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文檔簡(jiǎn)介

4.3全等三角形

一.選擇題

1.(2023?四川涼山州)如圖,點(diǎn)、E、點(diǎn)廠在3c上,BE=CF,NB=/C,添加一個(gè)條件,不能證明△A2F

的是()

A.ZA=ZDB.ZAFB=ZDECC.AB=DCD.AF=DE

2.(2023?吉林長(zhǎng)春)如圖,工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑48的卡鉗,卡鉗交叉點(diǎn)。為AA,、89的中點(diǎn),

只要量出AE的長(zhǎng)度,就可以知道該零件內(nèi)徑A8的長(zhǎng)度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是()

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

B.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

C.兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

D.兩點(diǎn)之間線段最短

3.(2022?四川成都)如圖,在△A8C和尸中,點(diǎn)A,E,B,。在同一直線上,AC//DF,AC=DF,

只添加一個(gè)條件,能判定△ABC之△。所的是()

4.(2022?云南)如圖,平分/AOC,D、E、尸分別是射線。4、射線。8、射線。C上的點(diǎn),。、E、F

與。點(diǎn)都不重合,連接即、EF.若添加下列條件中的某一個(gè),就能使△。?!杲z你認(rèn)為要添加

的那個(gè)條件是()

A.OD=OEB.OE=OFC.ZODE=ZOEDD.ZODE=ZOFE

5.(2022?浙江金華)如圖,AC與8。相交于點(diǎn)O,OA=ODfOB=OC,不添加輔助線,判定

DCO的依據(jù)是)

A.SSSB.SASC.AASD.HL

6.(2022?江蘇揚(yáng)州)如圖,小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了,需要重新配一塊.小明通過(guò)電話

給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù),為了方便表述,將該三角形記為△A3C,提供下列各組元素的數(shù)據(jù),配出

來(lái)的玻璃不一定符合要求的是()

A.AB,BC,CAB.AB,BC,/BC.AB,AC,/BD.NA,/B,BC

7.(2022?湖南湘西州)如圖,在中,ZA=90°,M為3C的中點(diǎn),〃為A5上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作

CG//AB,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AC=8,AB=6f則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是()

A.24B.22C.20D.18

二.填空題

8.(2023?四川成都)如圖,已知△ABC絲△QEF,點(diǎn)8,E,C,尸依次在同一條直線上.若BC=8,CE=

5,則CT的長(zhǎng)為

9.(2022?黑龍江)在RtZXABC中,NC=90°,AD平分NC4B,AC=6,BC=8,CD

10.(2022?湖南株洲I)如圖所示,點(diǎn)。在一塊直角三角板ABC上(其中N4?C=30°),于點(diǎn)

則乙鉆。=度.

C4=CD,ZACD=ZBCE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件

使△ABC經(jīng)△DEC.

點(diǎn)B,F,C,E在一條直線上,AB//ED,AC//FD,要使△ABC0ZXOEB,

只需添加一個(gè)條件,則這個(gè)條件可以是

D

13.(2022?北京)如圖,在△ABC中,AD平分NA4C,DELAB.若AC=2,DE=1,則SAACD=

A

BD

14.(2022?寧夏)如圖,AC,8。相交于點(diǎn)。,08=。。要使△AOBg/XCOD,添加一個(gè)條件是______________.

(只寫一個(gè))

D

15.(2022?黑龍江)如圖,在四邊形48a(中,對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)。,OA^OC,請(qǐng)你添加一個(gè)條

件________________,使△AOBgZkCOD

Bl

16.(2022?湖北黃岡)如圖,已知A5=DE,請(qǐng)你添加一個(gè)條件______________________________,

他△AAnrr

AD

BECF

三.解答題

17.(2023?湖南長(zhǎng)沙)如圖,AB=AC,CDLAB,BELAC,垂足分別為DE.

(1)求證:AABE義AACD;

(2)若AE=6,CD=8,求的長(zhǎng).

A

18.(2023?吉林)如圖,點(diǎn)C在線段8。上,△ABC和中,ZA=ZD,AB=DE,/B=NE.求證:

AC^DC.

19.(2023?遼寧大連)如圖,在△ABC和△?1£)£■中,延長(zhǎng)BC交。E于足BC=DE,AC^AE,ZACF+Z

AED=180°.求證:AB=AD.

20.(2023?福建)如圖,OA=OC,OB=OD,ZAOD^ZCOB.求證:AB=CD.

BD

21.(2023?山東聊城)如圖,在四邊形A8C。中,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn),SLBE=CD,ZB=ZAED=ZC.

(1)求證:ZEAD=ZEDA;

(2)若NC=60°,OE=4時(shí),求△AED的面積.

