2024年浙江高三數(shù)學（文）3月模擬聯(lián)考試卷及答案解釋

2024年浙江強基聯(lián)校高三數(shù)學(文)3月模擬聯(lián)考試卷

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內容：高考全部內容。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知集合5={3%>-2},T=[x\x2+3x-4<0},貝i]S?T()

A.(fl]B.C.(-2,1]D.[l,+oo)

2.已知i是虛數(shù)單位,則—=()

1-i

l-2i-1+i2+il+2i

A.B.C.——D.------

2222

3.現(xiàn)有一項需要用時兩天的活動，每天要從5人中安排2人參加，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有參

加，則不同的安排方式有()

A.20種B.10種C.8種D.6種

4.已知x>0,y>。，則()

Aylnx+lnj_71nx+B71n(x+y)_71nxylny

Cylnxlny_71nx+D71n(孫)_ylnx.ylny

5.若0<x苦,貝geos?尤<1”是"XCOSJC<1”的<)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.(l+x)6(l-x)4的展開式中，x6的系數(shù)為()

A.2B.-2C.8D.10

7.已知函數(shù)的定義域為R,且〃0)=/圖=1,若/(x+y)+/a-y)=2/(x)-cosy,則函數(shù)

()

A.以兀為周期B.最大值是1

1

C.在區(qū)間上單調遞減D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

8.設點A,B,C是拋物線V=4x上3個不同的點，S.AB1AC,若拋物線上存在點。，使得線段AD

總被直線8C平分，則點A的橫坐標是（）

A.1B.2C.3D.4

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.有兩組樣本數(shù)據(jù)：玉,馬，一?"2024；%,%，?，力024淇中％=%?+2024（，=1,2,.,2024）,則這兩組樣本數(shù)

據(jù)的（）

A.樣本平均數(shù)相同B.樣本中位數(shù)相同

C.樣本方差相同D.樣本極差相同

10.已知.ABC的內角的對邊分別是a,b,c,（）

A.若asin=bsinA,貝?。?=工

23

B.若（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC,則A二—

6

jr

c.若。也C成等比數(shù)列，則

Ar

D.若成等差數(shù)列，則tan—F3tan—>2

22

11.已知正方體ABC。-a3GA的棱長為2,過棱CG，AA，4用的中點作正方體的截面，則（）

A.截面多邊形的周長為忘+29

B.截面多邊形的面積為工萬

C.截面多邊形存在外接圓

D.截面所在平面與平面A5CD所成角的正弦值為姮

11

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量〃=（2,1）,Z?=（2r,4）,若〃_L/?,則實數(shù)力=.

13.點P（3,〃）關于直線x+y-a=。的對稱點在圓（x-2）2+（y-4）2=13內，則實數(shù)。的取值范圍是.

14.用國表示不超過％的最大整數(shù)，已知數(shù)列｛叫滿足：4=g，%+1=丸4-M為T），〃￡N*.若2=。，

2

2024i

〃=-2,則%=______；若％=〃=1,則Z——=______.

a

L-ii\

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=sinx-J§cosx.

⑴求原的值，

⑵求函數(shù)y=/(x)-sinx的單調遞增區(qū)間.

16.小強和小基兩位同學組成“聯(lián)盟隊”參加兩輪猜燈謎活動.每輪活動由小強、小基各猜一個燈謎，他們

猜對與否互不影響.若兩人都猜對，則得3分；若僅一人猜對，則得1分；若兩人都沒猜對，則得0分.

已知小強每輪猜對的概率是］，小基每輪猜對的概率是：，各輪結果互不影響.

43

⑴求“聯(lián)盟隊”猜對4個燈謎的概率；

(2)求“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學期望.

17.如圖，在四棱錐中，四邊形ABC。為直角梯形，CD//AB,BCLAB,平面平面

ABCD,QA=QD,點以是4)的中點.

⑴證明：QMVBD.

(2)點N是CQ的中點，AD=AB=2CD=2,當直線MN與平面QBC所成角的正弦值為立1時，求四棱

7

錐。-A3CD的體積.

18.已知橢圓6：工+產=1的左、右頂點分別為A，4，點尸為直線/:x=2上的動點.

(1)求橢圓G的離心率.

