借助圖式辨析促進概念融通

【摘

要】“倍”用于描述兩個量的比較關系，和乘除法有密切聯(lián)系，對學生后續(xù)學習分數(shù)、百分數(shù)和比有重要的作用。理解“倍”的概念，圖式是直觀形象的學習材料。教師可借助圖式設置任務，以任務驅動的方式引導學生對點狀的知識進行補充、完善，促進學生深度理解“倍”的概念?！娟P鍵詞】單元復習；圖式辨析；多元表征單元復習課既要整理、回顧單元知識，關聯(lián)數(shù)學概念，使學生形成知識結構，又要通過練習查漏補缺，使學生完善認知結構。然而，“理”容易枯燥，“練”容易細碎。如何讓數(shù)學概念的復習既不枯燥又整體關聯(lián)呢？筆者以人教版教材三年級上冊“倍的認識”的單元復習為例，借助圖式設置任務，進行復習教學的嘗試。一、解讀概念，明晰單元核心內容以復習數(shù)學概念為主的單元復習課一般包括兩個層面：一是理解數(shù)學概念的內涵本質，二是明晰數(shù)學概念的外延關聯(lián)?！氨丁笔且环N比較關系，與乘除法概念有關聯(lián)，“倍”的概念直接關聯(lián)后續(xù)學習的“分數(shù)”“百分數(shù)”“比”等知識。人教版教材把“倍的認識”作為獨立的教學單元進行編排，其意圖是讓學生在理解“倍”的概念后，運用“倍”的關系解決問題，主要包括“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”和“求一個數(shù)的幾倍是多少”兩種情況。此外，教材還在期末“總復習”中，以圖式填空的形式，補充了逆向的“已知一個數(shù)的幾倍，求這個數(shù)是多少”的解決問題。筆者查閱了其他不同版本的教材，發(fā)現(xiàn)這些教材也同樣凸顯了“倍”與乘除法之間的關系，體現(xiàn)了“兩個量的倍比”與“兩個量相差”的區(qū)別。因此，“倍的認識”單元復習的核心內容，應是深入理解“倍”的概念，凸顯基于乘除法概念的比較關系，明晰量與量之間的聯(lián)系。復習路徑為：借助幾何直觀，抽象概念，把“兩個量數(shù)的抽象關系”轉化為“兩個量圖的具象關系”。由此，讓學生明晰倍數(shù)的三個量之間的內部聯(lián)系，辨析相差關系，延伸包含的倍比關系。二、分析學情，找準單元知識難點單元復習課的任務要針對學生的易錯點和單元知識的難點設置。學生在學習“倍的認識”單元時，哪些題目容易出現(xiàn)錯誤？這個單元知識的難點在哪里？針對這些問題，筆者設置了前置式任務，調研了不同班級共247名同學，并對學生的解答情況進行了分析統(tǒng)計。此次調研中，第一題主要考查學生能否準確描述兩個量之間的倍數(shù)關系，第二題考查學生能否根據(jù)倍數(shù)關系準確畫出“標準量”和“比較量”，第三題考查學生能否在比較多個量時，排除多余信息，準確寫出兩個量的倍數(shù)關系。調研結果顯示，第一題約有87.04%的學生能準確描述兩個量之間的倍數(shù)關系；第二題第1小題約有87.04%的學生能用圖式表示倍數(shù)關系，第2小題約有70.04%的學生能用圖式表示倍數(shù)關系；第三題約有76.92%的學生能正確描述倍數(shù)關系。此外，此次前置式任務調研也發(fā)現(xiàn)了學生存在的一些典型錯誤（如圖1）。根據(jù)學生的具體解答可以發(fā)現(xiàn)，在學完“倍的認識”單元后，學生仍然存在以下問題：（1）對于“倍”的概念的理解不夠深入，容易混淆“標準量”和“比較量”；（2）簡單認為圖式中一共有幾份，兩個量就是幾倍關系；（3）存在見“倍”就“乘”的現(xiàn)象；（4）遇到多個量比較時，難以判斷以誰為“標準量”。三、圖式辨析，遞推單元核心任務建立關聯(lián)是單元復習課的目標之一。