2021-2023年全國高考數(shù)學(xué)典例真題匯編16（新高考模式訓(xùn)練）

2021-2023年全國高考數(shù)學(xué)典例真題匯編（新高考模式訓(xùn)練）16

姓名：班級：

單選題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

1.12021-新IWJ考I卷】已知z=2—i，貝!]z（z+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

2.【2021-浙江卷】設(shè)集合A={x|x21},B=[x\-l<x<2],則AB=（）

A.{x|x>-l}B.C.|x|-l<x<ljD.1x|l<X<2}

2-i

3.12021-全國新高n卷】復(fù)數(shù)丁:7在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.【2022-北京數(shù)學(xué)高考真題】在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制

冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與7和IgP的關(guān)系，其中7

表示溫度，單位是任尸表示壓強(qiáng)，單位是bar.下列結(jié)論中正確的是（）

A.當(dāng)T=220,P=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)T=270,P=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)T=300,P=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)7=360,尸=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

%-2>0,

5.【2022-浙江卷數(shù)學(xué)高考真題】若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件2x+y-7W0,則z=3x+4y的最大值是（）

%--2<0,

A.20B.18C.13D.6

6.【2021-浙江卷】如圖已知正方體ABC?！狝4G2，M,N分別是A。，的中點(diǎn)，貝U（）

、

DCi

A.直線4。與直線R3垂直，直線MN//平面ABCD

B,直線4。與直線平行，直線MN，平面3。。1用

C,直線4。與直線相交，直線MV//平面ABCD

D,直線4。與直線異面，直線平面5?？谂c

7.12022-全國甲卷數(shù)學(xué)高考真題】沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度

的“會圓術(shù)”，如圖，A3是以。為圓心，物為半徑的圓弧，C是的力8中點(diǎn)，〃在A3上，A3.“會圓術(shù)”

2

給出A5的弧長的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+賓CD.當(dāng)。4=2,NAOB=60。時，s=（）

A11-3百口11-4/「9-373n9-4石

2222

22

8.【2021-天津卷】已知雙曲線三-斗=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)與拋物線/=2px（p〉0）的焦點(diǎn)重合，拋

ab

物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn),若|Cp=&|A8|.則雙曲線的離心率

為（）

A.72B.73C.2D.3

二.多選題（本大題共1小題，每小題5分，共5分）

9.【2021-全國新高n卷】下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本石,4,的離散程度的是（）

A.樣本石,々,一，X”的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本石,々,?，%的中位數(shù)

C.樣本石,9，-，毛的極差D.樣本和％2,…,X”的平均數(shù)

10.12021-全國新高n卷】已知直線/:ax+勿—，=0與圓C：x2+y2=/，點(diǎn)A（a,?,則下列說法正確的

是（）

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線/與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線/與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線/上，則直線/與圓C相切

klk

11.【2021-全國新高II卷】設(shè)正整數(shù)〃=。0,2°+%-2++ak_l-2-+ak-2,其中6e{0,l},記

（y（ra）=%+4++ak.貝!］（）

A.a）（2ra）=ty（ra）B.<?（2w+3）=cy（w）+l

C.co（8n+5）=co（An+3）D.（y（2"-1）=〃

三.填空題（本大題共1小題，每小題5分，共5分）

12.【2022-北京數(shù)學(xué)高考真題】函數(shù)/（X）=^+J匚1的定義域是.

X

13.【2021-浙江卷】在ABC中，N3=60°,A5=2,M是的中點(diǎn)，4加=26，則AC=，

cosZMAC—.

14.【2023-北京數(shù)學(xué)乙卷高考真題】我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、

用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列{%,},該數(shù)列的前

3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且％=1,%=12,2=192,則%=；數(shù)列{4}所有項(xiàng)的和

為.

四.解答題（本大題共1小題，每小題12分，共12分）

15.【2022-天津數(shù)學(xué)高考真題】在.ABC中，角/、8、C的對邊分另U為a,b,c.已知。=a,b=2c,COSA=--.