22.(2023?陜西)如圖,在△ABC中,NB=50°,NC=20°.過(guò)點(diǎn)A作AE_L8C,垂足為E,延長(zhǎng)EA至

點(diǎn)D?AD=AC.在邊AC上截取AE=AB,連接。R求證:DF=CB.

23.(2023?四川樂(lè)山)如圖,已知與相交于點(diǎn)O,AC//BD,AO=BO,求證:AC=BD.

D

24.(2023?江蘇蘇州)如圖,在△ABC中,AB=AC,為△A3C的角平分線.以點(diǎn)A圓心,長(zhǎng)為半

徑畫弧,與AB,AC分別交于點(diǎn)E,F,連接。E,DF.

(1)求證:AADE^AADF;

(2)若/8AC=80°,求/BOE的度數(shù).

A

25.(2023?四川宜賓)已知:如圖,AB//DE,AB-DE,AF=:DC.求證:ZB^ZE.

E________________7)

AB

26.(2023?云南)如圖,C是2。的中點(diǎn),AB=ED,AC=EC求證:LABC0AEDC.

AE

w

BCD

27.(2023?四川瀘州)如圖,點(diǎn)8在線段AC上,BD//CE,AB=EC,DB=BC.求證:AD=EB.

D

ABC

28.(2022?湖南益陽(yáng))如圖,在RtZXABC中,ZB=90°,CD//AB,Z)E_LAC于點(diǎn)E,MCE=AB.求證:

△CEZ注△ABC.

29.(2022?湖南長(zhǎng)沙)如圖,AC平分/BA。,CBLAB,CDLAD,垂足分別為8,D.

Cl)求證:△ABC0ZkADC;

(2)若A8=4,CD=3,求四邊形ABC。的面積.

30.(2022?西藏)如圖,已知AO平分NBAC,AB=AC.求證:△ABO0Z^ACZ).

31.(2022?湖南衡陽(yáng))如圖,在△ABC中,AB=AC,D、E是BC邊上的點(diǎn),且8O=CE.求證:AD=AE.

32.(2022?甘肅蘭州)如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏,燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示,AB=AE,AC=AD,

ZBAD^ZEAC,NC=50°,求/。的大小.

DC

圖1圖2

33.(2022?浙江衢州)已知:如圖,Z1=Z2,Z3=Z4.求證:AB—AD.

、D

34.(2022?福建)如圖,點(diǎn)8,F,C,E在同一條直線上,BF=EC,AB=DE,ZB=ZE.求證:

35.(2022?四川樂(lè)山)如圖,8是線段AC的中點(diǎn),AD//BE,BD//CE.求證:XABD空XBCE.

36.(2022?陜西)如圖,在△ABC中,點(diǎn)。在邊8C上,CD=AB,DE//AB,NDCE=NA.求證:DE

37.(2022?四川宜賓)已知:如圖,點(diǎn)A、D、C、P在同一直線上,AB//DE,/B=/E,BC=EF.求證:

38.(2022?廣西柳州)如圖,點(diǎn)A,D,C,尸在同一條直線上,AB=DE,BC=EF.有下列三個(gè)條件:①

AC=DF,?ZABC=ZDEF,?ZACB=ZDFE.

(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件,使得AABC咨ADEF.

你選取的條件為(填寫序號(hào))①(只需選一個(gè)條件,多選不得分),你判定的依據(jù)

是SSS(填“SSS”或“&4S”或“ASA”或“A4S”);

(2)利用(1)的結(jié)論△ABC絲△£>£?求證:AB//DE.

39.(2022?廣西百色)校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型,課外活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量,并記錄數(shù)據(jù),根據(jù)造型

畫如圖的四邊形ABCD,其中A2=C£)=2米,AO=BC=3米,ZB=30°.

(1)求證:AABC咨4CDA;

(2)求草坪造型的面積.

40.(2022?黑龍江牡丹江)如圖,ZvlBC和△£)?,點(diǎn)E,尸在直線BC上,AB=DF,ZA^ZD,/B=

NF.如圖①,易證:?請(qǐng)?jiān)斀庀铝袉?wèn)題:

(1)如圖②,如圖③,請(qǐng)猜想8C,BE,8尸之間的數(shù)量關(guān)系,并直接寫出猜想結(jié)論;

(2)請(qǐng)選擇(1)中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明;

(3)若AB=6,CE—2,ZF=60°,S^ABC—12y/3,則BC=,BF—.

