2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中復(fù)習(xí)原卷版（蘇科版）期中復(fù)習(xí)09：圓中作圖問題

圓中作圖問題專題復(fù)習(xí)九

作三角形內(nèi)切或外接圓

作圓與某直線相切

【考綱解析】

圓中作圖題屬于九年級(jí)考試?？碱}型，一般屬于中等題或者基礎(chǔ)題，但有時(shí)也考察難題，所以對(duì)于學(xué)

生來說，對(duì)于與圓有關(guān)的概念和作圖問題要非常熟練，不能僅僅停留在掌握?qǐng)A的性質(zhì)，但作圓求解角度、

半徑、確定圓心、做相切圓就無從下手；要學(xué)會(huì)合理利用知識(shí)點(diǎn)作出對(duì)應(yīng)的圖形

1.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在AABC中，乙4=90。.

⑴請(qǐng)用圓規(guī)和無刻度直尺作出OP,使圓心尸在ac邊上，且OP與4B,8C兩邊都相切；（保留作圖痕跡,

不寫作法和證明）

(2)若28=3,BC=5,求OP的半徑.

2.（2023秋?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）尺規(guī)作圖蘊(yùn)含豐富的推理，還體現(xiàn)逆向思維，請(qǐng)嘗試用無刻度的直尺和

（1）【圓的作圖】點(diǎn)P是NB4C中4B邊上的一點(diǎn)，在圖1中作。。，使它與NBAC的兩邊相切，點(diǎn)P是其中一

個(gè)切點(diǎn)；

（2）點(diǎn)P是NB4C中AB邊上的一點(diǎn)，在圖2中作O。，使它滿足以下條件：

①圓心。在A8上；②經(jīng)過點(diǎn)P；③與邊4C相切；

⑶【不可及點(diǎn)的作圖】如圖3,從墻EF邊上引兩條不平行的射線EB、FC（交點(diǎn)在墻EF的另一側(cè)，畫不到），

作這兩條射線所形成角的平分線.

4.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）在學(xué)習(xí)矩形的判定時(shí)，王老師提出一個(gè)命題："一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相

等且另外兩個(gè)角中有一個(gè)直角的四邊形是矩形”.小明和小麗都發(fā)現(xiàn)這個(gè)命題是假命題，并舉出了反例.

圖②

（1）小明：如圖①，RtAABC中，ZC=90°,把A4BC沿4B翻折，得至U△4BD,再以。為圓心，DB長(zhǎng)為半徑

作弧，交射線C8于點(diǎn)E,連接DE,過點(diǎn)4、E分別作AC、8c的垂線，交于點(diǎn)F.則四邊形4FED是該命題的

一個(gè)反例.

請(qǐng)你說明此反例的合理性.

⑵小麗：作出圖②，在△ABC中，ZB=90°,上NMB=LA.她發(fā)現(xiàn)四邊形ZBMN48MN已滿足一組對(duì)角

相等，一個(gè)角是直角，但無法保證MN恰好與相等，請(qǐng)你完善小麗的作法，并在圖②的基礎(chǔ)上用尺規(guī)作

圖作出符合要求的獷"，使四邊形是該命題的一個(gè)反例（保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明）.

5.（2023?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）過。。上一點(diǎn)A,可以用尺規(guī)按以下方法作出。。的切線；

①另取O。上一點(diǎn)8，以8為圓心，為半徑作圓，將OB與。。的另一個(gè)交點(diǎn)記為點(diǎn)C；

②以A為圓心，AC為半徑作弧，將。4與OB的另一個(gè)交點(diǎn)記為點(diǎn)Q,作直線4D.

直線力。即為。。的切線.

如圖，小明已經(jīng)完成了作圖步驟①.

⑴用尺規(guī)完成作圖步驟②；

（2）連接AC,AB,BC,BD,求證：4B平分NC4D；

⑶求證：直線2。為O。的切線.

6.（2023春?江蘇南京?九年級(jí)校考階段練習(xí)）用直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡）.

（1）如圖1,已知△力BC,作一個(gè)△4BD,使得乙ADB=4ACB,AD=BD.