4

（1）求c的值；

（2）求sin5的值；

(3)求sin(2A—J3)的值.

16.【2022-浙江卷數(shù)學(xué)高考真題】如圖，己知A6CD和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,

DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸—OC—5的平面角為60°.設(shè)弘“分別為AE,5c的

中點(diǎn).

(1)證明：FN±AD；

(2)求直線與平面ADE所成角的正弦值.

17.【2022-全國甲卷數(shù)學(xué)高考真題】甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得10分，

負(fù)方得0分，沒有平局.三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率

分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用才表示乙學(xué)校的總得分，求才的分布列與期望.

18.【2023-全國數(shù)學(xué)甲卷(文)高考真題】已知函數(shù)/(x)=ax-上手

COS

⑴當(dāng)。=1時，討論/(力的單調(diào)性;

(2)若/(x)+siiuyO,求。的取值范圍.

22

19.12021-北京數(shù)學(xué)高考真題】已知橢圓E:=+二=l(a〉6〉0)過點(diǎn)A(0,-2),以四個頂點(diǎn)圍成的四邊形面

ab

積為4君.

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)?(0,-3)的直線/斜率為“，交橢圓￡于不同的兩點(diǎn)6,C,直線力6,就交尸-3于點(diǎn)從N,直線NC

交戶-3于點(diǎn)兒若|掰+|/W|W15,求4的取值范圍.

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【參考答案】

1.【答案】c

【解析】

因?yàn)閦=2—i,故］=2+i，故z（z+z）=（2—i）（2+2i）=6+2i

故選：C.

2.【答案】D

【解析】

由交集的定義結(jié)合題意可得：AB={%|l<x<2}.

故選：D.

3.【答案】A

【解析】

2-i(2-i)(l+3i)5+5i1+i后將

----=-------------=-----=——，所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為

l-3i10102

該點(diǎn)在第一象限,

故選：A

4.【答案】D

【解析】

當(dāng)7=220,尸=1026時，lgP>3,此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤.

當(dāng)7=270,尸=128時，2<lgP<3,此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤.

當(dāng)7=300,尸=9987時，IgP與4非常接近，故此時二氧化碳處于固態(tài)，

另一方面，T=300時對應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯誤.

當(dāng)T=360,尸=729時，因2<lgP<3,故此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.

故選：D

5.【答案】B

答案第1頁，共14頁

【解析】

當(dāng)動直線3x+4y—z=。過A時z有最大值.

x=2fx=2/、

由。工7c可得<故42,3,

2x+y-7=0[y=3

故Zmax=3x2+4x3=18，

故選：B.

6.【答案】A

【解析】

連ADlt在正方體ABCD-中，

M是4。的中點(diǎn)，所以V為A2中點(diǎn)，

又N是的中點(diǎn)，所以肱V〃AB,

W平面ABC。,AB<=平面ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

因?yàn)锳B不垂直BD,所以MV不垂直3。

則MN不垂直平面3。。1瓦，所以選項(xiàng)B,D不正確;

答案第2頁，共14頁

在正方體ABCZ)—AgGDi中，AD】-LAiD,

AB,平面相q￡),所以A3,A。，

AD^AB^A,所以A。，平面AB。，

DXBu平面ABDX,所以A,?！繢yB,

且直線A。,23是異面直線，

所以選項(xiàng)c錯誤，選項(xiàng)A正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個面對角

線互相垂直，正方體的對角線與面的對角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.

7.【答案】B

【解析】

解：如圖，連接。C,

因?yàn)镃是AB的中點(diǎn)，

所以O(shè)C_LA5,

又CDLA3,所以O(shè),C,D三點(diǎn)共線，

即OD=OA—OB=2,

又NAOB=60。，

所以AB—OA—OB=2,

則OC=石，故0)=2—6，

所以s=A5+空=2+9一

OA22

故選：B.

