2023-2024學年上海市徐匯中學高一下數(shù)學期末質量檢測試題含解析

2023-2024學年上海市徐匯中學高一下數(shù)學期末質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知定義在上的偶函數(shù)滿足：當時，，若，則的大小關系是（）A． B． C． D．2．已知是第三象限的角，若，則A． B． C． D．3．在正方體中，異面直線與所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．下列選項正確的是（）A．若,則B．若,則C．若,則D．若,則5．不等式的解集為,則的值為(

)A． B．C． D．6．我國古代名著《九章算術》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤7．設等差數(shù)列的前n項和為，首項，公差，，則最大時，n的值為()A．11 B．10 C．9 D．88．已知數(shù)列滿足，為其前項和，則不等式的的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．109．在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．10．已知a,,若關于x的不等式的解集為,則()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則______.12．如圖為函數(shù)（，，，）的部分圖像，則函數(shù)解析式為________13．秦九韶是我國南宋著名數(shù)學家，在他的著作《數(shù)書九章》中有己知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實一為從陽，開平方得積.”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中是的內角的對邊為.若，且，則面積的最大值為________.14．如圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會（簡稱）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長度構成數(shù)列，則此數(shù)列的通項公式為_____．15．過點，且與直線垂直的直線方程為．16．若關于的不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．等差數(shù)列的首項為23，公差為整數(shù)，且第6項為正數(shù)，從第7項起為負數(shù).求此數(shù)列的公差及前項和.18．已知，函數(shù)，，（1）證明：是奇函數(shù)；（2）如果方程只有一個實數(shù)解，求a的值.19．已知數(shù)列的通項公式為.（1）求這個數(shù)列的第10項；（2）在區(qū)間內是否存在數(shù)列中的項？若有，有幾項？若沒有，請說明理由.20．設等差數(shù)列的公差為d，前項和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）當時，記，求數(shù)列的前項和．21．某網(wǎng)站推出了關于掃黑除惡情況的調查，調查數(shù)據(jù)表明，掃黑除惡仍是百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約占.現(xiàn)從參與關注掃黑除惡的人群中隨機選出人，并將這人按年齡分組:第組，第組，第組，第組，第組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求出的值；(2)求這人年齡的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)(精確到小數(shù)點后一位).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性將等價變形為，再根據(jù)函數(shù)在上單調性判斷函數(shù)值的大小關系，從而得出正確選項.【詳解】解因為函數(shù)為偶函數(shù)，故，因為，，所以，因為函數(shù)在上單調增，故，故選C.【點睛】本題考查了函數(shù)單調性與奇偶性的運用，解題的關鍵是要能根據(jù)奇偶性將函數(shù)值進行轉化.2、D【解析】

根據(jù)是第三象限的角得，利用同角三角函數(shù)的基本關系，求得的值.【詳解】因為是第三象限的角，所以，因為，所以解得：，故選D.【點睛】本題考查余弦函數(shù)在第三象限的符號及同角三角函數(shù)的基本關系，即已知值，求的值.3、C【解析】

首先由可得是異面直線和所成角，再由為正三角形即可求解.【詳解】連接．因為為正方體，所以，則是異面直線和所成角．又,可得為等邊三角形，則，所以異面直線與所成角為，故選：C【點睛】本題考查異面直線所成的角，利用平行構造三角形或平行四邊形是關鍵，考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題.4、B【解析】

通過逐一判斷ABCD選項，得到答案.【詳解】對于A選項，若，代入，，故A錯誤；對于C選項，等價于，故C錯誤；對于D選項，若，則，故D錯誤，所以答案選B.【點睛】本題主要考查不等式的相關性質，難度不大.5、B【解析】

根據(jù)一元二次不等式解集與對應一元二次方程根的關系列方程組，解得a，c的值.【詳解】由題意得為方程兩根，所以，選B.【點睛】一元二次方程的根與對應一元二次不等式解集以及對應二次函數(shù)零點的關系，是數(shù)形結合思想，等價轉化思想的具體體現(xiàn)，注意轉化時的等價性.6、D【解析】

直接利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因為每一尺的重量構成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前5項和為．即金錘共重15斤，故選D．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列求和公式的應用，意在考查運用所學知識解答實際問題的能力，屬于基礎題.7、B【解析】