(2)若尸4，尸4,求點尸的坐標.

(3)若直線PA和直線％分別交橢圓G于3,C兩點，請問：直線BC是否過定點？若是，求出定點坐標;

若不是，請說明理由.

3

19.已知函數(shù)

⑴當時，記函數(shù)的導數(shù)為f(%),求廣⑼的值.

3

(2)當〃=1,時，證明：/(x)>-cosx.

(3)當aN2時，令g(x)=e[a+l-〃x)],g(x)的圖象在天=機，尤=〃(機＜〃)處切線的斜率相同，記

g(rn)+g(n)的最小值為五(。),求人⑷的最小值.

(注：e=2.71828?是自然對數(shù)的底數(shù)).

1.C

【分析】

由一元二次不等式的解法和交集的運算得出即可.

所以S?T{x\-2<x?1}(-2,1],

故選：C

2.B

【分析】

利用復數(shù)的四則運算法則即可得出結論.

【詳解】廣i強i(l言+i)=一-1+i

故選：B.

3.D

【分析】

根據(jù)排列數(shù)的定義和公式，即可求解.

【詳解】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人，安排2天的活動，有A；=6種方法.

故選：D

4.D

【分析】

A、B、C選項可用賦值法判斷正誤，D選項根據(jù)指數(shù)與對數(shù)計算法則判斷.

【詳解】設x=Ly=2貝|

4

7lnl+ln2=7ln27il+7ln21A錯誤；

7M(1+2)=7I113w71nl.71n2,B錯誤；

7lnl.|n2=17t7lnl+7ln2；C錯誤;

71n(孫)_ylnx+lny_71nxjiny,￡)正確.

故選：D.

5.C

【分析】

構建函數(shù)/(x)=sinx-xco&r,利用導數(shù)結合三角函數(shù)性質可得1>sinx>xcosx>xcos?x,xe］。，鼻，進

而分析判斷.

【詳解】設/(x)=sinx-xcosx,/'(x)=cosx-(co&x-xsinx)=xsinx,

當0<x<］時r(x)>0,可知/(X)在(0，T內單調遞增，且"0)=0,

所以當0<x苦時，i>sinx>XCOSX>XCOS2X恒成立，

故若。,貝『'xcos2x<l"是"XCOSA：<1”的充分必要條件

故選：C.

6.A

【分析】

先將原式化為(1+2尤+尤2)(1一/『，再用二項式通項計算即可.

［詳解］(1+尤)6(1_彳)4=(1+同2(1-X2)4=(l+2x+x2)(l-x2)4,

(1-x2)4的通項為加=c1-琰0,

前面括號內出1時，令2左=6=左=3,此時C：(-L)3=—4；

前面括號內出2x時，k無解,

前面括號內出V時,令2%=4n左=2,此時C：(-I)?=6,

所以1的系數(shù)為T+6=2,

故選：A.

7.D

【分析】利用賦值法，分別令x=0,y=t,x=^+t,y=g,x=g,y=g+f,得到

5

/(x)=sinx+cosx=及sin逐項判斷.

【詳解】解：令x=0,y=t,得/?)+/(f)=2cosr,

令x=]+t,y=j,得/(兀+f)+/?)=0,

令工=9y=g+f,得/(71+。+〃-。=-253，

乙L

由以上3式，得/?)=sinf+cosr,

即/(x)=sinx+cosx=\/5sin[x+；J.

則八》)的周期為7=2兀，故A錯誤；

"%）的最大值為后，故B錯誤；

令則計：心,亳，故的在區(qū)間［-3］上不單調遞減，故C錯誤;

因為〃-x）=A/^sin］-x+；）所以且

所以/（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故D正確.

故選：D.

8.A

【分析】

說明直線8C過定點石（4+%,-％）,并求出A關于點E的對稱點代入拋物線即可求解.

=%一%.444

則凝c

y；￡%+%，同理心C二---#AB=--一

44

故直線BC方程為：y=4

X+雙4J

整理得(％+%)v=以+%%，①

44

由AB/AC得?=T，整理得(％+%)%+X%+尤+16=0,②

%十巴十%

由①②兩式得（乂+%）（丁+%）=4（1一4一%0）,即直線3C過點石（4+%,一%）,

6

A關于點E的對稱點即為點以8+%,-3%)在拋物線上，

代入得4(8+%)=9*=36%,解得%=1.

