2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅰ卷1）（解析版）

2024年高考第一次模擬考試（新高考I卷01）

數(shù)學(xué)

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題

X—1

1.已知全集"=1t,集合M=<0kN=卜eR|y=《+l},貝U(e")IN等于

x+3

A.(-oo,-3)B.(-3,1)C.(-3刈D.[1,+co)

【答案】D

^Zl<ot={.r|-3<x<l},yeR卜=百+1}=[1,+8),

【解析】因為M=x\N=

={x|x<-3^x>l},

所以⑹M)N=[l,+8)

故選：D.

已知復(fù)數(shù)滿足（），則口（

2.zz3+4i=|2"T)

34.

A.—+—iB.

5555

34.43.

C.---------1D.—i

5555

【答案】A

【解析】由2（3+旬=|2n一小得2=?2府+(-L)2_5(3-4i)34.

（+旬（旬―一寸

3+4i33-5

所以-z3=4+(i,

故選：A.

)

【解析】/(-x)=-sinX-InX2=-/(%),

可知/(x)是奇函數(shù)，且定義域為｛X?KO｝,排除BD；

當(dāng)*=兀時，/(7t)=sin7r-ln7i2=0,排除A.

故選：C

4.已知S“是公差為d(dwO)的無窮等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，設(shè)甲：數(shù)列｛S,,｝是遞增

數(shù)列，乙：對任意“eN*，均有S">。，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】充分性：因為數(shù)列｛SJ是遞增數(shù)列，取數(shù)列為：-1,1,3,5符合數(shù)列｛%｝

為無窮等差數(shù)列，

且｛SJ是遞增數(shù)列，但5=-1<0,故充分性不滿足；

必要性：因為對于任意的“eN*,均有S“>0,所以得H=q>0,又因為數(shù)列｛q｝為無窮

等差數(shù)列，

所以公差大于零，所以可得數(shù)列｛'｝為遞增數(shù)列，故必要性滿足.

綜上所述：甲是乙的必要不充分條件，故B項正確.

故選：B.

5.己知函數(shù)"x)=cos卜-外+sin2x在(O,a)上有4個零點，則實數(shù)。的最大值為()

A8c4-10c

A.—itB.—兀C.—兀D.37r

333

【答案】A

【解析】由f(x)=cosJ+sin2x=sinx+2sinxcosx=sinx(1+2cosx),

27r47r

令"x)=。，解得工=左兀，左1￡Z,或%=3-+左2兀，左2WZ或冗=1-+左3兀，&￡Z,

又%>0,

所以函數(shù)的零點從小到大依次為g,兀，與，2兀，y,L,

又函數(shù)“X)在(0,。)上有4個零點，

所以2無<。4日，

即。的最大值為受

故選：A.

22

6.己知。為坐標(biāo)原點，4尻尸分別是橢圓C:f+當(dāng)=l(a>6>0)的左頂點、上頂點和右焦

ab

點點P在橢圓C上，且尸尸，。尸，若ABIIOP,則橢圓。的離心率為()

A.1B.1C.V2D.—

22

【答案】D

【解析】令。：鳥+口=1(。>6>0)中x=c,貝|>=生，

aba

(A2AAA2

所以尸c,—,A(-a,0),3(0,b),4=—,%,=—.

a)ABaac

bA2

因為A2〃0P,所以KB=%OP，則一=一，

aac

即/?=CM=+02-ec'

所以e=￡=蟲.

a2

故選：D.

7.已知tang+尸)，tan(a—尸)是方程%2+4%-3=0的兩個實數(shù)根，則——=()

cos2p

A.-2B.-1C.3D.2

3

【答案】D

【解析】因為tan(a+0,tan(a-0是方程9+?_3=0的兩個實數(shù)根，

所以tan(a+b)+tan(〃-b)=-4,tan(a+b)?tan(a/?)=-3,

因為-i

sin2asin(a+/)+(a-〃)sin(a+/?)cos(a-/)+cos(a+/7)sin(a-〃)

cos2〃cos(戊+/)一(二一/)cos(a+/)cos(a-/)+sin(a+/)sin(a—尸)

tan(a+')+tan(a—,)-4?

l+tan(a+,).tan(a-p)1+(-3)

故選：D

9i_a

8.已知〃=ln—,/?=—,c=e9,貝I()

89

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

i-i

【解析】設(shè)函數(shù)I(x)=lnx+：-"(尤)=r早,

XX

因為無￡(0,1)上r(x)<0,XG(l,+oo)_h/^x)>0,

所以“可在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，+8)上單調(diào)遞增，

則/"(x)Z〃l)=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立.