⑵如圖2,已知AABC和線段a,作一個(gè)△力BE,使得乙AEB=4ACB,AE+BE=a.（寫出必要文字說明）

7.（2022秋?江蘇無錫?九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）①倍圓問題；如圖1,已知。0,請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺

作一個(gè)以。為圓心，面積是原O。的兩倍的圓；

②均分問題：如圖2,已知。。，請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以。為圓心，面積是原。。的一半的

圓；（不寫作法，但需保留作圖痕跡）

（2）若。。的半徑為5,則上述所作圓的周長(zhǎng)分別是

8.（2023秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）同學(xué)們本學(xué)期在圓的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們接觸了不少尺規(guī)作圖的問題,

接下來請(qǐng)同學(xué)們利用圓的相關(guān)知識(shí)，完成下列尺規(guī)作圖問題：

⑴如圖，已知△2BC,在AaBC內(nèi)求作一點(diǎn)。，使N4DC=2/2BC.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

在本次尺規(guī)作圖中，你所運(yùn)用的圓的相關(guān)知識(shí)是：;

（2）已知△48C中，NC=90。，請(qǐng)?jiān)诰€段A8上找一點(diǎn)。，使得△力BCsACBD.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,

不寫作法）

在本次尺規(guī)作圖中，你所運(yùn)用的圓的相關(guān)知識(shí)是:

9.（2023春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）作圖：如圖，已知點(diǎn)4、B和直線（保留作圖痕跡，不寫作法）

.B.8

（圖I）（圖2）

⑴在圖（1）中，利用尺規(guī)在直線I上作出點(diǎn)P,使得N4PB=90°；

（2）在圖（2）中，利用尺規(guī)在直線/上作出點(diǎn)Q,使得A4QB=60°.

10.（2022秋?江蘇蘇州?九年級(jí)?？计谥校┮阎倪呅?BCD,用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作

圖痕跡，不寫作法）如圖，連接在BC邊上作出一個(gè)點(diǎn)M.使得乙4M。=乙43。.

11.（2023秋?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡，標(biāo)上相應(yīng)

字母.

（1）已知△ABC,作OP,使圓心P到AB、AC邊的距離相等，且OP經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

⑵如圖，四邊形ABCD是直角梯形，作。0,使。0與AB、BC、CD邊都相切.

12.（2022秋,江蘇南京?九年級(jí)南京外國語學(xué)校仙林分校?？茧A段練習(xí)）用無刻度直尺和圓規(guī)作圖（保留作

圖痕跡，并簡(jiǎn)述作圖過程）

.P

圖1圖2

（1）如圖L點(diǎn)P在直線矽卜，作。。經(jīng)過P且與直線Z相切.

（2）如圖2,點(diǎn)P在直線矽卜，作。0,使。。經(jīng)過P且半徑為r,且與直線/相切.

13.（2023,江蘇無錫?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)4、點(diǎn)B是直線MN外同側(cè)的兩點(diǎn)，請(qǐng)用無刻度的直尺與圓規(guī)完成

下列作圖.（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑴在圖1中，在直線MN上取點(diǎn)P使得乙4PM=乙BPN；

A

B

MN

（2）在圖2中，在直線MN上取點(diǎn)Q使得N4QM=^AQB.

,8

XfN

14.（2022秋,江蘇?九年級(jí)期中）如圖，在ABC中NC=90°,乙4<45°.

⑴請(qǐng)作出經(jīng)過A、8兩點(diǎn)的圓，且該圓的圓心。落在線段AC上（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）；

（2）在（1）的條件下，已知乙BOC=a,將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a后與回0交于點(diǎn)E.試證明：B、C、E

三點(diǎn)共線.

15.（2023,江蘇徐州??？既＃┤鐖D，已知尸是。。外一點(diǎn).按要求完成下列問題:

⑴作圖：（保留作圖的痕跡）

①連接OP,與0。交與點(diǎn)A,延長(zhǎng)4。，與。。交于點(diǎn)&

②以點(diǎn)P為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫弧，以點(diǎn)。為圓心，長(zhǎng)為半徑畫??；

③兩弧相交于點(diǎn)C,連接OC,與O。交于點(diǎn)連接DP,BD.

（2）證明：DP為。。的切線；

⑶計(jì)算：利用直尺、三角尺或量角器測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，可計(jì)算出弧BD與弦BO所圍"弓形”的面積為

cm?.（結(jié)果保留根號(hào)或精確到0.1cm）

圓中作圖問題專題復(fù)習(xí)九

作三角形內(nèi)切或外接圓

作圓與某直線相切

【考綱解析】

圓中作圖題屬于九年級(jí)考試?？碱}型，一般屬于中等題或者基礎(chǔ)題，但有時(shí)也考察難題，所以對(duì)于學(xué)

生來說，對(duì)于與圓有關(guān)的概念和作圖問題要非常熟練，不能僅僅停留在掌握?qǐng)A的性質(zhì)，但作圓求解角度、

半徑、確定圓心、做相切圓就無從下手；要學(xué)會(huì)合理利用知識(shí)點(diǎn)作出對(duì)應(yīng)的圖形

1.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)儀征市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在AABC中，乙4=90。.