答案第3頁，共14頁

D

8.【答案】A

【解析】

22

設(shè)雙曲線3-3=1（“>0,6>0）與拋物線丁=2px（p>0）的公共焦點(diǎn)為（c,0），

ab

則拋物線y2=2px（p〉0）的準(zhǔn)線為x=-c,

22r2Qr2

令X=-C,則:—4=1,解得y=±幺，所以區(qū)劇=三_,

a2b2a11a

又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±—%,所以|CD|=——，

aa

所以竺￡=哀更，即°=①，所以/=02一加=餐2,

aa2

所以雙曲線的離心率e=f=J5.

a

故選：A.

9.【答案】AC

【解析】

由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；

由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；

故選：AC.

10.【答案】ABD

【解析】

產(chǎn)

圓心。（0,0）到直線I的距離d=/.,,

答案第4頁，共14頁

2

若點(diǎn)A（a,"）在圓C上，則標(biāo)+尸二產(chǎn),所以d=_^==H，

J"+廳

則直線/與圓C相切，故A正確；

若點(diǎn)A（a,b）在圓C內(nèi)，則42+〃<產(chǎn)，所以

yja+b~

則直線/與圓C相離，故B正確；

若點(diǎn)A（a,。）在圓C外，則所以d=,,=<,|,

+b2

則直線/與圓C相交，故C錯誤；

若點(diǎn)A（a,Z?）在直線/上，貝IJ。2+62一「2=0即+/=,，

所以直線/與圓C相切，故D正確.

荷+/?1

故選：ABD.

11.【答案】ACD

【解析】

對于A選項(xiàng)，60（"）=4+%+,+以,2〃=g,2]+。]?2~++,2”+4?2*1,

所以，a）（2n）=a0+（\++ak=a）[n）,A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，取〃=2,2n+3=7=l-2°+l-21+l.22，.-.?（7）=3,

而2=0?2°+l-2i，則0⑵=1,即。⑺⑵+1,B選項(xiàng)錯誤；

34234k+3

對于C選項(xiàng)，8H+5=O0-2+?1-2++iz,-2^+5=1-2°+l-2+iz0-2+tz1-2++ak-2,

所以，。（8%+5）=2+4+q+,+%.，

23fc+2123k+2

4?+3=?0-2+01-2++tzr2+3=l-2°+l-2+tz0-2+a1-2++ak-2,

所以，o＞（4w+3）=2+a0+a1++ak,因此，0（8n+5）=o（4w+3）,C選項(xiàng)正確；

對于D選項(xiàng)，2"—l=2°+2i++2'i,故。（2"-1）=〃，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

12.【答案】（《,O）D（O,1]

【解析】

答案第5頁，共14頁

,.1i---1—>0

解：因?yàn)?(x)=—+J匚所以〈c,解得XW1且xwO,

\/X["0

故函數(shù)的定義域?yàn)?T?0)D(0,l];

故答案為：(TRO)D(O』

⑵■嚕

13.【答案】(1).2A/13

【解析】

由題意作出圖形，如圖,

在.ABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BM-BA-cosB，

1

即12=4+8/092—2BMx2x—,解得5M=4（負(fù)值舍去），

2

所以BC=2BM=2CM=8,

在」A5C中，由余弦定理得AC?=AB2+BC2—2AB-BC-COSB=4+64—2x2x8x1=52,

-2

所以AC=2jF；

AC2+AM2-MC-52+12-16_2如

在中,由余弦定理得cos/MAC=

2AMAC2x2石x2屈—13'

故答案為：2岳;撞9

13

14.【答案】①.48②.384

【解析】

方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為d，后7項(xiàng)公比為q>0,

答案第6頁，共14頁

4。91921v八

則q=一=—7=16,且q>0,可得q=2,

為12

則為=1+2-=*,即l+2d=3,可得d=l,

Q~

空1：可得%=3,%=%/=48,

?3（1-2，）

空2：q+q+L+%=1+2+3+3X2+…+3x26=3+:?'=384

方法二：空1：因?yàn)閧4},3W〃W7為等比數(shù)列，則d=%為=12x192=48?,

且a“〉0,所以%=48；

2

又因?yàn)椤猘3aq，則。3=~3；

%

空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為q>0,則]2=e=4,解得q=2,

%

一，口3（q+a3）/a,-aqq3-192x2

可行〃]+%+。3=---------=6,%+〃4+〃5+〃6+%+%+%=---------=-----------=381,

21-q1-2

所以q+W+L+佝=6+381—%=384.