故選:A.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查拋物線中的定點問題，關鍵是利用垂直得斜率的關系進而求出定點坐標.

9.CD

【分析】

根據(jù)題意，求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差，依次分析選項即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，對于數(shù)據(jù)X],巧，L,X2024,

假設不<%<<馬024，

設其平均數(shù)為亍、中位數(shù)為機、方差為三、極差為〃，

貝!IT=20241+*2+…+工2024)'m=~(X1012+X1013),

n=^2024—Xi>

S2=2024[(蒼_1)2+(工2―5)2+(X3_彳)~+...+(^2024_彳)~],

又由％=為+2024。=1,2,L,2024),

設其平均數(shù)為了、中位數(shù)為加、方差為S〃、極差為〃，

則數(shù)據(jù)為,為，L，>2024的平均數(shù)為

y=2024+2°24+9+2024+超期+2024)=+，2++”2024)=%+2024,

中位數(shù)加=g(芭012+2024+%0]3+2024)=g(^012+x,013)+2024=m+2024,

討=%。24一K=(九2024+2024)—(再+2024)=n,

2222

方差S'=[(看+2024-X-2024)2+(x2+2024-jc-2024)+......+(三的+2024-J-2024)]=S,

故這兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同、極差也相同，平均數(shù)和中位數(shù)不同.

故選：CD.

10.ACD

【分析】

利用正弦定理、余弦定理邊角互化，結合三角恒等變換逐一判斷即可.

7

【詳解】

A-L-C

選項A：由正弦定理可得sinAsin-------=sinBsinA,

2

因為ABC中A3e(0,兀)，A+B+C=n,所以sin。=sin3,

所以sin工Oucos「Zsingcosg,解得8=g,A說法正確；

22223

選項B：若sin?B-2sinBsinC+sin2C=sin2A-sinBsinC,

則由正弦定理整理可得a2=b2+c2-bc,

又由余弦定理可得cosA=1

2bc2

因為Ae(O,7r),所以4=],B說法錯誤；

選項C：若。，4c成等比數(shù)列，則〃=在,

根據(jù)余弦定理可得cosB=>2aC~aC=當且僅當a=c時等號成立，

2aclac2

jr

所以c說法正確；

選項D：若〃，瓦c成等差數(shù)列，則2A=a+c,

C+CA—C

根據(jù)正弦定理可得2sin5=sinA+sinC,lU2sin(A+C)=4sin^—cos^—=2sin^—cos^—,

4:「A-C

因為ACE(O,TI),所以2cos^|^=cos^^，展開得

。AC.A.CAC.A.C

2cos—cos-----2sin—sin—=cos—cos——Fsin—sm一,

22222222

AC*c.A.C八

艮nn「cos-cos----3sin—sin一=0,

2222

AcACAC1

兩邊同除cos—cos一得l-3tan—tan—=0,即tan—tan一,

2222223

ArIACAC

所以tan—+3tan—>2/3tan—tan—=2,當且僅當tan—=3tan—時等號成立，D說法正確；

22VA2222

故選：ACD

11.AB

【分析】

根據(jù)題意畫出正方體，將題中截面畫出，根據(jù)邊長關系即可求出邊長和面積；判斷截面多邊形各邊長垂

直平分線是否交于一點即可判斷出多邊形是否存在外接圓；根據(jù)二面角定義和余弦定理求出截面所在平

面與平面ABCD所成角.

【詳解】連QR,延長交直線GA，c蜴的延長線于點尸，E,連PF交DD\于N,連PE交8用于",

8

連QN,RM得到截面五邊形尸AQRM,連接尸與fE的中點0.

由Q,R為中點，|MP|=|NP|=2gO,|QR|=&,|力闔=|N@=半，因此周長為0+2如，故A正

確.

閥=30，附=何，|尸。卜年，S—.警出手,

SFNQ=SMRE=\-^APFE-\FN\-\FQ\=^~,

Zo

截面多邊形的面積為SPFE-SFN@-SMRE=［屈，故B正確.

YPNQ與,是公用一個頂點的全等三角形，兩個三角形的外心不重合，所以這個五邊形沒有外接圓，

故C錯誤.