⑴請(qǐng)用圓規(guī)和無刻度直尺作出OP,使圓心尸在ac邊上，且OP與4B,8C兩邊都相切；（保留作圖痕跡,

不寫作法和證明）

（2）若28=3,BC=5,求OP的半徑.

【答案】⑴見解析

【分析】（1）作N4BC的平分線BP,交2C于P,以P為圓心，以P4為半徑作OP即可.此時(shí)OP與4B,BC兩

邊都相切；

(2)設(shè)PA=PD—m,根據(jù)SMBC=S“BP+S^BCP，可得|x3x4=|x3xm+|x5xm,求出m即可

解決問題；

【詳情解析】（1）作法：①作乙4BC的平分線BP,交2C于P,

②以P為圓心，以P4為半徑作圓，

則OP就是符合條件的圓；

(2)過P作PD1BC于D,

在Rt△力BC中，

血血4c=90°,BC=5,48=3,

SAC=VBC2-AB2=4,

設(shè)PA=PD=m,

團(tuán)SAABC=S^ABP+S4BCP,

0ix3x4=-x3xm+-x5xm,

222

3

團(tuán)m=

2

【提優(yōu)突破】本題考查作圖一復(fù)雜作圖，勾股定理，切線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，圓的面積公式

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

2.（2023秋?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）尺規(guī)作圖蘊(yùn)含豐富的推理，還體現(xiàn)逆向思維，請(qǐng)嘗試用無刻度的直尺和

圓規(guī)完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡.

（1）【圓的作圖】點(diǎn)尸是NB4C中力B邊上的一點(diǎn)，在圖1中作。。，使它與ABAC的兩邊相切，點(diǎn)尸是其中一

個(gè)切點(diǎn)；

⑵點(diǎn)P是ABAC中4B邊上的一點(diǎn)，在圖2中作。。，使它滿足以下條件：

①圓心。在上；②經(jīng)過點(diǎn)尸；③與邊4c相切；

（3）【不可及點(diǎn)的作圖】如圖3,從墻EF邊上引兩條不平行的射線EB、FC（交點(diǎn)在墻EF的另一側(cè)，畫不到）,

作這兩條射線所形成角的平分線.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖角平分線、垂直平分線作出結(jié)果；

（2）根據(jù)尺規(guī)作圖角平分線、垂直平分線、已知線段作出結(jié)果，有多種不同做法.

（3）根據(jù)尺規(guī)作圖作角平分線、作垂直平分線、作已知線段、作垂線作出結(jié)果，有多種不同做法.

【詳情解析】（1）解：

圖1

①過點(diǎn)P作PE1AB,垂足為點(diǎn)P；

②作NCAB的平分線AM交PE于點(diǎn)0；

③以點(diǎn)0為圓心，0P長(zhǎng)為半徑作圓；

則回。為所求的圖形.

（2）

法1：①過點(diǎn)P作AB的垂線交AC于點(diǎn)E,

②在EA上截取EF=EP,

③作F01AC交AB于點(diǎn)0

（或作NAEP的平分線交AP于點(diǎn)0）；

④以點(diǎn)0為圓心，0P長(zhǎng)為半徑作圓；

則回0為所求的圖形.

圖2

法2：①過點(diǎn)P作PF1AC,垂足為點(diǎn)F；

②作4APF的平分線交AC于點(diǎn)G；

③作GP的垂直平分線交AP于點(diǎn)0；

（或過點(diǎn)G作GO1AC交AP于點(diǎn)0；或作GO||FP交AP于點(diǎn)0）；

④以點(diǎn)。為圓心，0P長(zhǎng)為半徑作圓；

法3：①反向延長(zhǎng)射線AB,過點(diǎn)A作AF1AC,垂足為點(diǎn)A；

②作NEAF的平分線AG；

③過點(diǎn)P作PH||AG,交AC于點(diǎn)H；

④作HP的垂直平分線交AP于點(diǎn)0；

（或過點(diǎn)H作HO1AC交AP于點(diǎn)0）；

⑤以點(diǎn)。為圓心，0P長(zhǎng)為半徑作圓；

則回0為所求的圖形.

法4：①在AP上任取一點(diǎn)D（除A、P外），作DF1AC,垂足為點(diǎn)F；

②以點(diǎn)D為圓心，DF長(zhǎng)為半徑作回D,交AB于點(diǎn)E；

③過點(diǎn)P作PM||EF,交AC于點(diǎn)M；

④過點(diǎn)M作0M||DF,交AB于點(diǎn)0；

⑤以點(diǎn)。為圓心，0P長(zhǎng)為半徑作圓；

則回。為所求的圖形.