故答案為：48；384.

15.【答案】（1）c=l

（八.R_Vio

（2）sinB-----

4

（3）sin（2A—3）=乎

【解析】

（2）由（1）可求出6=2,再根據(jù)正弦定理即可解出；

（3）先根據(jù)二倍角公式求出sin2A,cos2A,再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出.

【小問1詳解】

因?yàn)?=廿+°2-2bccosA，即6=/+。2+,次?，而Z?=2c,代入得6=4c?+c?+c?,解得：c=l.

2

【小問2詳解】

答案第7頁，共14頁

由(1)可求出/?=2,而0＜人＜兀，所以sinA=J1-cos?A=",又一-一=一-一,所以

4sinAsinB

.nbsinA2_4A/10.

smB=--------=-----=-----------

aJ64

【小問3詳解】

因?yàn)閏osA=—士，所以/故0＜5＜烏，又sinA=Jl—cos?A=巫,所以

4224

sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos?A-l=2x—-1=--,而sin5=,

{4481684

所以cosB=Vl-sin2B=，

4

故sin(2A-3)=sin2AcosB-cos2AsinB

16.【答案】(1)證明見解析；

(2)"L

14

【解析】

(2)由(1)可知F7VL平面ABCD,過點(diǎn)N做A5平行線NK,所以可以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、NF

所在直線分別為x軸、＞軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-孫z,求出平面ADE的一個法向量，以及BM，即

可利用線面角的向量公式解出.

【小問1詳解】

過點(diǎn)E、O分別做直線。C、A5的垂線EG、DH并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)G、H.

:四邊形ABCD和/都是直角梯形，ABIIDC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,

/BAD=Z.CDE-60°,由平面幾何知識易知，DG=AH=2,AEFC—NDCF-NDCB=AABC—90°,

則四邊形MCG和四邊形OCB〃是矩形，...在Rt一EGD和Rt.DH4，EG=DH=26,

?：DC±CF,DCLCB,且CFcCB=C,

..?。。，平面5。￡/8。/是二面角尸—。?！?的平面角，則/86=60，

...△BCE是正三角形，由￡)Cu平面ABCD,得平面ABCD,平面

答案第8頁，共14頁

是的中點(diǎn)，.-??，5。，又。。，平面8。P，TWu平面86,可得FN_LC。，而BCcCDnC,

；.FN_L平面ABCD,而ADu平面ABCD「.FN_LA￡）.

【小問2詳解】

因?yàn)镕7VL平面ABCD,過點(diǎn)N做A3平行線NK,所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、NF所在直線分別為

x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-孫z,

(百3

設(shè)A(5,6,0),5(0,6,0),D(3,-A0),E(l,0,3),則加3,—,-

(n八

BM=3,--,-,AD=(-2,-273,0),DE=(-2,^3,3)

(22)

設(shè)平面ADE的法向量為n=（x,y,z）

n-AD=Q—2x—=0

由＜，得取〃=揚(yáng)，

n-DE=0—2x+y/3y+3z=0

設(shè)直線BM與平面ADE所成角為6,

5石

sin0=|cos(n,BM)^=

|n|BM|y/7-2^3~14

17.【答案】（1）0.6；

（2）分布列見解析，E（X）=13.

【解析】

（2）依題可知，X的可能取值為0/0,20,30,再分別計(jì)算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望.

【小問1詳解】

設(shè)甲在三個項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為A,B,C,所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為

答案第9頁，共14頁

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

【小問2詳解】

依題可知，X的可能取值為0/。,20,30,所以，

p（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

p（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P（X=20）=0.5x0.6*0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

P（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

18.【答案】(1)“力在上單調(diào)遞減

(2)a<Q

【解析】

⑵法一：構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)+sinx,從而得到g(x)<0,注意到g(0)=0,從而得到g'(0)W0,進(jìn)而

得到a<Q,再分類討論a=0與a<0兩種情況即可得解；

einX

法二：先化簡并判斷得sinx——廠<0恒成立，再分類討論a=0,a<0與a>0三種情況，利用零點(diǎn)存在定

cosX

理與隱零點(diǎn)的知識判斷得a>0時不滿足題意，從而得解.

