2024年云南省紅河州高考數(shù)學第二次統(tǒng)測試卷（附答案解析）

2024年云南省紅河州高考數(shù)學第二次統(tǒng)測試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有,

項是符合題目要求的

1.(5分)已知復數(shù)2=(2+z)(1-/),貝憫=()

A.V2B.2C.V5D.V10

2.(5分)設集合A={0,1,2},B={3,m},若AC8={2},則AU8=()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2)C.{1,2,3}D.{2,3}

―—T

3.（5分）已知向量a=（1,—2),b=(—1,-2),設a與b的夾角為0,則sin6=(

3344

A.-HB.-C.-HD.

5555

4.（5分）在（2-?）7的展開式中，含/的項的系數(shù)為（）

A.-280B.280C.560D.-560

22

5.（5分）已知雙曲線C；/臣-葛=1（6>0）的實軸長等于虛軸長的2倍，則C的漸近

線方程為（）

A.y=±^xB.y=±^-xC.y=±2xD.y=±V2x

11

6.（5分）已知a,6均為正實數(shù)，則“一〉一”是“整+2.>3°〃，的（）

ab

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.（5分）孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個重要定理，最早可

見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題

的解法傳至歐洲，1874年英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余

式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1

至2024這2024個整數(shù)中能被2除余1且被3除余2的數(shù),按從小到大的順序排成一列，

把這列數(shù)記為數(shù)列｛即｝.設勾=（a）而，則等（）

bn

A.8B.16C.32D.64

8.（5分）已知函數(shù)f（x）=另y-久3,對于任意的2],不等式/（罟）+f（一孚一）

，十,x1（x—1）（%—6）

VI恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）

A.（1,+8）B.[-1,1]C.（-8,-1]D.（-8,-1）

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

（多選）9.（5分）如圖所示，圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，則下列選項中正確的

A.圓錐的軸截面為直角三角形

B.圓錐的表面積大于球的表面積的一半

C.圓錐側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為7T

D.圓錐的體積與球的體積之比為1：4

（多選）10.（5分）若圓。J%2+y2+2%—3=0與圓。2：%2+y2—2y-1=0交于A,

2兩點，則下列選項中正確的是（）

A.點（1,-1）在圓02內

B.直線42的方程為x+y-1=0

C.圓01上的點到直線AB距離的最大值為2+V2

D.圓。2上存在兩點尸，Q,使得|PQ|>|AB|

（多選）11.（5分）己知函數(shù)/（%）=7-x-/?%,則下列選項中正確的是（）

1

A-〃2）>抬）

B.f（x）既有極大值又有極小值

C.若方程機=/（|x|）有4個根，則:底（0,+8）

D.若/'（XI）=/（X2）（無1#X2）,貝！JX1X2-（X1+X2）+1<0

（多選）12.（5分）某種高精度產(chǎn)品在研發(fā)后期，一企業(yè)啟動產(chǎn)品試生產(chǎn)，假設試產(chǎn)期共

有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線且每天的生產(chǎn)數(shù)據(jù)如下表所示：

生產(chǎn)線次品率產(chǎn)量（件/天）

甲5%500

乙3%700

丙4%800

試產(chǎn)期每天都需對每一件產(chǎn)品進行檢測，檢測方式包括智能檢測和人工檢測，選擇檢測

方式的規(guī)則如下：第一天選擇智能檢測，隨后每天由計算機隨機等可能生成數(shù)字“0”或

“1”，連續(xù)生成5次，把5次的數(shù)字相加，若和小于4,則該天檢測方式和前一天相同，

否則選擇另一種檢測方式.則下列選項中正確的是()

A.若計算機5次生成的數(shù)字之和為厚則P(fV4)=/

B.設4表示事件第〃天該企業(yè)產(chǎn)品檢測選擇的是智能檢測，貝UP(4n)=

53

C.若每天任檢測一件產(chǎn)品，則這件產(chǎn)品為次品的概率為3.75%

25

D.若每天任檢測一件產(chǎn)品，檢測到這件產(chǎn)品是次品，則該次品來自甲生產(chǎn)線的概率為一

78

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當尤>0時，f(x)=l+log^,貝U/(-2)

+f<0)=-

14.(5分)已知橢圓E；1+*=1的右焦點為R直線/：3y=0(mGR)交E于A,

B兩點，且BP,無軸，貝U|A尸尸.