法5：①在AP上任取一點(diǎn)M（除A、P外），作MN1AC,垂足為點(diǎn)N；

②以點(diǎn)M為圓心，MP長(zhǎng)為半徑作回M交MN于點(diǎn)F；

③連接PF,并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E；

④過點(diǎn)E作EO1AC交AP于點(diǎn)0；

⑤以點(diǎn)0為圓心，0P長(zhǎng)為半徑作圓；

則回0為所求的圖形.

（3）法1：①在FC上任取一點(diǎn)M（除F外），在EB上任取一點(diǎn)N（除E外），連接MN；

②作NFMN的平分線MG,作ZENM的平分線NG,兩平分線交于點(diǎn)G；

③同樣方法，得點(diǎn)H；

④作直線GH；則直線GH為所求的圖形.

法2：①在FC上任取一點(diǎn)I（除F外），在EB上任取一點(diǎn)J（除E外），連接IJ；

②作NFIJ的平分線IE,作4EJI的平分線JG,兩平分線交于點(diǎn)G；

③作NCIJ的平分線IH,作NBJI的平分線JH,兩平分線交于點(diǎn)H；

④作直線GH；則直線GH為所求的圖形.

法3：①在FC上任取一點(diǎn)I（除F外），在EB上任取一點(diǎn)J（除E外），連接IJ；

②作NCIJ的平分線IH,作ZBJI的平分線JH,兩平分線交于點(diǎn)H；

③過點(diǎn)H作HM1FC,垂足為點(diǎn)M；

④過點(diǎn)H作HNLEB,垂足為點(diǎn)N；

⑤作NMHN的平分線HG；

則直線GH為所求的圖形.

C

法4：①在EB上任取一點(diǎn)N（除E外），過點(diǎn)N作NPIIFC；

②作NENP的平分線NM,交FC于點(diǎn)M；

③作線段MN的垂直平分線GH；則直線GH為所求的圖形.

法5：①在FC上任取一點(diǎn)M（除F外），在EB上任取一點(diǎn)N（除E外）；

②過點(diǎn)M作MI1FC,垂足為點(diǎn)M；過點(diǎn)N作NJ1EB,垂足為點(diǎn)N；MI與NJ交于點(diǎn)P；

③作NMPJ的平分線PK交FC于點(diǎn)K,射線PK反向延長(zhǎng)線交EB于點(diǎn)L；

④作線段KL平分線GH；則直線GH為所求的圖形.

法6:①在EB上任取一點(diǎn)N（除E外），過點(diǎn)N作NL1EB,垂足為點(diǎn)N；

②過點(diǎn)N作NKJ.FC,垂足為點(diǎn)K；

③作NKNL的平分線NM交FC于點(diǎn)M；

④作線段MN的垂直平分線GH；

則直線GH為所求的圖形.

法7:①在EB上任取兩點(diǎn)N、L（除E外），以點(diǎn)N為圓心，NL長(zhǎng)為半徑作團(tuán)N；

②過點(diǎn)N作NM||FC,交回N于點(diǎn)P；

③連接LP并延長(zhǎng)交FC于點(diǎn)K；

④作線段KL的垂直平分線GH；

則直線GH為所求的圖形.

【提優(yōu)突破】本題考查了尺規(guī)作圖作角平分線、作垂直平分線、作已知線段、作垂線，其中熟練運(yùn)用作圖

方法并保留作圖痕跡是解題關(guān)鍵.

3.（2023?江蘇南京??？级＃┟}：如果在一個(gè)四邊形中滿足一組對(duì)角相等，一組對(duì)邊也相等，那么這個(gè)

四邊形是平行四邊形.請(qǐng)問這個(gè)命題是真命題還是假命題？如果是真命題，請(qǐng)你證明；如果是假命題，請(qǐng)

你利用直尺和圓規(guī)在下圖的基礎(chǔ)上畫出反例，并寫出必要的文字說明.

【答案】假命題，見解析

【分析】根據(jù)圓周角定理和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，即可說明原命題為假命題.

【詳情解析】假命題

文字說明：

（1）作點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C；

（2）作△BUD的外接圓；

（3）以點(diǎn)B為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫圓，兩圓交于點(diǎn)A.

則四邊形ABCD滿足NA=ZC（一組對(duì)角相等），AB=CD（一組對(duì)邊相等），但四邊形ABCD不是平行四邊形.