41.(2022?廣東)如圖,已知NAOC=NBOC,點(diǎn)P在OC上,PD±OA,PELOB,垂足分別為。,E.求

42.(2022?江蘇淮安)已知:如圖,點(diǎn)A、D、C、尸在一條直線上,且AZ)=CRAB=DE,NBAC=NEDF.求

證:ZB—ZE.

43.(2022?四川資陽(yáng))如圖,在△ABC中(A8CBC),過(guò)點(diǎn)C作CD〃A2,在CD上截取CD=CB,CB上

截取CE=A8,連接DE、DB.

(1)求證:AABC^AECD;

(2)若/A=90°,AB=3,BD=2后求△BCD的面積.

44.(2022?貴州銅仁)如圖,點(diǎn)C在8。上,AB±BD,EDLBD,ACLCE,AB=CD.求證:

△ABC冬ACDE.

參考答案與解析

一.選擇題

1.(2023?四川涼山州)如圖,點(diǎn)、E、點(diǎn)尸在3c上,BE=CF,/B=/C,添加一個(gè)條件,不能證明△A2F

烏△OCE的是()

A.ZA=Z£>B.ZAFB=ZDECC.AB=DCD.AF=DE

【答案】D

【分析】根據(jù)BE=b求出BF=CE,再根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可.

【詳解】解:;BE=CF,

:.BE+EF=CF+EF,

即BF=CE,

.?.當(dāng)時(shí),利用AAS可得448/絲ADCE,故A不符合題意;

當(dāng)NAPB=N£>EC時(shí),利用AS4可得△ABFg△£>(?£T,故B不符合題意;

當(dāng)AB=OC時(shí),利用SAS可得△ABP四△DCE,故C不符合題意;

當(dāng)Ab=OE時(shí),無(wú)法證明△48尸烏△£>(?£,故。符合題意;

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理,能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵,全等三角

形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有乩等.

2.(2023?吉林長(zhǎng)春)如圖,工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑A8的卡鉗,卡鉗交叉點(diǎn)。為4Y、88的中點(diǎn),

只要量出Ab的長(zhǎng)度,就可以知道該零件內(nèi)徑的長(zhǎng)度.依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是()

A.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等

B.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等

C.兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

D.兩點(diǎn)之間線段最短

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)。為AA'、BE的中點(diǎn)得出OA=O4,OB=OB1根據(jù)對(duì)頂角相等得到NA08=NA08,

從而證得△A0B和△A05全等,于是有問(wèn)題得證.

【詳解】解::點(diǎn)。為AA'、28的中點(diǎn),

:.OA^OA',OB=OB',

由對(duì)頂角相等得ZA'OB',

在△AOB和△AOB'中,

0A=0A1

Z.AOB=W0B',

.OB=OB'

.?.△AO胎△A08(SAS),

:.AB=A'B',

即只要量出42'的長(zhǎng)度,就可以知道該零件內(nèi)徑48的長(zhǎng)度,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì),正確運(yùn)用三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?四川成都)如圖,在△ABC和△£)跖中,點(diǎn)A,E,B,。在同一直線上,AC//DF,AC^DF,

只添加一個(gè)條件,能判定△ABCg/XOEP的是()

A.BC=DEB.AE=DBC.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD

【答案】B

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/A=N。,加上AC=OE則可根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)

進(jìn)行判斷.

【詳解】W:':AC//DF,

:.ZA=ZD,

\'AC=DF,

,當(dāng)添加NC=NF時(shí),可根據(jù)“ASA”判定△ABC也△OEF;

當(dāng)添加NABC=/Z)E尸時(shí),可根據(jù)“44S”判定△ABCgZkAEK

當(dāng)添加AB=Z)E時(shí),即AE=8。,可根據(jù)“&4S”判定△ABC也△£)£/<

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定:熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,選用

哪一種方法,取決于題目中的已知條件.

4.(2022?云南)如圖,QB平分/AOC,D、E、尸分別是射線OA、射線。8、射線。C上的點(diǎn),D、E、F

與。點(diǎn)都不重合,連接即、EF.若添加下列條件中的某一個(gè),就能使△OOE之△POE.你認(rèn)為要添加

的那個(gè)條件是()

A.OD=OEB.OE=OFC.ZODE=ZOEDD.ZODE=ZOFE

【答案】D

【分析】由08平分/AOC,得/DOE=NFOE,由。E=OE,可知/0QE=/OFE,即可根據(jù)44s得

△DOE當(dāng)LFOE,可得答案.