991

令％=一,貝Uln->—.

889

設(shè)函數(shù)8(力二扇一:g<x)=,

eex

因為不￡(0,e)上g'(x)>。，xe(e,+oo)上g'(x)<0,

所以g(力在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上單調(diào)遞減,

則g(x)Vg(e)=0,所以g⑶=ln3-1<0,即ln3<[<^,所以3<e9,">eK

綜上可得：a>b>c.故選：A.

二、多項選擇題

9.已知一組樣本數(shù)據(jù)%（i=L2,3,,20）,其中占G=l,2,3,2,20）為正實數(shù).滿足

占Vx2VW-V尤2。，下列說法正確的是（）

A.樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為/

B.去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變

C.若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在左邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于

中位數(shù)

120

D.樣本數(shù)據(jù)的方差心親工16,則這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于80

2U,=1

【答案】BCD

【解析】A：20x50%=10,故第50百分位數(shù)為血產(chǎn)，錯；

B：若去掉的數(shù)據(jù)為％"=2,3,,19,則數(shù)據(jù)的極差不變，對；

C：數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，向右邊“拖尾”，大致如下圖，

由于“右拖”時最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點處，此時平均數(shù)大于中位

數(shù)，同理，向“左拖”時最高峰偏右，那么平均數(shù)小于中位數(shù)，對；

120120_2020_2

D：由S2=布2%2-16=m2（%一％）2，貝!-一20.X，

i=1i=ii=1z=i

所以1=4,故這組樣本數(shù)據(jù)的總和等于207=80,對?故選：BCD.

10.如圖，有一組圓G（%eN+）都內(nèi)切于點尸（-2,0）,圓G：（尤+3）2+（y-l）2=2,設(shè)直線

x+y+2=0與圓C-在第二象限的交點為4,若汝4/=0，則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓C上的圓心都在直線x+y+2=0上

B.圓C99的方程為(龍+52)2+(y-50)2=5000

C.若圓品與》軸有交點，則左28

D.設(shè)直線x=-2與圓品在第二象限的交點為紇，則忸出」=1

【答案】ABD

1-0

【解析】圓G的圓心G(-3,D,直線PG的方程為>=丁丁充《+2),即x+y+2=0,

T-(一2)

由兩圓內(nèi)切連心線必過切點，得圓C&的圓心都在直線尸G上，即圓Ck的圓心都在直線

x+y+2=0上，A正確;

顯然|弘|=0(左+1),設(shè)點4式々,%)

解得々=--3,%=%+1,因此圓G的圓心c*(-警,彳)，半徑為5=也a+1),

2222

圓Ck的方程為(X+與)2+(y一等)2=%了，則圓C99的方程為

(x+52)2+(y-50)2=5000,B正確；

圓Q的圓心到y(tǒng)軸距離為卓，若圓G與y軸有交點，則到Owl出土D,

222

角牟得Z24應(yīng)+3名8.6，而左eN+，因止匕左29,C錯誤；

在(x+g^y+U-等)2=出?中，令x=—2,得點紇的縱坐標(biāo)為上+1,

因此|統(tǒng)統(tǒng)+/=1,D正確.

故選：ABD

11.已知函數(shù)“X)的定義域為RJ(x+l)是奇函數(shù)，g(x)=(x-l)〃x),/'(x),g'(x)分別是

函數(shù)〃x)，g(x)的導(dǎo)函數(shù)，g(x)在上單調(diào)遞減，則()

A.y,(l+x)=/,(l-x)B.g，(l+x)=g〈l_x)

C.g⑺的圖象關(guān)于直線x=l對稱D.g(e01)>g(l-lnl.l)>0

【答案】ACD

【解析】對于A選項，因/(x+1)是奇函數(shù)，故有了(一％+1)=-F(尤+1),則

f'(x+1)=-f\-x+l)x(-1)=f\-x+1),故A項正確；

對于B選項，因g(x)=(尤一l)/(x),故g'(x)=/(x)+(x-l)/'(x),

從而g<l+x)=/(l+x)+才(1+x),

g”—x)=而/(I+x)=(1+X)=r(l-x),

則g”+x)=-g”—x),故B項錯誤；

對于C選項，Hg(2-x)=(1-x)f(2-x)=(1-x)(-/(x?=(x-l)/(x)=g(x),

故g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，故C項正確；

對于D選項，因g(x)的圖象關(guān)于直線尤=1對稱，故g(l-lnl.l)=g(l+lnLl),

設(shè)/z(x)=e*-(l+ln(l+x)),xe(0,1)則h'(x)=ex----—,%e(0,l)又設(shè)

x+1

叭x)=e*--------,xe(0,1)