根據(jù)二面角定義可知乙4。尸為截面與底面所成角，同。|=亭，RH=3,根據(jù)余弦定理可得

cosZ^OP=^OP,故sin/AOP=叵，故D錯誤.

2AOOP11-11

故選AB.

12.-1

【分析】

依題意可得4為=0,根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可.

【詳解】因為。=（2,1）,1=（2f,4）且打九

所以0=2x2/+1x4=0，解得％=—1.

故答案為：-1

13.4vavl0

【分析】

首先求對稱點，再根據(jù)點與圓的位置關系，列式求解.

【詳解】設點P（3M）關于直線入+y-。=0的對稱點為（x,y）,

9

y-a

x—3zox=0

則，得

3a+xa+y八y=a-3,

----+——--tz=O

[22

又題意可知，(0—2)2+(a—3—4)2v13,解得：4<6i<10.

故答案為：4v，vl0

2n

14.2--,2

3

【分析】

當4=0,〃=-2時，利用構造法可得出數(shù)列｛4-2｝是等比數(shù)列，求出4,-2=-/2，1,進而得出％;

111

當％=必=1時，由題目中的遞推關系式可得＞%,—=―r-----7,內必＞2,即可求解.

【詳解】

當2=0,〃=-2時，即?！?1-2=2(%-2),

7

則數(shù)列｛4-2｝是以3-2=-1為首項，2為公比的等比數(shù)列.

所以%—2=-§X2"T,即%=2—

當4=〃=1時，%=。；一(4一1),即4+1-1=%(％-1),且%1)2=0,

111

anl>an，

+T

4

因為％=-

20241111

所以工廠——+——++-----

出024

11、11111

+++

%-1a?-],。一1/T,、々2024—1々2025-1

11

41T〃2025-1

1

=3-

。202511

413133"+1>2.

由q4+1=4一（見一1）可得:a3='a4

39O16561

因為4+i>a?，

01<1

所以出025>2,<——1',

〃2025—1

10

2024i

則=2.

_Z=1

2〃

故答案為：2-—；2.

3

【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，數(shù)列的通項公式及前〃項和.利用構造法即可求解第

一空；借助遞推關系式得出—=—^7—-\，。2025>2是解答第二空的關鍵.

anan-1an+\-1

15.(1)—1(2)—+kii,+kii(keZ)

【分析】

(1)將X=￡71代入化簡即可得出答案；

O

(2)化簡y=/(x)-siru,求、=1411(2苫+。|的單調遞增區(qū)間即求y=sin(2x+1的單調遞減區(qū)間，

TT7T3TT

令一+2MW2x+—W—+2M/eZ,即可得出答案.

262

【詳解】(1)/f-^=sin--^cos-=--V3x^=-l.

I6j6622

求y=；-sin12x+"的單調遞增區(qū)間即求y=sin（2x+"的單調遞減區(qū)間,

TTTT47r

令一■F2kli<2x+—<---FIku,kwZ,

262

jr27r

解得：—+kn<x<—+AJI,左$Z,

63

所以所求的單調增區(qū)間為1E鄉(xiāng)+e］仕eZ）.

o3

123

16.⑴;⑵分布列見解析，￡（%）=—

4、,6

【分析】

(1)題意可知小強和小基兩位同學兩輪猜謎都猜對，根據(jù)獨立重復事件計算方式計算即可;

(2)“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X=0,1,2,3,4,6,根據(jù)獨立重復事件計算方式計算這6種情況概率即可.

【詳解】(1)解：記事4：兩輪猜謎中，小強猜中第i個；事件與：兩輪猜謎中，小基猜中第i個.(7=1,2)

P=P（A44§2）二

4

11

(2)“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X=0,1,2,3,4,6

2

尸（x=o）=II$

p（x=i）=T[J

12

所以“聯(lián)盟隊”兩輪得分之和X的分布列為

X012346

152515j_

P

1447214412124

所求數(shù)學期望E(X)=?.