15.(5分)已知函數(shù)f(x)=2s譏(we—$?CN*)在［0,勺上恰好有三個零點，請寫出符

合條件的一個3的值：.

16.(5分)如圖，在棱長均相等的斜三棱柱ABC-A18C1中，ZArAB=N&AC=BM=

->—>_____?—>

4BB1，CN=N西，若存在入e(0,1),ne(o,1),使a“-BN=o成立，則入+四的最

小值為_______________________.

五、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,記△ABC的面積為S,已

,a2+b2-c2廠/—

知---------=6V2,a=y2b

cosC

(1)求mb\

(2)請從①S=*(Q2+c?—62)；②bcos/+￥a=c；③bsinA=acos(B―今.三個

條件中任選一個，試探究滿足條件的△ABC的個數(shù)，并說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

18.（12分）某網(wǎng)絡購物平臺專營店統(tǒng)計了某年2月15日至19日這5天在該店購物的人數(shù)

y（單位：人）的數(shù)據(jù)如下表:

日期2月15日2月16日2月17日2月18日2月19日

日期代號X12345

購物人數(shù)y77849396100

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關于尤的一元線性回歸模型，并根據(jù)該回歸模型預測當年2

月21日在該店購物的人數(shù)（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)）;

（2）為了了解參加網(wǎng)購人群的年齡分布，該店隨機抽取了200人進行問卷調查.得到如

下所示不完整的2X2列聯(lián)表:

年齡不低于40歲低于40歲合計

參與過網(wǎng)上購物30150

未參與過網(wǎng)上購物30

合計200

將列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認為“參

與網(wǎng)上購物”與“年齡”有關.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為6=整8-尤）（％；,,a=y_

求1（無「幻

A2

,_2_n(ad—bc)

bXfX=(a+b)(c+d)(a+c)3+dy

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

19.（12分）如圖，已知。E_L平面ABC。，四邊形為等腰梯形，AB//DC,BF//DE,

￡>C=2AZ)=4,DE=3BF=3.

(1)證明：A/〃平面OCE；

(2)若BO_LFC,求平面AM與平面8DEF的夾角的大小.

11

20.(12分)已知數(shù)列｛劭｝的前〃項積為且滿足一+—=1.

anTn

(1)求〃1,CL2的值；

(2)試猜想數(shù)列｛劭｝的通項公式，并給予證明;

(3)若篇=給，記數(shù)歹U｛力，｝的前〃項和為S，證明：Sn<2.

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=lnx-x.

(1)求/(x)在(e,f(e))處的切線方程;

1

(2)設函數(shù)g(%)=于+aER,求g(%)的極值.

22.(12分)已知拋物線C：b=2。尤(p>0)的焦點到準線的距離為1,。為坐標原點，A,

2是C上異于。的不同的兩點，且滿足0ALA2,點M為△AOB外接圓的圓心.

(1)求動點M的軌跡方程;

(2)當△AOB外接圓的面積最小時，求A,B兩點的坐標.

2024年云南省紅河州高考數(shù)學第二次統(tǒng)測試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有,

項是符合題目要求的

1.(5分)已知復數(shù)2=(2+i)(1-z),則|z|=()

A.V2B.2C.V5D.V10

【答案】D

【分析】利用復數(shù)模的求解公式化簡即可求解.

【解答】解：由z=(2+0(1-z)=2+1-2z+z=3-i,

則|z|=J32+(-1產(chǎn)=V10.

故選：D.

【點評】本題考查了復數(shù)模的求解，屬于基礎題.