元+1

則有“(X)=d+"[)2>°，從而。(無)在(0,1)上遞增,則<p(x)>(3(0)=0,即h'(x)>0,h(x)在

(0,1)上遞增，h(x)>h(0)=0,

故有eX>l+ln(l+x)>l,xe(O,l)恒成立,則e°」>1+lnl.l>1,

又因g(x)在(-8』上單調(diào)遞減，則g(x)在口,")上單調(diào)遞增,又g⑴=0,

故g(e°」)>g(l+lnl.l)>0,即：g(e°」)>g(l-lnl.l)>0,故D項正確.故選：ACD.

12.已知函數(shù)〃月=%畝(]了+(](4>0,。<夕<兀)的部分圖象如圖1所示，48分別為圖

象的最高點和最低點，過A作x軸的垂線，交無軸于點C為該部分圖象與x軸的交點.

將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時則下列四個結(jié)論

圖1圖2

A.A=y/3

C.圖2中，ABAC=5

D.圖2中，S是AA\BC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合7={。€刈40歸2},則T表示的

7T

區(qū)域的面積大于：

4

【答案】AC

T——A

【解析】函數(shù)“X)的最小正周期為一區(qū)一4,

2

在圖2中，以點。為坐標(biāo)原點，OC、AA的方向分別為V、z'軸的正方向建立如下圖所

示的空間直角坐標(biāo)系。-尤，'z',

設(shè)點A(Oj,O),則點4(0,f，為、B(4f+2,0),

|=^(0-A)2+(/+2-r)2+(A-0)2=V222+4=V10,因為;l>0,解得2=5故A正

確；

所以，/(x)=V^sin[^+。],則/(0)=退sin°=乎，可得sin0=；,

又因為函數(shù)〃X)在x=0附近單調(diào)遞減，且0＜夕＜兀，所以，故B錯誤；

0

因為〃/)=退sin[3+g)=3可得sin15+g]=l,

又因為點A是函數(shù)“元)的圖象在，軸左側(cè)距離，軸最近的最高點，則?+”=可得

262

’一一2"

所以，/(^)=V3sin^y+y^,

因為點C是函數(shù)“X)在》軸右側(cè)的第一個對稱中心，所以，手+乎=兀，可得％=:，

翻折后，則有A[o，t，g]、《6,*。]、c[o,g,oj、A|O,-|,Oj,

所以，AB=（52,-灼,AC=（O,1,-V3）,

所以，在圖2中，AB-AC=0+2xl+（-^）2=5,故C正確；

在圖2中，設(shè)點Q（x,y,。），[42=12+1+|[+（（）一⑹042,

可得/+卜+|jwi,

?/l\/n"A'CA'B22近近

AC=（。/,。），42=便,2,。），cosZBAC=p^7^=^->T-

TT

易知㈤'C為銳角，則。<4AC<"

所以，區(qū)域T是坐標(biāo)平面x'Oy'內(nèi)以點A為圓心，半徑為|A'C|=1,且圓心角為/3AC的扇

形及其內(nèi)部，

故區(qū)域T的面積S7<gx：xl2=],故D錯誤.

故選：AC

第n卷（非選擇題）

三、填空題

13.若將5名志愿者安排到三個學(xué)校進(jìn)行志愿服務(wù)，每人只去一個學(xué)校，每個學(xué)校至少去

一人，則不同的分配方案共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】150

【解析】由題意得，三個學(xué)?？煞值玫闹驹刚呷藬?shù)分別為3,1』或2,2,1,

當(dāng)三個學(xué)?？煞值玫闹驹刚呷藬?shù)分別為3,1,1時，分配方案有C；A；=60種，

C；c；c：

當(dāng)三個學(xué)?？煞值玫闹驹刚呷藬?shù)分別為2,2,1時，分配方案有~^r=90種,

綜上，不同的分配方案有60+90=150種.

