診學習之階解認知之難

【摘

要】乘法分配律是學生學習的難點。教師以對一名五年級學生乘法分配律學習的干預過程為例，通過診斷這名學生對乘法分配律的掌握情況，分析學生的概念理解水平，精準實施個別化教學，從而提高學生的概念理解水平和運用能力?！娟P(guān)鍵詞】乘法分配律；學習診斷；教學干預運算律是小學數(shù)學學習的重點內(nèi)容，其中，乘法分配律因其結(jié)構(gòu)的復雜性和運用的靈活性成為學生學習的難點。受概念理解水平的限制，學生在運用乘法分配律解決問題時，常常會出現(xiàn)“盲目湊整”“變式誤識”等情況。通過診斷學生對乘法分配律的掌握情況，分析學生的概念理解水平，精準實施干預，可以提高學生的概念理解水平和運用能力。下面，筆者以對一名五年級學生小A的干預過程為例，探討基于學習進階診斷的個別化教學。一、學習診斷，確定學習起點小A的數(shù)學成績處于班級中下水平，他不僅課堂交流不主動，還時不時拖欠作業(yè)，因而備受教師關(guān)注。在四年級系統(tǒng)學習乘法分配律后，教師針對小A的錯題情況，采用“標記相同因數(shù)”“講數(shù)學故事”等多種方式進行了糾正。但直到五年級，小A仍頻繁出現(xiàn)類似“1.25×4.8×0.08=1.25×4+0.8×0.08”“99×124=（99+1）×124”的錯誤。為精準把握小A對乘法分配律的理解水平，筆者借用黃興豐研究團隊設(shè)計的乘法分配律的診斷問題，以訪談的形式對小A乘法分配律的掌握情況進行學習診斷（如表1）。根據(jù)訪談可知，小A能在具有乘法分配律結(jié)構(gòu)的具體情境（任務(wù)1）中理解兩種不同形式算式的含義；能用三位數(shù)乘一位數(shù)的豎式驗證結(jié)果（任務(wù)2）；能基于對乘法及加法含義的理解，比較具有相同因數(shù)的兩積之和的大小關(guān)系（任務(wù)4）；但未能在分配律的兩種形式之間建立有效聯(lián)系，實現(xiàn)兩種形式的自由轉(zhuǎn)換（任務(wù)3）；未能有效識別較復雜的分配律結(jié)構(gòu)，忽視規(guī)則簡單湊整（任務(wù)5）。二、個別干預，提升理解水平學習進階水平既是每個階段概念學習的終點，也是概念理解的發(fā)展進程，每個水平級均可作為學習干預的階段性目標。黃興豐研究團隊依據(jù)APOS理論構(gòu)建出乘法分配律學習進階模型，包含6個進階水平。水平1：能以某個數(shù)量作為單位進行計數(shù)，初步理解加法和乘法的關(guān)聯(lián)。水平2：通過具體情境及運算求解等活動，初步感悟乘法分配律的基本形式，記憶乘法分配律的基本形式。水平3：在支持乘法分配律結(jié)構(gòu)的情境中，通過說理或程序性操作，在分配律的兩種形式間建立聯(lián)系，但尚未形成完整的定義。水平4：能從實例中抽象出乘法分配律的本質(zhì)特征，并理解其內(nèi)涵。水平5：能在非標準形式中識別乘法分配律的結(jié)構(gòu)，進一步理解乘法分配律的本質(zhì)。水平6：具有完整的乘法分配律概念，建立起與其他數(shù)學概念之間的聯(lián)系，形成知識的綜合圖式。根據(jù)教師對小A的訪談結(jié)果，對照學習進階水平的具體表現(xiàn)，他的乘法分配律概念理解水平處于水平2的發(fā)展階段，未達到水平3。針對小A對乘法分配律的現(xiàn)有理解水平，教師將五年級學生的常模水平作為最終的干預目標，制訂了乘法分配律的干預教學計劃（如表2）。表2乘法分配律的干預教學計劃[階段目標具體措施學生表現(xiàn)一水平3結(jié)合具體情境，通過畫圖、說理等形式，實現(xiàn)從乘法對加法分配到乘法對減法分配的遷移。在理解的基礎(chǔ)上，能用字母表達式表示乘法分配律。二水平4喚醒相關(guān)學習經(jīng)驗，借助乘法的意義和乘法筆算的算理，理解乘法分配律的基本形式。能運用乘法分配律進行整數(shù)和小數(shù)四則混合運算的簡便計算。三水平5通過圖形的操作或乘法分配律基本模型的多次變形，實現(xiàn)由兩項式向多項式的拓展，建立整體思維。能在非標準形式的四則運算中，運用乘法分配律巧算。]（一）對比遷移，建立模型人教版教材在四年級下冊創(chuàng)設(shè)了植樹情境，通過“一共有多少名同學參加了這次植樹活動”這一問題，引導學生依據(jù)兩種思路列出兩個算式，得到等式：（4+2）×25=4×25+2×25。然后給出乘法分配律的文字表述“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加”。教學中，教師會依據(jù)教材編排意圖重點引導學生理解乘法對加法的分配，而對乘法對減法的分配卻不會深入展開，導致小A經(jīng)過一年的學習仍未能建立乘法對減法分配的模型。1.多角度預設(shè)，促進遷移為降低認知難度、聚焦教學重點，教師創(chuàng)設(shè)“學校打算為短跑隊運動員購買隊服，每件上衣需55元，每條褲子需45元，4套隊服共需多少元錢？