基于任務驅動的復習，要把零碎的知識點整合在核心任務中，以圖式的形式組建系列任務，改變“提問—回答”的單一互動模式。（一）再現(xiàn)：借思辨性圖式，理解概念本質在單元復習教學中，教師要借助適切的學習材料，幫助學生再現(xiàn)單元內知識點，梳理知識結構，避免抽象枯燥的重復回顧。用于再現(xiàn)知識的任務情境要能涵蓋全單元相關知識，突出教學重難點，幫助學生逐步抽象理解概念本質。任務一是一組思辨性的圖式（如圖2），借助該圖式能幫助學生進一步理解“倍”的概念。其中，①號圖根據(jù)學生的易錯點區(qū)分“標準量”；②號圖通過隨意擺放，讓學生聚焦圖形數(shù)量，以數(shù)量關系理解“倍”的概念；③號圖具有思維遞進關系，需要學生借助規(guī)律得出結論；④號圖用線段圖來表征“倍”的概念。學生先獨立思考完成任務，然后進行教學反饋。教學反饋時，先反饋正確的圖式，概括概念的共性，再辨析錯誤的圖式，強調“標準量”和“比較量”的關系?！澳男﹫D能表示圓的個數(shù)是三角形個數(shù)的3倍？”教師先以正確的②號圖為例，引導學生回顧“倍”的概念，讓學生通過圈一圈、畫一畫，得出：2個三角形為1份，圓有這樣的3份，就可以說圓的個數(shù)是三角形個數(shù)的3倍。教師提問：“③號圖后面的珠子被盒子擋住了，你是怎么看出圓的個數(shù)是三角形個數(shù)的3倍的？”啟發(fā)學生在思辨中理解“△○○○”為一組重復出現(xiàn)的圖形，只要觀察其中一組就可以推測出倍數(shù)關系。教師追問：“④號圖只有兩條線段，沒有對應的數(shù)量，為什么也能表示‘圓的個數(shù)是三角形個數(shù)的3倍？”引導學生思考：如果三角形表示1，圓有幾個？如果三角形有2個、3個、5個……[a]個，圓分別是幾個呢？從而滲透函數(shù)思想：雖然不知道三角形和圓分別有幾個，但圓的個數(shù)始終是三角形個數(shù)的3倍。比較歸納“倍”概念的本質：正確表示的這三幅圖，有什么相同點？在此基礎上，教師提出質疑：“①號圖中有9個和3個，為什么不能表示圓的個數(shù)是三角形個數(shù)的3倍？怎樣改就可以了呢？”從而讓學生感悟到要找對標準量。由此可知，教學反饋的重點是通過思辨感悟“倍”的概念，從“關注具體數(shù)量”走向“關注兩個量的關系”。思辨性圖式材料可以幫助學生梳理單元知識，形象化地突破難點，抽象出數(shù)學模型。單元復習教學如果用思辨性圖式導入，起點較低，學生就會有話可講。在學生分析圖式的過程中，教師要關注學生的語言表述，引導學生先分析標準量，再分析兩個量的倍數(shù)關系。數(shù)學概念的學習過程就是先將具體情境抽象成數(shù)學模型，再用自己的語言描述數(shù)學模型的過程。在單元復習課中再現(xiàn)知識，有助于學生內化知識，形成自己的認知結構。（二）關聯(lián)：借對比性圖式，構建知識結構單元復習教學要關注相似概念的比較，讓學生理得清、道得明、悟得透?！氨丁迸c之前學習的“誰比誰多”的數(shù)學問題都是用于描述兩個量的關系，但“倍”的本質是乘除法結構。借助對比性圖式進行復習，可以讓學生明晰不同關系的聯(lián)系和區(qū)別。如圖3所示，這是一組對比性圖式，用于幫助學生理解“倍”的比較關系。教師呈現(xiàn)圖式后，讓學生自主列式，然后通過四幅圖的兩次分類，遞進式地展開教學反饋。第一次分類聚焦比較關系。教師提問：“①號圖、②號圖和④號圖都是用乘法或除法表示，③號圖為什么是用減法呢？”學生發(fā)現(xiàn)，③號圖雖然呈現(xiàn)的也是兩個量之間的比較關系，但卻是“求一個量比另一個量多幾”的相差關系，而“倍”是描述乘法的數(shù)學模型。第二次分類聚焦“倍”的三個量之間的關系。