故答案為：150

14.等差數(shù)列｛4｝中的q,的023是函數(shù)〃x）=x3—6x2+4xT的極值點，則

l0g1?1012=

4

【答案】

【解析】函數(shù)〃x)=x3-6x2+4x-l的定義域為R,

/*(%)=3x2-12x+4,

因為q,a2023是函數(shù)/(x)=V-6d+4x-1的極值點,

2

所以“1，。2023是方程f'(力=3^-12》+4=0的兩根，

所以(Z]+i?2023=4，

因為｛?！埃堑炔顢?shù)列,

所以/12=幺±警_=2,

所以logyioi2=log工2=logr22=--.故答案為:

4422

15.在三棱錐P-ABC中，DABC是邊長為2的等邊三角形，24,平面A5C,若P,A,

B,。四點都在表面積為16兀的球的球面上，則三棱錐P-ABC的體積為

【答案】孚

【解析】設(shè)。為正DABC的中心，〃為巴4的中點,

過點。1作平面ABC的垂線/,由于PAJ_平面A3C,故/〃PA,

在/,PA確定的平面內(nèi)作M0，/,垂足為O,則四邊形0aAM為矩形,

連接aAOBqc,則O1A=QB=OC，

^COP=OA=OB=OC,則0即為三棱錐尸-ABC外接球的球心,

因為P,A,B,C四點都在表面積為16兀的球的球面上,

設(shè)外接球半徑為R,故4位2=16兀，；.尺=2,

DA5c是邊長為2的等邊三角形，故OA=2X@X2=2叵，

1323

故PA=200]=2卜_AO；=2J4—與=￥，

所以三棱錐P-ABC的體積V=」x（Lx22x且）x生后=逑，

32233

故答案為：逑

3

16.如圖，在DABC中，AD^-AB,AE=-AC,CD與BE交于點P,AB=2,

23

AC=4,APBC=2,則AC的值為;過點P的直線/交AB,AC于點M,

N,設(shè)AM=mAB，AN=nAC(根>0,〃>。),則根+〃的最小值為

設(shè)尸=

【解析】在DABC中，AD=-AB,AE=-AC,5ABE=%(BA+1AC),

23

22j

則AP=A2+BP=(1—㈤+

夕321

由D,P,C三點共線，得2-24+1=1,解得2=(,因此4尸=,48+)4。，

21

因為AB=2,AC=4,APBC=2,AP-BC=(jAB+-AC).(AC-AB)

l2--21cc---~,

=-(AC-2AB+AB-AC)=-(42-2X22+ABAC)=2,AB-AC=2;

--21

因為AM=mAB,AN=nAC>m>0,H>0,貝lj有AP=^—AM+—AN,

5mjn

2121

而M,P,N三點共線，因此,+二=1,則根+〃=(機(jī)+〃)(丁-+二)

5m5n5m5n

=-(3+—+-)>-(3+2J—--)=3+2^,當(dāng)且僅當(dāng)女=',即機(jī)=0w=21取等

5mn5\mn5mn5

號，

所以當(dāng)根=*史》=匕，1時，〃取得最小值3+2忘.

555

故答案為：2；上述

5

四、解答題

17.在DABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足(2b-c)cosA=acosC.

⑴求角A的大??；

(2)若“=近，8C邊上的中線AM的長為亞，求DABC的面積.

2

解：⑴由已知及正弦定理得(2sin5-sinC)cosA=sinAcosC,

則2sin5cosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin(兀-5)=sinB,

在DABC中sinB^O,故cosA=工，又0<A<7t,故4=最

23

b2M_71

(2)由cosA=--------=一,得〃+=7+人。，

2bc2

由題意翳=；儂+黑)，則=：(網(wǎng)2+,C『+2網(wǎng)|AC|COSA),

即弓=；(C2+62+6C)=：(7+6C+6C),解得稅=6,

故DABC的面積為S=—Z?csinA=—x6x.

2222

⑴證明：數(shù)列為常數(shù)列.

(2)若幾=梟,求數(shù)列｛0｝的前〃項和T,.

(1)證明：令〃=1,得2%—%=1+2,貝|%=2.

因為=〃+2①，所以2%-4T=“+1(”22)②.

①-②得2all+1-an-(2all-an_1)=l,即2(an+1-an-l)=&-%-1.

因為%-q-1=0,所以數(shù)列｛??+1為常數(shù)列.

(2)解：由⑴可得用-%-1=。，所以｛4｝是公差為1的等差數(shù)列,

所以.

n]23n

因為〃二產(chǎn)，所以]=不+7+不■++不工③，

V—+不+不++不④?

③?得:北=:+*:+*+擊-5

_4°14"Jn_4_3?+4

一_71牙-3-3-4H

1--

4

19.某單位組織“鄉(xiāng)村振興”知識競賽，有甲、乙兩類問題.每位參加比賽的選手先在兩類問

題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該選手比賽結(jié)束；若回答正

確，則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該選手比賽結(jié)束.甲

類問題中的每個問題回答正確得30分，否則得0分；乙類問題中的每個問題回答正確得

50分，否則得0分.已知選手張某能正確回答甲類問題的概率為0.9,能正確回答乙類問題

的概率為0.7,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若選甲、乙兩類問題是等可能的，求張某至少答對一道問題的概率；

(2)如果答題順序由張某選擇，以累計得分多為決策依據(jù)，說明張某應(yīng)選擇先回答哪類問題.

