如何備考數(shù)學(xué)中的“向量”

如何備考數(shù)學(xué)中的“向量”1.向量的基本概念1.1向量的定義向量是具有大小和方向的量。在數(shù)學(xué)中，向量通常用粗體字母或者字母上方的箭頭來(lái)表示，例如()或(a^)。1.2向量的基本運(yùn)算1.2.1加法向量的加法是將兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量相加。設(shè)有兩個(gè)向量(=(a_1,a_2,a_3))和(=(b_1,b_2,b_3))，則它們的和為(+=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3))。1.2.2減法向量的減法實(shí)際上就是將第二個(gè)向量取相反數(shù)后與第一個(gè)向量相加。所以(-=+(-))。1.2.3數(shù)乘數(shù)乘就是將向量的每個(gè)分量乘以一個(gè)實(shí)數(shù)。設(shè)有向量(=(a_1,a_2,a_3))和一個(gè)實(shí)數(shù)k，則數(shù)乘為(k=(ka_1,ka_2,ka_3))。1.2.4點(diǎn)積兩個(gè)向量的點(diǎn)積（又稱(chēng)內(nèi)積）是指它們的對(duì)應(yīng)分量相乘后求和。設(shè)有兩個(gè)向量(=(a_1,a_2,a_3))和(=(b_1,b_2,b_3))，它們的點(diǎn)積為(=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)。1.2.5叉積兩個(gè)向量的叉積（又稱(chēng)外積）是一個(gè)新向量，其分量是兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量的乘積的差。設(shè)有兩個(gè)向量(=(a_1,a_2,a_3))和(=(b_1,b_2,b_3))，它們的叉積為(=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1))。1.3向量的性質(zhì)1.3.1交換律向量的加法和數(shù)乘都滿(mǎn)足交換律。即(+=+)和(k=k)。1.3.2結(jié)合律向量的加法和數(shù)乘都滿(mǎn)足結(jié)合律。即((+)+=+(+))和((k)+=k(+))。1.3.3分配律向量的數(shù)乘滿(mǎn)足分配律。即(k(+)=k+k)。1.3.4標(biāo)量與向量的點(diǎn)積標(biāo)量與向量的點(diǎn)積滿(mǎn)足分配律。即((+)=+)。1.3.5叉積的幾何意義向量的叉積在幾何上表示由兩個(gè)向量定義的平行四邊形的面積。如果兩個(gè)向量的叉積為零，則它們共線。2##例題及解題方法例題1：向量加法求向量(=(2,3))和向量(=(1,-1))的和。解題方法直接應(yīng)用向量加法公式：(+=(a_1+b_1,a_2+b_2))。所以(+=(2+1,3-1)=(3,2))。例題2：向量減法求向量(=(2,3))減去向量(=(1,-1))。解題方法應(yīng)用向量減法公式：(-=+(-))。所以(-=(2,3)+(-1,1)=(2-1,3+1)=(1,4))。例題3：數(shù)乘求向量(=(2,3))的兩倍。解題方法應(yīng)用數(shù)乘公式：(k=(ka_1,ka_2))。所以(2=2(2,3)=(4,6))。例題4：點(diǎn)積求向量(=(2,3))和向量(=(1,-1))的點(diǎn)積。解題方法應(yīng)用點(diǎn)積公式：(=a_1b_1+a_2b_2)。所以(=(2)(1)+(3)(-1)=2-3=-1)。例題5：叉積求向量(=(2,3))和向量(=(1,-1))的叉積。解題方法應(yīng)用叉積公式：(=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1))。所以(=(3(-1)-2(-1),2(1)-1(-1),1(-1)-3(-1))=(-3+2,2+1,-1+3)=(-1,3,2))。例題6：向量加法的結(jié)合律已知向量(=(2,3))，向量(=(1,-1))和向量(=(4,5))，求((+)+)和(+(+))是否相等。解題方法直接應(yīng)用向量加法的結(jié)合律：(##歷年經(jīng)典習(xí)題及解答習(xí)題1：向量加法已知向量(=(1,2))和向量(=(-1,3))，求向量(+)。解答直接應(yīng)用向量加法公式：(+=(a_1+b_1,a_2+b_2))。所以(+=(1+(-1),2+3)=(0,5))。習(xí)題2：向量減法已知向量(=(1,2))和向量(=(-1,3))，求向量(-)。解答應(yīng)用向量減法公式：(-=+(-))。所以(-=(1,2)+(-(-1),-3)=(1+1,2-3)=(2,-1))。習(xí)題3：數(shù)乘已知向量(=(1,2))，求向量()的三倍。解答應(yīng)用數(shù)乘公式：(k=(ka_1,ka_2))。所以(3=3(1,2)=(31,32)=(3,6))。習(xí)題4：點(diǎn)積已知向量(=(1,2))和向量(=(-1,3))，求向量()與向量()的點(diǎn)積。解答應(yīng)用點(diǎn)積公式：(=a_1b_1+a_2b_2)。所以(=(1)(-1)+(2)(3)=-1+6=5)。習(xí)題5：叉積已知向量(=(1,2))和向量(=(-1,3))，求向量()與向量()的叉積。解答應(yīng)用叉積公式：(=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1))。所以(=(2(3)-1(-1),1(-1)-2(-1),1(3)-2(1))=(6+1,-1+2,3-2)