所示：作直線，即，平行移動(dòng)直線，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，因此目標(biāo)函數(shù)最大值為，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用線性規(guī)劃知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，正確列出約束條件，畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.5、A【解析】

根據(jù)終邊相同的角的的概念可得正確的選項(xiàng).【詳解】終邊相同的角滿足，故B、D錯(cuò)誤，終邊落在第一象限的角可能是負(fù)角，故C錯(cuò)誤，相等的角的終邊必定相同，故A正確.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角，注意終邊相同時(shí)，有，本題屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】試題分析：對(duì)于①中的函數(shù)而言，，對(duì)于③中的函數(shù)而言，，由“同簇函數(shù)”的定義而知，互為“同簇函數(shù)”的若干個(gè)函數(shù)的振幅相等，將②中的函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的新函數(shù)解析式為，故選C.考點(diǎn)：1.新定義；2.三角函數(shù)圖象變換7、D【解析】

根據(jù)弧度制的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，正確；B選項(xiàng)，一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，正確；C選項(xiàng)，根據(jù)弧度的定義，一定等于弧度，正確；D選項(xiàng)，用角度制度量角，與圓的半徑長(zhǎng)短無關(guān)，故D錯(cuò).故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查弧度制的相關(guān)判定，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.8、A【解析】所求的全面積之比為：，故選A.9、D【解析】函數(shù)，化簡(jiǎn)可得f（x）=–cos2x，∴f（x）是偶函數(shù)．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期為π的偶函數(shù)．故選D．10、C【解析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，選出正確的答案.【詳解】A.若，則，取不成立B.若，則，取不成立C.若，，則，正確D.若，，則，取不成立故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，找出反例是解題的關(guān)鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：因?yàn)樗钥键c(diǎn)：向量數(shù)量積及夾角12、【解析】因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)圓心，則圓的方程為，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則，即，整理得，由，得，由，得，所以圓心的縱坐標(biāo)的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查了圓的方程，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程、兩圓的位置關(guān)系、解不等式等知識(shí)的綜合運(yùn)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想和學(xué)生的運(yùn)算求解能力，解答中根據(jù)題設(shè)條件得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，利用兩圓的位置關(guān)系，列出不等式上解答的關(guān)鍵.對(duì)于直線與圓的位置關(guān)系問題，要熟記有關(guān)圓的性質(zhì)，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用.13、或【解析】

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，由此能求出結(jié)果．【詳解】方程，，或，解得或．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)方程的解的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．14、【解析】

由已知利用正弦定理可以得到b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求S△ABC═sin（2B﹣）+，由銳角三角形求B的范圍，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【詳解】解：∵銳角△ABC的外接圓的半徑為1，A＝，∴由正弦定理可得：，可得：b＝2sinB，c＝2sin（﹣B），∴S△ABC＝bcsinA＝×2sinB×2sin（﹣B）×＝sinB（cosB+sinB）＝sin（2B﹣）+，∵B，C為銳角，可得：＜B＜，＜2B﹣＜，可得：sin（2B﹣）∈（，1]，∴S△ABC＝sin（2B﹣）+∈（1，]．故答案為：（1，]．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．15、【解析】

根據(jù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式，利用反函數(shù)的求法，即可求解．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以冪函數(shù)的解析式為，則，所以原函數(shù)的反函數(shù)為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的解析式的求法，以及反函數(shù)的求法，其中熟記反函數(shù)的求法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、4【解析】

由題，根據(jù)垂徑定理求得圓心到直線的距離，可得m的值，既而求得CD的長(zhǎng)可得答案.【詳解】因?yàn)?，且圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，則由，解得，代入直線的方程，得，所以直線的傾斜角為，由平面幾何知識(shí)知在梯形中，．故答案為4【點(diǎn)睛】解決直線與圓的綜合問題時(shí)，一方面，要注意運(yùn)用解析幾何的基本思想方法（即幾何問題代數(shù)化），把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；另一方面，由于直線與圓和平面幾何聯(lián)系得非常緊密，因此，準(zhǔn)確地作出圖形，并充分挖掘幾何圖形中所隱含的條件，利用幾何知識(shí)使問題較為簡(jiǎn)捷地得到解決．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）不能獲利，政府每月至少補(bǔ)貼元；（2）每月處理量為噸時(shí)，平均成本最低.【解析】

（1）利用：（生物的柴油總價(jià)值）（對(duì)應(yīng)段的月處理成本）利潤(rùn)，根據(jù)利潤(rùn)的正負(fù)以及大小來判斷是否需要補(bǔ)貼，以及補(bǔ)貼多少；（2）考慮：（月處理成本）（月處理量）每噸的平均處理成本，即為，計(jì)算的最小值，注意分段.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)目獲利為，則∴當(dāng)時(shí)，，因此，該項(xiàng)目不會(huì)獲利當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以政府每月至少需要補(bǔ)貼元才能使該項(xiàng)目不虧損；（2）由題意可知，生活垃圾每噸的平均處理成本為：當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值因?yàn)?，所以?dāng)每月處理量為噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)模型的實(shí)際運(yùn)用，難度一般.（1）實(shí)際問題在求解的時(shí)候注意定義域問題；（2）利用基本不等式求解最值的時(shí)候，注意說明取等號(hào)的條件.18、（1）；（2）【解析】

(1)將化簡(jiǎn)代入數(shù)據(jù)得到答案.(2)利用余弦定理和均值不等式計(jì)算，代入面積公式得到答案.【詳解】；(2)由，可得，由余弦定理可得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)．則面積為．即有時(shí)，的面積取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，面積公式，均值不等式，屬于常考題型.19、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)向量共線，對(duì)向量的夾角分類討論，利用數(shù)量積公式即可完成求解；（2）根據(jù)向量垂直得到數(shù)量積為，再根據(jù)已知條件并借助數(shù)量積公式即可計(jì)算出的值.【詳解】（1）∵，∴與的夾角為或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，；（2）∵，∴，即，∵，∴，∴∵向量的夾角的范圍是，∴【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的平行、垂直求解向量的夾角以及向量數(shù)量積公式的運(yùn)用，難度較易.注意共線向量的夾角為或.20、，；或，；【解析】

先利用輔助角公式化簡(jiǎn),再根據(jù),值域?yàn)榍蠼饧纯?【詳解】.又則,當(dāng)時(shí),,此時(shí)當(dāng)時(shí),,此時(shí)故,；或,；【點(diǎn)睛