四節(jié)空間曲線及其方程市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎課件

第四節(jié)空間曲線及其方程一、空間曲線普通方程二、空間曲線參數(shù)方程

三、空間曲線在坐標面上投影返回第1頁空間曲線能夠看作兩個曲面交線.設

一、空間曲線普通方程和

是兩個曲面方程,它們交線為C(圖7-44).(1)因為曲線C上任何點坐標應同時滿足這兩個曲面方程,所以應滿足方程組圖7-44第2頁例1方程組

表示怎樣曲線?解方程組中第一個方程表示母線平行于z軸圓柱面,其準線是xOy面上圓,圓心在原點O,半徑為1.反過來,假如點M不在曲線C上,那么它不可能同時在兩個曲面上,所以它坐標不滿足方程組(1).所以,曲線C能夠用方程組(1)來表示.方程組(1)叫做空間曲線C普通方程.

方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸柱面,因為它準線是zOx面上直線,所以它是一個平面.第3頁方程組就表示上述平面與圓柱面交線,如圖7-45所表示.圖7-45

xyzO第4頁例2方程組

表示怎樣曲線?解方程組中第一個方程表示球心在坐標原點O,半徑為a上半球面.,半徑為

第二個方程表示母線平行于z軸圓柱面,它準線是xOy面上圓,這圓圓心在點

返回第5頁二、空間曲線參數(shù)方程

空間曲線C方程除了普通方程之外,也能夠用參數(shù)形式表示,只要將C上動點坐標x，y，z表示為參數(shù)t函數(shù):(2)

當給定時,就得到C上一個點

伴隨t變動便可得曲線C上全部點.方程組(2)叫做空間曲線參數(shù)方程.

第6頁都是常數(shù)),那么點M組成圖形叫做螺旋線.試建立例3假如空間一點M在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉,同時又以線速度v沿平行于z軸正方向上升(其中其參數(shù)方程.解

取時間t為參數(shù).設當時,處.經(jīng)過時間t,動點由A運動到

(圖7-47).動點位于x軸上一點

圖7-47h第7頁記M在xOy面上投影為

,

坐標為

因為動點在圓柱面上以角速度

繞z軸旋轉,所以經(jīng)過時間t,從而因為動點同時以線速度v沿平行于z軸正方向上升,所以第8頁所以螺旋線參數(shù)方程為也能夠用其它變量作參數(shù);比如令,則螺旋線參數(shù)方程可寫為

這里

,而參數(shù)為

第9頁螺旋線是實踐中常用曲線.例如,平頭螺絲釘外緣曲線就是螺旋線.當我們擰緊平頭螺絲釘時,它外緣曲線上任一點M,一方面繞螺絲釘軸旋轉,其次又沿平行于軸線方向前進,點M就走出一段螺旋線.螺旋線有一個主要性質:當從

變到時,z由

變到

尤其是當轉過一周,即

時,M點就上升固定高度.這個高度在工程技術上叫做螺距.

這說明當轉過角

時,M點沿螺旋線上升了高度

即上升高度與

轉過角度成正比.

,第10頁*曲面參數(shù)方程

下面順便介紹一下曲面參數(shù)方程.曲面參數(shù)方程通常是含兩個參數(shù)方程,形如

比如空間曲線

第11頁繞z軸旋轉,所得旋轉曲面方程為（4）這是因為,固定一個t,得上一點,點繞z軸旋轉,

得空間一個圓,該圓在平面上,其半徑為點

到z軸距離,所以,固定t方程(4)就是該圓參數(shù)方程.再令t在內變動,方程(4)便是旋轉曲面方程.第12頁

比如直線

繞z軸旋轉所得旋轉曲面(圖7-48)方程為(上式消去t和,得曲面直角坐標方程為)

圖7-48

yzxo第13頁又如球面可看成zOx面上半圓周繞z軸旋轉所得(圖7-49),故球面方程為圖7-49

xyzO返回第14頁三、空間曲線在坐標面上投影設空間曲線C普通方程為

(5)

現(xiàn)在我們來研究由方程組(5)消去變量z后所得方程(6)

因為方程(6)是由方程組(5)消去z后所得結果,所以當x，y和z滿足方程組(5)時,前兩個數(shù)x，y必定滿足方程(6),這說明曲線C上全部點都在由方程(6)所表示曲面上.第15頁由上節(jié)知道,方程(6)表示一個母線平行于z軸柱面.所表示曲線必定包含空間曲線C在xOy面上投影.同理,消去方程組(5)中變量x或變量y,再分別和x=0或y=0聯(lián)立,我們就可得到包含曲線C在yOz面或xOz面上投影曲線方程:或

由上面討論可知,這柱面必定包含曲線C.以曲線C為準線,母線平行于z軸(即垂直于xOy面)柱面叫做曲線C關于xOy面投影柱面,投影柱面與xOy面交線叫做空間曲線C在xOy面上投影曲線,或簡稱投影.所以,方程(6)所表示柱面必定包含投影柱面,而方程第16頁例4已知兩球面方程為(7)

和(8)

求它們交線C在xOy面上投影方程.解先求包含交線C而母線平行于z軸柱面方程.所以要由方程(7),(8)消去z,為此可先從(7)式減去(8)式并化簡,得到再以z=1-y代入方程(7)或(8)即得所求柱面方程為輕易看出,這就是交線C關于xOy面投影柱面方程,于是兩球面交線在xOy面上投影方程是第17頁在重積分和曲面積分計算中,往往需要確定一個立體或曲面在坐標面上投影,這時要利用投影柱面和投影曲線.例5設一個立體由上半球面和錐面

所圍成(圖7-50),求它在xOy面上投影.

解半球面和錐面交線為

由上列方程組消去z,得到

圖7-50

xyzo