【詳解】解:平分NA0C,

ZDOE=AFOE,

又OE=OE,

若/ODE=/OFE,則根據(jù)A4s可得△OOE也故選項(xiàng)。符合題意,

而增加OD=OE不能得到△DOE咨故選項(xiàng)A不符合題意,

增加0E=0F不能得到△DOE絲△尸0E,故選項(xiàng)B不符合題意,

增加不能得到△DOEg△尸?!?故選項(xiàng)C不符合題意,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定,解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形判定定理并會(huì)應(yīng)用.

5.(2022?浙江金華)如圖,AC與8。相交于點(diǎn)O,OA=OD,OB=OC,不添加輔助線,判定△ABOgA

A.SSSB.SASC.AASD.HL

【答案】B

【分析】根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定方法,可以得到判定的依據(jù).

【詳解】解:在△AO8和△QOC中,

0A=0D

/-AOB=Z.DOC,

OB=0C

:./\AOB^/\DOC(SAS),

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定,詳解本題的關(guān)鍵是明確題意,寫出△A02和△DOC全等的證明過(guò)

程.

6.(2022?江蘇揚(yáng)州)如圖,小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了,需要重新配一塊.小明通過(guò)電話

給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù),為了方便表述,將該三角形記為△ABC,提供下列各組元素的數(shù)據(jù),配出

來(lái)的玻璃不一定符合要求的是()

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,ZBD.ZA,ZB,BC

【答案】C

【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

【詳解】解:A.利用三角形三邊對(duì)應(yīng)相等,兩三角形全等,三角形形狀確定,故此選項(xiàng)不合題意;

B.利用三角形兩邊、且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形全等,三角形形狀確定,故此選項(xiàng)不合題意;

C.AB,AC,ZB,無(wú)法確定三角形的形狀,故此選項(xiàng)符合題意;

D根據(jù)/A,ZB,BC,三角形形狀確定,故此選項(xiàng)不合題意;

故選:C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用,正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵.

7.(2022?湖南湘西州)如圖,在Rt^ABC中,ZA=90°,M為BC的中點(diǎn),H為AB上一點(diǎn)、,過(guò)點(diǎn)C作

CG//AB,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若AC=8,AB=6,則四邊形ACGH周長(zhǎng)的最小值是()

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【分析】通過(guò)證明可得8H=CG,可得四邊形ACGH的周長(zhǎng)即為4B+AC+G”,進(jìn)而可

確定當(dāng)時(shí),四邊形ACG8的周長(zhǎng)有最小值,通過(guò)證明四邊形ACG8為矩形可得//G的長(zhǎng),進(jìn)

而可求解.

【詳解】I?:,JCG//AB,

:./B=/MCG,

是BC的中點(diǎn),

:.BM=CM,

在和△CMG中,

ZB=ZMCG

BM=CM,

ZBMH=ZCMG

:.ABMH2ACMG(ASA),

:.HM=GM,BH=CG,

\'AB=6,AC=8,

四邊形ACGH的周長(zhǎng)=AC+CG+AH+GH=AB+AC+GH=14+GH,

.?.當(dāng)GH最小時(shí),即時(shí)四邊形ACGH的周長(zhǎng)有最小值,

VZA=90°,MHVAB,

:.GH//AC,

四邊形ACGH為矩形,

:.GH=S,

,四邊形ACGH的周長(zhǎng)最小值為14+8=22,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì),確定GH的值是解題的關(guān)鍵.

二.填空題

8.(2023?四川成都)如圖,已知△ABC也點(diǎn)8,E,C,尸依次在同一條直線上.若8C=8,CE=

5,則b的長(zhǎng)為.

【答案】3

【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到所=BC=8,計(jì)算即可.

【詳解】解:YAABC絲ADEF,

:.BC=EF,

又BC=8,

/.EF=8,

,:EC=5,

,:CF=EF-EC=8-5=3.

故答案為:3.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的性質(zhì),掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是

解題的關(guān)鍵.

9.(2022?黑龍江)在RtZXABC中,NC=90°,AD平分NC4B,AC=6,BC=8,CD=.

【答案】3

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE±AB于E,利用勾股定理列式求出AB,再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相

等可得CD=DE,然后根據(jù)△ABC的面積列式計(jì)算即可得解.

【詳解】解:如圖,過(guò)點(diǎn)。作。ELA8于E,

VZC=90°,AC=6,BC=8,

:.AB=\/AC2+BC2=462+82=10,

「A。平分NCAB,

:.CD=DE,

:.SAABC^^AC'CD+^AB-DE^1AC-BC,

111

即一X6-CO+4xlO*CZ>=4x6X8,

222

解得CD=3.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方

程是解題的關(guān)鍵.