【提優(yōu)突破】本題考查了圓周角定理，平行四邊形的定義，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）在學(xué)習(xí)矩形的判定時(shí)，王老師提出一個(gè)命題："一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相

等且另外兩個(gè)角中有一個(gè)直角的四邊形是矩形".小明和小麗都發(fā)現(xiàn)這個(gè)命題是假命題，并舉出了反例.

⑴小明：如圖①，RtAABC中，“=90。，把AABC沿4B翻折，得到△2BD,再以。為圓心，長(zhǎng)為半徑

作弧，交射線C8于點(diǎn)E,連接DE,過點(diǎn)4、E分別作4C、8C的垂線，交于點(diǎn)F.則四邊形4FED是該命題的

一個(gè)反例.

請(qǐng)你說明此反例的合理性.

（2）小麗：作出圖②，在AABC中，Z.B=90°,乙NMB=LA.她發(fā)現(xiàn)四邊形A8MN已滿足一組對(duì)角

相等，一個(gè)角是直角，但無法保證MN恰好與相等，請(qǐng)你完善小麗的作法，并在圖②的基礎(chǔ)上用尺規(guī)作

圖作出符合要求的4V,使四邊形是該命題的一個(gè)反例（保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明）.

【答案】⑴答案見解析

⑵答案見解析

【分析】（1）根據(jù)條件證明"四邊形ADEF是一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等且另外兩個(gè)角中有一個(gè)直角的四邊

形"即可得到答案；

（2）根據(jù)①在射線MN上截取MD=AB；②作DN7/BC,交AC于點(diǎn)N，；③在BC上截取MM，=DN，，連接

M，N',四邊形ABM'N，即為所求.

【詳情解析】（1）解：???△ABD由RtAABC翻折得到,

??.AC=AD,ZC=ZADB=90°,

???EF1CE,AC1AF,

??.Z.CAF=ZCEF=ZC=90°,

???四邊形ACEF是矩形，

??.AC=EF,

AD=EF,

在四邊形ACBD中，Z.DAC=180°-Z.DBC,

Z.DBE=180°-zDBC,

???Z.DAE=Z.DBE,

???BD=DE,

??.zDBE=zDEB,

???zDAC=Z.DEB,

vZFAD=90°-ZDAC,ZFED=90°-zDEB,

???4FAD=ZFED<90°,

???四邊形ADEF滿足一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等且另外兩個(gè)角中有一個(gè)直角的四邊形，但是它不是矩形;

（2）解:如圖所示，

①在射線MN上截取MD=AB；

②作DN7/BC,交AC于點(diǎn)N'；

③在BC上截取MM，=DN\連接M，N，,四邊形ABM，N，即為所求.

【提優(yōu)突破】本題主要考查矩形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，角度的計(jì)算，尺規(guī)作圖，掌握矩形的性質(zhì)以

及尺規(guī)作圖的方法是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）過。。上一點(diǎn)A,可以用尺規(guī)按以下方法作出。。的切線；

①另取O。上一點(diǎn)2，以B為圓心，A8為半徑作圓，將08與。。的另一個(gè)交點(diǎn)記為點(diǎn)C；

②以A為圓心，4c為半徑作弧，將與。B的另一個(gè)交點(diǎn)記為點(diǎn)。，作直線4D.

直線力。即為。。的切線.

如圖，小明已經(jīng)完成了作圖步驟①.

⑴用尺規(guī)完成作圖步驟②；

(2)連接AC,AB,BC,BD,求證：力B平分NC力D；

⑶求證：直線力。為。。的切線.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】(1)根據(jù)題意完成作圖即可；

(2)由作圖可知，AC=AD,BC=BD=AB,證明△ABC三△ABD(SSS),即可求證；

(3)連接OA,OB,根據(jù)BC=AB推出OB1AC,則NOBA+NBAC=90。，進(jìn)而得出4OAB+/BAD=90。，即

可求證.

【詳情解析】(1)解：如圖：直線AD即為所求；

(2)證明：由作圖可知，AC=AD,BC=BD=AB,

在△ABC和△ABD中，

AC=AD

BC=BD,

AB=AB

0AABC三△ABD(SSS),

0ZBAC=ZBAD,

E1AB平分/CAD.

(3)證明：連接OA,OB,

由(2)可得：BC=AB,

El點(diǎn)B為AC中點(diǎn)，

EIOB平分AC,

EIOB1AC,

0ZOBA+ZBAC=90°,

0OA=OB,

0ZOBA=ZOAB,

0ZBAC=ZBAD,

0ZOAB+zBAD=90°,即OAJ.AD,

回直線AD為OO的切線.

【提優(yōu)突破】本題主要考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握在同

圓中，半徑都相等；全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線與圓相切.