由等差數(shù)列前項和公式得出，結合數(shù)列為遞減數(shù)列確定，從而得到最大時，的值為10.【詳解】由題意可得等差數(shù)列的首項，公差則數(shù)列為遞減數(shù)列即當時，最大故選B?！军c睛】本題對等差數(shù)列前項和以及通項公式，關鍵是將轉化為，結合數(shù)列的單調性確定最大時，的值為10.8、B【解析】

由題意，整理得出是一個首項為12，公比為的等比數(shù)列，從而求出，再求出其前項和，然后再求出的表達式，再代入數(shù)驗證出的最大值即可．【詳解】由可得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，所以，故，解得，（），所以的最大值為8.選B.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式以及數(shù)列求和的方法分組求和，屬于數(shù)列中的綜合題，考查了轉化的思想，構造的意識，本題難度較大，思維能力要求高．9、C【解析】

連接、，可證四邊形為平行四邊形，得，得（或補角）就是異面直線與所成角，由正方體的性質即可得到答案．【詳解】連接、，如下圖：在正方體中，且；四邊形為平行四邊形，則；（或補角）就是異面直線與所成角；又在正方體中，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角的大小為；故答案選C【點睛】本題考查正方體中異面直線所成角的大小，屬于基礎題．10、D【解析】

由不等式的解集為R，得的圖象要開口向上，且判別式，即可得到本題答案.【詳解】由不等式的解集為R，得函數(shù)的圖象要滿足開口向上，且與x軸至多有一個交點，即判別式.故選：D【點睛】本題主要考查一元二次不等式恒成立問題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

取，代入計算得到答案.【詳解】，當時故答案為【點睛】本題考查了前項和和通項的關系，取是解題的關鍵.12、【解析】

由函數(shù)的部分圖像，先求得，得到，再由，得到，結合，求得，即可得到函數(shù)的解析式.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的部分圖像，可得，所以，又由，即，又由，即，解得，即，又因為，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了利用三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質，準確計算是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎題.13、【解析】

根據(jù)正弦定理和余弦定理，由可得，再由及函數(shù)求最值的知識，即可求解.【詳解】，又，，時，面積的最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，考查了理解辨析能力與運算求解能力，屬于中檔題.14、【解析】

由圖可知，由勾股定理可得,利用等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】根據(jù)圖形，因為都是直角三角形，,是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為.【點睛】本題主要考查歸納推理的應用，等差數(shù)列的定義與通項公式，以及數(shù)形結合思想的應用，意在考查綜合應用所學知識解答問題的能力，屬于與中檔題.15、【解析】

直線垂直表示斜率乘積為-1，所以可得新直線斜率，代入點即可．【詳解】直線的斜率等于-1，所以與之垂直直線斜率，再通過點斜式直線方程：，即．【點睛】此題考查直線垂直，直線垂直表示兩直線斜率之積為-1，屬于簡單題目．16、【解析】

利用判別式可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式有解等價于有解，所以，故或，填.【點睛】本題考查一元二次不等式有解問題，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、，【解析】

先設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)第6項為正數(shù)，從第7項起為負數(shù)，得到求，再利用等差數(shù)列前項和公式求其.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為第6項為正數(shù)，從第7項起為負數(shù)，所以，即，所以又因為所以所以【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（1）1【解析】

（1）運用函數(shù)的奇偶性的定義即可得證（1）由題意可得有且只有兩個相等的實根，可得判別式為0，解方程可得所求值．【詳解】（1）證明：由函數(shù)，，可得定義域為，且，可得為奇函數(shù)；（1）方程只有一個實數(shù)解，即為，即△，解得舍去），則的值為1．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和二次方程有解的條件，考查方程思想和定義法，屬于基礎題．19、（1）（2）只有一項【解析】

（1）根據(jù)通項公式直接求解（2）根據(jù)條件列不等式，解得結果【詳解】解：（1）；（2）解不等式得，因為為正整數(shù)，所以，因此在區(qū)間內只有一項.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式及其應用，考查基本分析求解能力，屬基礎題20、(1)見解析(2)【解析】

（1）利用前10項和與首項、公差的關系，聯(lián)立方程組計算即可；（2）當d＞1時，由（1）知cn，寫出Tn、Tn的表達式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計算即可．【詳解】解：（1）設a1＝a，由題意可得，解得，或，當時，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；當時，an（2n+79），bn＝9?；（2）當d＞1時，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3?5?7?9?（2n﹣1）?，∴Tn＝1?3?5?7?（2n﹣3）?（2n﹣1）?，∴Tn＝2（2n﹣1）?3，∴Tn＝6．【點睛】本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用錯位相減法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21、(1)0.0