10.(2022?湖南株洲)如圖所示,點(diǎn)。在一塊直角三角板A8C上(其中/ABC=30°),0MLA2于點(diǎn)M,

ONJ_8C于點(diǎn)N,若OM=ON,則/ABO=度.

r

【分析】方法一:根據(jù)OM_LAB,ON±BC,可知/OMB=NON8=90°,從而可證

(HL),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/02M=/02N,即可求出NA3。的度數(shù).

方法二:根據(jù)角平分線的判定定理求解即可.

【詳解】解:方法一:ONLBC,

;.NOMB=NONB=90°,

在RtAOMB和RtAONB中,

(OM=ON

[OB=OB'

/.RtAOMB^RtAOA?(HL),

:.ZOBM^ZOBN,

VZABC=30°,

/.ZABO=15°.

方法二:\'OM±AB,ONIBC,

又:。M=ON,

...OB平分NABC,

:.ZOBM^ZOBN,

VZABC=30°,

:.ZABO=15°.

故答案為:15.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握判定直角三角形全等特有的方法(乩)是解題

的關(guān)鍵.

11.(2022?黑龍江牡丹江)如圖,CA=CD,ZACD=ZBCE,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,

使△ABC0△DEC.

【答案】CB=CE(答案不唯一)

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)可得NDCE=NACB,然后再利用全等三角形的判定方法SAS,ASA或A4s即

可詳解.

【詳解】解::/ACD=/BCE,

:.ZACD+ZACE=ZBCE+ZACE,

:.ZDCE=ZACB,

':CA=CD,CB=CE,

.?.△ABC也△■DEC(SAS),

故答案為:CB=CE(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

12.(2022?江蘇南通)如圖,點(diǎn)B,F,C,E在一條直線上,AB//ED,AC//FD,要使△ABCg/XOEF,

只需添加一個(gè)條件,則這個(gè)條件可以是.

【答案】AB=DE(答案不唯一)

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/ACB=NDFE,然后再利用全等三角形的判定方法即可詳

解.

【詳解】':AB//ED,

:.ZB=ZE,

':AC//DF,

:.NACB=ZDFE,

":AB^DE,

:.AABC^ADEF(A4S),

故答案為:AB=DE(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

13.(2022?北京)如圖,在△ABC中,AD平分NR4C,DE±AB.若AC=2,DE=1,則S^ACD=.

【分析】過(guò)。點(diǎn)作DXLAC于如圖,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=OH=1,然后根據(jù)三角形面積

公式計(jì)算.

【詳解】解:過(guò)。點(diǎn)作OHLAC于",如圖,

平分N3AC,DELAB,DHLAC,

:?DE=DH=1,

1

??S/\ACD=2x2X1=1.

故答案為:L

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

14.(2022?寧夏)如圖,AC,8。相交于點(diǎn)。,。8=。。要使△AOBg△COD,添加一個(gè)條件是.

(只寫一個(gè))

【答案】OA=OC(答案不唯一)

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法,即可詳解.

【詳解】解:':OB^OD,ZAOB^ZCOD,OA^OC,

:.AAOB^ACOD(SAS),

要使△AOB0△口?£),添加一個(gè)條件是04=OC,

故答案為:OA^OC(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

15.(2022?黑龍江)如圖,在四邊形A8CD中,對(duì)角線AC,2。相交于點(diǎn)0,OA^OC,請(qǐng)你添加一個(gè)條

【答案】08=0。(答案不唯一)

【分析】此題是一道開(kāi)放型的題目,答案不唯一,只要符合全等三角形的判定定理即可.

【詳解】解:添加的條件是02=0。

理由是:在AAOB和△C。。中,

AO=CO

Z.AOB=乙COD,

.BO=DO

:.△NOB經(jīng)XCOD(SAS),

故答案為:OB=OD(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理,能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵,注意:全

等三角形的判定定理是SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有乩等.

16.(2022?湖北黃岡)如圖,已知AB〃OE,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,

【答案】ZA=ZD.(答案不唯一)

【分析】添加條件:/A=N。,根據(jù)ASA即可證明aABC絲

【詳解】解:添加條件:ZA=ZD.

':AB//DE,

:./B=/DEC,

在△ABC和△£)£1產(chǎn)中,

Z-A=乙D

AB=DE,

/B=乙DEC

:.AABC^ADEF(ASA),

故答案為:/A=/D(答案不唯一)

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定,熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

三.解答題

17.(2023?湖南長(zhǎng)沙)如圖,AB=AC,CDYAB,BELAC,垂足分別為。,E.

(1)求證:AABE2AACD;

(2)若AE=6,CD=8,求8。的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)4

【分析】(1)利用“AAS”可證明△ABE之△AC。;

(2)先利用全等三角形的性質(zhì)得到AD=4E=6,再利用勾股定理計(jì)算出AC,從而得到A2的長(zhǎng),然后

i+MAB-AD即可.