2.(5分)設集合A={0,1,2],8={3,m],若AC8={2},貝！JAU8=()

A.[0,1,2,3}B.[0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

【答案】A

【分析】利用交集、并集定義直接求解.

【解答】解：集合A={0,1,2),B={3,m],

由Ang={2},得m=2,

所以B={2,3},

.,.AUB={0,1,2,3).

故選A.

【點評】本題考查交集、并集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

TTTT

3.(5分)已知向量a=(1,-2),b=(-1,—2),設a與b的夾角為0,則sin0=()

3344

A.一己B.-C.一亡D.一

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結合向量的夾角公式，以及三角函數(shù)的同角公式，即可求解.

【解答】解：2=(1,-2),5=(一1,-2),

則w”就=能4

又因為eqo,n],

-------------4

所以sing=V1-cos29=+

故選：D.

【點評】本題主要考查向量的夾角公式，屬于基礎題.

4.（5分）在（2—FA的展開式中，含/的項的系數(shù)為（）

A.-280B.280C.560D.-560

【答案】B

【分析】直接利用二項式系數(shù)的展開式求出結果.

k

【解答】解：由二項展開式的通項公式得〃+1=療27-y_1）32,左=0,1,2,-7,

kc

令&=2得％=4,所以7的系數(shù)為小23（_1）4=280.

故選：B.

【點評】本題考查的知識點：二項式系數(shù)的展開式，主要考查學生的運算能力，屬于基

礎題.

22

5.（5分）已知雙曲線C；喘短-器=1（6＞0）的實軸長等于虛軸長的2倍，則C的漸近

線方程為（）

A.y=+^xB.y=±孝久C.y=±2xD.y=+y/2x

【答案】C

【分析】由題意設C的漸近線方程為y=根據(jù)題目條件可知a=2b,進而可得雙

曲線的漸近線方程.

【解答】解：因為冽＞0,所以雙曲線C的焦點在y軸上，

V2久2

設雙曲線。的標準方程為—y—六=1（〃＞0,。＞0）,

azbz

所以雙曲線C的漸近線方程為y=

又因為實軸長等于虛軸長的2倍，即a=2b,

所以C的漸近線方程為＞=±2尤.

故選：C.

【點評】本題主要考查了雙曲線的性質，屬于基礎題.

11

6.(5分)已知a,b均為正實數(shù)，則“一〉一”是“『+2廿>3°b”的()

ab

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】運用不等式的性質，證明充分性，否定必要性即可.

11

【解答】解：因為a,b均為正實數(shù)，若一〉工，則心。>0；

ab

若。2+2Z?2>3ab,貝!](fl-2b)(a-b)>0,即a>26>0或b>a>0；

11

所以“一>/'是“『+2/>3仍”的充分不必要條件.

ab

故選：A.

【點評】本題主要考查不等式的性質，屬于基礎題.

7.(5分)孫子定理是中國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個重要定理，最早可

見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將其問題

的解法傳至歐洲，1874年英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關于同余

式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1

至2024這2024個整數(shù)中能被2除余1且被3除余2的數(shù),按從小到大的順序排成一列，

把這列數(shù)記為數(shù)列｛斯｝.設%=(a)〃，則牛1=()

A.8B.16C.32D.64

【答案】A

【分析】由題中條件可得數(shù)列｛礪｝是一個首項為5,公差為6的等差數(shù)列，從而可求得數(shù)

列｛為｝的通項公式，再計算即可求得比值.

【解答】解：將1至2024這2024個整數(shù)中被2除余1且被3除余2的數(shù)按從小到大的

順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列｛?｝.

則數(shù)列｛斯｝是首項為5,公差為6的等差數(shù)列，

所以即=5+(n-1)x6=6n-1(1<n<337,N*),

所以勾=(V2)a"=(a嚴t,

所以智=(g)6=8.

(向6…

故選：A.

【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法，屬于基礎題.