6.（2023春?江蘇南京?九年級(jí)校考階段練習(xí)）用直尺和圓規(guī)作圖（保留作圖痕跡）.

（圖I）（圖2

（1）如圖1,已知△4BC,作一個(gè)△ABD,使得=AD=BD.

（2）如圖2,已知AABC和線段a,作一個(gè)△48E,使得Z71E8=NACB,AE+BEa.（寫出必要文字說明）

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）如圖所示，作△ABC的外接圓0,AB的垂直平分線與。。的交點(diǎn)為D,則AABD即為所求；

（2）作△ABC的外接圓0,AB的垂直平分線與O0的交點(diǎn)為D,以D為圓心，以AD為半徑作圓，以B為圓

心，以a為半徑畫弧，交圓D于M,BM交O0于E,則△ABE即為所求.

【詳情解析】（1）解：如圖2所示：

圖2

作△ABC的夕卜接圓0,AB的垂直平分線與。0的交點(diǎn)為D,連接AD,BD,則AD=BD,zADB=Z.ACB,則△ABD

即為所求三角形，（答案不唯一）；

①同理作^ABC的外接圓0,AB的垂直平分線與O0的交點(diǎn)為D；

②以D為圓心，以AD為半徑作圓，以B為圓心，以a為半徑畫弧，交圓D于M；

③BM交00于E,貝必ABE即為所求；

理由是：???NAEB=4ADB=2NAMB,

??.zAEB=zAMB+zEAM,

??.zAMB=ZEAM,

??.AE=EM,

BM=a=AE+BE.

【提優(yōu)突破】本題考查復(fù)雜作圖，主要考查了圓周角定理，尺規(guī)作垂線，以及中垂線的性質(zhì)，等腰三角形

的判定和性質(zhì).熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?江蘇無錫?九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）①倍圓問題；如圖1,已知。0,請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺

作一個(gè)以。為圓心，面積是原。。的兩倍的圓；

②均分問題：如圖2,己知。0,請(qǐng)你用圓規(guī)和無刻度的直尺作一個(gè)以。為圓心，面積是原O。的一半的

圓；（不寫作法，但需保留作圖痕跡）

（2）若。。的半徑為5,則上述所作圓的周長(zhǎng)分別是

ffll圖2

【答案】（1）①見解析；②見解析（2）10V2TT,5V2Tt

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）根據(jù)倍圓和均分圓的性質(zhì)可得所作圓的半徑，再求周長(zhǎng)即可.

【詳情解析】解：（1）①作直徑AB,過。作AB的垂線交圓與D,連接BD,以。為圓心，BD為半徑畫圓,

如圖

②如圖，以0C為半徑作圓（或以0B為斜邊作等腰直角三角形OCB）.

（2）-??O0的半徑為5,

;原來圓的面積為25m

???倍圓問題中，所作圓面積為原來圓的2倍，設(shè)所作圓半徑為r,

nr2=50it,得r=5A/2,

二所作倍圓的圓周長(zhǎng)為2irr=10V2TT,

,?,均分問題中，所作圓面積為原來圓的1倍，設(shè)所作圓半徑為rI，

225z5V2

=—it,得B,

.?.所作均分圓的圓周長(zhǎng)為2互1\=5V2-rt.

【提優(yōu)突破】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，圓的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知

識(shí)解決問題.

8.（2023秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）同學(xué)們本學(xué)期在圓的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們接觸了不少尺規(guī)作圖的問題，

接下來請(qǐng)同學(xué)們利用圓的相關(guān)知識(shí)，完成下列尺規(guī)作圖問題：

（1）如圖，已知A/IBC,在AABC內(nèi)求作一點(diǎn)D,使乙4DC=2N4BC.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

在本次尺規(guī)作圖中，你所運(yùn)用的圓的相關(guān)知識(shí)是：；

（2）已知△48C中，NC=90。，請(qǐng)?jiān)诰€段AB上找一點(diǎn)。，使得△28CCBD.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡,

不寫作法）

A

在本次尺規(guī)作圖中，你所運(yùn)用的圓的相關(guān)知識(shí)是：.

【答案】⑴作圖見詳情解析；圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上所對(duì)圓心角的一半

⑵作圖見詳情解析；直徑所對(duì)的圓周角是直角

【分析】（1）分別以點(diǎn)A,B,C為圓心，以大于（AB,［BC為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)G,F,E,H,連接GF,EH交于

點(diǎn)D,連接AD,CD,即可求解；

（2）以BC為直徑作圓，分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于］BC為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)P,Q,連接PQ交BC于點(diǎn)F,

以點(diǎn)F為圓心，以BF為半徑作圓，交AC于點(diǎn)D,連接CD,即可求解.