【詳解】(1)證明:BE±AC,

:.ZAEB=ZADC=9Q°,

在△ABE和△AC。中,

(乙AEB=/.ADC

IA.BAE=Z.CAD

)AB=AC'

:.AABE^AACD(AAS);

⑵解:VAABE^AACD,

:.AD=AE=6,

在RtZXACQ中,AC=>JAD2+CD2=V62+82=10,

':AB=AC=10,

.?.BD=A2-AD=10-6=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì):全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和

角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí),關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

18.(2023?吉林)如圖,點(diǎn)C在線段2。上,ZXABC和△DEC中,ZA^ZD,AB=DE,/B=/E.求證:

AC=DC.

【分析】由兩個(gè)三角形的全等判定ASA直接可判斷兩個(gè)三角形全等,得出結(jié)論.

【詳解】解:在△ABC和△OEC中,

Z.A=/.D

AB=DE,

./.B=Z.F

.,.△ABC絲△DEC(ASA),

:.AC=DC.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定ASA,掌握ASA判定兩個(gè)三角形全等的方法是解題的關(guān)鍵.

19.(2023?遼寧大連)如圖,在△ABC和△AOE中,延長(zhǎng)BC交。E于足BC=DE,AC^AE,ZACF+Z

AEZ)=180°.求證:AB=AD.

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】由"SAS”可證△ABCgAAOE,可得結(jié)論.

【詳解】證明:VZACB+ZACF^ZACF+ZAED^180°,

ZACB=ZAED,

在aABC和△ADE中,

BC=DE

Z-ACB=Z.AED,

AC=AE

:./^ABC^/^ADE(SAS),

:.AB=AD.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

20.(2023?福建)如圖,OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求證:AB=CD.

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】根據(jù)角的和差求得NAOB=/C。。,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【詳解】證明:

ZAOD-ZBOD=ZCOB-ZBOD,

即ZAOB=ZCOD.

在△A08和△C。。中,

OA=OC

A.AOB=乙COD,

.OB=OD

:./\AOB^/\COD(SAS),

:.AB=CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

21.(2023?山東聊城)如圖,在四邊形A8C。中,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn),SLBE=CD,ZB=ZAED=ZC.

(1)求證:/EAD=NEDA;

(2)若/C=60°,?!?4時(shí),求△AED的面積.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)4V3

【分析】(1)利用A4s證明.,.△ABE咨△8?£>,即可證明結(jié)論;

(2)先證明為等邊三角形,可得AE=AO=EO=4,過(guò)A點(diǎn)作AF_LEO于凡利用等邊三角形的

性質(zhì)可得后尸=2,再根據(jù)勾股定理求得A尸的長(zhǎng),利用三角形的面積公式可求解.

【詳解】(1)證明:*:ZB=ZAED=ZCf/AEC=/B+/BAE=/AED+NCED,

:?/BAE=/CED,

在△A3E和△£€£>中,

\LBAE=乙CED

Z-B—Z-C,

BE=CD

:.AABE^AECD(AAS),

:.AE=EDf

:?/EAD=NEDA;

(2)解:VZAED=ZC=60°,AE=ED,

.?.△AED為等邊三角形,

,AE=AO=即=4,

過(guò)A點(diǎn)作A凡LED于尸,

1

:?EF=^ED=2,

AF=y]AE2—EF2=V42—22=2V3,

11

:.S^AED=^ED-AF=X4X2V3=4百.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,三角形的面積

等知識(shí)的綜合運(yùn)用,證明AABE也△ECO是解題的關(guān)鍵.

22.(2023?陜西)如圖,在△ABC中,ZB=50°,ZC=20°.過(guò)點(diǎn)A作AE_L8C,垂足為E,延長(zhǎng)EA至

點(diǎn)。.使AD=AC.在邊AC上截取連接。足求證:DF=CB.

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得NCA5的度數(shù),再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】證明:在△ABC中,ZB=50°,ZC=20°,

:.ZCAB=1SO°-ZB-ZC=110°.

\9AE±BC.

:.ZAEC=90°.

AZDAF=ZAEC+ZC=110°,

:.ZDAF=ZCAB.

在/和△CAB中,

AD=BC

Z-DAF=/.CAB,

AF=AB

:./\DAF^/\CAB(SAS).

:?DF=CB.

【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì),掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.

23.(2023?四川樂(lè)山)如圖,已知45與CQ相交于點(diǎn)O,ACHBD,AO=BO,求證:AC=BD.