8.(5分)已知函數(shù)/(x)=焉-%3，對于任意的尤6(1,2],不等式/(罟)+/(一—一)

e_|_±x1(x-1)(x-6)

VI恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為()

A.(1,+8)B.[-1,1]C.(…，-1]D.(-8,-1)

【答案】C

【分析】由題意可得了(無)=1-7(-尤)，/(無)在R上單調遞減，所以不等式/(禺)+

/(一孚一)VI恒成立，等價于二>-,八在xe(b2]上恒成立，即(X+1)

(X-1)2(X-6)x-1(%-1)2(%-6)

(x-1)(x-6)<-(什1)恒成立，設p(x)=(x+1)(x-1)(%-6),xE(1,2],

利用導數(shù)求出函數(shù)p(x)在在(1,2]的最值即可得答案.

【解答】解：因為/(%)=島;—爐，xGR,易知/(%)在R上單調遞減,

1c1

所以/'(-X)=^+1+尤3=+13,

所以/(-x)+f(X)=1,

所以f(X)=1-/(-X),

又因為對于任意的在(1,2],不等式/(罟)+/(一宇一)vi恒成立,

%T(x-l)Z(x-6)

t+1)<1/詈=”禺)恒成立，

即對于任意的在(1,2],不等式/(

(%-1)2(%-6)

_14-1%+1

所以7—=7—77>——7在%€(1，2］上恒成立,

(%-1)2(%-6)x-1

即“二>-；——77—在％€(1，2］上恒成立.

x-1(%-1)2(%-6)

由(1,2］,知x-l>0,x-6<0,

所以當xE(1,2］時，上式等價于(%+1)(x-1)(x-6)<-(Z+1)恒成立.

設p(x)=(x+1)(x-1)(x-6)=/-6/-x+6,xE(1,2］,

p'(%)=3?-12x-1,開口向上，對稱軸為x=2,

當石(1,2］時，p'(x)<pr(1)=-10<0,

所以p(x)在比(1,2］內單調遞減，而p(1)=0,

所以p(x)<0,

所以OW-(r+1),即fW-1.

故選：C.

【點評】本題考查了函數(shù)的單調性、轉化思想，考查了導數(shù)的綜合運用，屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

（多選）9.（5分）如圖所示，圓錐的底面半徑和高都等于球的半徑，則下列選項中正確的

是（）

A.圓錐的軸截面為直角三角形

B.圓錐的表面積大于球的表面積的一半

C.圓錐側面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為7T

D.圓錐的體積與球的體積之比為1：4

【答案】ABD

【分析】設球的半徑為R,則圓錐的底面圓半徑和高都是R,由此判斷選項中的命題是否

正確即可.

【解答】解:對于A,設球的半徑為R,如圖所示：OB=OA=OC=R,

所以/氏4。=/衣40+/040=^+￡=焉選項A正確；

對于B,圓錐的表面積為

S維=7TR2+兀?R-&R=兀R2+5R2=（1+夜）獻,

球的表面積為5球=4nR2,

1

所以S維＞/鏟選項8正確;

對于C,圓錐的母線長為&R,底面周長為2TTR,

所以圓錐側面展開圖中圓心角的弧度數(shù)為百、/Lr,選項。錯誤;

114

對于O,嚷=方.兀/?2.R="R3,"=》R3,

V椎1

所以—=一，選項￡>正確.

V球4

故選：ABD.

【點評】本題考查了球和圓錐的結構特征應用問題，也考查了推理與運算能力，是基礎

題.

（多選）10.（5分）若圓01：*2+y2+2乂_3=0與圓。2：x2+y2-2y-l=0交于A,

8兩點，則下列選項中正確的是（）

A.點（1,-1）在圓02內

B.直線的方程為x+y-1=0

C.圓6>1上的點到直線AB距離的最大值為2+V2

D.圓。2上存在兩點尸，Q,使得|尸。|>|43|

【答案】BC

【分析】直接利用點到直線的距離公式以及圓與圓的位置關系求出結果.