【詳情解析】（工）解：如圖所示，

分別以點(diǎn)A,B為圓心，以大于：AB為半徑畫弧，交于點(diǎn)GF,連接GF；分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于：BC為半

徑畫弧，交于點(diǎn)E,H,連接EH,則GF與EH交于點(diǎn)D,連接AD,CD,根據(jù)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是三角

形的外接圓的圓心，由圓周角定理可知，ZADC=2ZABC,

團(tuán)點(diǎn)D為所求點(diǎn)的位置，

團(tuán)運(yùn)用的圓的相關(guān)知識(shí)是：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上所對(duì)圓心角的一半，

故答案為：作圖見詳情解析，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上所對(duì)圓心角的一半.

（2）解：如圖所示，

以BC為直徑作圓，分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于］BC為半徑畫弧，分別交于點(diǎn)P,Q,連接PQ交BC于點(diǎn)F,以

點(diǎn)F為圓心，以BF為半徑作圓，交AC于點(diǎn)D,連接CD,

EIBC是OF的直徑，

0ZBDC=90°,NC是公共角，

0AABCCBD,

回運(yùn)用的圓的相關(guān)知識(shí)是：直徑所對(duì)的圓周角是直角，

故答案為：作圖見詳情解析，直徑所對(duì)的圓周角是直角.

【提優(yōu)突破】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握同圓中，圓周角是圓心角的一半，直徑所對(duì)圓周角是

直角是解題的關(guān)鍵.

9.（2023春?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）作圖：如圖，已知點(diǎn)4、B和直線（保留作圖痕跡，不寫作法）

.BB

I/

（ffil）（圖2）

⑴在圖（1）中，利用尺規(guī)在直線I上作出點(diǎn)P,使得乙4PB=90。；

⑵在圖（2）中，利用尺規(guī)在直線/上作出點(diǎn)Q,使得乙4QB=60。.

【答案】⑴見解析

（2）見解析

【分析】（1）作AB的垂直平分線，以AB的中點(diǎn)為圓心,AB為直徑，作圓，交1于點(diǎn)P,連接PA,PB,則4APB=90°；

（2）分別以A,B為圓心，AB為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)C,連接CA,CB,則AABC是等邊三角形，分別作AB,BC

的垂直平分線，找到△ABC的外心，作△ABC的外接圓，交1于點(diǎn)Q,連接QA,QB,貝UNAQB=60。.

【詳情解析】（1）如圖所示，點(diǎn)P即為所求；

（圖I）

（2）如圖所示，點(diǎn)Q即為所求.

B

【提優(yōu)突破】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，等弧所對(duì)的圓周角線段，作線段的垂直平分線，作圓，

掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?江蘇蘇州?九年級(jí)?？计谥校┘褐倪呅蜛BC。，用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作

圖痕跡，不寫作法）如圖，連接BD.在BC邊上作出一個(gè)點(diǎn)使得N2MD=N4BD.

【答案】見解析

【分析】作AABD的外接圓交BC于M,則根據(jù)圓周角定理得到NAMD=NABD.

【詳情解析】解：點(diǎn)M為所作.

【提優(yōu)突破】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，圓周角定理，解題關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖

形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

11.（2023秋?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡，標(biāo)上相應(yīng)

字母.

（1）已知AABC,作OP,使圓心P至！JAB、AC邊的距離相等，且OP經(jīng)過A、B兩點(diǎn).

（2）如圖，四邊形ABCD是直角梯形，作。0,使。。與AB、BC、CD邊都相切.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）作線段AB的垂直平分線MN,再作NBAC的角平分線AE交MN于P,再以P為圓心，以PA為半徑

作圓即可；

（2）分別作NABC、NBCD的角平分線，二者交于P,過點(diǎn)P作PE1BC于E,以P為圓心，以PE為半徑畫圓

即可.

【詳情解析】（1）解：如圖所示，即為所求；

【提優(yōu)突破】本題主要考查了尺規(guī)作圖一作角平分線，作線段垂直平分線，作圓，熟知相關(guān)作圖方法是解題

的關(guān)鍵.

12.（2022秋?江蘇南京?九年級(jí)南京外國語學(xué)校仙林分校校考階段練習(xí)）用無刻度直尺和圓規(guī)作圖（保留作

圖痕跡，并簡(jiǎn)述作圖過程)

圖1圖2

(1)如圖1,點(diǎn)P在直線矽卜，作。。經(jīng)過P且與直線/相切.

