如何備考數(shù)學(xué)中的“向量”

如何備考數(shù)學(xué)中的“向量”1.向量的基本概念1.1向量的定義向量是具有大小和方向的量。在數(shù)學(xué)中，向量通常用粗體字母或者字母上方的箭頭來表示，例如()或(a^)。1.2向量的基本運算1.2.1加法向量的加法是將兩個向量的對應(yīng)分量相加。設(shè)有兩個向量(=(a_1,a_2,a_3))和(=(b_1,b_2,b_3))，則它們的和為(+=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3))。1.2.2減法向量的減法實際上就是將第二個向量取相反數(shù)后與第一個向量相加。所以(-=+(-))。1.2.3數(shù)乘數(shù)乘就是將向量的每個分量乘以一個實數(shù)。設(shè)有向量(=(a_1,a_2,a_3))和一個實數(shù)k，則數(shù)乘為(k=(ka_1,ka_2,ka_3))。1.2.4點積兩個向量的點積（又稱內(nèi)積）是指它們的對應(yīng)分量相乘后求和。設(shè)有兩個向量(=(a_1,a_2,a_3))和(=(b_1,b_2,b_3))，它們的點積為(=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)。1.2.5叉積兩個向量的叉積（又稱外積）是一個新向量，其分量是兩個向量對應(yīng)分量的乘積的差。設(shè)有兩個向量(=(a_1,a_2,a_3))和(=(b_1,b_2,b_3))，它們的叉積為(=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1))。1.3向量的性質(zhì)1.3.1交換律向量的加法和數(shù)乘都滿足交換律。即(+=+)和(k=k)。1.3.2結(jié)合律向量的加法和數(shù)乘都滿足結(jié)合律。即((+)+=+(+))和((k)+=k(+))。1.3.3分配律向量的數(shù)乘滿足分配律。即(k(+)=k+k)。1.3.4標(biāo)量與向量的點積標(biāo)量與向量的點積滿足分配律。即((+)=+)。1.3.5叉積的幾何意義向量的叉積在幾何上表示由兩個向量定義的平行四邊形的面積。如果兩個向量的叉積為零，則它們共線。2##例題及解題方法例題1：向量加法求向量(=(2,3))和向量(=(1,-1))的和。解題方法直接應(yīng)用向量加法公式：(+=(a_1+b_1,a_2+b_2))。所以(+=(2+1,3-1)=(3,2))。例題2：向量減法求向量(=(2,3))減去向量(=(1,-1))。解題方法應(yīng)用向量減法公式：(-=+(-))。所以(-=(2,3)+(-1,1)=(2-1,3+1)=(1,4))。例題3：數(shù)乘求向量(=(2,3))的兩倍。解題方法應(yīng)用數(shù)乘公式：(k=(ka_1,ka_2))。所以(2=2(2,3)=(4,6))。例題4：點積求向量(=(2,3))和向量(=(1,-1))的點積。解題方法應(yīng)用點積公式：(=a_1b_1+a_2b_2)。所以(=(2)(1)+(3)(-1)=2-3=-1)。例題5：叉積求向量(=(2,3))和向量(=(1,-1))的叉積。解題方法應(yīng)用叉積公式：(=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1))。所以(=(3(-1)-2(-1),2(1)-1(-1),1(-1)-3(-1))=(-3+2,2+1,-1+3)=(-1,3,2))。例題6：向量加法的結(jié)合律已知向量(=(2,3))，向量(=(1,-1))和向量(=(4,5))，求((+)+)和(+(+))是否相等。解題方法直接應(yīng)用向量加法的結(jié)合律：(##歷年經(jīng)典習(xí)題及解答習(xí)題1：向量加法已知向量(=(1,2))和向量(=(-1,3))，求向量(+)。解答直接應(yīng)用向量加法公式：(+=(a_1+b_1,a_2+b_2))。所以(+=(1+(-1),2+3)=(0,5))。習(xí)題2：向量減法已知向量(=(1,2))和向量(=(-1,3))，求向量(-)。解答應(yīng)用向量減法公式：(-=+(-))。所以(-=(1,2)+(-(-1),-3)=(1+1,2-3)=(2,-1))。習(xí)題3：數(shù)乘已知向量(=(1,2))，求向量()的三倍。解答應(yīng)用數(shù)乘公式：(k=(ka_1,ka_2))。所以(3=3(1,2)=(31,32)=(3,6))。習(xí)題4：點積已知向量(=(1,2))和向量(=(-1,3))，求向量()與向量()的點積。解答應(yīng)用點積公式：(=a_1b_1+a_2b_2)。所以(=(1)(-1)+(2)(3)=-1+6=5)。習(xí)題5：叉積已知向量(=(1,2))和向量(=(-1,3))，求向量()與向量()的叉積。解答應(yīng)用叉積公式：(=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1))。所以(=(2(3)-1(-1),1(-1)-2(-1),1(3)-2(1))=(6+1,-1+2,3-2)