【解答】解：對于A,因為P+（-1）2_2X（-I）-1=3>0,所以點（1,-1）在

圓。2外，故A錯誤；

對于8,圓。1；/+y2+2%—3=0與圓。2；/+y2-2y-1=0交于A,B兩點，因

為圓01和圓02相交，將兩圓相減可得：x+y-1=0,即公共弦A3所在直線的方程為x+y

-1=0,故B正確；

對于C,圓01的圓心坐標為（-1,0）,半徑為2,圓心O1到直線A2：x+y-1=0的距

離d=^^=夜，所以圓°】上的點到直線AB距離的最大值為2+近，故C正確；

對于￡）,直線經(jīng)過圓。2的圓心（0,1）,所以線段AB是圓。2的直徑，故圓。2中不

存在比A8長的弦，故。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查知識點：圓與圓的位置關系，點到直線的距離公式，主要考查學生的

運算能力，屬于基礎題.

（多選）11.（5分）已知函數(shù)/（x）=x2-x-lux,則下列選項中正確的是（）

A-〃2）>啰1）

B.f（x）既有極大值又有極小值

C.若方程機=/（|x|）有4個根，則皿（0,+8）

D.若/（XI）=/（X2）（X1WX2）,貝！JX1X2-（X1+X2）+1<0

【答案】ACD

【分析】對于A：計算/0），/（2）,并比較大小，即可判斷A是否正確；

對于8：求導分析/（x）的符號，/（x）的單調性，即可判斷8是否正確；

對于C：把/（無）圖象關于y軸對稱翻折到y(tǒng)軸左側，即可得到了（|可）的圖象，方程相

=/（kl）有4個根等價于函數(shù)>=機與函數(shù)y=f（|尤|）的圖象有4個交點，即可判斷選項

C正確；

對于。：X1X2-（尤1+X2）+1=（XI-1）（X2-1由圖可知：0<尤1<1<%2或0<X2<l<

XI,即可判斷。選項是否正確.

【解答】解：對于A：=ln2--<l,f（2）=2-歷2>1,

1

所以/（］）故A正確；

對于2：/（%）的定義域為（0,+8）,

r//、r?12X2-X-1（2X+1）（X-1）

f（X）=2x—1——=--------=---------

'''xxx

當尤e（0,1）時，f'（無）<0,

當尤e（1,+8）時，f（無）>o,

所以/（x）在（0,1）上單調遞減，在（1,+8）上單調遞增，

所以/（X）只有極小值沒有極大值，故B錯誤；

對于C：由8選項的解析知，f（x）的最小值為/（I）=0,

當x-*0時，f（x）-*+°°；當xf+8時，f（x）f+8,

把/（無）圖象關于y軸對稱翻折到y(tǒng)軸左側，即可得到了（國）的圖象，如圖所示：

1u

y=m

方程小二/^因）有4個根等價于函數(shù)>=相與函數(shù)（|x|）的圖象有4個交點，則山6

（0,+8）,故C正確；

對于D:XI尤2-（X1+X2）+1=（XI-1）（X2-1）,

若/'（無1）=f（X2）（X1WA2）,由圖可知：0<Xl<l<X2或0<X2<l<Xl,

所以（XI-1）（X2-1）<0,故D正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中注意轉化思想的應用，屬于中檔題.

（多選）12.（5分）某種高精度產(chǎn)品在研發(fā)后期，一企業(yè)啟動產(chǎn)品試生產(chǎn)，假設試產(chǎn)期共

有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線且每天的生產(chǎn)數(shù)據(jù)如下表所示：