(2)如圖2,點(diǎn)P在直線矽卜，作o。，使。。經(jīng)過P且半徑為r,且與直線Z相切.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)根據(jù)題意：，①在直線I上任意找一點(diǎn)N,以N為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交直線I于點(diǎn)C、D

兩點(diǎn)；②作線段CD的垂直平分線NE；③連接PN,作線段PN的垂直平分線與直線NE交于點(diǎn)0,即為圓心;

④連接0N,即為半徑，以。為圓心，ON為半徑作圓即為所求；

(2)①在直線I上任意取兩點(diǎn)A、B,然后分別以A、B為圓心，r長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線I分別為E、F、C、

D點(diǎn)；②分別作線段EF、線段CD的垂直平分線交圓于點(diǎn)G、點(diǎn)H,(均在直線I上方)；③作直線GH；④以

點(diǎn)P為圓心，r長(zhǎng)為半徑畫弧交直線GH于點(diǎn)0,即為圓心；⑤以0為圓心，??長(zhǎng)為半徑作圓即為所求.

【詳情解析】Q)解：如圖所示，①在直線I上任意找一點(diǎn)N,以N為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交直線I

于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)；

②作線段CD的垂直平分線NE；

③連接PN,作線段PN的垂直平分線與直線NE交于點(diǎn)0,即為圓心；

④連接ON,即為半徑，以。為圓心，ON為半徑作圓即為所求；

I

舉

(2)如圖所示：①在直線I上任意取兩點(diǎn)A、B,然后分別以A、B為圓心，r長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線I分別

為E、F、C、D點(diǎn)；

②分別作線段EF、線段CD的垂直平分線交圓于點(diǎn)G、點(diǎn)H,(均在直線I上方)；

③作直線GH；

④以點(diǎn)P為圓心，r長(zhǎng)為半徑畫弧交直線GH于點(diǎn)0,即為圓心；

⑤以。為圓心，r長(zhǎng)為半徑作圓即為所求.

【提優(yōu)突破】題目主要考查作圖，垂直平分線及符合題意的圓，理解題意，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)及

圓的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

13.（2023?江蘇無錫?模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)4、點(diǎn)8是直線MN外同側(cè)的兩點(diǎn)，請(qǐng)用無刻度的直尺與圓規(guī)完成

下列作圖.（不寫作法，保留作圖痕跡）

⑴在圖1中，在直線MN上取點(diǎn)P使得乙4PM=4BPN；

B

MN

（2）在圖2中，在直線MN上取點(diǎn)Q使得N4QM=N4QB.

B

MN

【答案】⑴作圖見解析

⑵作圖見解析

【分析】（1）如圖1,過點(diǎn)B作BO1MN于點(diǎn)0,延長(zhǎng)B0,用尺規(guī)作B0=B，0,連接AB，交MN于點(diǎn)P,根據(jù)

線段垂直平分線和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可證；

（2）如圖2,以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線MN于點(diǎn)口，過A作BB，的垂線交MN于點(diǎn)Q,根據(jù)垂

徑定理和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可證;如圖3,以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線MN于點(diǎn)B”,

過A作BB”的垂線交MN于點(diǎn)Q,根據(jù)垂徑定理和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可證.

【詳情解析】（1）如圖1,過點(diǎn)B作BO1MN于點(diǎn)0,延長(zhǎng)B0,用尺規(guī)作B0=B，0,連接AB，交MN于點(diǎn)P,

A

B

豺；N

B'

圖1

由圖可知，NAPM=NB'PN,

0BO1MN,BO=B'O,

0PB=PB',

0ZBPN=NB'PN,

0ZAPM=ZBPN.

故點(diǎn)P即為所求.

(2)如圖2,以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線MN于點(diǎn)B',過A作BB，的垂線交MN于點(diǎn)Q,

團(tuán)AQ1BB',點(diǎn)A為圓心，

E1AQ垂直平分BB，，

0BQ=B'Q,

團(tuán)乙AQM=ZAQB.

如圖3,以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線MN于點(diǎn)B",過A作BB”的垂線交MN于點(diǎn)Q,

圖3

EIAQ1BB”,點(diǎn)A為圓心，

EIAQ垂直平分BB",

fflBQ=B〃Q,

0ZAQM=ZAQB.

回點(diǎn)Q即為所求.

【提優(yōu)突破】本題考查了作圖一復(fù)雜作圖，熟練掌握垂徑定理和中垂線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線和等腰

三角形的三線合一的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

14.（2022秋,江蘇?九年級(jí)期中）如圖，在RtAABC中NC=90°,乙4<45°.

⑴請(qǐng)作出經(jīng)過A、8兩點(diǎn)的圓，且該圓的圓心。落在線段AC上（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不