4條褲子比4件上衣便宜多少元？”和“五年級有6個班，六年級有4個班，如果每個班級可以領(lǐng)10根跳繩，五、六年級共領(lǐng)了多少根？五年級比六年級多領(lǐng)多少根？”兩個現(xiàn)實問題。借助現(xiàn)實生活情境，從“份數(shù)相同”和“每份數(shù)相同”兩個角度進行比較遷移，幫助小A實現(xiàn)乘法分配律從加法向減法遷移。2.結(jié)構(gòu)化表征，突破障礙實際干預過程中，小A解決“4條褲子比4件上衣便宜多少元？”的問題時，他只有“上衣總價減褲子總價”一種解法，不能將褲子和衣服一一對應來求解。為突破這一障礙，教師啟發(fā)小A通過對比梳理信息，形成結(jié)構(gòu)化表征（如圖1）。再指引他變換觀察角度，找到另一種解題思路，得到：55×4-45×4=（55-45）×4。最后引導小A結(jié)合具體情境，運用乘法的意義解釋算式兩邊相等的原因。小A通過對比、觀察解決兩個購物問題列出的4個算式，發(fā)現(xiàn)乘法分配律中的“+”變成“-”后仍然成立，順利提煉乘法對減法分配的字母表達式。（二）調(diào)用經(jīng)驗，理解本質(zhì)眾所周知，在學生學習乘法分配律之前，教材已多次滲透乘法分配律結(jié)構(gòu)，如乘法口訣前后兩句的關(guān)系、多位數(shù)乘一位數(shù)、長方形周長計算等，為學生理解乘法分配律提供了大量的基本活動經(jīng)驗。然而，小A雖然掌握了上述知識，但是未能在學習經(jīng)驗與乘法分配律之間建立有效聯(lián)結(jié)，形成完整的認知結(jié)構(gòu)。1.喚醒經(jīng)驗，建立有效聯(lián)結(jié)教師發(fā)現(xiàn)小A具有很好的計算能力。因此，教師從兩位乘法筆算開始，通過構(gòu)建“15×26=6×15+20×15”這樣的等式，幫助小A直觀地理解筆算“15×26”的過程就是“把其中一個因數(shù)拆分成整十數(shù)與一位數(shù)相加，再把拆分后的兩個加數(shù)分別與另一個因數(shù)相乘，再相加”，引導小A在乘法筆算和分配律之間建立聯(lián)系。當然，也可以從“式”與“形”兩個方面表征長方形周長的計算，將乘法的意義、乘法運算、幾何度量和乘法分配律建立聯(lián)系，實現(xiàn)多點聯(lián)結(jié)。2.多元表征，促進意義理解小A能夠運用語言、符號、現(xiàn)實情境等多種表征方式對乘法對加法的分配作出合理的解釋，但不能解釋乘法對減法的分配。因此，教師從圖式表征入手，引導小A先畫圖表示“（6-4）×3”和“3×6-3×4”這兩個算式，再通過觀察圖式發(fā)現(xiàn)兩個算式表達相同的意義，最后結(jié)合運算的意義用數(shù)學語言表征等式，促進多種表征形式的轉(zhuǎn)換。（三）直觀推理，縱向拓展乘法分配律可以從兩項式推廣到多項式，即若干個數(shù)的和（差）與一個數(shù)相乘的形式。小A對乘法分配律的應用只局限在兩項式，不能識別類似“7×4-2×4-3×4”這樣非標準分配律的結(jié)構(gòu)。1.借助圖形表征，向多項式拓展在干預過程中，小A在教師“先看前面兩項，再補充第三項”的提示下，意識到可以使用乘法分配律的變式。小A將“7×4-2×4-3×4”兩次變形后得到“（7-2-3）×4”，從而建立兩者的等式關(guān)系，但仍不能自主用乘法的意義解釋等式相等的原因。面對這一情況，教師引導小A回到圖式表征中，讓他用圖式表示算式的含義（如圖2），再分別從橫向、縱向觀察圖式，用乘法的意義解釋兩個算式。由此，小A逐漸認識到“從橫向看，4個（7-3-2）就是4個7減4個3，再減4個2；從縱向看，7個4減去3個4，再減去2個4，還剩（7-3-2）個4”，從而實現(xiàn)了乘法分配律的多項式推廣。2.借助意義解釋，提高整體思維小A在計算“25×15×（2+4）”時，先按計算順序得出“25×15=375”，再將其變形為“375×2+375×4”進行計算；在計算“25×（2+4）×15”時，先按計算順序得出“25×6×15=150×15”，再將其轉(zhuǎn)化為“（50+100）×15=50×15+100×15”進行計算。而對于“25×（2+4）×15=25×15×（2+4）”是否相等的原因，小A則是將“（2+4）”看作“6”，運用多種運算律的應用進行合理的解釋。由上述過程可知，小A通過教師的教學干預，能夠從單一運算律的應用進階到多種運算律的混合應用，提升了整體思維。（四）教后診斷，檢驗成效經(jīng)過三個階段的教學干預后，教師再次對小A進行教學診斷。教師設(shè)計了兩項式和多項式兩類式題，共10道題，具體包括乘法對加法、減法分配的標準乘法分配律和非標準乘法分配律，其中運算數(shù)據(jù)包含整數(shù)和小數(shù)兩類。除“4.87×0.36＋48.7×0.054”這類需要先等價變形，再運用乘法分配律進行簡便運算的問題外，其他問題小A均能正