生產(chǎn)線次品率產(chǎn)量（件/天）

甲5%500

乙3%700

丙4%800

試產(chǎn)期每天都需對每一件產(chǎn)品進行檢測，檢測方式包括智能檢測和人工檢測，選擇檢測

方式的規(guī)則如下：第一天選擇智能檢測，隨后每天由計算機隨機等可能生成數(shù)字“0”或

“1”，連續(xù)生成5次，把5次的數(shù)字相加，若和小于4,則該天檢測方式和前一天相同，

否則選擇另一種檢測方式.則下列選項中正確的是（）

A.若計算機5次生成的數(shù)字之和為己，貝UP（fV4）=/

B.設〃》2,4表示事件第〃天該企業(yè)產(chǎn)品檢測選擇的是智能檢測，貝iJP（4n）=

赳4一】）+磊

C.若每天任檢測一件產(chǎn)品，則這件產(chǎn)品為次品的概率為3.75%

25

D.若每天任檢測一件產(chǎn)品，檢測到這件產(chǎn)品是次品，則該次品來自甲生產(chǎn)線的概率為一

78

【答案】BD

【分析】根據(jù)二項分布，相互獨立事件的概率乘法公式以及古典概型可解.

【解答】解：對于A,因為S?3（5,P（f>4）=C式扔+^（-1）5=擊所以p（f<4）=

］一金=弗，故A錯誤；

對于C,設每天任檢測一件產(chǎn)品，這件產(chǎn)品是次品為事件3,這件產(chǎn)品來自甲，乙，丙

三條生產(chǎn)線分別為事件Ci,Ci,C3,則由P(3)=P(B|Ci)P(Ci)+P(BIC2)P(C2)

+P(B|C3)P(C3)=5%X^+3%X^+4%X^==3.9%,故C錯誤；

對于B,由2(41)=204"4_1必/_1)+。(41'-1)。出-1)=獲。(%-1)+得(1—

CR

P(4tT))=WPGVi)+亮，故8正確；

金*

對于。，由c選項的解析可知P(G|B)=嚅=而，故。正確.

2000

故選

【點評】本題考查二項分布，相互獨立事件的概率乘法公式以及古典概型相關知識，屬

于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=l+log2x,則/(-2)

+f(0)=-2.

【答案】-2.

【分析】由已知結合奇函數(shù)定義及性質即可分別求解.

【解答】解：因為/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=l+10g4,

所以7(2)=l+log22=2,/(-2)=-f(2)=-2,

由奇函數(shù)性質可得，/(0)=0,

則/(-2)V(0)=-2+0=-2.

故答案為：-2.

【點評】本題主要考查了奇函數(shù)的定義及性質在函數(shù)值求解中的應用，屬于基礎題.

14.(5分)已知橢圓E：餐+哈=1的右焦點為R直線/：3+3y=0(mGR)交E于A,

10

B兩點,且B尸，無軸，貝川=可.

【答案】y.

【分析】作出圖形，根據(jù)橢圓的幾何性質，即可求解.

【解答】解：：橢圓E：9+*=1的右焦點尸的坐標為(1,0),

由2尸口軸，可得|8用=小設橢圓E的左焦點為R),

則由橢圓的對稱性易知：四邊形AFoBF是平行四邊形，如圖:

：.\AFo\=\BF\,又結合橢圓的定義可得:

|AF|+|AFo|=|AF|+|BF|=2a=6,

8

-6--=130

3

故答案為：—.

【點評】本題考查橢圓的幾何性質，屬基礎題.

15.(5分)已知函數(shù)/(x)=2s譏?xT)?eN*)在［0,芻上恰好有三個零點，請寫出符

合條件的一個3的值：7或8或9(答案不唯一).

【答案】7或8或9(答案不唯一).

【分析】根據(jù)圖象特點，分別確定其從x軸正半軸開始的三個零點坐標即可.

【解答】解：f(x)M2sin(a)x-J),V/(0)=2sin(-J)=-V3,且3>0,

.,.令—得=0,=在，(x)位于X軸正半軸的第一個零點為x=在，

又二T=-=—,故f(x)的第二個零點為I=總+義7=普，

2CO360§3233

/(X)的第三個零點為尤=篇+*7=會，

/(x)的第四個零點為％=會+*7=招，

由題知/(x)在［0,爭上有三個零點，.?.藐W5V與丁，.<WaVlO,XVweN,

，3的值為7或8或9.