17.⑴證明見解析⑵;或記

【分析】

(1)根據(jù)等腰三角形三線合一性質和面面垂直的性質可得QM，平面ABCD,由線面垂直性質可得結論;

(2)方法一：取BC中點尸，作MGLQF,由線面垂直的性質和判定可證得平面QBC,由線面

角定義可知sinNMNG=里，根據(jù)長度關系可構造方程求得QM，代入棱錐體積公式可求得結果；

7

方法二：取BC中點歹，以尸為坐標原點可建立空間直角坐標系，由線面角的向量求法可構造方程求得

QM,代入棱錐體積公式可求得結果.

【詳解】(1)M是AD中點，QA=QD,..QM1AD,

平面04。_L平面ABC。，平面QAOc平面ABCD=AD,QMu平面QAO,

平面ABC。，又BDu平面A3CD,

(2)方法一：取3c中點/，連接"EQ尸，作MG，。尸，垂足為G,連接NG,MC,

12

vG

/，尸分別為A￡>,BC中點，ABI/CD,MFIIAB,又BCLAB,:.MFLBC；

由（1）知：QM-L平面ABCD,8。匚平面45?！辏?二。四，8。；

。河,凡尸匚平面。肘F，QM\\MF=M,.1BC，平面QWF,

MGu平面QMP,:.BC±MG,

又MGLQF,QFBC=F,。尸,8。匚平面@<7,：.欣7_1平面@0,

???直線MN與平面沙。所成角為NMNG,.?.sinNMNG=叵，

7

設QM=tz（6z>0）,

其r=5（A5+CD）=5,BC=JAD2—f

:.MC=JMF2+^BC^=A/3,:.MN=^QC=^a2+3,

3

Q尸存可彳

3a

9+42

:.sinZMNG=—=y^=,解得：a=g或。=?，

MN72

VQ_ABCD=^X^AB+CD）-BC-QM=^-QM,

^Q-ABCD=務；當QM=g時，V_=^~.

.,.當時，QABCD

綜上所述：四棱錐ABC。的體積為:或也.

24

方法二：取BC中點尸，連接叱，

/，產分別為A￡＞，BC中點，AB//CD,:.MF//AB,又BC1,AB,；.MFLBC；

由（1）知：QA/L平面A3cD,

13

以F為坐標原點，9,尸8正方向為x,y軸正方向，過下作z軸〃。M,可建立如圖所示空間直角坐標系,

1/

設QM=a（a>0）,

13BC=JAD2-f^ABj=6,

MF=-（AB+CD）=-,

二呢,。,0),唱。，d，心當可，C,一字。］,4,岑'

:.MN=-,BC=^0,—A/3,0J,CQ=；

設平面QBC的法向量〃=(x,y,z),

BC-n二—yfiy=0

貝卜3^3，令x=2a,解得：y=。，z=—3〃=（2a,0,-3）；

CQ,n=—xH---y+az=0

、22

%"=；x；(AB+C0.8C.QM=苧QM,

...當QM=6時，V?=|;當時，VQABCD=^1.

綜上所述：四棱錐。-ABCD的體積為:或土叵.

24

18.(1)當⑵伍司或(2,-灼(3)(|,o]

【分析】

(1)直接由定義求出即可；

(2)設出坐標，結合已知條件由射影定理求出即可;

14

（3）兩次利用直曲聯(lián)立，表示出點反C的坐標和直線BC的斜率，由點斜式寫出直線BC方程，即可求

出直線過的頂點.

設P（2,p）,直線x=2交x軸于點Q,由必，尸人,.?.|PQ『=|31H依|=5

.?.尸（2,君）或尸（2,-石）

P（2,P）,4（-3,0）,4（3,0）,

，4尸：V=g（x+3）代入，+9尸=9得：

22

（9/+25*+54px+81p-225=0,

A=（54/72）2-4x（9p2+25）x（81/72-225）＞0

設磯不凡）,C（孫％）

…二叫一2到,不「時一25）,y（x+3）1

9P2+2519P2+2559P+25

.J-3（9/-25）30?'

"9"+25，9p2+25'

\7

L：y=-P（x-3）代入_?+9/=9得:

（9p2+l）x2-54p2%+81p2-9=0,

15

A=(54/)2-4X(9/72+1)X(81/?2-9)>0

81P2-9.3(9p2-l)LP-3)=乙

9P2+1，"9/+1

"工12P（9/-1）?6P

9p'+5（9p2+5）（9