解：(1)設(shè)4="張某選擇甲類問題"，B="張某答對所選問題”，

M="張某至少答對一道問題”，

印="張某選擇乙類問題”，豆="張某未答對所選問題”

而="張某一道問題都沒答對”

由題意得，P(A)=P(A)=0.5,

P(B\A)=0.9,P(BlA)=0.1,尸(B|A)=0.7,P(回A)=0.3,

由全概率公式，得

P(M)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=0.5x0.14-0.5x0.3=0.2

P(M)=1-P(M)=1-0.2=0.8.

(2)根據(jù)條件可知：若張某先回答甲類問題，

則張某的累計得分X的可能值為0,30,80,

:張某能正確回答甲類問題的概率為0.9,能正確回答乙類問題的概率為0.7,

P(X=0)=l-0.9=0.1；P(X=30)=0.9x(l-0.7)=0.27；P(X=80)=0.9x0.7=0.63,

則X的分布列為

X03080

P0.10.270.63

當(dāng)張某先回答甲類問題時，累計得分的期望為：

E(X)=0x0.1+30x0.27+80x0.63=58.5,

若張某先回答乙類問題，則張某的累計得分y的可能值為0,50,80,

同理可求P(y=0)=l-0.7=0.3；P(Y=50)=0.7x(1-0.9)=0.07；

p(y=80)=0.7x0.9=0.63,

則此時累計得分的期望為E(Z)=0x0.3+50x0.07+80x0.63=53.9,

因為E(x)>E(y).

所以，以累計得分多為決策依據(jù)，張某應(yīng)選擇先回答甲類問題.

20.已知拋物線C:無2=_24(p>0)的焦點為P，且經(jīng)過點

(1)求拋物線c方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)過F作斜率不為0的直線交拋物線C于",N兩點，直線y=T分別交OM,ON于A,8兩

點，求證：以A3為直徑的圓經(jīng)過》軸上的兩個定點.

(1)解：因為點(2,-1)在C上，

所以22=—2px(—l),解得p=2,

所以C的方程為爐=-4%準(zhǔn)線方程為y=L

(2)證明：易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為1優(yōu)/。),

fy=fcx-1,、

聯(lián)“4,,得f+4Ax-4=(),△=16左~+16>。，

K=-4y

設(shè)點"[xi，—才;Nx2,—■j1,貝lj%+x2=—4左,尤1%=-4.

直線的方程為，=&%令y=T,

x,4(4)同理得8巴,-1

得彳=一」=一，所以A-,-l

芳玉UJ

設(shè)以線段AB為直徑的圓與y軸的交點為S(o,s),

則SA=I—,—1—s],SB=I—,—1—s],

(玉))

因為S4_LS5，則SA-S3=0，

44

即-----+(—l—9s)2=0,

玉x2

44

所以(s+l)2=------=4,解得6=1或S=一3.

%x?

故以線段A3為直徑的圓經(jīng)過》軸上的兩個定點(。,1)和-3).

21.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A8CD為直角梯形，AD//BC,AD1DC,

PA=PD=PB=2布,BC=DC=^AD=2,E為AD的中點.

⑴求證：PE_L平面ABCD；

(2)求二面角A-PB-C的正弦值；

(3)記BC的中點為"，若N在線段PE上，且直線與平面R記所成的角的正弦值為

叵求線段EW的長.

18

(1)證明：連接8E,則8C=gA￡>=DE,因為位>//8C,

所以四邊形BCDE為平行四邊形；所以3E=CD=2,

因為PA=A。=2右,A。=4,且E為AD的中點，

所以PEIAD,

所以PE=y]PD2-DE2=J20-4=4，

所以=2^2,^PELBE,

又因為AOBE=E,所以PE，平面ABC。；

⑵解：以E為原點，E4為無軸，EB為，軸，4為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,0,0),3(0,2,0),C(-2,2,0),尸(0,0,4),

所以AB=(-2,2,0),尸3=(0,2,-4),3C=(-2,0,0),

..JTI-AB-0+2y=0,、

設(shè)平面R4B的法向量為〃2=(占,“，4),貝卜根pg—。，-4z-0，取根=(2,2』)，

/、n,BC-02X—0,.

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(X2，%，Z2)，