故答案為：7或8或9(答案不唯一).

【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題.

16.(5分)如圖，在棱長均相等的斜三棱柱ABC-4B1C1中，ZArAB=乙4遇。=卜BM=

->->____>—>

ABB.,CN=uCC［,若存在入6(0,1),Lie(0,1),使AM?BN=0成立，貝!I入+四的最

小值為V2-5.

G

【答案】V2-4,

—>—TT,TT,1

【分析】設AB=a，AC-b,AAr=c,\a\—\b\—|c|=1,根據(jù)ZM?BN—0,得—5+

鄉(xiāng)+川=0,再利用基本不等式求得最值.

—————TTT->

【解答】解：設=a,AC-b,AAr=c,\a\=\b\=\c\=1,

則由題意有。-b=b'C=a-c=lxlxcos^=*，

TTT—fTTTT—T

又AM=AB+BM=a+Ac/BN—BC+CN=b—a+/ic,

TT—>—>_>—>

因為AM?BN=3所以(a+Zc)?(fa-a+〃c)=0,

——>~~~>—~>—>~?—>

即a-b—a2+[ia-c+Ab-c—Aa-c+A/ic2=0,

即一之+3+4〃=0,由入€(0,1),|1€(0,1),

,1

可得：〃=1+22'入(①

所以備=，+>會為一人2/-1=V2-1,

當且僅當4+J=即2=與％寸等號成立,

22(A+1)2

所以人+|1的最小值為四—亍

故答案為：V2—

【點評】本題考查空間向量的線性運算及數(shù)量積運算，考查基本不等式的應用，屬中檔

題.

五、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)在△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,記△ABC的面積為S,已

,a2+b2-c2[-/—

知---------=6V2,a=V2b.

cosC

(1)求a,b；

(2)請從①S=*⑷+c?—垓)；②bcos4+￥a=c；③bsinA=acos(8—3).三個

條件中任選一個，試探究滿足條件的AABC的個數(shù)，并說明理由.

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】(1)b-V3,a—V6；

(2)選擇①：滿足條件①的△ABC有2個，理由見解答過程；

選擇②：滿足條件②的△ABC有1個，理由見解答過程；

選擇③：不存在滿足條件③的△ABC,理由見解答過程.

【分析】(1)由題意利用余弦定理即可求解；

(2)選擇①：由三角形的面積公式以及余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式可求tanB=

烏，結合Be(0,TT),可求8=3利用正弦定理可求sinA,進而即可求解；

3o

選擇②：由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得cosB=孝，進而可求B的值，

利用正弦定理可求sinA,即可求解；

選擇③：由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求tcmB=百，可求B=§,利

用正弦定理即可求解sinA=^>l,即可求解.

.,a2+b2-c22abcosC廠,口廣

【解答】解：(1)由---------=-------=6V2,得防=3V2,

cosCcosC

又a=yj2b,

得b=V3,a=V6；

(2)選擇①：由題意可得工acs譏B=—x2accosB,

212

化簡得tcmB=字，

因為8c(0,n),

所以B屋，

T74ab,.asinB72

又由11一^=「;，得==虧，

sinAsinB口乙

因為AC(0,n),

所以4=飄4=第

故滿足條件①的△ABC有2個;

選擇②：由正弦定理化簡已知等式可得sinBcos/+^-sinA=sinC,

r—^2

可得sinBcos力+停sizM=sin(X+B),化簡得-^-sinA=sinAcosB,

因為sinAWO,得cosB=%

又BE(0,it),

所以B=[,

a辦asinB.

又77由rb—；=——^sinA=-r—=1,

sinAsinB0

因為Ae(o,TT),

所以2=當

故滿足條件②的△ABC有1個；

選擇③：由bsin/l=acos（8—看）及正弦定理，得s譏Bs譏4=si?vlcos（B—看），

因為sinAWO,得sinB=cos（8—看），化簡得5s譏B=萬cosB,

即tcmB=V3,

又Be（0,IT）,

所以B=不

又由一^=b0得s譏4="產(chǎn)=孚>],無解，

sinAsinBoz

故不存在滿足條件③的△ABC.