【小問1詳解】

因?yàn)閍=l,所以/(x)=x—嬴ypxepij,

…,cosxcos2x-2cosx(-sinx)sinx?cos2x+2sin2x

則/(x)=1----------------------―---------------=1-------------3--------

cosXcosX

答案第10頁，共14頁

32232

_cosx-cosX-2(1-COSX)_COSX+cos%2,

―3-3

COSXCOSX

令t=COSX,由于所以1=COSX￡(0,1),

所以cos3%+cos2x—2=，3+?—2=/—干+2t2—2=金—1)+2(%+1)(Z一1)=(產(chǎn)+2/+2)(，一1),

因?yàn)楫a(chǎn)+2%+2=(1+1)+1>0?才一1<0,cos3x=t3>0>

所以,(X)=COSS』’—<0在［o,［上恒成立，

cosX\L)

所以在［e)上單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

法一：

構(gòu)建g(x)=/(x)+sinx=ax-+sinx^0<x<］］，

2

eft\1+sinx(兀)

則g(%)=〃-----z——+cosx0<x<—,

cosxI2)

若g(x)=/(x)+sinx<0,且g(0)=/(0)+sin0=。，

則g'(O)=Q—1+1=Q<。，解得〃<0,

,,「，.sinx.乙1、

當(dāng)〃=0時，因?yàn)閟mx----=smx1-----廠，

cosX卜cosX)

又所以0<sinx<l,0<cosxvl,則一>1,

V2)cosx

sinx

所以/(%)+sin%=sin%....-<0,滿足題意；

cosX

TT

當(dāng)4<0時，由于0<%<不，顯然以<0,

2

UL”\?sinxsinx八田口由*

所以/(x)+smx=?x-----——Fsinx<sin%----<0，滿足題忌;

cosXcosX

綜上所述：若/a)+sinx<0,等價于aW0,

所以。的取值范圍為(-8,0］.

答案第11頁，共14頁

法二:

因?yàn)?sinx_sinxcos?%—sin%_sin%(cosx-lj_sir?%.

SinX2——2-2-2-'

COSXCOSXCOSXCOSX

因?yàn)閄E［。,］),所以O(shè)vsinxvl,0<cosx<L

故sin%—上竽<0在(0,上恒成立，

COSX\2)

sinx

所以當(dāng)a=0時，f(x)+sinx=smx----—<0,滿足題意；

cosX

JT

當(dāng)。<0時，由于0<%<不，顯然以<0,

2

by￡(\?sin尤sin九八田口舊土

所以/(%)+smx="X-----——I-sin%<sinx-----<0,滿足題意；

cosXcosX

??3

當(dāng)a>0時，因?yàn)?(%)+sinx=ax-SmX+sinx=ax-SmX,

cosxcosx

A/\sin3xf兀),(、3sin2xcos2x+2sin4x

令g(x)=QX----—0<x<-,貝!Jg［%)=a----------------------,

cos%I2J'，cos3x

件上“八、3sin20cos20+2sin40八

汪意到g'(0)=a--------------------二a〉0,

若V0<x<］,g'(x)>0,則g(x)在［W［上單調(diào)遞增，

注意到g(O)=O,所以g(x)>g(o)=o,即/(x)+sinx>0,不滿足題意；

,

30<x0<|,g(x0)<0,則g〈O)g〈Xo)<O,

所以在,或］上最靠近x=0處必存在零點(diǎn)Xi使得g'(%)=0，

此時g'(x)在(0,$)上有g(shù)'(x)>0,所以g(x)在(。,石)上單調(diào)遞增,

則在(0,可)上有g(shù)(尤)>g(o)=o,BP/