適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第十一章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第三節(jié)二項式定理課件

第三節(jié)二項式定理第十一章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)增分策略增素能精準突破課標解讀1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.強基礎(chǔ)增分策略知識梳理1.二項式定理(1)二項式定理:(a+b)n=

,n∈N*.

(2)通項:

,它表示展開式的第k+1項.

(3)二項式系數(shù):二項展開式中各項的系數(shù)(k=0,1,2,…,n)叫做二項式系數(shù).字母a,b是一種“符號”,實際上可以是數(shù)和式

只與各項的項數(shù)有關(guān),而與a,b的值無關(guān)

微點撥二項式系數(shù)

(k=0,1,2,…,n)是組合數(shù),它與二項展開式中對應(yīng)項的系數(shù)不一定相等,應(yīng)注意區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)這兩個不同的概念.項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項的項數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān).如(a+bx)n的展開式中,第k+1項的二項式系數(shù)是

,而該項的系數(shù)是

an-kbk.當然,在某些二項展開式中,各項的系數(shù)與二項式系數(shù)是相等的.微思考(a+b)n與(b+a)n的展開式有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

(a+b)n的展開式與(b+a)n的展開式的項完全相同,但對應(yīng)的項不相同,兩個展開式的通項不同.2.二項式系數(shù)的性質(zhì)

微點撥利用賦值法求二項式系數(shù)的和.微思考二項展開式中二項式系數(shù)最大時該項的系數(shù)就最大嗎?提示

不一定最大.當二項式中a,b的系數(shù)為1時,二項式系數(shù)等于項的系數(shù),則二項式系數(shù)最大時,該項的系數(shù)就最大,否則不一定.常用結(jié)論

對點演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)(a+b)n的展開式中的第k項是

an-kbk.(

)(2)在二項展開式中,系數(shù)最大的項為中間的一項或中間的兩項.(

)(3)通項Tk+1=an-kbk中的a和b不能互換.(

)(4)在(a+b)n的展開式中,某項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)相同.(

)√×××2.在(1+2x)5的展開式中,x2的系數(shù)等于(

)A.80 B.40 C.20 D.10答案

B

3.若

的展開式中第3項的二項式系數(shù)是15,則展開式中所有項的系數(shù)之和為

.

增素能精準突破考點一二項展開式的通項及其應(yīng)用(多考向探究)考向1.二項展開式中的特定項(或系數(shù))典例突破(3)二項式

的展開式中的常數(shù)項為15,則實數(shù)a=

.

例1.(1)(2023天津,11)在(2x3-)6的展開式中含x2的項的系數(shù)為

.

(2)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項為

.

答案

(1)60

(2)-15x4

(3)3

方法歸納求二項展開式中特定項的步驟

對點訓(xùn)練1(1)的展開式中常數(shù)項為(

)A.-15 B.-20 C.15

D.20(2)(2023山東泰安一模)若

的展開式中含x6的項的系數(shù)是-16,則實數(shù)a的值是(

)A.-2 B.-1C.1 D.2答案

(1)B

(2)D

考向2.已知兩個因式之積求其特定項(或系數(shù))典例突破答案

(1)D

(2)28

方法總結(jié)求兩個因式之積的特定項(或系數(shù))的兩種常用方法

對點訓(xùn)練2(1)(2023遼寧沈陽三模)的展開式中,含x-2的項的系數(shù)為(

)A.430 B.435C.245 D.240(2)(2-x)(2x+1)6的展開式中含x4的項的系數(shù)為

.

答案

(1)B

(2)320

考向3.已知三項式求其特定項(或系數(shù))典例突破例3.(1)(x2+3x-1)5展開式中含x的項的系數(shù)為(

)A.-3 B.3 C.-15 D.15方法總結(jié)求三項展開式中某些特定項(或系數(shù))的三種方法

對點訓(xùn)練3在(x2-2x+y)6的展開式中,含x5y2的項的系數(shù)為(

)A.-480 B.480

C.-240 D.240答案A

解析

(x2-2x+y)6看成是6個(x2-2x+y)相乘,要得到x5y2,需要“從6個因式中,2個因式取y,1個因式取x2,3個因式取-2x”,此時含x5y2的的項系數(shù)為考點二二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題典例突破

例4.(1)(多選)在

的展開式中,各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之和為128,則(

)A.二項式系數(shù)和為64 B.各項系數(shù)和為64C.常數(shù)項為-135 D.常數(shù)項為135(2)若(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=(

)A.28-1 B.28C.38-1 D.38答案

(1)ABD

(2)D

(2)由題可知,x的奇數(shù)次冪的系數(shù)均為負數(shù),所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…+a8.因為(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+a8=38,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38.故選D.名師點析形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法.(2)已知二項式

的展開式的二項式系數(shù)和為64,則展開式中的有理項系數(shù)和為

.

對點訓(xùn)練4(1)(2023北京大興?？既?若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=

.

答案

(1)32

(2)65

所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.令x=-1,可得25=a0-a1+a2-a3+a4-a5=32.(2)因為展開式的二項式系數(shù)和為64,所以2n=64,考點三二項式系數(shù)的性質(zhì)典例突破(2)的展開式中各項系數(shù)的和為-1,則該展開式中系數(shù)最大的項為

.

例5.(1)(多選)(2023山東青島一模)在

的展開式中,下列說法正確的是(

)A.常數(shù)項是1120B.第四項和第六項的系數(shù)相等C.各項的二項式系數(shù)之和為256D.各項的系數(shù)之和為256答案

(1)AC

(2)80x-3

方法總結(jié)1.二項式系數(shù)最大項的確定方法

2.二項展開式系數(shù)最大項的求法

(2)已知(+3x2)n的展開式中,各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992,則展開式中系數(shù)最大的項為

.

對點訓(xùn)練5(1)(多選)已知

的展開式共有13項,則下列說法中正確的有(

)A.所有奇