【點評】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式以及三角函數(shù)恒等變

換在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題.

18.（12分）某網(wǎng)絡購物平臺專營店統(tǒng)計了某年2月15日至19日這5天在該店購物的人數(shù)

y（單位：人）的數(shù)據(jù)如下表：

日期2月15日2月16日2月17日2月18日2月19日

日期代號X12345

購物人數(shù)y77849396100

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的一元線性回歸模型，并根據(jù)該回歸模型預測當年2

月21日在該店購物的人數(shù)（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)）；

（2）為了了解參加網(wǎng)購人群的年齡分布，該店隨機抽取了200人進行問卷調查.得到如

下所示不完整的2X2列聯(lián)表:

年齡不低于40歲低于40歲合計

參與過網(wǎng)上購物30150

未參與過網(wǎng)上購物30

合計200

將列聯(lián)表補充完整，并依據(jù)表中數(shù)據(jù)及小概率值a=0.005的獨立性檢驗，能否認為“參

與網(wǎng)上購物”與“年齡”有關.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為6=$(》「元W巧刃,。=歹一

%(々一乃

7—2n(ad—bc~)2

DX,X-(a+6)(c+d)(a+c)(b+d),

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)y=5.8久+72.6,估計當年2月21日在該店購物的人數(shù)為113人;

(2)列聯(lián)表如下：

年齡不低于40歲低于40歲合計

參與過網(wǎng)上購物30120150

未參與過網(wǎng)上購物203050

合計50150200

認為參加網(wǎng)上購物和年齡有關.

【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算a,b的值，進而得到y(tǒng)關于尤的一元線性回歸模型，再

進行預測即可；

(2)補全2義2列聯(lián)表，計算x2的值，再與臨界值比較即可.

【解答】解：⑴由題意可知，元=3,歹=90,EL@—1)2=10,2：=式/一如(為一

y)=58,

TL__

Z(Xj—x)(y—y)ro、A

y)\以。=—―--------n—=Yn=5.8,a=y—bx=90—5.8x3=72.6,

羽=i(e)10

所以y=5.8比+72.6,

當x=7時，可得y=5.8X7+72.6=113.2,

因此估計當年2月21日在該店購物的人數(shù)為113人;

(2)補全2X2列聯(lián)表如下:

年齡不低于40歲低于40歲合計

參與過網(wǎng)上購物30120150

未參與過網(wǎng)上購物203050

合計50150200

零假設為Ho：參加網(wǎng)上購物和年齡無關,

n^ad-bc)2_200x(30x30-120x20)2_0

根據(jù)數(shù)據(jù)，計算得到：

%2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=150x50x50x150~"

所以根據(jù)小概率a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷Ho不成立，即認為參加網(wǎng)上購物和

年齡有關.

【點評】本題主要考查了線性回歸方程的求解，考查了獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.

19.(12分)如圖，己知。E_L平面ABC。，四邊形ABC。為等腰梯形，AB//DC,BF//DE,

DC=2AD=4,DE=3BF=3.

(1)證明：AF〃平面DCE；

(2)若B￡?_LFC,求平面AEF與平面BDEF的夾角的大小.

【分析】(1)推導出AB〃平面。CE，BF//nDCE,從而平面A3F〃平面。CE,由此

能證明〃平面DCE.

(2)推導出平面ABCDBF±BD,平面BFC,BD±BC,過點A作2。的垂

線，垂足為以B為坐標原點，以BC的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系8-

xyz,利用向量法能求出平面AEF與平面BDEF的夾角的大小.

【解答】解：⑴證明：：A8〃OC,ABU平面。CE,OCu平面。CE,〃平面。CE,

'：BF//DE,8PC平面DCE,OEu平面。CE,