2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如果且，那么的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．2．在中，所對(duì)的邊分別為，若，，，則（）A． B． C．1 D．33．如圖是正方體的展開圖，則在這個(gè)正方體中：①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④4．已知直線yx+2，則其傾斜角為（）A．60° B．120° C．60°或120° D．150°5．在中，，，，則（）A． B． C． D．6．過△ABC的重心任作一直線分別交邊AB，AC于點(diǎn)D、E．若,，，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．17．如圖為A、B兩名運(yùn)動(dòng)員五次比賽成績(jī)的莖葉圖，則他們的平均成績(jī)和方差的關(guān)系是（）A．， B．，C．， D．，8．已知一扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則該扇形的面積為()A． B． C． D．9．若存在正實(shí)數(shù)，使得，則（）A．實(shí)數(shù)的最大值為 B．實(shí)數(shù)的最小值為C．實(shí)數(shù)的最大值為 D．實(shí)數(shù)的最小值為10．是()A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在正方體中，有以下結(jié)論：①平面；②平面；③；④異面直線與所成的角為.則其中正確結(jié)論的序號(hào)是____（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.12．某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為3:5:7，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，其中甲種產(chǎn)品有18件，則樣本容量=．13．在中，，，則的值為________14．某中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人，高二年級(jí)有學(xué)生900人，高三年級(jí)有學(xué)生1500人，現(xiàn)按年級(jí)用分層抽樣的方法從這三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為720的樣本進(jìn)行某項(xiàng)研究，則應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取_____人．15．如圖，為了測(cè)量樹木的高度，在處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫椋谔帨y(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?，若米，則樹高為______米.16．如圖，在B處觀測(cè)到一貨船在北偏西方向上距離B點(diǎn)1千米的A處，碼頭C位于B的正東千米處，該貨船先由A朝著C碼頭C勻速行駛了5分鐘到達(dá)C，又沿著與AC垂直的方向以同樣的速度勻速行駛5分鐘后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)該貨船到點(diǎn)B的距離是________千米.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．四棱錐中，，，底面，，直線與底面所成的角為，、分別是、的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）若，求證：直線平面；（3）求棱錐的體積．18．如圖，正方體棱長(zhǎng)為，連接，，，，，，得到一個(gè)三棱錐，求：（1）三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；（2）三棱錐的體積.19．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間.20．某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，生產(chǎn)總成本（元）與產(chǎn)量（噸）（）函數(shù)關(guān)系為，且函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)（1）求的值；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少噸時(shí)，平均生產(chǎn)成本最低？21．已知圓：和點(diǎn)，，，.(1)若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，求；(2)過圓上任意一點(diǎn)與點(diǎn)的直線，交圓于另一點(diǎn),連接，，求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

取，故選B.2、A【解析】

利用三角形內(nèi)角和為，得到，利用正弦定理求得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，在中，，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和及正弦定理的應(yīng)用，考查基本運(yùn)算求解能力.3、C【解析】

將正方體的展開圖還原為正方體后，即可得到所求正確結(jié)論．【詳解】將正方體的展開圖還原為正方體ABCD﹣EFMN后，可得AF，CN異面；BM，AN平行；連接AN，NF，可得∠FAN為AF，BM所成角，且為60°；BN⊥DE，DE⊥AB可得DE⊥平面ABN，可得DE⊥BN，可得③④正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查展開圖與空間幾何體的關(guān)系，考查空間線線的位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

根據(jù)直線方程求出斜率，根據(jù)斜率和傾斜角之間的關(guān)系即可求出傾斜角．【詳解】由已知得直線的斜率，則傾斜角為120°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查斜率和傾斜角的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．5、D【解析】

直接用正弦定理直接求解邊.【詳解】在中，，，由余弦定理有：,即故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用重心以及向量的三點(diǎn)共線的結(jié)論得到的關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)重心為，因?yàn)橹匦姆种芯€的比為，則有，，則，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，取等號(hào)時(shí).故選B.【點(diǎn)睛】（1）三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)，且重心分中線的比例為；（2）運(yùn)用基本不等式時(shí)，注意取等號(hào)時(shí)條件是否成立.7、D【解析】

根據(jù)題中數(shù)據(jù)，直接計(jì)算出平均值與方差，即可得出結(jié)果.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得，，，所以；又，，所以.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)與方差的比較，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.8、C【解析】

根據(jù)題意設(shè)出扇形的弧長(zhǎng)與半徑，通過扇形的周長(zhǎng)與弧長(zhǎng)公式即可求出扇形的弧長(zhǎng)與半徑，進(jìn)而根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，扇形的圓心角的弧度數(shù)是.

則由題意可得：.