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】由平行線的性質(zhì)可得NA=N3,ZC=ZD,利用A4S即可判定△AOC2△5。。,從而得AC=

BD,

【詳解】證明:???AC〃5D,

AZA=ZB,/C=/D,

在△AOC和△30。中,

rzc=z.0

jZ-A=乙B>

VAO=BO

:.AAOC^ABOD(AAS),

:.AC=BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì),詳解的關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定定理與性質(zhì)并靈

活運(yùn)用.

24.(2023?江蘇蘇州)如圖,在△ABC中,AB=AC,為△ABC的角平分線.以點(diǎn)A為圓心,長(zhǎng)為

半徑畫弧,與48,AC分別交于點(diǎn)E,F,連接。E,DF.

(1)求證:AADE父AADF;

(2)若4BAC=80°,求汨的度數(shù).

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)20°

【分析】(1)由角平分線定義得出NR4O=/CAD.由作圖知:AE=AF.由S4s可證明△ADE之△ADR

(2)由作圖知:AE^AD.得出/AEO=NADE,由等腰三角形的性質(zhì)求出/ADE=70°,則可得出答

案.

【詳解】(1)證明:是△ABC的角平分線,

:.ZBAD=ZCAD.

由作圖知:AE=AF.

在△?!£)£和△AD/中,

AE=AF

/.BAD=/.CAD,

.AD=AD

:./\ADE^/\ADF(SAS);

(2)解:VZBAC=80°,A£)為△ABC的角平分線,

1

:.ZEAD=^ZBAC=40°,

由作圖知:AE=AD.

,ZAED=ZADE,

ZADE=|x(180°-40°)=70°,

,:AB=AC,AZ)為△ABC的角平分線,

:.AD±BC.

;.NBDE=90°-ZADE^20°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握全等三

角形的判定是解題的關(guān)鍵.

25.(2023?四川宜賓)己知:如圖,AB//DE,AB=DE,AF^DC.求證:NB=NE.

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】由AP=DC,得AC=OF,由得即可證△ABC四△DEF(SAS),故NB二

ZE.

【詳解】證明:?..AP=r>c,

:.AF+CF=DC+CF,即AC^DF,

,JAB//DE,

NA=ND,

在AABC和△DEF中,

AB=DE

Z.A=Z.D,

.AC=DF

:.AABC絲ADEF(SAS),

:.ZB=ZE.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握三角形全等的判定定理.

26.(2023?云南)如圖,C是BO的中點(diǎn),AB=ED,AC^EC.求證:4ABC沿LEDC.

AE

BCD

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】求出BC=OC,根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可.

【詳解】證明::C是8。的中點(diǎn),

:.BC=DC,

在△ABC和△EDC中,

AB=ED

AC=EC,

.BC=DC

:.△AB8XEDC(SSS).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理,能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵,全等三角

形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,兩直角三角形全等還有HL

27.(2023?四川瀘州)如圖,點(diǎn)8在線段州C上,BD//CE,AB=EC,DB=BC.求證:AD=EB.

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】由平行線的性質(zhì)可得NA=N£8C,由“AAS”可證可得BD=EC.

【詳解】證明:

ZABD=ZC,

在△ABZ)和△ECB中,

(AB=EC,

</.ABD=ZC,

\DB=BC,

:.AABD^AECB(SAS),

:.AD=EB.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),涉及到平行線的性質(zhì),熟練運(yùn)用全等三角形的判定是解

題的關(guān)鍵.

28.(2022?湖南益陽(yáng))如圖,在Rt^ABC中,ZB=90°,CD//AB,OE_LAC于點(diǎn)E,MCE=AB.求證:

【分析】由垂直的定義可知,NDEC=NB=90°,由平行線的性質(zhì)可得,ZA=ZDCE,進(jìn)而由ASA可

得結(jié)論.

【詳解】證明:':DE±AC,ZB=90°,

:.ZDEC=ZB=90°,

':CD//AB,

ZA=ZDCE,

在△CEO和△ABC中,

Z.DCE=Z4

CE=AB,

ZDEC=NB

.'.△CED^AABC(ASA).

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定,垂直的定義和平行線的性質(zhì),熟知全等三角形的判定定理是

解題基礎(chǔ).

29.(2022?湖南長(zhǎng)沙)如圖,AC平分NBA。,CBLAB,CDLAD,垂足分別為3,D.

(1)求證:△ABC名AAOC;

(2)若AB=4,CD=3,求四邊形A2CD的面積.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)12

【分析】(1)由AC平分/BAQ,得/BAC=/ZMC,根據(jù)CB_LAB,CDLAD,得NB=90°=/D,用

AAS可得△ABC四△AOC;

(2)由(1)AABC^AADC,得BC=CD=3,S^ABC=S^ADC,求出以ABC=%8?BC=6,即可得四邊

形ABC。的面積是12.