①號圖、②號圖、④號圖分別對應“求幾倍數(shù)”“求倍數(shù)”和“求一倍數(shù)”，從而完善學生對“倍”的理解，幫助學生構建完整的知識結構。在上述比較的基礎上，教師刪去表示相差關系的題目，只留下表示倍數(shù)關系的三道題目，并提問：“同樣是表示倍數(shù)關系的三道題，為什么有的用乘法計算，有的卻用除法計算呢？”學生比較三道題的對應圖式，發(fā)現(xiàn)“求幾倍數(shù)”用乘法，“求倍數(shù)”和“一倍數(shù)”用除法。接著教師進一步引導學生用“幾個幾”的乘除法模型進行理解，如④號圖是把27平均分成3份，求1份是多少，這“1份數(shù)”就是“標準量”，用除法解決。將對比性圖式進行比較，有助于學生以“類”的思想統(tǒng)領概念，促進對概念的理解和遷移。因此，單元復習教學要將新舊知識進行關聯(lián)，梳理知識脈絡，且這種梳理不僅僅是知識的再現(xiàn)，還要在知識再現(xiàn)的基礎上進行關聯(lián)與拓展。（三）進階：借綜合性圖式，促進思維提升單元復習教學不僅要明晰概念的內涵，還要辨析概念的外延。借助綜合性圖式關聯(lián)后續(xù)知識，可以延伸知識，促進思維的進階。1.選擇包含關系的圖式，延伸后續(xù)知識“倍”是描述“率”和“比”的基礎。如“甲是乙的2倍”還可以說成“乙是甲的[1/2]”“甲和乙的比是2∶1”“乙是甲的50%”等。人教版教材在“倍的認識”這一單元研究的均是兩個獨立量之間的倍數(shù)關系。但實際上，存在包含關系的兩個量之間也存在倍數(shù)關系，比較常見的是在扇形統(tǒng)計圖中用百分數(shù)描述倍數(shù)關系。任務三是一組包含性圖式（如圖4）。教師出示任務三，意圖通過變式，幫助學生理解“倍”的比較關系。教師提問：“你能在圖中找到哪些倍數(shù)關系？”針對這樣的開放性問題，學生會有不同的說法，如“桃樹的棵數(shù)是梨樹棵數(shù)的3倍”“男生人數(shù)是女生人數(shù)的1倍”“女生人數(shù)是男生人數(shù)的1倍”等。也有一些學生會關注部分與整體的關系，感受到圖式的包含關系，發(fā)現(xiàn)“果樹的總棵數(shù)是梨樹的4倍，全班人數(shù)是女（男）生人數(shù)的2倍”。于是教師進一步追問：“反過來，女生人數(shù)是全班人數(shù)的多少？”學生會想到“一半”或“[1/2]”。這種“一半”或“[1/2]”的表達，表示學生對標準量的理解更進一步，突破了整數(shù)倍，為后續(xù)學習“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”做了鋪墊。2.遞進多個量比較的圖式，綜合運用知識利用開放性的素材，設計綜合性和挑戰(zhàn)性的任務，可以提升單元復習教學的拓展性，具體可以采用條件的開放、問題的開放和方法的開放等方式。任務四是一組開放性的圖式（如圖5），學習材料從兩個量的比較過渡到多個量的比較。教師出示任務四，旨在培養(yǎng)學生解決問題的綜合能力。首先，結合條形的長短猜想倍數(shù)關系體現(xiàn)了問題的開放。教師提問：“請你估一估，小猴、天鵝、小鹿的只數(shù)可能存在哪些倍數(shù)關系？”在此基礎上呈現(xiàn)網(wǎng)格和具體數(shù)據(jù)，引導學生驗證猜想，關注多個量的比較，判斷標準量，用“誰是誰的幾倍”進行描述。其次，條件和解題方法也具有開放性。教師可以引導學生思考：小兔也來湊熱鬧了，請在橫線上補充跟小兔只數(shù)有關的信息，并列式計算小兔的只數(shù)。這樣的學習任務充分激發(fā)了學生的學習興趣，學生既有補充相差關系的，如“小兔比小猴多（少）2只”“小猴比小兔多（少）2只”等，也有補充倍數(shù)關系