可得：，解得：，.可得：故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的周長(zhǎng)與扇形的面積公式的應(yīng)用，以及考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

將題目所給方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)此方程在上有解列不等式組，解不等式組求得的取值范圍，進(jìn)而求出正確選項(xiàng).【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，方程為不和題意，故這是關(guān)于的一元二次方程，依題意可知，該方程在上有解，注意到，所以由解得，故實(shí)數(shù)的最大值為，所以選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次方程根的分布問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、C【解析】

由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，即可得到答案．【詳解】由題意，可知，所以角和角表示終邊相同的角，又由表示第三象限角，所以是第三象限角，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了象限角的表示和終邊相同角的表示，其中解答中熟記終邊相同角的表示是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①③【解析】

①：利用線面平行的判定定理可以直接判斷是正確的結(jié)論；②：舉反例可以判斷出該結(jié)論是錯(cuò)誤的；③：可以利用線面垂直的判定定理，得到線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可以判斷是正確的結(jié)論；④：可以通過，可以判斷出異面直線與所成的角為，即本結(jié)論是錯(cuò)誤的，最后選出正確的結(jié)論序號(hào).【詳解】①：平面，平面平面，故本結(jié)論是正確的；②：在正方形中，，顯然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，則必有互相垂直，顯然是不可能的，故本結(jié)論是錯(cuò)誤的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本結(jié)論是正確的；④：因?yàn)?，所以異面直線與所成的角為，在正方形中，，故本結(jié)論是錯(cuò)誤的，因此正確結(jié)論的序號(hào)是①③.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，考查了異面直線所成的角、線面垂直的性質(zhì).12、【解析】試題分析：由題意得，解得，故答案為．考點(diǎn)：分層抽樣．13、【解析】

由，得到，由三角形的內(nèi)角和，求出，再由正弦定理求出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，在中，由正弦定理得，所?【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.14、1．【解析】

先求得高三學(xué)生占的比例，再利用分層抽樣的定義和方法，即可求解.【詳解】由題意，高三學(xué)生占的比例為，所以應(yīng)從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分層抽樣的定義和方法，其中解答中熟記分層抽樣的定義和抽取的方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先計(jì)算，再計(jì)算【詳解】在處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫?，在處測(cè)得樹頂?shù)难鼋菫閯t在中，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，也可以用正余弦定理解答.16、3【解析】

先在中，由余弦定理算出和，然后在中由余弦定理即可求出.【詳解】由題意可得，在中，所以由余弦定理得：即，所以因?yàn)樗运运栽谥杏校杭垂蚀鸢笧椋?【點(diǎn)睛】本題考查三角形的解法，余弦定理的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】

（1）由中位線定理可得，，再根據(jù)平行公理可得，，即可根據(jù)線面平行的判定定理證出；（2）根據(jù)題意可計(jì)算出，而是的中點(diǎn)，可得，又，即可根據(jù)線面垂直的判定定理證出；（3）根據(jù)等積法，即可求出．【詳解】（1）證明：連接，，，、是、中點(diǎn)，，從而．又平面，平面，直線平面；（2）證明：，，．底面，直線與底面成角，．．是的中點(diǎn)，．，．面，面，直線平面；（3）由題可知，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理的應(yīng)用，以及利用等積法求三棱錐的體積，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）【解析】試題分析：（1）求出三棱錐的棱長(zhǎng)為，即可求出三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；（2）利用割補(bǔ)法，即可求出三棱錐的體積.試題解析：（1）正方體的棱長(zhǎng)為，則三棱錐的棱長(zhǎng)為，表面積為，正方體表面積為，∴三棱錐的表面積與正方體表面積的比值為（2）三棱錐的體積為19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式直接求的單調(diào)遞增區(qū)間．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，直接求解，的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】解：（1）由，，可得，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：，．（2）因?yàn)?，；可得，．時(shí)，．函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間：．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)；(2)當(dāng)產(chǎn)量噸，平均生產(chǎn)成本最低.【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)連續(xù)性的定義，可得在分段處兩邊的函數(shù)值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式，可得平均生產(chǎn)成本的最小值點(diǎn)．【詳解】（1）設(shè)，由函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù).即，代入得（2）設(shè)平均生產(chǎn)成本為，則當(dāng)中，，函數(shù)連續(xù)且在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增即當(dāng)，元當(dāng)，，由，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，即當(dāng)，元綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量噸，平均生產(chǎn)成本最低.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式求最值，屬于中檔題.21、(1)2(2)見證明【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，得出，利用兩點(diǎn)間的距離公式以及將關(guān)系式代入可求出的值；（2）對(duì)直線的斜率是否存在分類討論。①直線的斜率不存在時(shí)，由點(diǎn)、的對(duì)稱性證明結(jié)論；②直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，通過計(jì)算直線和的斜率之和為零來證明結(jié)論成立?！驹斀狻浚?）證明：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，所以，所以，（2）①當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，所以.