【詳解】(1)證明::AC平分NBA。,

:.ZBAC=ZDAC,

VCB±AB,CD±AD,

:.ZB=90°=ZD,

在△ABC和△ADC中,

NB=乙D

Z-BAC=Z-DAC,

AC=AC

:.AABC^AADC(AAS);

(2)解:由(1)知:AABC^AADC,

:?BC=CD=3,SAABC=SAADC,

:.SMBC=%B?BC=Ix4X3=6,

SAADC—6>

S四邊形ABCD=5AABC+5AADC=12,

答:四邊形ABC。的面積是12.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理.

30.(2022?西藏)如圖,已知平分/8AC,AB=AC.求證:AABD會(huì)AACD.

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】由角平分線的定義得/氏4。=/。4£>,再利用SAS即可證明△AB£)gA4CD

【詳解】證明:平分NB4C,

:.ZBAD=ZCAD,

在△ABD和△AC。中,

AB=AC

乙BAD=Z-CAD>

AD=AD

:.AABD^AACD(SA5).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定,角平分線的定義等知識(shí),熟練掌握全等三角形的判定定理

是解題的關(guān)鍵.

31.(2022?湖南衡陽(yáng))如圖,在△ABC中,AB^AC,D、E是BC邊上的點(diǎn),S.BD=CE.求證:AD=AE.

【分析】由“SAS”可證△ABD四△ACE,可得AD=A£.

【詳解】證明:?.,AB=AC,

.\ZB=ZC,

在△A8£>和△ACE中,

AB=AC

2B—Z-C,

、BD=CE

:.AABD^AACE(SAS),

:.AD=AE,

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),掌握全等三角形的判定方法是解題

的關(guān)鍵.

32.(2022?甘肅蘭州)如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏,燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示,AB=AE,AC=AD,

ZBAD=ZEAC,NC=50°,求/。的大小.

圖1圖2

【答案】50°

【分析】由NAM)=NE4c可得/A4C=NEW,根據(jù)SAS可證△BAC烏△EA。,再根據(jù)全等三角形的

性質(zhì)即可求解.

【詳解】解:VZBAD^ZEAC,

:.ZBAD+ZCAD=ZEAC+ZCAD,即/BAC=NEAD,

在△BAC與△E4。中,

AB=AE

Z-BAC=Z.EAD,

AC=AD

:.ABAC^/\EAD(SAS),

:.ZD=ZC=50°.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題,屬于中考

??碱}型.

33.(2022?浙江衢州)已知:如圖,Z1=Z2,Z3=Z4.求證:AB=AD.

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出/ACB=NACr),利用ASA證明AACB等△ACD,根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)即可得解.

【詳解】證明:?;N3=/4,

ZACB=ZACD,

在△ACB和△ACD中,

21=Z2

AC=AC

Z.ACB=Z-ACD

:.AACB^AAO)(ASA),

:.AB=AD.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),利用ASA證明△ACB咨△AC。是解題的關(guān)鍵.

34.(2022?福建)如圖,點(diǎn)8,F,C,E在同一條直線上,BF=EC,AB=DE,NB=/E.求證:ZA=Z

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】利用&4S證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解.

【詳解】證明:

:.BF+CF=EC+CF,

即BC=EF,

在△ABC和中,

(AB=DE

jzB=4E,

(BC=EF

:.AABC咨ADEF(SAS),

ZA=ZD.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),利用&4S證明是解題的關(guān)鍵.

35.(2022?四川樂(lè)山)如圖,8是線段AC的中點(diǎn),AD//BE,BD//CE.求證:△A3。0△BCE.

【答案】證明見(jiàn)詳解

【分析】根據(jù)ASA判定定理直接判定兩個(gè)三角形全等.

【詳解】證明:?..點(diǎn)2為線段AC的中點(diǎn),

:.AB=BC,

':AD//BE,

:.ZA=ZEBCf

9:BD//CE,

:.ZC=ZDBA,

在△A3。與△5CE中,

ZZ=心EBC

AB=BC,

/DBA—Z-C

???△ABD咨LBCE.(ASA).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定,熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

36.(2022?陜西)如圖,在△A5C中,點(diǎn)。在邊5。上,CD=AB,DE//AB,ZDCE=ZA,求證:DE=

BC.

【分析】利用平行線的性質(zhì)得NEOC=N3,再利用ASA證明△CDE1絲△ABC,可得結(jié)論.

【詳解】證

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